Phát triển và xây dựng tham số an toàn cho hệ chữ kí số trên bài toán logarit rời rạc theo modul hợp số

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng luận án tiến sĩ là công trình khoa học của riêng
tôi. Kết quả nghiên cứu là trung thực, khách quan và chưa từng được công bố
trong bất kỳ công trình khoa học nào của người khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi thông tin, luận cứ, luận chứng mà luận án đã
trích dẫn đều được chỉ rõ địa chỉ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2019
Tác giả

Lê Văn Tuấn


ii

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận án “Phát triển và xây dựng tham số an
toàn cho hệ chữ ký số trên bài toán logarit rời rạc theo modul hợp số” tôi đã
nhận được sự giúp đỡ của Đảng ủy, ban Giám đốc Học viện Kỹ thuật Quân
sự; sự quan tâm, giúp đỡ của Đảng ủy, ban Giám đốc Học viện Khoa học
Quân sự; sự giúp đỡ của tập thể cùng ban lãnh đạo Phòng Sau Đại học Học
viện Kỹ thuật Quân sự; sự giúp đỡ của tập thể giảng viên Khoa CNTT Học
viện Kỹ thuật Quân sự, nơi tôi sinh hoạt học thuật. Tôi xin chân thành cảm ơn
sự giúp đỡ quý báu đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Lều Đức Tân và TS. Bùi Thế Truyền, đã
hướng dẫn tôi về chuyên môn và phương pháp nghiên cứu trong suốt quá
trình thực hiện đề tài luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp đang
học tập và công tác tại Học viện Khoa học Quân sự và Học viện Kỹ thuật
Quân sự; đặc biệt là sự động viên, giúp đỡ của gia đình, người thân để tôi

hoàn thành luận án này.
Tác giả


iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU......................................................................... v
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT ................................................................................ vi
DANH MỤC CÁC BẢNG ............................................................................ vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ..................................................... viii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 9
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ CƠ SỞ LÝ
THUYẾT CỦA LUẬN ÁN ........................................................................... 18
1.1. Tổng quan và vấn đề nghiên cứu của luận án. ................................. 18
1.1.1. Tổng quan. ...................................................................................... 18
1.1.2 Một số lược đồ chữ ký số trên trường ℤp. ....................................... 19
1.1.3. Một số lược đồ chữ ký số trên vành ℤn. ......................................... 20
1.1.4. Vấn đề nghiên cứu của luận án. ...................................................... 22
1.2. Cơ sở lý thuyết liên quan đến luận án............................................... 24
1.2.1. Một số định nghĩa và định lý quan trọng ........................................ 24
1.2.2. Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán. ...................................... 26
1.2.3. Lược đồ chữ ký số khóa công khai. ................................................ 32
1.2.4. Lược đồ chữ ký số trên trường ℤp .................................................. 36
1.2.5. Lược đồ chữ ký số trên vành ℤn. .................................................... 43
1.2.6. Ngưỡng an toàn và chuẩn tham số an toàn. .................................... 47
1.3. Kết luận ................................................................................................ 50

CHƯƠNG 2. PHÁT TRIỂN LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ TRÊN VÀNH .... 51
2.1. Mở đầu ................................................................................................. 51
2.2. Một số kiến thức bổ trợ ...................................................................... 51
2.3. Xây dựng lược đồ chữ ký số cơ sở ..................................................... 55
2.3.1. Đặt vấn đề ....................................................................................... 55
2.3.2. Xây dựng công thức tổng quát ........................................................ 56
2.4. Đề xuất lược đồ chữ ký số trên vành ℤn ........................................... 65
2.4.1. Lược đồ chữ ký số dạng 1............................................................... 65
2.4.2. Lược đồ chữ ký số dạng 2............................................................... 68
2.4.3. Phân tích các lược đồ chữ ký đề xuất ............................................. 70
2.4.4. Một số so sánh và điều kiện an toàn cho lược đồ đề xuất .............. 75
2.5. Xây dựng hệ tham số cho lược đồ...................................................... 79
2.5.1. Số Modulo....................................................................................... 80
2.5.2. Xác định phần tử sinh ..................................................................... 80
2.5.3. Xác định thành phần bí mật và công khai ...................................... 85
2.5.4. Hệ tham số của lược đồ .................................................................. 85


iv

2.6. Thử nghiệm và đánh giá kết quả ....................................................... 85
2.6.1. Chuẩn bị thử nghiệm....................................................................... 85
2.6.2. Tiến hành thử nghiệm ..................................................................... 87
2.6.3. Đánh giá kết quả ............................................................................. 91
2.7. Kết luận ................................................................................................ 93
CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG THAM SỐ AN TOÀN CHO CÁC LƯỢC ĐỒ
CHỮ KÝ SỐ ĐỀ XUẤT ............................................................................... 94
3.1. Mở đầu ................................................................................................. 94
3.2. Ngưỡng an toàn ................................................................................... 95
3.2.1. Ngưỡng an toàn của Lenstra và Verheul ........................................ 95

3.2.2. Ngưỡng an toàn của lược đồ chữ ký số đề xuất ............................. 97
3.3. Xây dựng hệ tiêu chuẩn tham số an toàn........................................ 102
3.3.1. Ý tưởng ......................................................................................... 102
3.3.2. Xây dựng hệ tiêu chuẩn cho tham số ............................................ 103
3.4. Sinh tham số cho các lược đồ chữ ký số đề xuất ............................ 108
3.4.1. Thuật toán ..................................................................................... 108
3.4.2. Chương trình ................................................................................. 122
3.5. Thử nghiệm và đánh giá kết quả ..................................................... 123
3.5.1. Thử nghiệm ................................................................................... 123
3.5.2. Đánh giá kết quả ........................................................................... 134
3.6. Kết luận .............................................................................................. 136
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT ........................................................................ 137
I. KẾT LUẬN ........................................................................................... 137
1. Về lý thuyết ........................................................................................... 137
2. Về thực nghiệm..................................................................................... 138
II. ĐỀ XUẤT VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU .......................................... 138
1. Đề xuất: ................................................................................................. 138
2. Hướng nghiên cứu: .............................................................................. 139
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................ 140
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 141
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 146


v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Các tập hợp số:
ℕ tập số tự nhiên.
ℤ Tập số nguyên.
R Tập số thực.

P Tập các số nguyên tố.
Ký hiệu lấy phần nguyên: Cho số thực 𝑥:
⌈x⌉: số nguyên m nhỏ nhất sao cho m ≥ x.
⌊x⌋: số nguyên m lớn nhất sao cho m ≤ x.
Ký hiệu liên quan đến lý thuyết chia hết:
a.b: số a nhân với số b.
a|b: a là ước của b, ngược lại b là bội của a.
GCD(a, b): ước số chung lớn nhất của a và b.
LMC(a, b): bội số chung nhỏ nhất của a và b.
Số nguyên tố bổ trợ: Cho 𝑝, 𝑞 là số nguyên tố.
p1 : ước nguyên tố lớn nhất của p – 1
p2 : ước nguyên tố lớn nhất của p + 1
q1 : ước nguyên tố lớn nhất của q − 1
q2 : ước nguyên tố lớn nhất của q + 1
Một số ký hiệu khác:
DLPp : Bài toán logarit rời rạc trên trường ℤp
DLPn : Bài toán logarit rời rạc trên vành ℤn
k∈R X: Lẫy ngẫu nhiên phần tử k thuộc tập X
x || y: Ký kiệu nối chuỗi x với chuỗi y.
Secure_strength: Ký hiệu ngưỡng an toàn cho một hệ mật
L(a): Kích thước của số nguyên a tính theo đơn vị bít
Ordn (g): Cấp của g trong vành ℤn
TLKTTB : Thực lực kinh tế của tổ chức tình báo
TLTTSMT : Thực lực tính toán của siêu máy tính


vi

BẢNG CHỮ VIẾT TẮT
Các chữ viết tắt

Ý nghĩa

AN-QP

Quốc phòng - An ninh

CPLT

Chi phí lý thuyết

CPTT

Chi phí thực tế

KT-XH

Kinh tế - Xã hội

SMT

Siêu máy tính

TCVN

Tiêu chuẩn Việt Nam

TLTT

Thực lực tính toán

AL

Attack Class.

BO

Bit Operator

CRT

Chinese Remainder Theorem

DLP

Dicrete Logarithms Problem

DP

Dificult Problem

DSA

Digital Signature Algorithm

ECM

Elliptic Curve Method

FIPS

Federal Information Processing Standards

FP

Factorization Problem

GCD

Great Common Division

HP

Hard Problem

IMY

Infeasible number of Mips Years

LCM

Least comom Multiple

NFS

Number Field Sieve

NIST

National Institute of Standards and Technology

RSA

Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman


vii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê độ phức tạp một số phép toán .................................... 28
Bảng 1.2. Kết quả chi phí tính toán ............................................................. 43
Bảng 1.3. Độ dài số modulo n và thời gian sống. ........................................ 49
Bảng 1.4. Một số tiêu chuẩn tham số an toàn trong FIPS ......................... 49
Bảng 1.5. Tiêu chuẩn tham số lược đồ TCVN 7635-2007. ........................ 50
Bảng 2.1. Bảng thống kê kết quả phân tích lược đồ đề xuất ..................... 73
Bảng 2.2. Thời gian sinh chữ ký và xác nhận chữ ký ................................ 91
Bảng 3.1. Ngân quỹ dành cho một số tổ chức tình báo của Mỹ................ 98
Bảng 3.2. Một số tiêu chuẩn cập nhật năm 2019 ...................................... 107
Bảng 3.3. Ngưỡng an toàn tính theo Lenstra và Verheul ........................ 125
Bảng 3.4. Ngưỡng an toàn trong môi trường KT-XH ............................. 126
Bảng 3.5. Ngưỡng an toàn trong lĩnh vưc AN-QP ................................... 127
Bảng 3.6. Thời gian sinh tham số............................................................... 134


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 2.1. Biểu đồ kết quả thử nghiệm sinh chữ ký .................................... 92
Hình 2.2. Biểu đồ kết quả thử nghiệm xác nhận chữ ký ........................... 92
Hình 3.1. Đồ thị so sánh ngưỡng an toàn .................................................. 128

Hình 3.2. Biểu đồ ngưỡng an toàn ............................................................. 128


9

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lịch sử nhân loại đang chứng kiến cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ tư
(còn gọi là cuộc cách mạng công nghệ 4.0), cuộc cách mạng này đã và đang tạo
ra những khả năng hoàn toàn mới, tác động sâu sắc đến mọi mặt, mọi lĩnh vực
của đời sống xã hội. Ở Việt nam, cuộc cách mạng công nghệ 4.0 đã mang đến
vô số cơ hội, đồng thời cũng phải đối mặt không ít thách thức, khó khăn, đặc
biệt là vấn đề an toàn và bảo mật thông tin trên không gian mạng. Nhờ đặc tính
xử lý nhanh, chính xác, phạm vi rộng và khả năng lưu trữ lớn, nên các dịch vụ
điện tử mang lại những lợi ích to lớn, góp phần không nhỏ vào sự phát triển xã
hội loài người trong vài thập niên qua. Tuy nhiên, bên cạnh những mặt tích cực
của các dịch vụ điện tử đem lại, nguy cơ mất an toàn thông tin là rất cao. Minh
chứng bằng những cuộc tấn công mạng từng xuất hiện trong thời gian gần đây,
đó là vụ tấn công mạng bởi mã độc NotPetya vào sáng 27/6/2017[54] và nhiều
cuộc tấn công khác vào các webside hàng loạt các tập đoàn kinh tế hàng đầu
của Mỹ trong năm 2018 đã gây thiệt hại hàng tỷ USD. Ở Việt nam, những vụ
mất an toàn thông tin nghiêm trọng đã xảy ra trong thời gian qua, tiêu biểu là
vụ tấn công mạng của hãng Hàng không Quốc gia Việt nam vào ngày
29/7/2016[55] và nhiều cuộc tấn công mạng khác [55], [56], [58]. Theo thông
tin từ [56], tính riêng năm 2018, thiệt hại do virus máy tính gây ra đối với
người dùng Việt Nam đã lên mức kỷ lục 14.900 tỷ đồng, tương đương 642
triệu USD, nhiều hơn 21% so với mức thiệt hại của năm 2017. Vậy an toàn
thông tin cho các dịch vụ điện tử không còn là vấn đề riêng của mỗi tổ chức,
quốc gia mà đã trở thành vấn đề chung của toàn thế giới.
Trước bối cảnh đó, đã có nhiều giải pháp là kết quả nghiên cứu của các

nhà khoa học được ứng dụng trong lĩnh vững an toàn và bảo mật thông tin, tiêu
biểu là sự phát minh ra mật mã khóa công khai của hai tác giả W. Diffie và M.
Hellman đã tạo bước ngoặt lớn trong ngành mật mã nói chung và trong lĩnh


10

vực an toàn và bảo mật thông tin nói riêng. Nhờ sự phát minh vĩ đại này của W.
Diffie và M. Hellman, hàng loạt các dịch vụ an toàn, bảo mật thông tin được ra
đời, tiêu biểu là các dịch vụ xác thực sử dụng chữ ký số. Chữ ký số là một dạng
chữ ký điện tử, có chức năng xác thực, đảm bảo tính toàn vẹn và tính không thể
chối bỏ của các bên gửi, nhận tin. Sự ra đời của chữ ký số góp phần xây dựng
thành công Chính phủ Điện tử, Thương mại Điện tử và là cơ sở cho sự ra đời
của hàng loạt dịch vụ an toàn thông tin khác trên mạng Internet. Những lược đồ
chữ ký số tiêu biểu được kể đến, đó là lược đồ chữ ký số RSA[20] có độ an toàn
dựa trên tính khó giải của bài toán phân tích số, được ứng dụng rộng rãi trên
thế giới trong đó có Việt Nam; lược đồ chữ ký số ElGamal cùng các biến thể có
độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên trường hữu
hạn ℤp được đề cập trong các kết quả nghiên cứu [13], [17], [18], [27-29],
[32],[33], [38], [44], [46-52]. Điểm tồn tại chung của lược đồ chữ ký số trên
trường hữu hạn ℤp (lược đồ Elgamal và các biến thể của nó) đều công khai cấp
của phần tử sinh (chính xác hơn là không thể che giấu cấp phần tử sinh), chính
đặc điểm này khiến cho các lược đồ chữ ký này phải đối mặt với hai nguy cơ:
nguy cơ thứ nhất là mất an toàn trong tình huống trùng khóa phiên hoặc lộ
khóa phiên; nguy cơ thứ hai có khả năng bị tấn công bởi các thuật toán giải bài
toán logarit rời rạc dựa vào cấp của phần tử sinh 𝑔 khi tham số của lược đồ chữ
ký không đạt tiêu chuẩn an toàn, chẳng hạn tấn công sử dụng thuật toán Rho
của Pollard, thuật toán Pohlig Hellman và thuật toán Index calculate. Hơn nữa,
tốc độ sinh chữ ký của lược đồ chữ ký trên trường ℤp chậm hơn nhiều tốc độ
sinh chữ ký của các lược đồ chữ ký cùng loại trên vành ℤn , do các phép toán có

chi phí lớn trong các lược đồ chữ ký là phép lũy thừa, phép tính phần tử nghịch
đảo trên vành ℤn sẽ có chi phí nhỏ hơn nhiều trên trường ℤp nhờ áp dụng định
lý CRT (được chứng minh trong bổ đề 2.3 của luận án, n = p. q và
L(p) =L(q), điều này còn được đề cập trong [10] khi áp dụng định lý CRT cho


11

lược đồ chữ ký RSA). Hơn nữa, các lược đồ chữ ký cùng loại được xây dựng
trên cấu trúc vành ℤn tránh được hai nguy cơ tấn công nêu trên nhờ tính chất
che giấu cấp phần tử sinh.
Trước sự phát triển như vũ bão cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ tư,
đặc biệt là sự ra đời của các máy tính lượng tử có khả năng tính toán nhanh gấp
nhiều lần so với các loại máy tính truyền thống trong tương lai, việc nghiên cứu
phát triển các lược đồ chữ ký số trên cấu trúc vành ℤn an toàn và hiệu quả hơn
có ý nghĩa khoa học và thực tiễn và nhiều lược đồ chữ ký số được xây dựng
trên cấu trúc vành ℤn , được đề xuất bởi các nhà khoa học trong nước và trên
thế giới [1], [3], [21], [39], [41]. Kết quả khảo sát một số lược đồ chữ ký số
trên vành ℤn đã công bố cho thấy các nhà khoa học mới dừng lại ở việc đề xuất
lược đồ chữ ký số mới, chứng minh tính đúng đắn và kết luận tính an toàn của
lược đồ dựa trên một hoặc hai bài toán khó nào đó. Khoảng trống về học thuật là
chưa xây dựng cơ sở toán học và hệ tiêu chuẩn cho tham số; đa số các lược đồ
chữ ký chưa được khuyến cáo cho người sử dụng nên sử dụng hệ tiêu chuẩn
tham số đã có của thế giới; một số lược đồ chữ ký định lượng độ lớn cấp của
phần tử sinh là số 256 bit mà không đưa ra lý giải tại sao, hơn nữa với độ lớn của
cấp 256 bit, các lược đồ chữ ký này không thể sử dụng được hàm băm SHA 512,
dẫn đến độ an toàn của nó bị hạn chế; cấp của phần tử sinh trong một số lược đồ
chữ ký được định lượng về độ lớn xấp xỉ với độ lớn của số modulo [39] dẫn đến
chi phí tính toán cao. Hơn nữa, lược đồ chữ ký trong [39] chọn số modulo 𝑛
được cấu tạo bởi số nguyên tố 𝑝, 𝑞 siêu mạnh (n = p. q), điều này sẽ không thực

tế với các lược đồ chữ ký số trên vành ℤn đều đòi hỏi tham số phân biệt với từng
người sử dụng(chống tấn công sử dụng số modulo chung), trên thực tế mật độ số
nguyên tố siêu mạnh rất thưa. Có thể nói rằng những tồn tại nêu trên các lược đồ
đã công bố là khoảng trống về học thuật cần giải quyết trong luận án này. Chính
vì thế, NCS đã chọn đề tài “Phát triển và xây dựng tham số an toàn cho hệ chữ
ký số trên bài toán logarit rời rạc theo modul hợp số” làm luận án tiến sĩ của


12

mình với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào sự phát triển Khoa học Công nghệ trong lĩnh vực an toàn và bảo mật thông tin nói chung và trong phát
triển các lược đồ chữ ký số nói riêng. Kết quả nghiên cứu đã đề xuất được bốn
lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời
rạc trên vành hữu hạn ℤn , đồng thời luận án đã định lượng được các tham số
của lược đồ thông qua hệ tiêu chuẩn tham số và đề xuất hai môi trường ứng
dụng là môi trường TK-XH và lĩnh vực AN-QP làm cơ sở tham khảo cho các
tổ chức hoặc cá nhân khi đánh giá độ an toàn hoặc có ý định ứng dụng các lược
đồ chữ ký số này vào thực tiễn.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu, phát triển lược đồ chữ ký số mới có độ an toàn dựa trên tính
khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn an toàn và hiệu quả
hơn một số lược đồ chữ ký số cùng loại được công bố trước đó.
- Nghiên cứu xây dựng công thức tính ngưỡng an toàn, hệ tiêu chuẩn tham
số an toàn và đề xuất môi trường ứng dụng cho các lược đồ chữ ký đề xuất;
- Xây dựng công cụ thử nghiệm sinh tham số, sinh chữ ký và xác nhận
chữ ký cho các lược đồ đề xuất thỏa mãn hệ tiêu chuẩn đã đưa ra.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm:
- Lược đồ chữ ký số.
- Tham số của lược đồ chữ ký số.

- Ngưỡng an toàn và hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho lược đồ chữ ký số.
4. Phạm vi nghiên cứu
4.1. Về lý thuyết
- Nghiên cứu lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của
bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn ℤp , trong đó tập trung vào nghiên


13

cứu kỹ thuật thiết kế lược đồ chữ ký số mà các lược đồ Elgamal và lược đồ
DSA đã sử dụng; phân tích, chỉ ra một số điểm tồn tại trên các lược đồ chữ ký
số này.
- Nghiên cứu lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của
bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn với 𝑛 là tích của hai số nguyên tố
phân biệt, trong đó tập trung vào nghiên cứu kỹ thuật thiết kế mà các lược đồ
chữ ký đã sử dụng; phân tích, chỉ ra những điểm tồn tại trên các lược đồ chữ ký
số này.
- Nghiên cứu xây dựng lược đồ cơ sở và các lược đồ chữ ký số có độ an
toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn che
giấu cấp của phần tử sinh.
- Nghiên cứu ngưỡng an toàn và hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho lược
đồ chữ ký số đề xuất và đề xuất môi trường sử dụng cho nó.
- Nghiên cứu, xây dựng thuật toán và chương trình sinh tham số theo hệ
tiêu chuẩn cho các lược đồ đề xuất.
4.2. Về thực nghiệm
- Kiểm chứng tính đúng đắn, tính đầy đủ, tính hiệu quả của các lược đồ
chữ ký số đề xuất; so sánh chi phí tính toán của lược đồ chữ ký đề xuất với
lược đồ chữ ký số Elgama và lược đồ DSA.
- Kiểm tra tính đúng đắn kết quả tính ngưỡng an toàn theo công thức đã
xây dựng.

- Kiểm tra tham số được sinh ra theo từng tiêu chuẩn trong hệ tiêu chuẩn.
5. Nội dung nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của luận án gồm:
- Nghiên cứu kỹ thuật thiết kế lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên
tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn ℤ𝑝 của các nhà
khoa học trong nước và trên thế giới liên quan đến luận án.


14

- Nghiên cứu kỹ thuật thiết kế lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên
tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤ𝑛 của các nhà khoa
học trong nước và trên thế giới liên quan đến luận án.
- Chỉ ra những điểm tồn tại trên các lược đồ chữ ký số đã khảo sát và xác
định những khoảng trống về học thuật và xác định vấn đề nghiên cứu của luận
án; trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến vấn đề nghiên cứu của luận án.
- Nghiên cứu xây dựng lược đồ chữ ký số cơ sở có độ an toàn dựa trên
tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn , dựa trên các
lược đồ cơ sở này nghiên cứu sinh đã phát triển bốn lược đồ chữ ký số trên
vành hữu hạn ℤ𝑛 .
- Khảo sát phương pháp tính ngưỡng an toàn của thế giới[12] và của một
số nhà khoa học Việt Nam[8], [9], từ đó nghiên cứu, xây dựng công thức tính
ngưỡng an toàn cho các lược đồ chữ ký số đề xuất.
- Khảo sát một số chuẩn tham số của thế giới và của Việt Nam liên quan
đến tham số lược đồ chữ ký số trên bài toán phân tích số, bài toán logarit rời
rạc; xây dựng hệ tiêu chuẩn tham số cho lược đồ chữ ký số đề xuất có kế thừa
một số chuẩn đã có của Việt Nam và phát triển thêm một số tiêu chuẩn riêng
cho lược đồ chữ ký số đề xuất.
- Nghiên cứu, xây dựng thuật toán sinh tham số theo hệ tiêu chuẩn đã chỉ
ra cho các lược đồ chữ ký số đề xuất.

- Nghiên cứu, xây dựng chương trình để thử nghiệm việc xác định ngưỡng
an toàn, sinh chữ ký, xác nhận chữ ký và sinh tham số cho lược đồ chữ ký số đề
xuất theo hệ tiêu chuẩn đã đưa ra.
- Thử nghiệm và đánh giá kết quả nghiên cứu.
6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu sau đã được kết hợp sử dụng trong quá trình
thực hiện đề tài luận án:


15

- Phương pháp lý thuyết: Tiến hành khảo sát, phân tích, tổng hợp và phát
triển các kết quả nghiên cứu trong nước và trên thế giới về thiết kế lược đồ chữ
ký số hình thành nên lược đồ chữ ký số cơ sở[CT9]; Nghiên cứu cách tiếp cận
tính ngưỡng an toàn [8], [9], [12] và hệ tiêu chuẩn tham số an toàn để xây dựng
hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho lược đồ chữ ký số đề xuất.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến chuyên gia đầu ngành trong lĩnh
vực toán học và trong lĩnh vực an toàn thông tin trong thiết kế và xây dựng tiêu
chuẩn tham số an toàn cho lược đồ chữ ký số.
- Phương pháp thực nghiệm: NCS đã xây dựng công cụ thử nghiệm là
phần mềm tin học, sử dụng công cụ đó để kiểm nghiệm các kết quả nghiên cứu
lý thuyết; xác định đối tượng, phạm vi, điều kiện và quy trình thử nghiệm. Sau
mỗi nội dung thử nghiệm đều tiến hành đánh giá kết quả thử nghiệm, đối chiếu
kết quả thử nghiệm với kết quả nghiên cứu lý thuyết.
7. Tính mới trong khoa học của luận án
Những đóng góp mới của luận án gồm:
- Phát triển được bốn lược đồ chữ ký số mới có độ an toàn dựa trên tính
khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn .
- Đề xuất hệ tiêu chuẩn tham số an toàn cho các lược đồ đề xuất; sinh
thành công các tham số thỏa mãn hệ tiêu chuẩn; đề xuất hai môi trường KT-XH

và AN-QP làm môi trường ứng dụng lược đồ chữ ký số đề xuất.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
8.1. Ý nghĩa khoa học
Xây dựng thành công hai lược đồ chữ ký số cơ sở và đề xuất bốn lược đồ
chữ ký số mới trên lược đồ cơ sở có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài
toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn ℤn là một đóng góp mới có ý nghĩa về
khoa học, cụ thể là:


16

- Kết quả nghiên cứu đã khẳng định việc phát triển các lược đồ chữ ký số
trên vành hữu hạn ℤn là có cơ sở khoa học, đảm bảo tính đúng đắn, tính đầy đủ,
tính hiệu quả và an toàn hơn các lược đồ chữ ký số cùng loại trên trường ℤp .
- Kết quả nghiên cứu sẽ góp phần bổ sung làm giàu thêm cơ sở khoa học
để phát triển lược đồ chữ ký số, đồng thời bổ sung thêm giải pháp nâng cao độ
an toàn cho các lược đồ chữ ký số trên vành ℤn .
8.2. Ý nghĩa thực tiễn
Kết quả nghiên cứu của luận án có ý nghĩa thực tiễn, vì:
- Thứ nhất, vấn đề nghiên cứu được xuất phát việc giải quyết khoảng
trống về học thuật trên thực tế, cụ thể là: giải quyết nguy cơ mất an toàn xảy ra
trong tình huống trùng khóa phiên hoặc lộ khóa phiên; giải quyết vấn đề nâng
cao hiệu quả cho các lược đồ chữ ký...
- Thứ hai, bốn lược đồ chữ ký số đề xuất đã cài đặt thành công trên ngôn
ngữ cấp cao, chạy trên các máy tính có cấu hình vừa phải được cài hệ điều
hành Window, kích thước tham số sát với thực tế.
- Thứ ba, luận án đã định lượng được tham số mà tiền đề là ngưỡng an
toàn và sau đó là hệ tiêu chuẩn tham số an toàn.
- Thứ tư, đề xuất hai môi trường ứng dụng các lược đồ chữ ký số đề xuất
đó là môi trường KT-XH và lĩnh vực AN-QP, làm cơ sở cho các tổ chức hoặc

cá nhân tham khảo, đánh giá độ an toàn khi có ý định ứng dụng các lược đồ
chữ ký số này vào thực tế, đây là điểm khác biệt so với các luận án tiến sĩ cùng
hướng nghiên cứu trong thời gian qua.
- Thứ năm, đã sinh thành công các tham số, mỗi bộ tham số sinh ra được
kiểm tra từng tiêu chuẩn và đều thỏa mãn.
- Thứ sáu, hàm băm SHA 512 [26] đã được sử dụng trong các lược đồ
chữ ký đề xuất, đây là hàm băm đang được ứng dụng rộng rãi trên thế giới.


17

9. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình công bố, tài liệu
tham khảo và phần phụ lục, luận án được cấu trúc thành ba chương sau:
Chương 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và cơ sở lý thuyết của luận án.
Nội dung khái quát lại một số kết quả khảo sát lược đồ chữ ký số có độ an
toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành và trên trường
hữu hạn; xác định vấn đề cần giải quyết trong luận án và trình bày một số kiến
thức cơ sở liên quan đến các nội dung nghiên cứu và được sử dụng xuyên suốt
trong luận án.
Chương 2. Phát triển lược đồ chữ ký số trên vành.
Nội dung nghiên cứu, xây dựng hai lược đồ chữ ký số cơ sở và bốn lược
đồ chữ ký số cụ thể trên vành hữu hạn ℤn , đánh giá mức độ an toàn trên
phương diện lý thuyết, đánh giá tính đầy đủ, tính đúng đắn và tính hiệu quả của
lược đồ chữ ký số đề xuất trên cả phương diện lý thuyết và thực nghiệm.
Chương 3. Xây dựng tham số an toàn cho các lược đồ chữ ký số đề xuất
Nội dung nghiên cứu, xây dựng công thức tính ngưỡng an toàn cho của
lược đồ chữ ký đề xuất; dựa trên một số hệ tiêu chuẩn của thế giới và Việt
Nam, kế thừa và xây dựng thêm một số tiêu chuẩn tham số an toàn cho lược đồ
chữ ký đề xuất; sinh thành công tham số theo hệ tiêu chuẩn đã đề xuất áp dụng

cho năm 2018 và các năm tiếp theo.


18

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ CƠ SỞ LÝ
THUYẾT CỦA LUẬN ÁN
Nhiệm vụ của chương là tiến hành khảo sát một số lược đồ chữ ký số trên
trường hữu hạn ℤp và trên vành hữu hạn ℤn , chỉ ra một số điểm tồn tại trên các
lược đồ đã khảo sát như là khoảng trống về học thuật, đồng thời xác định vấn đề
nghiên cứu giải quyết những khoảng trống đã chỉ ra. Nội dung phần còn lại của
chương trình bày một số cơ sở lý thuyết liên quan đến vấn đề nghiên cứu được
đặt ra trong luận án và được sử dụng trong nội dung nghiên cứu các chương sau
của luận án.
1.1. Tổng quan và vấn đề nghiên cứu của luận án
1.1.1. Tổng quan
Trong lý thuyết số, khái niệm lớp các bài toán được cho là khó, bao gồm
bài toán phân tích số, ký hiệu là FP, bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn
ℤp ký hiệu là DLPp , bài toán logarit rời rạc trên trên vành hữu hạn ℤn , ký hiệu
DLP𝑛 , bài toán khai căn theo Modulo hợp số… Hiện nay, đa số các lược đồ chữ
ký số đều có độ an toàn dựa trên tính khó giải của một hoặc hai trong số bài toán
khó kể trên(gọi là bài toán cơ sở). Trong một lược đồ chữ ký số thì “độ khó” của
việc giả mạo chữ ký được gọi là “độ an toàn” của nó. Như vậy nếu việc giả mạo
chữ ký cần đến việc giải một bài toán khó nào đó thì lược đồ này được gọi là “có
độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán đó”, chẳng hạn lược đồ chữ ký số
RSA có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán phân tích số 𝑛 và lược đồ
DSA có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên trường
ℤp . Luận án chủ yếu đề cập đến lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính
khó giải của bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn ℤp , được đề cập trong
các tài liệu tham khảo [13], [17], [18], [27-29], [32], [33], [38], [44], [46-52] và

lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc


19

trên vành ℤn đã được công bố trong các tài liệu tham khảo [1-6], [11], [14-16],
[21], [36], [39], [40-42], [45].
1.1.2 Một số lược đồ chữ ký số trên trường ℤp
Nội dung phần này NCS sẽ khảo sát một số lược đồ chữ ký số có độ an
toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên trường ℤ𝐩 , chỉ ra một
số điểm còn tồn tại trên các lược đồ chữ ký này. Khảo sát đầu tiên được thực
hiện với lược đồ ElGamal và một số biến thể của nó trên trường hữu hạn ℤp .
Vào năm 1985, tác giả ElGamal đã đề xuất lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa
trên tính khó giải của bài toàn logarít rời rạc trên trường ℤp (còn gọi là lược đồ
chữ ký số ElGamal). Kể từ khi lược đồ chữ ký số ElGamal ra đời, nhiều lược đồ
chữ ký số được phát triển dựa trên lược đồ này (gọi là các biến thể của lược đồ
ElGamal), tiêu biểu là lược đồ chữ ký số Schnorr năm 1990 [17], [46]; lược đồ
chữ ký số DSA năm 1994 [13], [29], [49], [50], [52]; lược đồ chữ ký số GOST
R34.10-94 [27] của Liên bang Nga. Điểm tồn tại chung cho lược đồ chữ ký số
ElGamal cùng các biến thể có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán
logarit rời rạc trên trường ℤ𝑝 có chi phí tính toán để sinh chữ ký cao hơn các
lược đồ cùng loại trên vành ℤ𝑛 , điều này được chứng minh trong bổ đề 2.3 (khi
L(p) = L(q) và phép lũy thừa và phép nghịch đảo trên vành ℤ𝒏 với n=p.q có chi
phí chỉ bằng 1/3 chi phí trên trường ℤ𝑝 với L(p)=L(n)); điểm tồn tại thứ hai là
lược đồ chữ ký số ElGamal cùng các biến thể của nó được xây dựng trên trường
ℤp phải đối mặt với nguy cơ tấn công bằng các thuật toán giải bài toán logarit rời
rạc dựa vào cấp của phần tử sinh [20] khi mà hệ tham số của các lược đồ này
không đạt tiêu chuẩn an toàn, chẳng hạn thuật toán Pohlig Hellman, thuật toán
Rho của Pollard và thuật toán Index calculate; điểm thức ba là cấu trúc trường
hữu hạn ℤp không che giấu được cấp của phần tử sinh, điều này dẫn đến nguy cơ

mất an toàn trong những tính huống lộ khóa phiên hoặc trùng khóa phiên, khẳng
định này được tham khảo trên các kết quả nghiên cứu liên quan được đề cập


20

trong tài liệu tham khảo[21], [33], [48-52]. Để khắc phục những điểm tồn tại đã
chỉ ra, các nhà khoa học đã nghiên cứu, cải tiến các lược đồ chữ ký số ElGamal
cùng các biến thể của nó với nhiều mục đích khác nhau, cụ thể là mục đích nâng
cao độ an toàn được thể hiện trong các kết quả nghiên cứu [48-52]; nâng cao tốc
độ sinh chữ ký và xác nhận chữ ký trong một số kết quả nghiên cứu trong [18],
[29]. Năm 2013, nhóm tác giả H. Zhang, R. Li, L. Li và Y. Dong đã đề xuất một
giải pháp cải tiến tốc độ cho lược đồ DSA [29]. Một kết quả nghiên cứu khác
được công bố năm 2015, các tác giả H. Morita, J. C. Schuldt, T. Matsuda, G.
Hamaoka, T. Iwata đã cải tiến lược đồ DSA và lược đồ Schnorr chống lại sự mất
an toàn trong tình huống dùng trùng khóa phiên [28]; năm 2010 nhóm tác giả Li
Xiao-fei, Shen Xuan-jing và Chen Hai-peng đã đề xuất một lược đồ sửa đổi lược
đồ nguyên thủy ElGamal bằng cách thêm vào thành phần ngẫu nhiên trong mỗi
phiên truyền nhằm tăng thêm tính bảo mật cho lược đồ; trong kết quả nghiên cứu
của mình tác giả bài báo [13], B. Yang đã đề xuất phương pháp chống tấn công
"IP Prefix Hijacking" liên quan đến lộ hoặc trùng khóa phiên; hoặc trong kết
quả nghiên cứu của ba tác giả Z. Ping, K. Yingzhan và J. Keke công bố năm
2012 [49] và kết quả nghiên cứu của nhóm tác giả Z. Ping, W. Tao và C. Hao
công bố năm 2015 [50], chỉ ra lược đồ chữ ký DSA không an toàn với phương
pháp tấn công "L3 cache time attack" là một kiểu tấn công kênh kề (Side chanel
attack) được đề cập trong [5]. Cho đến nay, đã có nhiều công trình khoa học
trong nước và trên thế giới được công bố nhằm cải tiến lược đồ ElGamal cùng
các biến thể của nó, tuy nhiên cho đến nay chưa có kết quả nghiên cứu nào có
thể thể khắc phục được triệt để những tồn tại trên các lược đồ chữ ký số này, đặc
biệt là khắc phục vấn đề không thể che giấu cấp của phần tử sinh trên cấu trúc

trường ℤp .
1.1.3. Một số lược đồ chữ ký số trên vành ℤn
Vấn đề nghiên cứu đã đặt ra cho các nhà khoa học trong thiết kế lược đồ
chữ ký là phải chọn một cấu trúc đại số phù hợp hơn cấu trúc trường ℤp , đảm


21

bảo các lược đồ chữ ký được xây dựng trên đó chi phí tính toán thấp và đảm bảo
an toàn hơn. Một trong các cấu trúc tập hợp được lựa chọn là cấu trúc vành ℤn và
bài toán cơ sở là bài toán logarit rời rạc, bởi một số lý do sau:
Thứ nhất, chi phí tính toán của thuật toán sinh chữ ký cho các lược đồ chữ
ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán logarit rời rạc trên vành
ℤn thấp hơn nhiều chi phí tính toán cho các lược đồ chữ ký số trên trường ℤp
nhờ áp dụng định lý CRT (bổ đề 2.3)
Thứ hai, lược đồ chữ ký số có độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài toán
logarit rời rạc trên vành ℤn che giấu được cấp của phẩn tử sinh, được chứng
minh trong một số kết quả nghiên cứu [1], [3], [21], [39], [41]. Một khi giữ được
bí mật giá trị cấp của phần tử sinh 𝑔 (ký hiệu là Ordn g) thì lược đồ chữ ký số
không bị mất an toàn trong tình huống lộ khóa phiên hoặc trùng khóa phiên,
đồng thời không bị nguy cơ tấn công bằng các thuật toán giải bài toán logarit rời
rạc dựa vào cấp của phần tử sinh 𝑔, như là thuật toán Rho của Pollard, thuật toán
Pohlig Hellman và thuật toán Index calculate.■
Việc tìm cấp của phần tử sinh g ∈ ℤ∗𝑛 là tương đương với việc phân tích 𝑛
ra thừa số nguyên tố. Điều này có nghĩa là cấp của 𝑔 ∈ ℤ∗n có thể giữ được bí
mật với độ an toàn tương đương với độ an toàn dựa trên tính khó giải của bài
toán phân tích số modulo 𝑛 ra thừa số nguyên tố.■
Do vành hữu hạn ℤn có những ưu điểm như đã nêu ở trên, nên một số lược
đồ chữ ký số hoặc một số lược đồ phân phối khóa được nghiên cứu và phát triển
trên cấu trúc đại số này. Tiêu biểu cho tác giả trong nước là Nguyễn Xuân

Quỳnh năm 2002 [6], Hồ Ngọc Duy năm 2017 [1], Phạm Văn Hiệp năm 2018
[3], [4], [64], [65], [66], [67]. Bên cạnh đó còn có tác giả của những lược đồ chữ
ký số trên thế giới, tiêu biểu là lược đồ xác lập khóa của Okamoto E. [36], lược
đồ của S. Saryazdi [41] năm 1990, của M. Girault scheme [34] năm 1991, lược
đồ của Chik How Tan [16] năm 2003 và S. K. Tripathi cùng B. Gupta [39] vào


22

năm 2017. Các lược đồ chữ ký trên vành ℤn này đều đảm bảo tính đúng đắn và
có tính an toàn được dựa trên một hoặc hai bài toán khó nào đó[15], [16], [34],
[39], [40], [42], [45]. Khảo sát các lược đồ đã công bố cho thấy các lược đồ chữ
ký số trên vành ℤn đều chưa trình bày cơ sở toán học sinh ra các tham số; đa số
các lược đồ đều chưa có hệ hệ tiêu chuẩn tham số an toàn hoặc tác giả chưa định
hướng cho người sử dụng nên sử dụng hệ tiêu chuẩn tham số nào của thế giới.
Bên cạnh đó, có những lược đồ chữ ký đề xuất mà độ lớn cấp phần tử sinh xấp xỉ
độ lớn của số modulo, chẳng hạn trong [39], hoặc một số nhà khoa học đã đưa ra
độ lớn cấp phần tử sinh 256 bit [1], [41] mà không có lý giải tại sao. Mặt khác,
nếu cấp phần tử sinh có độ lớn 256 bit mà sử dụng hàm băm an toàn hơn, như
hàm băm SHA 512 sẽ dẫn đến giảm độ an toàn cho lược đồ. Hơn nữa, trong lược
đồ của Phạm Văn Hiệp [3] được cho là có độ an toàn dựa trên hai bài toán khó,
đó là bài toán FP và DLPn , không có nghĩa là kẻ tấn công phải giải đồng thời hai
bài toán khó này cùng một lúc như kết luận của nhóm nghiên cứu. Trên thực tế,
chỉ cần tìm 𝑥1 , tức là giải được bài toán logarit rời rạc trên vành ℤn từ phương
trình y = g −x1 mod n là có thể phân tích số 𝑛 bằng thuật toán của Euclid tìm
ước chung lớn nhất GCD(y − g −x1 , n) có thể tìm ra ước không tầm thường của
số modulo n.
1.1.4. Vấn đề nghiên cứu của luận án
Dựa vào những kết quả khảo sát các lược đồ chữ ký số cùng loại đã công
bố trên thế giới trong thời gian qua, NCS xác định được những khoảng trống về

học thuật, từ đó định hướng vấn đề nghiên cứu với mục đích nấp một phần
khoảng trống về học thuật đã chỉ ra, cụ thể là:
Thứ nhất, trên cơ sở các kết quả nghiên cứu đã được công bố liên quan đến
các lược đồ chữ ký số trên trường, NCS đã xác định những tồn tại cố hữu của


23

các lược đồ trên trường ℤp là không giấu được cấp của phần tử sinh, điều này
dẫn đến một số nguy cơ mất an toàn đã chỉ ra mà mục 1.1.2 đã phân tích ở phần
trên; hơn nữa tốc độ sinh chữ ký của các lược đồ chữ ký trên trường ℤp chậm
hơn tốc độ sinh chữ ký của các lược đồ chữ ký cùng loại trên vành ℤn , từ đó xác
định vấn đề nghiên cứu đầu tiên là phát triển lược đồ chữ ký số mới trên cấu trúc
đại số mới là cấu trúc vành ℤn , vì cấu trúc vành này cho phép che giấu cấp của
phần tử sinh. Hơn nữa, thuật toán sinh chữ ký của lược đồ chữ ký số trên vành
ℤn có tốc độ nhanh hơn thuật toán sinh chữ ký của các lược đồ chữ ký cùng loại
trên trường ℤp đã được công bố.
Thứ hai, qua khảo sát các lược đồ chữ ký số trên vành ℤn đã công bố, NCS
đã xác định khoảng trống về học thuật tiếp theo là các lược đồ chữ ký số cùng
loại đã được công bố chưa có cơ sở toán học về sự tồn tại, về độ lớn và thuộc
tính cho phép che giấu cấp của phần tử sinh. Để nấp khoảng trống học thuật này,
NCS đã nghiên cứu lược đồ chữ ký số có tính chất che giấu cấp của phần tử sinh
𝑔, đồng thời xây dựng cơ sở toán học cho từng tham số, xây dựng các điều kiện
cho các tham số nhằm đạt được các mục đích đảm bảo việc tính logarit theo cơ
số 𝑔 là “khó” mà tiền đề là xây dựng “ngưỡng an toàn”, hệ tiêu chuẩn tham số
an toàn, đề xuất được môi trường ứng dụng cho nó (Trong luận án đề xuất môi
trường KT-XH và lĩnh vực AN-QP).
Thứ ba, khoảng trống về học thuật tiếp theo là đa số các lược đồ chữ ký đã
công bố đều chưa đưa ra bộ tham số cụ thể cho nó hoặc chưa đề xuất công cụ để
sinh tham số thỏa mãn với hệ tiêu chuẩn nào đó. Để nấp khoảng trống học thuật

này, luận án đã nghiên cứu, xây dựng hệ tiêu chuẩn cho tham số, đề xuất được
môi trường ứng dụng và đã xây dựng được bộ công cụ để sinh tham số theo hệ
tiêu chuẩn đã đưa ra.


24

1.2. Cơ sở lý thuyết liên quan đến luận án
Để giải quyết vấn đề nghiên cứu mà luận án đã đặt ra, phần này luận án sẽ
giới thiệu những kiến thức cơ sở liên quan và sẽ được sử dụng xuyên suốt trong
các chương sau của luận án.
1.2.1. Một số định nghĩa và định lý quan trọng
Nội dung phần này trình bày một số định nghĩa và định lý quan trọng sẽ
được sử dụng trong luận án.
a. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Số nguyên 𝑛 > 1 là hợp số nếu nó không là nguyên tố, có
nghĩa là tồn tại các ước không tầm thường của 𝑛.
Định nghĩa 1.2. Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn một và chỉ có các ước
tầm thường.
Định nghĩa 1.3. Bất kỳ một số nguyên 𝑛 nào cũng luôn có các ước là 1,
−1, 𝑛 và – 𝑛. Các số này là các ước tầm thường của 𝑛.
Định nghĩa 1.4. Cho 𝑎 ∈ ℕ, giá trị ⌊log 2 a⌋ + 1 là độ dài xâu bít biểu diễn
khai triển nhị phân của 𝑎 và gọi là kích thước của 𝑎, được ký hiệu là L(a),
L(a) = Len(𝑎).
Định nghĩa 1.5. Cho s ∈ {0, 1}H , giả sử s = s0 … sH−2 sH−1 . Ký hiệu s̅ ∈
ℕ được xác định theo công thức sau:
s̅ = s0 2H−1 + ⋯ + sH−2 2 + sH−1 .
Định nghĩa 1.6. Cho n ∈ ℕ, giả sử 𝑛 = n0 2k−1 + ⋯ + nk−2 2 + nk−1 với
nj ∈ {0,1} (j = 0..(k – 1) ) và n0 ≠ 0. Khi này với H ∈ ℕ, ký hiệu n[H] là xâu H
bít xác định như sau:

n[H] = nk−H nk−H−1 … nk−1 nếu H  k.
n[H] = ⏟
0 … 0 n0 n1 … nk−1 nếu H > k.■
H−k


25

Định nghĩa 1.7. Với tập 𝑋 ⊆ ℕ, giá trị max, 𝐿 (𝑥) được ký hiệu là L(X)
x∈X

và gọi là kích thước tối đa của 𝑋.
Định nghĩa 1.8. Cho 𝑛 là một số tự nhiên được biểu diễn như sau:
α

n = ∏ki=1 pi i .

(1.1)

với 𝛼𝑖 là các số nguyên dương, 𝑝𝑖 là các số nguyên tố khác nhau. Ta có
α −1

φ(n) = ∏𝑘𝑖=1(pi − 1)pi i .
α −1

λ(n) = LCM{(pi − 1). pi i

(1.2)
: i = 1. . k}.■

(1.3)

Định nghĩa 1.9. Vành ℤ𝑛 [√D].
Tập hợp 𝑍𝑛 cùng với hai phép cộng và nhân kết quả được rút gọn theo mô
đun 𝑛 tạo thành vành hữu hạn, ký hiệu 𝑍𝑛 .
Cho 𝑛 là số nguyên tố lẻ và D ∈ ℤ∗𝑛 , ký hiệu ℤ𝑛 [√D]:= ℤ𝑛 [𝑥]/(𝑥 2 − D) và
(a, b): = a + b. x. Ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.1. ℤ𝑛 [√D] là vành hữu hạn với hai phép toán cộng và nhân được
cho theo công thức sau:
(a, b) + (a’, b’) = ((a + a’) mod n, (b + b’) mod n).
(a, b) . (a’, b’) = ((a. a’ + b. b’. D) mod n, (a. b’ + a’. b) mod n)).
Hơn nữa nếu 𝑛 là số nguyên tố ta có:
D

Nếu ( ) = 1 thì ℤ𝑛 [√D] ≅ ℤ𝑛 .
n
Ngược lại ℤ𝑛 [√D] có 𝑛2 phần tử là trường mở rộng của ℤ𝑛 .■
b. Một số định lý quan trọng.
Định lý 1.1. Cho 𝑔, 𝑛 là hai số nguyên dương. Nếu GCD(g, n)= 1 và i =
j mod ordn (g) thì g i = g j mod n.
Định lý 1.2. Định lý Pocklington [7], [37 p175])
Cho n = x. F + 1  F 3 và với mỗi ước nguyên tố r của F tồn tại a sao cho
n−1

a

mod n = 1 và GCD(𝑎

𝑛−1
𝑟

− 1, 𝑛) = 1 khi đó:

(i). Nếu n ≤ F 2 thì n là số nguyên tố.