Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 theo chuyên đề kho tài liệu bách khoa

Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Bài 2:
N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
2
+ 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Ta có k(k+1)(k+2) =

k(k+1)(k+2).4 =

=

k(k+1)(k+2).[(k+3)

k(k+1)(k+2)(k+3) -

S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 +
k(k+1)(k+2)(k-1) =

(k-1)]

k(k+1)(k+2)(k-1)

.2.3.4.5 -

k(k+1)(k+2)(k+3) -

k(k+1)(k+2)(k+3)

4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Bài 4:

n

-

= 4.

10 n 1
10 n 1
. 10n + 8.
+1=
9
9

=

2

=
n

2

n-

Bài 5:
2

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

2

2

;

B=

;

2

C=

Bài 6:

n-

a.

n+2
A = 224.102n
+ 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n 90.10n + 9
= ( 15.10n 3 ) 2
n

=

. 10n + 5.

+1=
2

=

=

Bài 7:

3

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
2
Vì n2
5.( n2
6
Bài 8: C
n4 + 2n3 + 2n2

N và n>1 không

n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2 2n+2)
N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n 1 )2
và n2 2n + 2 = n2 2(n - 1) < n2
1)2 < n2 2n + 2 < n2
n2
Bài 9:

hàng
2
2

a2 4

a 2

Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

76, 96
Bài 10:

N)
a + b = (2k+1) + (2m+1) = 4k + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4(k2 + k + m2
N)
2

2

2

2

2

2

+ b2
- 1 và p + 1

Bài 11:
.
m2 (m

N)

2

m

4

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1
p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)
b.

p+1 = 4k2 + 4k + 1

pp-

Bài 12:
a.
2NCó 2N 3
2Nb.

1
2N-

-1 = 3k+2 (k

N)

c.

Bài 13:

2008

+5
2

ab+1 =
=
2008

+1=

=

2

=

10 2008 2
3 nên
3

N hay

Cách 2: b =
5

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

0
ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
=
= 3a + 1 N

:

B.

Bài1:
a. n2 + 2n + 12
c. 13n + 3

b. n ( n+3 )
d. n2 + n + 1589

2
a. Vì n2 + 2n + 12
+ 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2
k2 (n+1)2 = 11
(k+n+1)(k-n-1) = 11

-n(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
k+n+1 = 11
k=6
k n-1=1
n=4
2
2
2
2
(n N)
n + 3n = a
4n + 12n = 4a2
(4n2 + 12n + 9) 9 = 4a2
(2n + 3) - 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a)= 9
n + 3 + 2a > 2n + 3
2a) = 9.1
2n + 3 + 2a = 9
n=1
2n + 3 2a = 1
a=2
2
3 = y ( y N)
13(n 1) = y2 16 13(n 1) = (y + 4)(y 4)
(y + 4)(y 4)
13 ho
4 13
y = 13k
N)
13(n 1) = (13k 4 )2 16 = 13k.(13k 8)
n = 13k2 8k + 1

2

d.

2

+ n + 1589 = m2 (m

N)

(4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355

6

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

2n 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Bài 2:
a.
b.
c.

a2 + a + 43
a2 + 81

a2 + 31a + 1984

b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3:
2

2.3 = 9 = 32

Bài 4: Tìm n
a. n2 + 2004
b. (23 n)(n 3)
c. n2 + 4n + 97
d. 2n + 15
Bài 5:
2
2

2
2

n2 = 2006

= m2 (m
(m + n)(m - n) = 2006

N)

n = 2m
m + n và m

(m + n)(m - n)
2

7

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
-1) 2 = (x-2)xx(x-1)

Bài 6:

N
2

= 5776

Bài 7:

Bài 8:
2

Vì n+1 và 2n+
m = 2a+1

, 2n+1 = m2 (k, m

N)

m2 = 4a (a+1) + 1
n=

=

= 2a(a+1)
N)
k2 = 4b(b+1) +1
n = 4b(b+1)
n 8 (1)

Ta có k2 + m2 = 3n + 2

2 (mod3)
, m2
2
+ m2
2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
m2 1 (mod3)
m2 k2 3 hay (2n+1) (n+1) 3
n 3 (2)
Mà (8; 3) = 1 (3)
n 24.
8
Bài 9:
+ 211 + 2n

8
+ 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(aN ; p+q = n và p > q
2

8

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

a+48 = 2p
2p 2q = 96
2q (2p-q -1) = 25.3
a- 48 = 2q
q = 5 và p-q = 2
p = 7 n = 5+7 = 12
8
+ 211 + 2n = 802
C.
Bài 1:
2

B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2
N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d

2
Ta có
A = abcd = k
B = abcd + 1111 = m2
m2 k2 = 1111
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
-k)(m+k) > 0 nên mVà m-k < m+k < 200 nên
-k)(m+k) = 11.101
k == 11
m = 56
A = 2025
m + k = 101
n = 45
B = 3136
Bài 2:
2

ta có ab cd = 1 và k
Suy ra 101cd = k2 100 = (k-10)(k+10)
Mà (k-10; 101) = 1
k +10 101

k +10
k+10 = 101

-10 101
k = 91

2

abcd = 91 = 8281
Bài 3:
2

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
11
a + b 11
a+b = 11
2
= 112
9

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

b=4
Bài 4:
2
3

= y3

N

2

Vì y = x

y = 16
abcd = 4096
Bài 5:

d
2

{ 0,1,4,5,6,9}

d=5
< 10000
2

k = 45
abcd = 2025
Bài 6:

2

2

Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 ( 10b + a )2 = 99 ( a2 b2 ) 11
Hay ( a-b )(a+b ) 11
Vì 0 < a 11
a + b = 11
2
2
2

2
- ba = 3 . 11 . (a - b)
2
2
-b=4
a = 6, b = 5, ab = 65
2
562 = 1089 = 332
-

10

a2 - b2 11

THCS

-b = 1


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Bài 7:

Bài 8:

2

3

(t

3

N),a+b=l2(l

(10a+b)2 = ( a + b )3
N)

ng nhau.

Bài 9:
Ta có

-1, 2n+1, 2n+3 ( n
N)
A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
2

12n( n + 1 ) = 11(101a 1 )
101a 1 3
2a 1 3
a
{ 2; 5; 8 }
a=5
n = 21

1

{ 3; 9; 15 }

Bài 10:
ab (a + b ) = a3 + b3
10a + b = a2 ab + b2 = ( a + b )2 3ab
3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b 1 )
a + b và a + b 1
a + b 1 = 3a
a +b 1=3+b
a+b=3+b
11

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

37.
:

f(x,y...)
-

o,yo

... sao cho:

f( xo,yo...) =

M

(2)

f(x,y...)
-

o,yo

... sao cho:

f( xo,yo...)
- 1)2 + ( x

A = x2
A = 2

3)2

2x + 1 + x2 6x + 9 = 2( x2 4x + 5) = 2(x
x -2 = 0

0

2)2 + 2

x=2

II/

2

+ bx + c .
12

THCS

2


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

0.
a
2

-

=k . Do ( x +

)2

0 thì a( x +

)2

-

+ bx +c = a( x2 +

0

0 nên :
-

)2

0 thì a( x +

-

A = x( x-3)(x 4)( x
2
2

)2 + c -

x ) + c = a( x +

7)

- 7x)( x2 7x + 12)

7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36

minA = -36

y = 0

x2 7x + 6 = 0

-36

x1 = 1, x2 = 6.

.
.=
1)2

0 nên (3x

=

2
(3x 1) 2

4

.

1) 2 +4

b thì

A

minA = -

3x

1=0

x=

-

.

:

13

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

1.
.
2

HD

.
Cách 1
A =

= 2 +

( x 2) 2
( x 1) 2

2

minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2

1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =
minA = 2

=3y = 1

x

1=1

+

x=2

:

b,

V
14

THCS

=(

-1)2 + 2


Giáo án BDHSG Toán 9

A =

-2016

=

-1

Min A= -

-1

2

Tìm GTLN A =

=4-

4

:
b,

3, (35, 3
0

III/
3

+ y3

A = (x + y)( x2 xy +y2) + xy = x2

xy - y2 + xy = x2 + y2

Cách 1
x2 + 2xy + y2 = 1

x+y =1
Mà

(x

y)2

0 Hay: x2 - 2xy + y2
2

+ y2 )

1

0

(1)
(2)

x2 + y2
15

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

minA =
Cách 2

1 vào A

A = x2 + (1 x)2 = 2(x2

x) +1 = 2(x2 -

)2 +

minA =
Cách 3
+ a thì y =
x2 + y 2 = (

+ a)2 + (

2

- a)2 =

+ y2

+2 a2

=> MinA =

a=0

1: Tìm Min A =
Cách 1 Ta có: A=

a 1

2

b 1
2 a 1
2

b 1
4

2

3 b 1
4

2

2011

Min A = 2011 khi
Cách 2:

Min 2A = 4022 khi

=> Min A = 2011

Bài 1 CMR

16

THCS

x=y =


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Bài 2 CMR

Ta có:

Bài 3:
1)
2)
Ta có:

Bài 4: CMR
Ta có:

Bài 5: CMR
Ta có:

a)

)

b)

)

c)

)

d)

)
17

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Bài 7

(*)

Ta có :

1, Chú ý 1
1)2 + ( x

3)2
2

2

y=0

+ (y 1)2 =2y2 +2 2

minA=

x=2

2 Chú ý 2

: >0

Ta có :

=

1
18

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

min
3,Chú ý 3

b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
Cô si: a + b

2

; a2 + b2

- nha -

2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2)

xki : (a2 + b2) ( c2 + d2)

( a+ b)2

(ac + bd)2

Cho x2 + y2
2

( 22+32 ).52

( 2x + 3y )2

13.13.4

2x + 3y
Thay y =

vào x2 + y2

2

+ 9x2 = 52.4

x2 = 16

-4

0 x = -4 ,y = -

0

x =4 , y = 6
3/
t x,y
: Ta có 4xy = (x + y)2

(x

N

y)2 = 20052 - (x y)2

x

x
Do 1

Ta có min(x y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002

y

x

2004 nên 1

x-y

max(x y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
19

2003

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

6

VD1: cho x, y là c
ta có:
(2 )
và (2) suy ra :
:

: Vì x + y = 1 nên
Ta có :

20

THCS

(1)


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
8 => Min A = 8

2

Ta có :

+ y2 = (x + y)2
8 + +4 =

2xy

1-

=>Min A =

=

:
VD1

A=

x

2

1
6 x 17

khi
1
8

.

21

=

THCS

(1)
khi x=y

Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

2

VD2

+ y2

Ta có : A = x2 + y2

2
2

4x

4 => x2

x2 = 4x 4

(x
2

=4

: Ta có x + y =4

2 )2 = 0

=0

x =2

x =0

(1)
(2)

2

+ y2 )

=> A = x2 + y2

i

VD1
:x+

=

sau khi c/m f(x)
f(x)=

(vô lí )
là

=> Min A = 0

VD2:
=1
22

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

ta có :

=>

là :

( vô lí )

: Ta có :

(1)
(2)
hay:

Max A =

khi

VD3
Ta có:

N

thì không có: A =

: Ta có

.
+a+b=

23

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

min A =

-2016

khi và chi khi

.

VD1
Do x > 0, y > 0 nên
ta có:

Hay

VD2

=>

:

Ta có:

-

ta có :

Max A = 2 khi

VD3

24

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

Cách 1

Cách 2 : Ta có :

(do x, y > 0) nên

(1)
(1)
xy + z2

yz

xy + z2
y(x

z)

z(x

(x

z)(y

.
VD 4
1.
(1)

(2)

max A =

.

VD 5:
:

.
25

THCS


Giáo án BDHSG Toán 9

-2016

.
VD 6:

Ta có:

Ta có:
=>

VD 7: : Cho
: Ta có :

ta

có:
Ta có:

Hay :
Ta có:
Hay :

.
-

VD 8: : Cho x, y
Ta có: S =

= 1+4+9+

y
x

4x
y

26

4z
y

9y
z

9x
z

z

x

THCS