Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM VÀ VỎ
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG
CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM VÀ VỎ
CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CÓ GÂN GIA CƯỜNG
CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã Số:

62440107

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1.

GS. TS. ĐÀO VĂN DŨNG

2.

PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Nga


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo hướng dẫn là cố GS.
TS. Đào Văn Dũng và PGS. TS. Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo
mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS. TSKH. Đào Huy Bích đã giúp
đỡ và có những định hướng khoa học quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận
án này.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học, các thầy cô
giáo Khoa Toán Cơ Tin học và các cán bộ Phòng Sau Đại học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên – ĐHQG HN đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và
nghiên cứu của tác giả.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia

đình đã luôn ở bên cạnh động viên và chia sẻ những khó khăn với tác giả trong suốt
thời gian làm luận án.


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ................................................. 4
DANH MỤC CÁC BẢNG.......................................................................................... 7
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ..................................................................... 9
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 11
1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................................ 11
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án .......................................................................... 11
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án ..................................................... 12
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................... 12
5. Bố cục của luận án ................................................................................................ 12
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................... 14
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên .................................................................................. 14
1.2. Khái niệm ổn định và mất ổn định ..................................................................... 17
1.3. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh...................................................................................... 18
1.4. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ổn định của các kết cấu FGM ... 19
1.4.1. Các nghiên cứu về tấm ............................................................................. 20
1.4.2. Các nghiên cứu về vỏ trụ .......................................................................... 23
1.4.3. Các nghiên cứu về vỏ nón ........................................................................ 27
1.5. Các kết quả đạt được từ các công trình đã công bố trong nước và quốc tế ....... 31
CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM CÓ GÂN GIA
CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN VÀ NHIỆT ..................................................................... 32
2.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 32
2.2. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất ........................................................................................... 33

1

2.2.1. Tấm cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm (tấm ES-FGM) ........ 33
2.2.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo ........................................... 35
2.2.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin ................................................ 39
2.2.4. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nén cơ......................................... 41
2.2.5. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt ........................................... 42
2.2.6. Ổn định của tấm ES-FGM chịu tải cơ và nhiệt kết hợp .......................... 44
2.2.7. Các kết quả số và thảo luận ..................................................................... 45
2.3. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba .............................................................................................. 51
2.3.1. Tấm FGM có gân gia cường .................................................................... 51
2.3.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo ........................................... 52
2.3.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin ................................................ 56
2.3.4. Phân tích ổn định cơ ................................................................................ 58
2.3.5. Phân tích ổn định nhiệt ............................................................................ 59
2.3.6. Phân tích ổn định cơ nhiệt ....................................................................... 62
2.3.7. Các kết quả số và thảo luận ..................................................................... 63
2.4. Kết luận chương 2 ............................................................................................ 69
CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH FGM CÓ
GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN DỌC TRỤC VÀ NHIỆT .................................. 70
3.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 70
3.2. Mô hình vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường ...................................... 71
3.3. Các phương trình cơ bản .................................................................................... 75
3.4. Phương pháp giải ............................................................................................... 78
3.4.1. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nén dọc trục ...................................... 80
3.4.2. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt .................................................. 81
3.5. Kết quả số và thảo luận ...................................................................................... 83
3.5.1. Kết quả so sánh ......................................................................................... 83

2


3.5.2. Kết quả tính toán vỏ trụ sandwich ES-FGM có nền đàn hồi .................... 84
3.6. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 91
CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH TĨNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ NÓN CỤT SANDWICH
FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ ......................................................... 92
4.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 92
4.2. Mô hình vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi ................................. 92
4.3. Các phương trình cơ bản .................................................................................... 97
4.4. Phương pháp giải ............................................................................................. 105
4.5. Kết quả số và thảo luận .................................................................................... 106
4.6. Kết luận chương 4 ............................................................................................ 114
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 116
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN
LUẬN ÁN ............................................................................................................... 117
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 119

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu cơ tính biến thiên

ES

Eccentrically Stiffened - Gân gia cường lệch tâm

ES-FGM

Kết cấu làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm

CPT

Classical Plate Theory - Lý thuyết tấm cổ điển

CST

Classical Shell Theory - Lý thuyết vỏ cổ điển

FSDT

First order Shear Deformation Theory - Lý thuyết biến dạng trượt
bậc nhất

TSDT

Third order Shear Deformation Theory - Lý thuyết biến dạng trượt
bậc ba

T-ID

Tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ

T-D

Tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ

p, sh, st

Các chỉ số ký hiệu cho tấm (plate), vỏ (shell) và gân (stiffener)

𝑠

string – Gân dọc của vỏ

𝑟

ring – Gân vòng của vỏ

Ep (z), Esh (z)

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu tấm và của vật liệu vỏ, là
hàm của tọa độ z

Ec , Em

Mô đun đàn hồi của gốm, kim loại; Ecm  Ec  Em   Emc

 c , m

Hệ số dãn nở nhiệt của gốm, kim loại; cm  c   m   mc

Esx (z), Esy (z)

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu gân theo hướng x (gân dọc)
và hướng y (gân ngang) của tấm

sx ( z ), sy ( z)

Hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng của vật liệu gân theo hướng x và y
của tấm

Gsx , Gsy

Mô đun trượt của gân theo hướng x và y của tấm

Es(z), Er(z)

Mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu gân dọc và gân vòng của vỏ
trụ và vỏ nón cụt

 s ( z ) , r ( z )

Hệ số dãn nở nhiệt hiệu dụng của vật liệu gân dọc và gân vòng của
vỏ trụ

4


Gs , Gr

Mô đun trượt của gân dọc và gân vòng của vỏ trụ



Hệ số Poisson

k

Chỉ số tỷ phần thể tích của tấm và vỏ, k  0

k2 , k3

Các chỉ số tỷ phần thể tích của gân, k2  0 , k3  0

ks

Hệ số điều chỉnh trượt

K1, K2

Hệ số nền đàn hồi Winkler và Pasternak

h

Chiều dày của tấm và vỏ

h1, h2

Chiều cao của gân dọc, gân ngang của tấm

b1, b2

Chiều rộng của gân dọc, gân ngang của tấm

d1, d2

Khoảng cách giữa hai gân dọc, hai gân ngang của tấm

hs, hr

Chiều cao của gân dọc, gân vòng của vỏ trụ và vỏ nón cụt

bs, br

Chiều rộng của gân dọc, gân vòng của vỏ trụ và vỏ nón cụt

ds, dr

Khoảng cách giữa hai gân dọc, hai gân vòng của vỏ trụ và vỏ nón cụt

u, v, w

Các thành phần chuyển vị theo phương x, y và z

x ,  y

Các góc xoay của pháp tuyến với mặt giữa lần lượt đối với các trục
y và x

m

Số nửa sóng theo hướng x của tấm và là số nửa sóng theo hướng
đường sinh của vỏ trụ và vỏ nón cụt

n

Số nửa sóng theo hướng y của tấm và là số sóng theo hướng vòng
của vỏ trụ và vỏ nón cụt

W

Biên độ của độ võng

Nx, Ny, Nxy

Các thành phần lực dãn, lực nén và lực tiếp

Mx, My, Mxy

Các thành phần mô men tương ứng

Px, Py, Pxy

Các thành phần mô men bậc cao tương ứng

Qx, Qy, Qxy

Các thành phần lực cắt tương ứng

Rx, Ry, Rxy

Các thành phần lực cắt bậc cao tương ứng



Hệ số biểu thị cỡ của độ không hoàn hảo của tấm và vỏ,   0,1

Fx , Fy

Cường độ lực nén dọc trục tác dụng lên tấm

Fcr

Tải nén tới hạn của tấm

5


Pcr, qcr

Tải nén tới hạn và áp lực ngoài tới hạn của vỏ

qf

Lực tương tác giữa tấm và vỏ với nền đàn hồi

T

Nhiệt độ

6


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu cấu thành lên FGM ................17
Bảng 2.1. Tải tới hạn của tấm ES-FGM hoàn hảo chịu nén theo hai trục ................47

Bảng 2.2. Tải nén tới hạn Fxcr (GPa) với các kiểu đặt gân khác nhau ......................48
Bảng 2.3. Ảnh hưởng của nền lên tải nén tới hạn Fxcr (GPa) ...................................49
Bảng 2.4. So sánh tải tới hạn Fxcr (GPa) giữa FSDT (luận án) và CPT [11] ............51
Bảng 2.5. So sánh tải tới hạn Fx* với kết quả của các tác giả Shariat và Eslami [89] cho
tấm FGM không gân và không nền ............................................................64
cr
Bảng 2.6. Tải nén tới hạn Fx (GPa) với các giá trị khác nhau của ks .....................66
cr
Bảng 2.7. Tải nén tới hạn Fx (GPa) với các số lượng gân khác nhau....................67

Bảng 2.8. Độ tăng nhiệt tới hạn ΔTcr (K) tấm hoàn hảo ES-FGM chịu nhiệt độ tăng
đều với tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ ....................................68
Bảng 3.1. So sánh tải tới hạn của vỏ trụ FGM không gân không nền chịu nén .......84
Bảng 3.2. So sánh tải tới hạn của vỏ trụ đẳng hướng có gân không nền chịu nén ...84
Bảng 3.3. Độ tăng nhiệt tới hạn ΔTcr (K) đối với bốn mô hình vỏ trụ sandwich ESFGM (k=1, R=0.9m, L/R=2, R/h=30, ns= nr=20) ..................................85
Bảng 3.4. Ảnh hưởng của gân lên tải nén tới hạn Pcr (MPa) ...................................86
Bảng 3.5. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên tải tới hạn Pcr (MPa) với bốn mô
hình của vỏ trụ sandwich ES-FGM (hf /h=0.2, R=0.9m, L/R=2, R/h=30,
ns= nr=20)................................................................................................87
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của tỷ số R/h lên tải tới hạn Pcr (MPa) của vỏ trụ sandwich ESFGM kiểu A2 (k=1, hf /h=0.2, ns= nr=20) ................................................88
Bảng 3.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên độ tăng nhiệt tới hạn ΔTcr (K) của vỏ trụ
sandwich ES-FGM (k=1, hf /h=0.2, L/R=2, R/h=30, ns= nr=20) .............89
Bảng 3.8. So sánh tải tới hạn (MPa) giữa TSDT (luận án) và CST [12]..................90
Bảng 4.1. Ảnh hưởng của chiều dày lớp lõi hco lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m2)
...............................................................................................................108
Bảng 4.2. Ảnh hưởng của chiều dày lớp lõi hco lên lực nén tới hạn Pcr (MN) .......109
7


Bảng 4.3. Ảnh hưởng của các tỷ số R/h và L/R lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m2)

...............................................................................................................111
Bảng 4.4. Ảnh hưởng của các tỷ số R/h và L/R lên lực nén tới hạn Pcr (MN)
(k1=k2=k3=k=1, L=1.5m, ns=50, nr=30, hco/hFG=2, α=300, K1=5×105N/m3,
K2=3×104N/m, q=0 kN/m2).....................................................................111
Bảng 4.5. Ảnh hưởng của gân và nền lên áp lực ngoài tới hạn qcr (kN/m2) ...........113
Bảng 4.6. Ảnh hưởng của gân và nền lên lực nén tới hạn Pcr (MN) ......................114

8


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu cơ tính biến thiên ...................................15
Hình 1.2. Ứng dụng vật liệu FGM ..........................................................................15
Hình 1.3. Thanh đàn hồi, mảnh bị ngàm chặt ở một đầu và chịu lực nén................18
Hình 1.4. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo. ........................19
Hình 2.1. Hình dạng của tấm có gân trên nền đàn hồi .............................................34
Hình 2.2. So sánh với các kết quả của [132] cho tấm FGM không gân không nền chịu
nhiệt độ tăng đều ......................................................................................46
Hình 2.3. Ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM
trên nền đàn hồi chịu nén dọc trục ...........................................................46
Hình 2.4. Đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM chịu nhiệt độ tăng đều phụ thuộc vào
k................................................................................................................49
Hình 2.5. Ảnh hưởng của nền lên tấm ES-FGM chịu nhiệt độ tăng đều .................49
Hình 2.6. Đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM trên nền đàn hồi chịu nhiệt độ tăng
đều với sự thay đổi của  ........................................................................50
Hình 2.7. Cấu hình của tấm FGM có gân gia cường ................................................52
Hình 2.8. So sánh ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên ứng xử của tấm FGM
không gân, không nền chịu nhiệt tăng đều ..............................................65
Hình 2.9. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích k lên ứng xử của tấm ES-FGM chịu
nén dọc trục ..............................................................................................65

Hình 2.10. Ảnh hưởng của tỷ số b/h lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM trên nền
đàn hồi chịu nén dọc trục .........................................................................67
Hình 2.11. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo lên ứng xử nhiệt của tấm ES-FGM
(T-D) ........................................................................................................67
Hình 2.12. Ứng xử nhiệt của tấm ES-FGM với tính chất vật liệu độc lập nhiệt độ (TID) và phụ thuộc nhiệt độ (T-D) ..............................................................69
Hình 2.13. Ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên đáp ứng phi tuyến của tấm ES-FGM
chịu nén dọc trục ......................................................................................69

9


Hình 3.1. Mô hình vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi ..................................................71
Hình 3.2. Bốn mô hình của vỏ trụ tròn sandwich FGM ...........................................73
Hình 3.3. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich ES-FGM kiểu A1 chịu nhiệt độ tăng đều .................................87
Hình 3.4. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich ES-FGM kiểu B1 chịu nhiệt độ tăng đều .................................87
Hình 3.5. Ảnh hưởng của tỷ số R/h lên độ tăng nhiệt tới hạn của vỏ trụ sandwich ESFGM kiểu A2............................................................................................89
Hình 3.6. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo lên đáp ứng phi tuyến của vỏ trụ
sandwich kiểu A2 chịu nhiệt độ tăng đều ................................................89
Hình 4.1. Hình dạng và mặt cắt ngang của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM: (1) lớp
FGM, (2) lớp lõi, (3) lớp FGM ................................................................93
Hình 4.3. Mặt cắt ngang ¼ của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trong TH 1 ............95
Hình 4.4. So sánh với các kết quả của Brush và Almroth [18] cho vỏ nón đẳng hướng
không gân chịu áp lực ngoài (P=0)........................................................107
Hình 4.5. So sánh với các kết quả của Seide [91] và Sofiyev [114] cho vỏ nón cụt
đẳng hướng không gân chịu nén dọc trục (q=0) ....................................107
Hình 4.6. Ảnh hưởng của tỷ số hco/hFG lên tải tới hạn qcr (P=0, k1=k2=k3=k=1) ....109
Hình 4.7. Ảnh hưởng của tỷ số hco/hFG lên tải tới hạn Pcr (q=0, k1=k2=k3=k=1) ....109
Hình 4.8. Ảnh hưởng của α lên tải tới hạn qcr (P=0, k1=k2=k3=k=1) ....................110

Hình 4.9. Ảnh hưởng của α lên tải tới hạn Pcr (q=0, k1=k2=k3=k=1) ....................110
Hình 4.10. Ảnh hưởng của k lên lực tới hạn qcr (P=0, k1=k, TH 2: k2=k3=k, TH 4:
k2=k3=1/k) ..............................................................................................112
Hình 4.11. Ảnh hưởng của k lên lực tới hạn Pcr (q=0, k1=k, TH 2: k2=k3=k, TH 4:
k2=k3=1/k) ..............................................................................................112

10


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các kết cấu tấm và vỏ bằng vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang được
sử dụng ngày càng nhiều trong thực tiễn nhất là trong các ngành kỹ thuật hiện đại
như lò phản ứng hạt nhân, hàng không vũ trụ, ống dẫn nhiên liệu, bể chứa, … Do vậy
việc nghiên cứu độ bền, sự ổn định của chúng là một trong những vấn đề được quan
tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết cấu làm việc an toàn và tối ưu.
Hơn nữa trong thực tiễn để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường
gia cố bằng gân gia cường.
Với những đặc tính ưu việt của FGM và những tiến bộ trong công nghệ sản xuất
FGM đã làm cho việc sử dụng FGM làm lõi hay làm lớp phủ trong kết cấu sandwich
được mở rộng đáng kể.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu kết cấu FGM khi sử dụng lý thuyết tấm và
vỏ cổ điển. Các kết quả thu được chỉ phù hợp với những kết cấu thành mỏng, còn đối
với kết cấu thành dày hơn thì cần phải sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất
hoặc bậc ba. Đây vẫn là vấn đề mở, nhất là sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba
cho kết cấu FGM và kết cấu sandwich FGM có gân gia cường cũng là FGM.
Xuất phát từ các yêu cầu này, tác giả luận án nhận thấy “Phân tích ổn định
tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt” là
một vấn đề hết sức cần thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn cao.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Trong khuôn khổ của luận án, tác giả sẽ nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu
tấm FGM và kết cấu vỏ sandwich FGM:
i)

Sử dụng các quy luật của vật liệu FGM đã có để nghiên cứu bài toán ổn định
tĩnh của kết cấu FGM thường gặp.

ii)

Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường.

iii)

Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ sandwich FGM có gân gia cường.

11


iv)

Nghiên cứu ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia
cường.

v)

Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến sự ổn
định của kết cấu.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án
 Đối tượng nghiên cứu:

-

Tấm chữ nhật FGM, có gân gia cường, có xét đến yếu tố nền đàn hồi.

-

Vỏ trụ tròn và vỏ nón cụt sandwich FGM, có gân gia cường, có xét đến yếu tố
nền đàn hồi.

-

Tính chất vật liệu độc lập với nhiệt độ và phụ thuộc vào nhiệt độ.

-

Gân gia cường là gân FGM.

-

Kết cấu chịu điều kiện tải khác nhau: tải cơ, nhiệt và tải cơ nhiệt kết hợp.

 Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ làm
bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gân gia cường bằng cách tiếp cận giải tích.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu bằng phương pháp giải tích các bài toán ổn định. Sử dụng lý thuyết
cổ điển, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, lý thuyết biến dạng trượt bậc ba và phương
pháp san đều tác dụng gân của Lekhnitskii [68] để thiết lập các phương trình chủ đạo
theo hàm ứng suất và độ võng. Riêng với vỏ nón, sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh,
thiết lập phương trình chủ đạo theo chuyển vị. Áp dụng phương pháp Galerkin để xây
dựng hệ thức hiển cho phép tìm tải tới hạn và vẽ đường cong tải-độ võng sau tới hạn.

Khảo sát bằng số ảnh hưởng của gân, nền, độ không hoàn hảo và các kích thước
hình học, chiều dày lớp lõi (đối với kết cấu sandwich) đến sự ổn định của kết cấu.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm: mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.
Phần mở đầu: Trình bày tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu.
Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu.

12


Chương này trình bày khái niệm, tính chất và một số quy luật cơ bản của vật
liệu cơ tính biến thiên; trình bày khái niệm ổn định và mất ổn định, tiêu chuẩn ổn định
tĩnh. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với bài toán ổn
định tĩnh của kết cấu làm bằng vật liệu này.
Chương 2: Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường trên nền
đàn hồi chịu tải cơ và nhiệt.
Chương này đề cập đến hai bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân
gia cường trên nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết
biến dạng trượt bậc ba. Xây dựng biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và đường cong tảiđộ võng sau tới hạn. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu
vào đến sự ổn định của tấm. Các kết quả so sánh đã khẳng định độ tin cậy của cách
tiếp cận được sử dụng trong luận án.
Chương 3: Phân tích ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân
gia cường trên nền đàn hồi chịu tải cơ và nhiệt.
Chương này đề cập đến bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn sandwich
FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc
ba. Xây dựng biểu thức hiển để tìm tải tới hạn và đường cong tải-độ võng sau tới hạn.
Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến sự ổn định của
vỏ trụ. Các kết quả so sánh đã khẳng định độ tin cậy của phương pháp trong luận án.
Chương 4: Phân tích ổn định tĩnh tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân
gia cường trên nền đàn hồi chịu tải cơ.

Chương này tìm lời giải giải tích cho bài toán ổn định tĩnh tuyến tính của vỏ nón
cụt sandwich FGM dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển. Xây dựng biểu thức hiển để tìm tải
tới hạn. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến sự ổn
định của vỏ nón cụt.
Kết luận: Trình bày những kết quả chính, những đóng góp mới của luận án.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

13


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên
Vật liệu cơ tính biến thiên có tên tiếng anh là Functionally Graded Material,
thường được gọi tắt là FGM, là một loại composite thế hệ mới được nghiên cứu và
phát triển lần đầu tiên bởi một nhóm các nhà khoa học ở viện Sendai của Nhật Bản
vào năm 1984 [65, 66]. Loại vật liệu này được dùng phổ biến hiện nay thường được
tạo nên từ hai loại vật liệu thành phần là gốm (ceramic) và kim loại (metal) trong đó
tỷ phần thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt này
sang mặt kia của kết cấu (Hình 1.1). Chúng khắc phục được những nhược điểm của
loại vật liệu kim loại truyền thống và composite thông thường về khả năng chịu nhiệt
và chịu lực. Thành phần gốm có mô đun đàn hồi cao và có các hệ số dãn nở nhiệt và
truyền nhiệt thấp làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao và khả năng chịu nhiệt tốt,
trong khi đó thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo hơn, bền
hơn và khắc phục được sự rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn của vật liệu gốm khi chịu
tác động mạnh của tải cơ.
Nhược điểm lớn nhất của vật liệu FGM là giá thành sản xuất cao và công nghệ
chế tạo phức tạp. Vì vậy, vật liệu này thường chỉ được sử dụng trong các kết cấu công
nghệ cao như công nghệ hàng không vũ trụ hay công nghệ hạt nhân. Trong nhiều
trường hợp để giảm giá thành sản xuất, vật liệu FGM có thể được sử dụng như một

lớp phủ mỏng trên bề mặt kết cấu hoặc chỉ sử dụng làm lõi của kết cấu tùy theo mục
đích sử dụng.
Với tính ưu việt nổi trội, vật liệu FGM là sự lựa chọn lý tưởng cho những kết
cấu làm việc trong môi trường nhiệt độ cao hoặc chịu sự truyền nhiệt lớn. Hiện nay,
loại vật liệu này không những được ứng dụng trong lĩnh vực cơ học mà còn được ứng
dụng trong nhiều ngành kỹ thuật khác như là điện tử, quang học, hóa học, y học...
Một số ứng dụng nổi bật của chúng được thể hiện tóm lược thông qua sơ đồ dưới đây
[4]

14


Mặt giàu kim loại
h/2
x

h/2
Mặt giàu gốm
z

Hình 1.1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu cơ tính biến thiên

Công nghiệp hạt nhân

Hàng không vũ trụ

(Nhiên liệu hạt, tường plasma
của lò phản ứng hạt nhân)

(Bộ phận tên lửa, khung máy bay)

Lĩnh vực truyền thông
(Sợi quang học, thấu kính, chất
bán dẫn)

Lĩnh vực y học

FGM

(Xương, da nhân tạo, nha khoa)

Lĩnh vực năng lượng

Các lĩnh vực khác

(Máy phát nhiệt điện, pin mặt
trời, cảm biến)

(Vật liệu xây dựng, thiết bị thể
thao, kính cửa)

Hình 1.2. Ứng dụng vật liệu FGM

Trong khuôn khổ luận án xét vật liệu FGM có tính chất biến đổi liên tục theo
hướng chiều dày z của kết cấu, từ mặt hoàn toàn gốm đến mặt hoàn toàn kim loại
hoặc ngược lại. Tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu được giả thiết biến đổi liên
tục theo chiều dày kết cấu theo quy luật lũy thừa (P-FGM) hoặc quy luật Sigmoid
(S-FGM) như sau:
Quy luật lũy thừa [60 ÷ 62, 84, 103]: Tỷ phần thể tích gốm Vc (z) và tỷ phần
thể tích kim loại Vm (z) giả thiết là

15


k

 2z  h 
Vc ( z )  
 ,Vm ( z )  1  Vc ( z ),  h / 2  z  h / 2,
 2h 

(1.1)

trong đó h là độ dày của kết cấu, z là tọa độ chiều dày, k là chỉ số tỷ phần thể tích và
là đại lượng không âm, các chỉ số dưới c và m để chỉ thành phần gốm và kim loại
tương ứng.
Quy luật Sigmoid [3, 31, 33, 34, 65]: Trường hợp này các đại lượng trên được
giả thiết là
 2 z  h k

 ,  h / 2  z  0, k  0,
 h 
Vc ( z )  
k
 2 z  h 
0  z  h / 2,
 h  ,


Vm ( z )  1  Vc ( z ).

(1.2)

Nếu tính chất của vật liệu độc lập với nhiệt độ (T-ID) thì các tính chất hiệu
dụng Peff của vật liệu FGM xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [103]

Peff ( z )  Prc Vc ( z)  Prm Vm ( z),

(1.3)

trong đó Pr là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi E, hệ số
dãn nở nhiệt α, hệ số truyền nhiệt κ, …
Nếu tính chất của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D) thì các tính chất hiệu
dụng Peff của vật liệu FGM xác định theo quy tắc hỗn hợp sau [98, 103]

Peff ( z, T )  Prc (T )Vc ( z)  Prm (T )Vm ( z),

(1.4)

trong đó Pr phụ thuộc vào nhiệt độ theo một hàm phi tuyến [86]





2
3
Pr  P0 P1T 1  1  PT
,
1  P2T  PT

3

(1.5)

với P0, P–1, P1, P2, P3 là các hệ số nhiệt độ được xác định thông qua thí nghiệm của
các vật liệu cấu thành và là duy nhất đối với mỗi vật liệu cụ thể (Bảng 1.1).
Về mặt công nghệ chế tạo vật liệu FGM, có một số phương pháp như là: phương
pháp luyện kim bột; phương pháp lắng đọng hơi; phương pháp ly tâm; phương pháp
chế tạo vật rắn hình dạng tự do. Trong khuôn khổ luận án không đi sâu vào vấn đề
này, chúng được trình bày trong tài liệu [65].

16


Bảng 1.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu cấu thành lên FGM
Vật liệu

Tính chất

P0

P-1

P1

P2

P3

ZrO2

E (Pa)

244.27e+9

0

-1.371e-3

1.214e-6

-3.681e-10

α (1/K)

12.766e-6

0

-1.491e-3

1.006e-5

-6.778e-11

κ (W/mK)

1.7

0

1.276e-4

6.648e-8

0.0

E (Pa)

122.56e+9

0

-4.586e-4

0.0

0.0

α (1/K)

7.5788e-6

0

6.638e-4

-3.147e-6

0.0

κ (W/mK)

1.0

0

1.704e-2

0.0

0.0

E (Pa)

348.43e+9

0

-3.070e-4

2.160e-7

-8.946e-11

α (1/K)

5.8723e-6

0

9.095e-4

0.0

0.0

κ (W/mK)

13.723

0

-1.032e-3

5.466e-7

-7.876e-11

E (Pa)

201.04e+9

0

3.079e-4

-6.534e-7

0.0

α (1/K)

12.330e-6

0

8.086e-4

0.0

0.0

κ (W/mK)

15.379

0

-1.264e-3

2.092e-6

-7.223e-10

Ti-6Al-4V

Si3N4

SUS304

1.2. Khái niệm ổn định và mất ổn định
Trong cơ học vật rắn biến dạng ta gặp nhiều bài toán dẫn đến cần nghiên cứu
sự ổn định hay không của kết cấu mà một ví dụ điển hình là bài toán [1] xét một thanh
đàn hồi và mảnh tức là thanh có chiều dài lớn hơn nhiều so với kích thước tiết diện
ngang của nó, được đặt thẳng đứng có một đầu ngàm chặt, đầu kia chịu nén bởi lực
đúng tâm P (Hình 1.3). Tăng dần P từ giá trị 0. Khi lực P còn nhỏ hơn giá trị xác định
Pth nào đó thanh vẫn thẳng. Nếu tác dụng vào thanh theo phương vuông góc một lực
kích động nhỏ N, sau đó bỏ lực kích động đó đi thì thanh sẽ dao động xung quanh vị
trí thẳng đứng rồi lại trở về trạng thái đó. Trạng thái này chính là trạng thái cân bằng
ổn định.

17


Khi P > Pth trạng thái ban đầu thẳng
đứng sẽ không ổn định nữa. Với lực kích
động (dù là rất nhỏ) vuông góc với thanh
cũng làm cho nó chuyển sang dạng cân
bằng cong. Khi đó dạng thẳng cân bằng
không ổn định, còn dạng cong cân bằng ổn
định. Hiện tượng này được gọi là mất ổn
định.

Hình 1.3. Thanh đàn hồi, mảnh bị ngàm
chặt ở một đầu và chịu lực nén

Như vậy ổn định của kết cấu chịu biến dạng được hiểu là khả năng duy trì được
trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu khi nó chịu tác động ngoài, còn khi khả năng
đó mất đi thì ta nói rằng kết cấu đó là không ổn định.

Trạng thái tới hạn là ranh giới giữa trạng thái ổn định và trạng thái mất ổn định.
Tải trọng ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải tới hạn, tức là giá trị bé nhất của tải để
kết cấu bị mất ổn định. Trường hợp đang xét thì Pth là tải tới hạn.
Khi nghiên cứu ổn định của vật thể đàn hồi người ta thường quan tâm đến hai
mục tiêu [2]:
-

Thứ nhất là xác định tải tới hạn.

-

Thứ hai là xây dựng đường cong tải-độ võng của kết cấu sau tới hạn.

1.3. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Nghiên cứu ổn định tĩnh dựa trên hai quan niệm về trạng thái tới hạn của Euler
và Poincarre, có thể chia thành hai loại mất ổn định [5] là mất ổn định theo kiểu rẽ
nhánh và mất ổn định theo kiểu cực trị. Trong luận án này chỉ sử dụng mất ổn định
theo kiểu rẽ nhánh (hình 1.4), được hiểu là trường hợp tải tới hạn đạt được tại điểm
rẽ nhánh. Các đặc trưng của kiểu mất ổn định dạng này là [1, 5, 133]:
-

Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh.

-

Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất.

-

Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định, sau trạng

thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định.

18


Tải q
Điểm rẽ nhánh
(1)

Điểm cực trị

qupper

U
(2)

L
qlower

(1) Với tấm hoàn hảo
(2) Với vỏ hoàn hảo

wlower

Độ võng w

Hình 1.4. Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh của tấm và vỏ hoàn hảo.

Nghiên cứu dạng ổn định này dựa trên tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh [1, 5, 18,
128, 133], được hiểu là: Trạng thái cân bằng ban đầu của vật thể đàn hồi được gọi là

ổn định nếu dưới tác dụng của lực đã cho và điều kiện biên đã biết không tồn tại trạng
thái cân bằng lân cận nào khác với trạng thái cân bằng ban đầu. Còn nếu có ít nhất
một trạng thái cân bằng lân cận khác với trạng thái cân bằng ban đầu thì trạng thái
cân bằng ban đầu là không ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để tồn tại trạng thái cân bằng
lân cận gọi là lực tới hạn.
1.4. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về ổn định của các kết cấu FGM
Các kết cấu được là  * ,
16  a22
3mn 2
3mn 2  a22
a11 
a11 
*
*
*
*


8 2  b12
  c12
8 2   b21
  c21
s4 


,
s





  m n .
m
n
5
*
*
3mn 2 
a22
3mn 2 
a11



Phụ lục B4
Các hệ số trong các phương trình (2.78) và (2.79):

G10  G3

l23l31  l21l33
l l l l
l s l s
l s l s
 G4 32 21 22 31  G5 , G11  G3 23 5 33 4  G4 32 4 22 5 ,
l22l33  l23l32
l22l33  l23l32
l22l33  l23l32
l22l33  l23l32

t11 


4 m n  *  l23l31  l21l33  *  l32l21  l22l31  * 2
*
2
* 2
* 2
a


a


a


a


a


a

G






13
14
15
16
11
12
10  ,
mn 2 

 l22l33  l23l32 
 l22l33  l23l32 

t12 

 1 2
4 m n  *  l23s5  l33s4  *  l32 s4  l22 s5 
* 2
* 2
a


a


a


a

G


 14 

13 
11
12
11    ,
mn 2 
 8
 l22l33  l23l32 
 l22l33  l23l32 

t21 

4 m n
mn 2

t22 

 1 2
4 m n  *  l23 s5  l33 s4  *  l32 s4  l22 s5 
*
2
*
2
a


a



a


a

G

  ,




23
24
21
22
11
mn 2 
 8
 l22l33  l23l32 
 l22l33  l23l32 









 *  l23l31  l21l33  *  l32l21  l22l31  * 2

*
2
*
2
*
2
 a23 
  a24  
  a25  a26   a21  a22 G10  ,


 l22l33  l23l32 
 l22l33  l23l32 










*
*
*
*

*
*
*
*
a22
t11  a12
t21
a22
t12  a12
t22
a11
t21  a21
t11
a11
t22  a21
t12
t1  * *
, t2  * *
, t3  * *
, t4  * *
.
* *
* *
* *
* *
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21

Phụ lục C1
-

Với vỏ trụ sandwich FGM kiểu A1:

z4  z3
, E2  0,
k 1
2
  z  z 3
z4  z3 

z  z3 
2
2
4
3
3
3
 , E4  0,
E3  Ec z4  Emc z3  2 Emc 
 2 z4
 z42 4
3
3
k 2
k 1 
 k  3

E1  2 Ec z4  2 Emc z3  2 Emc

4
3
  z  z 5
z4  z3 

2
2
4
3
5
5
2  z4  z3 
E5  Ec z4  Emc z3  2 Emc 
 4 z4
 6 z4
5
5
k 4
k 3
 k  5
2
z z 
3  z4  z3 
 4 z4
 z44 4 3  ,
k 2
k 1 
6
5

  z  z 7
z4  z3 

2
2
4
3
7
7
2  z4  z3 
E7  Ec z4  Emc z3  2 Emc 
 6 z4
 15 z4
7
7
k 6
k 5
 k  7
4
3
2
z z 
3  z4  z3 
4  z4  z3 
5  z4  z3 
 20 z4
 15z4
 6 z4
 z46 4 3  ,
k 4

k 3
k 2
k 1 

Với vỏ trụ sandwich FGM kiểu A2: Các biểu thức của Ei (i  1,2,3,4,5,7) tương tự
các biểu thức Ei tương ứng của vỏ trụ sandwich FGM kiểu A1 bằng cách thay Ec bởi Em
và Emc bởi Ecm.

-

Với vỏ trụ sandwich FGM kiểu B1:

E1  2 Ec z4  Emc  z4  z3   Emc

z3  z2
,
k 1

  z  z 2
z  z 
Emc 2 2
 z4  z3   Emc  3 2  z2 3 2  ,
E2 

2 
k 1 
 k  2

2
  z  z 3

z3  z2 

 z  z 
Emc 3 3
2
3
2
3
E3  Ec z4 
z4  z3  Emc 
 2z 2
 z22 3 2  ,
3
3
k 2
k 1 
 k  3







3
2
  z  z 4

z3  z2 


Emc 4 4
3
2
2  z3  z2 
3  z3  z2 
 z4  z3   Emc 
,
E4 

3
z

3
z

z
2
2
2

4 
k

4
k

3
k

2

k

1











4
3
  z  z 5

z3  z2 

3
2
2  z3  z2 


 4 z2
 6 z2
k

5

k

4
k

3

,
 Emc
2
z

z
z

z






3
2
3
 z24 3 2
 4 z2

k2
k 1




E5 

E
2
Ec z45  mc z45  z35
5
5

E7 

E
2
Ec z47  mc z47  z37
7
7
6
5
  z  z 7

z3  z2 

3
2
2  z3  z 2 


 6 z2

 15 z2
k 6
k 5
,
 Emc  k  7
4
3
2
z

z
z

z
z

z
z

z











3
2
3
 15 z24 3 2  6 z25 3 2  z26 3 2 
 20 z2
k4
k 3
k 2
k 1 


-

Với vỏ trụ sandwich FGM kiểu B2: Các biểu thức của Ei (i  1,2,3,4,5,7) tương
tự các biểu thức Ei tương ứng của vỏ trụ sandwich FGM kiểu B1 bằng cách thay Ec
bởi Em và Emc bởi Ecm.

Với gân CM:
E1s  Ec hs 

Emc hs
,
k2  1

E2 s 

 h

Ec hs  h  hs 
h

 Emc hs  s 
,
2
k

2
2
k

1


2
2



E
E3s  c
3

3
3
 h
 hs2
hhs
h2 
 h 



  hs     Emc hs 
,
8 
k

3
k

2
4
k

1



2
2
2
 2



E
E4 s  c
4

4
4
 h

 hs3
3hhs2
3hs h 2
h3 
 h 

h


E
h





,
s
mc s 
2
16
k

4
2
k

3
4
k


2
8
k

1








2
2
2
 2




E
E5 s  c
5

5
5
 h
 h4


2hhs3
3hs2 h 2
h3hs
h4
 h 



  hs     Emc hs  s 
,
k

5
k

4
2
k

3
2
k

2
16
k

1







 32 
2
2
2
2
2
 2

