Đề tài về PT và HPT

Phòng giáo dục Thị x Phú Thọ ã
trờng THCS hà thạch
-------- -------
sáng kiến kinh nghiệm
Một số vấn đề về phơng trình và hệ phơng trình
Trong chơng trình Toán THCS
Ngời thực hiện: Trần Thanh Nghị
Tổ: Toán - Lý
Hà Thạch, năm 2006
1
Lời nói đầu
Toán học có vị trí, vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và trong đời
sống, nó giúp học sinh tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác.
Trong bộ môn toán phần phơng trình và hệ phơng trình đợc coi là có vị trí và
vai trò quan trọng trong suốt chơng trình Toán THCS.
Việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đợc ứng dụng nhiều
trong các bậc học cao hơn, cũng nh trong các môn khoa học giáo dục khác. Kiến
thức về phơng trình và hệ phơng trình cũng đợc ứng dụng rất nhiều trong thực tế.
Tuy nhiên việc tìm ra cách dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình một cách
có hiệu quả nhất còn rất nhiều vấn đề còn nghiên cứu.
ở đây tôi chỉ xin đề cập một phần nhỏ về một số dạng phơng trình (từ bậc 2
trở lên) và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải. Vấn đề này đã đợc đa và giảng dạy
ở chơng trình toán học lớp 8, 9 một cách tờng minh. Song đối với một số học sinh
khá giỏi ngoài một số phơng trình và hệ phơng trình cơ bản nh trong SGK ta có thể
mở rộng cho học sinh nắm bắt đợc một số phơng trình khác, một số bài tập cho ở
hình thức khác nhau nh: Các dạng toán về phơng trình bậc 2; Phơng trình đại số
bậc cao; Phơng trình đối xứng; Phơng trình phân thức hữu tỷ; Phơng trình vô tỷ; và
các dạng hệ phơng trình.
Do thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm còn nhiều hạn chế vì vậy còn
nhiều thiếu sót. Kính mong các đồng nghiệp góp ý để cho sáng kiến đợc hoàn thiện
hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn.
2
Phần mở đầu: Đặt vấn đề
A - Lý do chọn sáng kiến
- Phần phơng trình và hệ phơng trình có vị trí quan trọng trong Toán học nói
chung đặc biệt trong phân môn Đại Số nói riêng. Nó là công cụ nghiên cứu hiệu lực
của Toán học, mở đờng cho Toán học thâm nhập và phục vụ đắc lực các ngành
khoa học tự nhiên cũng nh khoa học xã hội.
Nghiên cứu đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên nắm vững nội
dung phần phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xác định đợc phơng pháp giảng dạy
phần này ở THCS có cho phù hợp và đạt hiệu quả.
Khi tìm hiểu về việc dạy và học phần phơng trình và hệ phơng trình đặc biệt
là phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình và một số vấn đề nâng cao về ph-
ơng trình và hệ phơng trình ở học sinh còn nhiều hạn chế.
Do phân bố chơng trình tiết học các em không thể nắm bắt hết sự đa dạng
của các bài toán về phơng trình và hệ phơng trình. Một nguyên nhân nữa là ta cha
đào sâu suy nghĩ, đông thời do tính đa dạng phong phú củacủa Toán học thật khó
có thể đúc kết đợc nguyên tắc từ đó tìm đợc"Chìa khoá"giải quyết các vấn đề. Nếu
giáo viên trang bị cho các em kiến thức cơ bản của từng dạng Toán thì các em có
thể nhận diện và giải quyết các dạng Toán về phơng trình và hệ phơng trình dễ dàng
hơn.
Vấn đề giải phơng trình và hệ phơng trình còn nhiều ứng dụng của các bậc
học cao hơn cũng nh trong các bộ môn khoa học khác. Vì vậy việc nắm chắc các
dạng toán và phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình là cần thiết cho việc
dạy và học.
B. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
1- Mục đích nghiên cứu:
Nghiên đề tài phơng trình và hệ phơng trình giúp giáo viên vận dụng một
cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó
có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả.

Nghiên cứu về sáng kiến để nắm đợc thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần
phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xá định hớng nâng cao chất lợng dạy và học
môn Toán.
Nghiên cứu sáng kiến giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công
một số dạng toán về phơng trình và hệ phơng trình.
3
2- Nhiệm vụ nghiên cứu:
Xác định vai trò của phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình
Toán THCS và những yêu cầu khi giảng dạy phần này.
Xác định một số dạng phơng trình và hệ phơng trình cần thiét và phơng pháp
giải từng dạng phơng trình và hệ phơng trình, từ đó xây dựng phơng pháp dạy cho
học sinh đặc biẹt là học sinh khá giỏi.
Nghiên cứu giảng dạy, tổng kết rút kinh nghiệm về một số dạng phơng trình
và hệ phơng trình.
C. Đối tợng nghiên cứu.
1- Nghiên cứu phần phơng trình và hệ phơng trình trong chơng trình Toán
THCS.
2- Nghiên cứu các tài liệu liên quan.
3- Giáo viên giảng dạy Toán THCS và học sinh đặc biệt là khối 8 và khối 9
D. Các phơng pháp nghiên cứu.
1- Phơng pháp nghiên cứu lý luận.
2- Phơng pháp phân tích tổng hợp kinh nghiệm giáo dục và bớc đầu thực
nghiệm.
4
Phần nội dung.
A. cơ sở lý luận.
1- Phơng trình và hệ phơng trình có vai trò và tầm quan trọng to lớn trong
chơng trình Toán THCS đặc biệt là phân môn Đại Số. Mảng kiến thức về phơng
trình và hệ phơng trình chiếm nội dung tơng đối nhiều trong chơng trình toán
THCS. Nó không chỉ thể hiện trực tiếp trong nội dung về phơng trình và hệ phơng

trình mà còn thể hiện trong các chuyên mục khácdới những cách trình bày thích
hợp khác nhau.
2- ở lớp 6, lớp 7 phơng trình và hệ phơng trình đợc cho dới dạng ẩn tàng
thông qua dạng Toán tìm x; tìm các số a; b khi biết điều kiện; tìm giá trị của biến
để giá trị của hai biểu thức bằng nhau; tìm các giá trị của biến tơng ứng với các giá
trị của hàm
ở lớp 8, lớp 9 kiến thức về phơng trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp
giải đợc trình bày rõ ràng, học sinh đợc học từng dạng phơng trình từ đơn giản đến
phức tạp. Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy của giáo viên và việc học của học sinh
cho thấy việc nắm kiến thức của học sinh cond nhiều hạn chế.
Đối với các dạng toán về phơng trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 (a

0),
phơng trình tích A.B.C = 0 (A,B,C là các đa thức ẩn x), nhìn chung học sinh
nắm đợc kiến thức khá tốt và giải quyết đợc hầu hết các dạng cho của phơng trình
bậc nhất, phơng trình tích. Riêng phàn phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức, phơng trình
bậc hai, hệ phơng trình học sinh nắm kiến thức còn máy móc thiếu linh hoạt chỉ
quen những dạng bài tập ra nh SGK, do đó học sinh còn lúng túng trớc những bài
tập về phơng trình và hệ phơng trình cho dới những hình thức khác với cách giải
tổng hợp, vận dụng linh hoạt nhièu kiến thức. Đồng thời việc giải phơng trình bậc
lớn hơn 2 thờng gây không ít cho học sinh khá giỏi.
3- Xuất phát từ vị trí vai trò, tầm quan trọng của phần phơng trình và hệ ph-
ơng trình trong chơng trình Đại Số THCS. Giáo viên cần phải xác định đợc yêu cầu
của giảng dạy phần này cho học sinh THCS cũn nh việc bồi dỡng nâng cao cho học
sinh khá giỏi.
Trong quá trình giảng dạy về phơng trình và hệ phơng trình giáo viên cần
phải đi từ cái cụ thể đến trừu tợng rồi lại đến cái cụ thể (Nguyên lý Trực quan - T
duy - Thực tiễn ). Giáo viên cần phải phân chia cho học sinh từng dạng phơng
trình và hệ phơng trình cùng các phơng pháp giải và cần đợc trực tiếp củng cố
5

trong suốt quá trình dạy và học qua những dạng bài tập dới các hình thức khác
nhau.
Trớc tiên cần phải cho học sinh nắm đợc kiến thức cơ bản về các dạng phơng
trình và hệ phơng trình cùng phơng pháp giải nh SGK Đại Số 8, 9: Phơng trình bậc
nhất một ẩn; Phơng trình tích; Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức; Phơng trình bậc hai
một ẩn; Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Đồng thời giáo viên phải đào sâu, mở
rộng, cụ thể hoá, tổng quát hoá từng dạng phơng trình cho học sinh và các dạng bài
tập cho dới các hình thức khác nhâu. Từ đó phát huy đợc tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nắm kiến thức chắc chắn và vận dụng kiến
thức một cách linh hoạt vào giải phơng trình và hệ phơng trình dới các dạng khác
nhau.
B Nội dung.
1- Phơng trình.
1.1. Ph ơng trình bậc hai một ẩn:
a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
b) Cách giải: Dùng biệt số

hoặc

'
* Phơng trình bậc hai khuyết c (c = 0): Dạng ax
2
+ bx = 0 ta đa phơng trình
về dạng phơng trình tích: x( ax + b) =0.
* Phơng trình bậc hai khuyết b (b = 0): Dạng ax
2

+ c = 0 ta đa phơng trình
về dạng phơng trình : x
2
=
a
c

(a

0).
* Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
Ta lập biệt số

= b
2
- 4ac (hoặc

' = b'
2
- ac với b = 2b' ).
- Nếu

< 0 ( hoặc

' < 0 ): Phơng trình vô nghiệm
- Nếu

= 0 ( hoặc

' = 0 ): Phơng trình có nghiện kép x
1
= x
2
=
)
'
(
2 a
b
a
b
=
- Nếu

> 0 ( hoặc

' > 0 ): Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
a
b
2


(x
1,2

=
a
b ''

)
c) Định lý Vi-ét:
* Định lý thuận: Phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0). Nếu phơng trình có
nghiệm thì: x
1
+ x
2
=
a
b

và x
1
.x
2
=
a
c
ứng dụng 1: Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0).
Nếu có: a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
=
a
c
6
Nếu có: a - b + c = 0 thì x
1
= -1; x
2
=-
a
c
ứng dụng 2: xét dấu các nghiệm phơng trình : ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0).
S = x
1
+ x
2
=
a
b

P= x

1
.x
2
=
a
c
Điều kiện phơng trình có:
- Hai nghiệm trái dấu: P < 0
- Hai nghiệm cùng dấu:



0; P > 0
- Hai nghiệm dơng:



0; P > 0 ; S > 0
- Hai nghiệm âm:



0; P > 0 ; S < 0
* Định lý thuận: Nếu có hai số x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x

2
= S và x
1
.x
2
= P thì x
1
,
x
2
là nghiệm của phơng trình X
2
- SX + P = 0 .
ứng dụng:
- Tính nhẩm nghiệm.
- Lập phơng trình bậc hai biết các nghiệm.
d) Một số dạng toán về phơng trình bậc hai:
Dạng 1: Giải và biện luận ph ơng trình:
Ví dụ 1: cho phơng trình: (m
2
- m - 2)x
2
+ 2(m + 1)x + 1 = 0 (1) ( m là tham
số )
a) Giải phơng trình (1) với m = 1
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) chỉ có 1 nghiệm.
Giải.
a) Với m = 1 phơng trình trở thành: -2x
2

+ 4x + 1 = 0

2x
2
- 4x - 1 = 0
Có

' = (-2)
2
- 2.(-1) = 6 > 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
=
2
62

; x
2
=
2
62
+
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm
Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: a=(m
2
- m - 2); b=2(m + 1); c= 1
Điều kiện để phơng trình (1) có 2 nghiệm là:
a

0 (2)

' > 0 (3)
Giải (2): a

0

m
2
- m - 2

0

(m + 1)(m - 2)

0







2
1
m
m
Giải (3):

' > 0

(m + 1)
2
- (m
2
- m - 2) > 0

3m + 3 > 0

M > -1
7
Vậy điều kiện phải tìm là




>
2
1
m
m
c) Điều kiện để phơng trình (1) có 1 nghiệm là:
Nếu: m = -1 Phơng trình (1)

0x + 1 = 0

phơng trình vô nghiệm
Nếu: m = 2 Phơng trình (1)

6x + 1 = 0

phơng trình có nghiệm x=
6
1

Nếu m

-1; m

2 phơng trình (1) là phơng trình bậc hai, nó có 1 nghiệm
(nghiệm kép) khi

' = 0

3m + m = 0

m = -1 Trái với điều kiện trên.
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm

m = 2.
Ví dụ 2: Xác dịnh m để phơng trình: 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0 (1) có hai
nghiệm thoả mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
Giải.
Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: a= 2 ; b=2m - 1 ; c= m - 1
Biệt số

= b
2
- 4ac = (2m - 1)
2
- 4.2.(m - 1)= 4m
2
- 12m + 9 = (2m - 3)
2




> 0

m
Đến đây có 2 cách giải:
Cách 1: Vì (2m-3)
2


0 nên phơng trình có hai nghiệm:
x
1,2
=
a
b
2

=

4
32)12(

mm
thay vào biểu thức : 3x
1
- 4x
2
=11 ta có hai giá
trị m
1
=
8
33
và m
2
= -2 thoả mãn.
Vì



0 nên theo viét ta có:

=

=+
(**)
2
1
.
(*)
2
21
21
21
m
xx
m
xx
Do 3x
1
- 4x
2
=11

x
1
=
3
411
2
x
+

thay vào(*)ta có x
1
=
7
413 m
+
và x
2
=
14
)619( m
+

Thay vào (**) ta có cũng có hai giá trị m
1
=
8
33
và m
2
= -2 thoả mãn.
Bài tập tơng tự:
1- Cho phơng trình : mx
2
+ 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0. Tìm giá trị của m để phơng
trình:
a) Có nghiệm kép.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
8
c) Vô nghiệm.

2- Giải và biện luận theo tham số m phơng trình: (m
2
- m)x
2
+ 2mx + 1 = 0
Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm:
* Phơng pháp: Để chứng minh phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0( a

0) có
nghiệm
Cách 1: Chứng tỏ rằng:



0.
Cách 2: Chứng tỏ rằng tích a.c < 0 (Vì a.c < 0 thì

= b
2
-4ac>0)
Ví dụ 3: Cho phơng trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m -4) = 0 (1) với m là tham số
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Xác định m để hai nghiệm x
1
, x

2
của phơng trình thoả mãn x
1
+ 4x
2
=3.
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Giải.
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
+) Nếu m = 0 phơng trình (1) có dạng -2x - 4 = 0 có một nghiệm x = -2
+) Nếu m

0 Thì ta có:

' = (m + 1)
2
- m(m - 4) = 6m + 1
Để (1) có nghiệm thì

'

0

6m + 1

0

m


6
1

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì





<
>

0
0'
0
P
m

<

>

0
4
6
1
0
m
m
m
m










<<
>

40
6
1
0
m
m
m


0 < m < 4
Vậy với 0 < m < 4 thì phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Xác định m để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình thoả mãn x
1
+ 4x
2
=3.
9
Để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình (1) thoả mãn x
1
+ 4x
2
=3 thì

>
=+

=
+
=+
)5(
6
1
)4(34
)3(
4
.
)2(
)1(2
21
21
21
m

xx
m
m
xx
m
m
xx

Từ (4)

x
1
= 3 - 4x
2
thay vào (2) ta đợc x
2
=
m
m
3
2



x
1
=
m
m
3

85
+
Thay x
1
, x
2
vào (3) đợc
m
m
mm
mm
4
3.3
)85)(2(

=
+



mmmmm 369161085
22
=+



08172
2
=+
mm

m =8; m =
2
1
( cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện (5))
d) Tìm một hệ thức giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Phơng pháp:
- Viết hệ thức viét:







=
=
a
c
P
a
b
S
(*)
- Khử ẩn m từ (*) ta có một hệ thức giữa x

1
và x
2
mà không phụ thuộc vào
Cụ thể:








=
+
=
m
m
P
m
m
S
4
22

=
+=
m
P
m
S
4
1
2
2








=
=
)2(21
2
2
SP
s
m

P = 5- 2S


2(x
1
+ x
2
)+ x
1
.x
2
= 5
Ví dụ 4: Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b.
(a+1)x
2

- 2(a+b)x + (b+1) = 0 (1)
Giải.
* Với a = -1 khi đó phơng trình (1) trở thành: - 2(b-1)x = - (b-1) (2)
Nếu b

-1 thì phơng trình (2) có nghiệm x =
2
1
10
Nếu b=-1 thì phơng trình (2) có vô số nghiệm.
* Với a

-1 khi đó (1) là phơng trình bậc hai nó có nghiệm khi

'

0.
Ta có

' = (a+b)
2
- (a-1)(b-1).
Đặt: a - 1 = m; b -1= n

(a+b) = (m+n)



' = (m+n)
2
- mn = m
2
+ n
2
+mn = (m +
2
n
)
2
+
4
3n

0
Vậy

'

0 với mọi a,b hay phơng trình (1) có nghiệm với mọi a,b
Ví dụ 5: Chúng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m +5) = 0.
Giải
Xét tích a.c = - (m
2
- 4m + 5) = -(m - 2)
2
- 1< 0

phơng trình có nghiệm

m vì
hệ số a = 1

0
Chú ý:
- Nếu tích a.c

0 mà a

0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm
- Nếu chỉ có tích a.c

0 thì cha đảm bảo phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có
nghiệm. Chẳng hạn xét phơng trình m
2
x
2
- mx - 2 = 0 có tích a.c = -2m
2


0 nhng
khi m = 0 thì phơng trình trở thành 0x = 2 vô nghiệm.
Dạng 3: Quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai:
Ví dụ 6: Tìm a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung.
x
2
+ ax + 8 = 0 (1) x
2
+ x + a = 0 (2).
Giải.
Giả sử x

0
là nghiệm chung của 2 phơng trình thì:
x
0
2
+ ax
0
+ 8 = 0 (1')
x
0
2
+ x
0
+ a = 0 (2')

(a-1)x
0
+ (8-a) = 0
* Nếu a=1 thì (1)

x
2
+ x + 8 = 0
(2)

x
2
+ x + 1 = 0
Cả hai phơng trình nà đều vô nghiệm
Nếu a

1

x
0
=
1
8


a
a
thay vào phơng trình (2') ta có:
0
1
8
1
8
2
=+








+

a
a
a
a
a


a
3
- 24a+ 72 = 0

(a+6)(a
2
- 6a + 12)= 0





=+
=+
0126
0)6(

2
aa
a


a= -6
Với a = -6 Thì phơng trình (1)

x
2
-6x + 8 = 0 có hai nghiệm là 4 và 2
(2)

x
2
+ x - 6 = 0 có hai nghiệm là -3 và 2
Kết luận: vậy với a = - 6 thì 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
11
Bài tập tơng tự
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR phơng trình:
(a
2
+ b
2
- c
2
)x
2
- 4abx + (a
2

+ b
2
- c
2
) = 0 có nghiệm.
Bài 2 Tìm m để 2 phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1) x
2
+ mx + 2 = 0 (2)
Bài 3
Cho phơng trình x
2
+ ax + a + 7 = 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của a để phơng trình
(1) có hai nghịêm thoả mãn (x
1
+ x
2
) = 0.
Ngoài 3 dạng toán nêu trên còn một số dạng toán khác về phơng trình bậc
hai nh
+ So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số (Sử dụng Định lý Viét
và dấu của tam thức bậc hai)
+ Tìm hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
+ bx + c = 0 với đờng thẳng y
= mx + n. Ta đa về giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = mx + n.

1.2 Ph ơng trình đại số bậc cao.
* Phơng trình đại số bậc cao có dạng: a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x + a
0
= 0
* Phơng pháp giải thờng quy về phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai
bằng các cách sau:
+ Đa về phơng trình tích.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Dùng bất đẳng thức.
+ Dùng tính chất vè số nghiệm thực của phơng trình.
Dạng 1: Phơng trình tam thức bậc cao.
a) Định nghĩa:
Phơng trình tam thức bậc cao có dạng: ax
2n
+ bx
n
+ c = 0 (a

0) (1)
Trong đó: a,b,c

R; n

N; n

2. Nếu a,b,c đồng thời khác 0 và n=1 thì (1) là
phơng trình bậc 2 đầy đủ đã biết cách giải.
b) Cách giải:
- Với n

2 ta đặt x
n
= y phơng trình về dạng: x
n
= y
ay
2
+ by + c = 0
c) Ví dụ
Ví dụ 7: Giải phơng trình: -x
6
+9x
3
- 8 = 0
Giải:
Đặt x
3
= y ta đợc phơng trình: -y
2
+ 9y - 8 = 0

Phơng trình này có nghiệm y
1
= 8 ; y
2
= 1

x
3
=8 ; x
3
=1

x=1; x=2
Ngoài ra có thể phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử nh sau:
12
-x
6
+9x
3
- 8 = (-x
6
+ x
3
) + (8x
3
- 8) = -x
3
(x
3
- 1) + 8(x

3
-1) = (x
3
-1)(8-x
3
)
Do đó có phơng trình (x
3
-1)(8-x
3
)= 0

x = 1; x= 2
Bài tập tơng tự
Giải các phơng trình sau:
a) x
8
-17x
4
+16 = 0 c) x
10
+ x
5
- 6 = 0
b) x
6
+x
4
+x
2

= 0 d) x
8
+x
4
+2 = 0
Dạng 2:Một số phơng trình bậc cao đa đợc về phơng trình bậc hai..
Ví dụ 8: Giải phơng trình x
4
+12x
3
+32x
2
- 8x -4 = 0
Giải
Dùng phơng pháp phân tích vế trái thành nhân tử:
Ta tách: 32x
2
= 36x
2
- 4x
2

Ta có: x
4
+12x
3
+32x
2
- 8x -4 = 0

x
4
+12x
3
+36x
2
- 4x
2
- 8x -4 = 0

(x
2
+6x)
2
-4(x
2
+1)=0

(x
2
+6x-2x-2)( x
2
+6x+2x+2) = 0

(x
2
+4x-2)( x
2
+8x+2)= 0

=++
=+
(**)028
(*)024
2
2
xx
xx
Giải (*) ta có: x
1,2
= -4
14

Giải (**) ta có: x
3,4
= -2
6

Ví dụ 9: Giải phơng trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3 (1)
Giải.
Ta có (1)

(x
2
+5x+4)( x

2
+5x+6)- 3= 0
đặt t = x
2
+5x+4

(1)

t(t+2) - 3 =0

t
2
+2t - 3 = 0

t = -1; t = -3
Với t = 1 ta có: x
2
+5x+4 = 1

x
2
+5x+3 = 0

x
1,2
=
2
135

Với t = -3 ta có: x

2
+5x+4 = -3

x
2
+5x+7 = 0 phơng trình này vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm.
Ví dụ 10: Giải phơng trình: 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x
2
(1)
Giải.
Ta có: (1)

4(x
2
+17x+60)( x
2
+16x+60)= 3x
2

Đặt: y = x
2
+16x+60 ta đợc (1)

4y(y+x)- 3x
2
= 0

4y
2

+ 4xy - 3x
2
=0

4y
2
+ 4xy + x
2
- 4x
2
=0

(2y+x)
2
- 4x
2
= 0

(2y-x)(2y+3x)=0





=
=
xy
xy
32
2

=++
=++
(**)3120322
(*)120322
2
2
xxx
xxx

Giải (*) ta có: 2x
2
+ 31x +120 =0

x
1
= -8; x
2
=
2
15

(**) ta có: 2x
2

+ 35x +120 =0

x
3,4
=
4
26535

13
Dạng tổng quát:
1 - Dạng phơng trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=mx
2
trong đó: a.d = b.c thì ta
đặt: y=
x
ad
x
+
, hoặc đặt y = (x+a)(x+d)
2- Dạng phơng trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=mx trong đó: d=
2
cba
++
và m=
(d-a)(d-b)(d-c) thì ta đặt: y = x + d. Phơng trình này có một nghiệm là y = 0
3- Dạng phơng trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m Trong đó a+d = b+c; thì ta
nhóm:
( )( )
[ ]
dxax ++

( )( )
[ ]
cxbx
++
= m từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ.
4- Dạng phơng trình:(x+a)
4
+ (x+b)
4
= c. Ta thờng đặt ẩn phụ y = x+
2
ba
+
Ví dụ 12: Giải phơng trình bằng phơng pháp đa về luỹ thừa cùng bậc.
a) Giải phơng trình: x
4
= 24x+32 (1)
b) Giải phơng trình: x
3
+3x
2
-3x+1=0 (2)
Giải.
a) Phơng trình x
4
= 24x+32 (1)
Ta thêm 4x
2
+4 vào hai vế của phơng trình ta đợc:
x

4
+4x
2
+4 = 4x
2
+4+ 24x+32

x
4
+4x
2
+4=4x
2
+ 24x+36

(x
2
+2)
2
=(2x+6)
2







=+
+=+

(**)622
(*)622
2
2
xx
xx
Giải phơng trình (*) ta đợc: x
1,2
=1
5

Giải phơng trình (**) : Vô nghiệm
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm
b) Giải phơng trình: x
3
+3x
2
-3x+1=0 (2)
Ta có: (2)

x
3
= -3x
2
+3x-1=0

2x
3
=x
3

- 3x
2
+3x-1

(x
3
2
)
3
=(x-1)
3

x
3
2
=(x-1)

x=
3
21
1

= -(
124
33
++
)
Bài tập tơng tự
Giải các phơng trình sau:
a) x

4
+(x-1)(3x
2
+2x-2) = 0 c) (x+2)(x+3)(x-7)(x-8) = 144
b) x
12
-12x
2
+16
2
x-12= 0 d) 3(x+5)(x+6)(x+7) = 8x
e) x
4
= 2x
2
-12x+8
14
Dạng 3 Phơng trình hệ số đối xứng
a) Khái niệm: Phơng trình có hệ số đối xứng là phơng trình có dạng f(x) =0 trong
đó f(x) là đa thức với đầy đủ các số hạng xắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp (kể cả hệ
số bàng 0)sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau.
Nghĩa là: a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ + a

1
x+a
0
(1) với a
i
=a
n-i
(i = 1,2, n) và a
n

0
b) Một số tính chất của phơng trình hệ số đối xứng.
Tính chất 1:
Phơng trình hệ số đối xứng(1) Nếu có nghiệm x
o
thì x
o

0 và phơng trình cũng
nhận
0
1
x
là nghiệm.
Thật vậy: f(0)= a
0
= a
n

0 và từ (1)có f(x)=x
n
f(
x
1
) nên f(x) =0

f(
x
1
)=0
Tính chất 2:
Phơng trình hệ số đối xứng bậc lẻ n=2k+1nhận x=-1 là nghiệm
Từ (1) dễ thấy f(-1)=(a
0
-a
2k+1
) - (a
1
- a
2k
) + = 0
Tính chất 3:
Nếu f(x) là đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng thì f(x)=(x+1)g(x)trong đó g(x)là đa
thức bậc chẵn có hệ số đối xứng
Tính chất 4:
Phơng trình hệ số đối xứng bậc n lẻ có nghiệm x
o
= -1 và việc giải nó chuyển về giải
phơng trình hệ số đối xứng bậc n-1 chẵn

c) Phơng pháp giải phơng trình hệ số đối xứng
(*) Ph ơng trình hệ số đối xứng bậc chẵn : phơng trình này không có nghiệm
x=0
Ví dụ 13: Giải phơng trình: 3x
4
+7x
3
+7x+3=0
Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho x
2
ta đ-
ợc: 3(x
2
+
2
1
x
)+7(x+
x
1
)=0
Đặt ẩn phụ t= x+
x
1
ta có t
2
=x
2
+
2

1
x
+2
Do đó phơng trình đã cho trở thành: 3t
2
+7t-6 = 0. Giải phơng trình bậc hai này ta
đợc t
1
=-3; t
2
=
3
2
.
Với t
1
=-3

x+
x
1
= -3

x
2
+3x+1=0

x
1,2
=

2
53

Với t
1
=
3
2


x+
x
1
=
3
2


3x
2
-2x+3=0 Phơng trình này vô nghiệm.
15