Chuyen de can bac hai va cac bai toan lien quan day du

I. Kiến thức cơ bản sử dụng.
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ (lớp 8)
(a + b) = a2 + 2ab + b2
(a - b) = a2 - 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2. Hằng đẳng thức

 A khi A ≥ 0
A2 = A = 
− A khi A < 0
II. Khai thác bài toán.
Ta có bài toán gốc trong SGK toán 9
Bài toán 1: Tính

(1 − 2 2 )

2

Bài toán này hầu hết cả lớp đều làm đưụơc và làm rất nhanh, áp dụng
hằng đẳng thức

(1 − 2 2 )

2

A 2 = A ta có:
= 1− 2 2 = 2 2 −1

Ta mở rộng những bài toán hay, khó hơn.

(1 − 2 2 )

2

Làm mất vết bình phương đi

(1 − 2 2 )

2

( )

= 12 − 4 2 + 2 2

2

= 1− 4 2 + 8
= 9−4 2

Ta có đề sau:
Bài toán 2:
Tính 9 − 4 2
Lúc này ít người làm được, rất ít học sinh làm được nếu không biết tôi biến
đổi như thế nào.
Cách giải: Ta biến đổi ngược lại người ra đề:
9 − 4 2 = 1− 4 2 + 8

= 12 − 2.2 2 . + (2 2 ) 2
=

(1 − 2 2 )

2


(1 − 2 2 )

2

Từ bài toán 1 suy ra

= 1− 2 2 = 2 2 −1

Nhận xét: Như vậy ta phải tách 9 = 8 + 1
4 2 = 2.2 2 .1

Câu hỏi đặt ra: Nếu không còn vết ra đề làm sao biết tách 9 = 8 + 1? Đâu là gốc?
Nhìn vào đâu để tách?
Ta phải dựa vào gốc: 4 2 = 2.2 2.1
2 2 là số thứ nhất; 1 là số thứ 2 trong hằng đẳng thứuc (a – b)2 = a2-2ab + b2

Và 12 + ( 2 2 )2 = 1 + 8 = 9 cho ta tách 9 = 8 + 1
Ghép thêm căn tương tự: 9 + 4 2 ta có bài toán.
Bài toán 3: Tính (rút gọn) M = 9 − 4 2 + 9 + 4 2
Lời giải: M =
M=

(2

(2 2 )

2

2 −1

)

2

− 2.2 2 .1 + 12 +

(2

+

2 +1

(2 2 )

2

+ 2.2 2 .1 + 12

)

2

M = 2 2 −1 + 2 2 +1
M = 2 2 −1+ 2 2 +1 = 4 2
Kết hợp với trục căn thức ở mẫu ta có bài toán.
Bài toán 4: Tính (rút gọn)

N=
N=

9−4 2 + 9+4 2
5 −1
4 2
5 −1

=

(

)

(

4 2 5 −1
= 2 5 −1
5 −1

)

Câu hỏi đặt ra: Nếu 4 2 = 2.2. 2
Số thứ nhất là 2
Số thứ 2 là

2

22 +

( 2)

2

= 4+2=6

Ta có bài toán 5:
Tính

a)

6−4 2

b)

6+4 2

(

Dựa vào gốc 4 2 = 2.2. 2 2 2 + 2 2 = 6

)


Cho ta tách 6 = 4 + 2
6 − 4 2 = 2 2 − 2. 2. 2 +

a)

( 2)

2

= (2 − 2 ) 2 = 2 − 2 = 2 − 2

b) 6 + 4 2 = 2 + 2
Ngoài ra:

6−4 2 + 6+4 2 =2− 2 +2+ 2 =4

6 − 4 2 − 6 + 4 2 = 2 − 2 − 2 − 2 = −2 2
Bài toán 6: Rút gọn: P =

6−4 2 + 6+4 2
7+ 3
4

P=

7+ 3

+

1
3− 2

=

+

1
3− 2

4( 7 − 3 )
3+ 2
+
7−3
3−2

= 7− 3+ 3+ 2= 7 + 2
Nhận xét: Như vậy 4 2 = 2.2 2
2 2 tách thành tích hai số: 2. 2 hoặc 2 2 .1

Sẽ cho ta tách số còn lại thành 2 số như thế nào.
Ta chuyển thành bài toán.
Bài toán 7: Tính

a )Q = 9 − 32

b) R = 9 + 32

Lời giải:
Ta gọi lại dấu vết 2 lần tích bằng cách đưa một thừa số ra ngoài làm căn
32 = 16.2 = 4 2

Ta quay về được bài toán 2
Tương tự như thế ta có loạt bài toán

a ) 8 − 2 15 − 8 + 2 15

b) 5 + 24

c ) 14 + 6 5

d ) 8 − 28

Lời giải:

8 − 2 5 − 8 + 2 5 = 5 − 2. 5. 3 + 3 − 5 + 2 5. 3 + 3

a)

=

(

5− 3

)

2

−

(

5+ 3

)

2

= 5 − 3 − 5 − 3 = −2 3


2

b) 5 + 24 = 5 + 2 6 =  3 + 2  = 3 + 2




(3 + 5 )

2

c) 14 + 6 5 = 9 + 2.3. 5 + 5 =

(

d) 8 − 28 = 7 − 2. 7 .1 =

7 −1

)

2

= 3+ 5

= 7 −1

Bài toán 8:
Những bài toán rút gọn rồi tính
a) C =

 1 + x 3

1(1 − x 2 )  1 − x 3


:
+
x
− x 

2
1+ x
 1 + x

 1 − x

Khi x = 3 + 2 2
x
1+ x2

Rút gọn C =

x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) 2 = 2 + 1
C=

1+

(

2 +1

)

2 +1

b) Cho y =

2

=

1+ 2

(

2 2+ 2

)

2 +1

=

2 2

(

=

)

2 +1

1
2 2

x − 11
x−2 −3

Tính giá trị của y lúc x = 23 - 12 3 - 2
Ta có x – 2 = 23 – 12 3
= 21 − 12 3
= 9 − 2.3.2 3 + 12

(

= 3− 2 3

) = (2
2

3 −3

)

2

⇒ x−2 = 2 3 −3

Khi đó y =

x − 11
x −2 −3

=

=
=

23 − 12 3 − 11
2 3 −3−3

=

12 − 12 3
2 3 −6

( ) = 12(1 − 3 ) = 12
2( 3 − 3) 2 3 (1 − 3 ) 2 3

12 1 − 3
6
3

=

6 3
=2 3
3

Bài toán 9: Chứng minh rằng A ∈ Z và B ∈ Z với
A = 6 − 2 5 − 6 + 2 5;B =

3−2 2
17 − 12 2

−

3+ 2 2
17 + 12 2


Bài giải
A = 5 − 2. 5.1 + 1 − 5 + 2 5.1 + 1 =

(

)

2

5 −1 −

(

)

5 +1

2

= 5 − 1 − 5 − 1 = −2

Chứng tỏ A ∈ Z
B=

2 − 2 2 .1 + 1
9 − 2.3.2 2 + +8

( 2 − 1)
(3 − 2 2 )
2

B=

B=

−

2 + 2 2 +1
9 + 2.3.2 2 + 8

( 2 + 1)
(3 + 2 2 )

2

−

2

2

=

2 −1
3−2 2

−

2 +1
3+ 2 2

3 2 −3+ 4−2 2 −3 2 + 4−3+ 2 2
=2
9−8

Chứng tỏ B ∈ Z
Bài toán 10: So sánh hai số:
4 + 7 − 4 − 7 − 2 và 0

* Nhận xét: 4 + 7 và 4 - 7 không thể đưa về dạng (a + b) và (a - b)2 ngay được
Tạo hai lần tích bằng cách 4 + 7 =

(4 + 7 ).2 = (

⇒ 4+ 7 =

Tương tự ⇒ 4 − 7 =

Vậy

7 +1
2

2

7 +1 7 −1
2
2−2
−
− 2=
− 2=
=0
2
2
2
2

4 + 7 − 4 − 7 − 2 =0

Bài toán 11: Tính
a) A1 = 3 − 5 − 3 + 5
b) So sánh 3 − 5 − 3 + 5 và - 2
Lời giải:

2

7 −1

4+ 7 − 4− 7 − 2 =

Do đó

2

)

7 +1
2


6−2 5
a )3 − 5 =
=
2
6+2 5
3+ 5 =
=
2

(

(

)

2

5 −1
5 −1
⇒ 3− 5 =
2
2

)

2

5 +1
5 +1
⇒ 3+ 5 =
2
2

⇒ A1 = 3 − 5 − 3 + 5 =

Do đó:

5 −1
2

−

5 +1

2

=

−2
2

=− 2

3− 5 − 3+ 5 = − 2

Tương tự như vậy đối với phần b

Bài tập làm thêm
Bài 1: Tính

(

A) 1 − 2

)

2

B) 3 + 2 2
C ) 31 − 432
D ) 19 + 192 − 16 − 192

Bài 2: Cho N =

a
ab + b

Tính N khi a =

+

b
ab − a

−

a+b

4 + 2 3;b = 4 − 2 3

Bài 3: So sánh
a ) 7 + 3 5 − 7 − 3 5 và 3
b) 6 + 35 − 6 − 35 và 10

Bài toán 12: Tính
4 + 9 − 32 = 2 + 1
9 + 32 = 2 2 + 1
2 + 9 + 32 = 3 + 2 2 =

(

Bài toán 13: Tính
2 + 9 + 32
9 − 32 = 2 2 =

(

Bài toán 14: Tính

2 −1

ab

)

2

)

2 +1

2


2 + 2 + 4 + 9 − 32

a)

b) 1 + 2 4 + 9 − 32

Lời giải:
2 + 2 + 2 +1 = 3 + 2 2 = 2 +1

a)

(

)

b) 1 + 2 4 + 9 − 32 = 1 + 2 2 + 1 = 3 + 2 2 = 2 + 1

Cùng với kỹ năng tách biểu thức trong căn ta có các bài toán thi vào trường chuyên

Xuất phát từ vấn đề:
2

(

)

(

(

) (

)

4 2004
4
2

1002
2002

2004
1002
 3 . 10 − 1  = 9 10 − 2.10 + 1 = 9 10 − 1 − 2(10 − 1) 
9....9
9....9
4 2004
8 1002
2004 so
= 10 − 1 − 10 − 1 = 4.
− 8. 1002 so = 4(1.....1) − 8.(1.....1) = 4.....4 − 8.....8 = k
9
9
9
9
2004 so
1002 so
2004 so
1002 so
Bài toán tính A =

)

4......4 − 8....8
1002 so

2004 so

Nhận xét: Đây là bài toán khó đòi hỏi kỹ năng phân tích cao.
Bài toán: Tính S = 1 + 99.....9 2 + (0,9.....9) 2
2004 so

(

S = 1 + 10

S=

2004

 10 2004 
− 1 +  2004 
 10 

)

2004 so

2

2

(

)

(102004 ) + (102004 − 1) 2 (102004 ) 2 + 102004 − 1

2

(10 2004 ) 2

S=

1
(102004 ) 2 + (102004 ) 4 − 2(102004 ).102004 + (10 2004 ) + (10 2004 − 1) 2
2004
10

S=

2
1
 10 2004 2  − 2(10 2004 ) 2 10 2004 − 1 + 10 2004 − 1

102004 

(

)

(

) (

(

) (
2

)

2

)

2
102004 − 102004 − 1
1
2004 2
2004


S = 2004
10
− 10 − 1 =


10
102004
S = 10 2004 − 0,9.....9

(

2004 so

Bài tập làm thêm

) (

)

a ) 11....155...56
nchuso n −1chuso

b) 22499....9100....09
n − zchuso 9

nchuso 0

Ta có bài toán 15: Rút gọn
áp dụng:

(1 −

x −1

)

2

2 = A ĐK x ≥ 1

(1 − x − 1 ) 2 = 1 − x − 1

*Nếu 1- x − 1 ≥ 0 ⇔ 1 ≥ x − 1 ⇔ 1 ≥ x-1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
⇒ 1 − x − 1 =1- x − 1

Nếu 1- x − 1 <0 ⇔ x>2 ⇒ 1 − x − 1 = x − 1 -1.
Có thể ra đề:Giải phương trình (1 − x − 1 ) 2 =2

Cũng làm tương tựta lầm mất dấu vết bình phương một hiệu
(1- x − 1 )2=1-2 x − 1 +x-1=x-2 x − 1 .
Ra đề rút gọn x − 2 x − 1 chính là bài toán trên.
Hoặc giải phương trình : x − 2 x − 1 =3.Kết hợp nâng cao bài toán:
Bài toán 16:Giải phương trình: x − 1 + 4 x − 5 + 11 + x + 8 x − 5 =8(Đề Thi vào 10)
Bài giải
ĐK:x ≥ 5
x −1+ 4 x − 5 +

11 + x + 8 x − 5 =8

⇔

x − 5 + 2 x − 5.2 + 4 + x − 5 + 2 x − 5.2 + 16 =8

⇔

(2 + x − 5 ) 2 + ( 4 + x − 5 ) 2 =8 ⇔ 2+ x − 5 +4+ x − 5 =8

⇔ 2 x − 5 =2 ⇔

x − 5 =1 ⇔ x-5=1

⇔ x=6(t/m).Vậy x=6 là nghiêm của phương trình.

Bài toán 17: Giải phương trình:

x+

x+

1
1
+ x + =2
2
4

(Đề thi vào 10 chuyênĐHTHHN)
Hướng dẫn giải


x+

x+

⇔ x+ ( x +

x+

Đặt

⇔ t2+t-

⇒

x+

1
1
1

+ x + =2 ;ĐK x ≥ 2
4
4

1 1
1 1 7
1 1 2
1
+ ) =2 ⇔ x+ x + + =2 ⇔ x+ + x + + - =0
4 2
4
4 4 4
4 2

1
=t ; ĐK t ≥ 0
4

7
=0 ⇔ 4t2+4t-7=0 ⇔ t1=
4

−2+4 2
−2−4 2
;t=
(loại)
4
4

1 − 2 + 4 2 −1+ 2 2

1 −1+ 2 2
=
=
⇒ x+ =
4
2
2
4
4

⇒ x=2- 2 .Vậy x=2- 2 là nghiệm của phương trình.

*Nắm được gốc của bài toán thì không có gì khó khăn.
Bài toán 18:Tìm giá trị nhỏ nhất của: y= x + 2 x − 1 +

x − 2 x −1

Vẫn là gốc x+2 x − 1 =x-1+2 x − 1 +1=( x − 1 -1)2
Do đó y= x − 1 + 1 + x − 1 − 1
⇔ y=

⇒ y=

x − 1 + 1 + 1 − x − 1 .áp dụng a + b ≥ a + b
x −1 +1 +

x −1 −1 ≥

x − 1 + 11 − x − 1

⇒ y ≥ 2. Vậy Min y=2 khi ( x − 1 + 1) ( 1 − x − 1) ≥ 0.

x ≥ 1 và 1-(x-1) ≥ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 2
Bài toán 19:(HSG TPHCM 91-92)
Cho M= a + 3 − 4 a − 1 +

a + 15 − 8 a − 1

a/Tìm điều kiên của a để M xác định.
b/Tính giá trị nhỏ nhất của M và giá trị tương úng của a.
Bài giải
a/ ĐK a ≥ 1 và a+3 ≥ 4 a − 1 và a+15 ≥ 8 a − 1
b/ M= a − 1 − 4 a − 1 + 4 +

a − 1 − 8 a − 1 + 16

M= ( a − 1 − 2) 2 + ( a − 1 − 4) 2
M= a − 1 − 2 + a − 1 − 4


M= a − 1 − 2 + 4 − a − 1 ≥

a −1 − 2 + 4 − a −1

M ≥ 2. Min y=2 khi ( a − 1 − 2) ( 4 − a − 1) ≥ 0.
⇔ 5 ≤ x ≤ 17

Với phương pháp tương tự ta có các bài toán:
Bài toán 20:Cho A=

x −1− 2 x −1 +1 + x −1+ 2 x −1 +1
x − 4x + 4
2

(1 −

1
)
x −1

a/Với x bằng bao nhiêu thì A có nghĩa.
b/Rút gọn A.
Bài toán 21: Cho A=

x+4 x−4 + x−4 x−4
1−

8 16
+
x x2

Rút gọn rồi tìm các giá tri nguyên của x để A có giá trị nguyên .
Bài toán 22:Cho A =

x −1− 2 x − 2
x − 2 −1

Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
2/Tính A2

3/Rút gọn A.

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9
MỚI NHẤT-NH: 2019-2020


Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: />FB: facebook.com/xuctu.book/
Email:
Đặt trực tiếp tại:

/>
Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo

0918.972.605