Chuyên đề khảo sát hàm số, các bài toán liên quan

Chủ đề 1: Hàm số

1

DẠNG 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Các bước tiến hành
B1 : Tìm TXĐ của hàm số
B2 : Xét sự biến thiên của hàm số
a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có)
 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (Nếu có)
b, Lập bảng biến thiên của hàm số
 Tìm đạo hàm của hàm số
 Xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có)
 Điền kết quả vào bảng
B2 : Vẽ đồ thị hàm số
 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị ( Nếu có)
 Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị hàm số ( Giao điểm đồ thị với các trục tọa độ,
điểm uốn)
 Nhận xét về đồ thị
+ Trục đối xứng ( Hàm chẵn)
+ Tâm đối xứng ( Hàm lẻ)

 Chú ý
- Khi lập bảng biến thiên cần điền đầy đủ các giá trị vào bảng
- Tính đạo hàm cần chỉ ra các giá trị làm đạo hàm bằng không hoặc không xác định
- Đối với các giá trị làm y hoặc y’ không xác định thi trong bảng biến thiên dùng kí hiệu ||
- Khi khảo sát hàm lượng giác ta làm tương tự. Tuy nhiên cần lưu ý :
+ Các hàm y=sinx; y=cosx tuần hoàn với chi kì 2π Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị
+ Các hàm y=tanx; y=cotgx thì tuần hoàn với chi kì π trong một chu kì
Chủ đề 1: Hàm số

2


 Ví dụ : y = x
3

- 3x
2

+ 2 (C)
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên:
* Giới hạn tạ vô cực
+ lim

x  +
y = + lim

x  -
y = -
* Bảng biến thiên:
+ y’ = 3x
2

- 6x = 3x(x-2) ; y’ = 0  x = 0 hoặc x = 2
x
- 0 2
+
y’ + 0 - 0 +

y
2
+

- -2

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;0) và (2;+)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y

cđ
= 2
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y

ct
= -2
3. Đồ thị :





+ Đồ thị nhận điểm uốn (1 ;0) làm tâm đối xứng
x

y
2
2
1

O
Chủ đề 1: Hàm số

3


DẠNG 2 : BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

 Sơ đồ chung

Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox
a đơn vị

Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đv

Đối xứng qua Tịnh tiến theo Tinh
tâm O vector U(a;b)
Tịnh tiến theo Ox
Đối xứng qua Ox a đơn vị

Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy
b đơn vị


 Thông thường các bài toán bắt ta vẽ đồ thị của một hàm số tương đối khó vẽ từ một hàm
cho trước, Chúng ta sẽ dựa vào các hàm cơ bản và thông qua các các phép biến đổi cơ bản để
vẽ đồ thị các hàm đó
 Các bước
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của hàm cơ bản mà có quan hệ với hàm đã cho
- Dựa vào mối liên hệ giữa các hàm mà ta vẽ được hàm đã cho

y=
-

f(x)

y= f(x+a)

y=
-
f(
-
x)

y=f(x)

y=f(x+a)+b

y=f(
-
x)

y=f(x)+b

Chủ đề 1: Hàm số

4

DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M

0
( x

0
, y

0
)
 Phương pháp :
+ TÍnh y’
+Tính y’( x

0
)
+ Viết phương trình tiếp tuyến : y= y’( x

0
) (x - x

0
) + y

0

 Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=
x
2

+ax-1
x-1

tại giao điểm của nó
với trục tung
- Giao điểm của nó với trục tung là nghiệm của hệ:
y=
x
2

+ax-1
x-1

x=0 => M ( 0,1)
- Tính y’
- y’(0) = 1-a
- Phương trình tiếp tuyến là : y= (1-a) x +1

 Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x

A
; y

A
)
 Phương pháp : Thông thường đối với dạng bài này có 2 cách làm:
C1:
- Gọi phương trình cần tìm là : y= k( x- x

A
) + y

A

- Ta có : y= k( x- x

A
) + y

A

f’ (x) =k
- Giải hệ ta được x

0
=>k => Phương trình tiếp tuyến
C2:
- Gọi tọa độ tiếp điểm M

0
( x

0
, y

0
)
- Tính y’ và y’( x

0
). Tính y

0

theo x

0

- Phương trình tiếp tuyến : y= y’( x

0
) (x - x

0
) + y

0

- Thay A( x

A
; y

A
) vào phương trình tiếp tuyến => x

0
=> Phương trình tiếp tuyến.
 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc là k
 Phương pháp
- Tính y’
- Giải phương trình y’=k => x

0

=> y

0

- Phương trình tiếp tuyến : y= k( x- x

0
) + y

0


Chủ đề 1: Hàm số

5

 Bài toán 4: Viết phương trình tiếp xúc với ( C ) tại 2 điểm phân biệt
 Phương pháp
- Giả sử tiếp tuyến có dạng : y= kx +m
- Tiếp tuyến giao đường cong tại 2 điểm phân biệt
 f (x) = kx +m : có 2 nghiệm phân biệt
 f (x) -kx -m =(x-a)
2

( x-b)
2

¥ x
- Đồng nhất hai đa thức ta tìm được phương trình tiếp tuyến
 Bài toán 5: Cho hàm số y= f(x) ( C) . Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K để từ đó kẻ được tiếp

tuyến tới đồ thị ( C)
 Phương pháp
- Tìm điểm A thỏa mãn tính chất K cho trước, giả sử là : A( x

0
, y

0
).
- Tìm đường thẳng qua : A( x

0
, y

0
) với hệ số góc k có dạng: y= k( x- x

A
) + y

A
(d)
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với ( C) khi hệ sau có nghiệm
y= k( x- x

A
) + y

A

y’ = k
- Số nghiệm của hệ là số tiếp tuyến kẻ được từ A


 Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hàm số y=
2
4 3
4
mx x
x m
 

Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
có hoành độ x=0 vuông góc với tiệm cận?
(ĐS: m= ±4 )
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y=
2 1
1
x
x


biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc
bằng 3
(ĐS: y= 3x−1 hay y= 3x+11 )
Bài 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
x m x m x m

     
. Tìm m để (C) có tiếp
tuyến tạo với (d):x+y+7=0một góc α sao cho cosα=
1
26

. (ĐS : m ≥
1
12
hoặc m≤
11
12

; và m≥
2 19
2
 
hoặc m≤
2 19
2
 

Chủ đề 1: Hàm số

6

DẠNG 4 : ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y= | f(x) |
 Ta có: | f(x) | = f(x) với f(x) ≥ 0
| f(x) | = - f(x) với f(x) <0

- Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) ( C)
- Giữ nguyên phần đồ thị ( C) nằm trên Ox
- Bỏ phần đồ thị ( C) nằm dưới Ox
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm dưới Ox => ĐTHS
Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y= f( |x|)
 Ta có : f( |x| ) = f(x) nếu x≥ 0
f( |x| ) = f(-x) nếu x< 0
- Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) ( C)
- Giữ nguyên phần đồ thị ( C) nằm bên phải Oy
- Bỏ phần đồ thị ( C) bên trái Oy
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị nằm bên phải Oy=> ĐTHS
Bài tập 3: Vẽ đồ thị hàm số
| ( ) |
( )
P x
Q x
; Q(x) ≠ 0 ¥x
 Ta có : | P(x) | = P(x) với P(x)≥ 0
| P(x) | = - P(x) với P(x)< 0
- Vẽ đồ thị hàm số
( )
( )
P x
Q x
( C)
- Giữ đồ thị ( C) khi P(x) ≥ 0
- Lấy đối xứng qua Ox phần ( C) khi P(x) <0. Ta được ĐTHS
 Tương tự với:
- y=
( )

| ( )|
P x
Q x

Chủ đề 1: Hàm số

7

Bài tập 4: Nếu đề bài yêu cầu vẽ ĐTHS : y= | f(|x|) |
 Ta có thể thực hiện theo các bước sau:
- Áp dụng bài toán 1 ta vẽ được đồ thị hàm số: y= | f(x) |. Coi đây là đồ thị hàm số y= g(x)
- Áp dụng bài toán 2 ta vẽ được đồ thị hàm số : y=g(|x|).=> ĐTHS
Bài toán 5: Vẽ đồ thị hàm số y= | u(x) |.v(x)
 Thông thường việc giải bài toán này sẽ phức tạp hơn một chút
 Ta có : | u(x) | = u(x) khi u(x) ≥ 0
u(x) kho u(x)<0
- Vẽ đồ thị hàm số y=u(x).v(x) ( C)
- Giữ nguyên phần đồ thị của ( C) khi u(x) ≥ 0
- Đối xứng qua Ox phần đồ thị ( C) khi u(x) <0
Bài toán 6: Vẽ đồ thị hàm số | y | =f(x)
 Dễ dàng ta có : ĐTHS ( C) nhận Ox làm trục đối xứng
 Ta có: | y | = f(x)  y = f( x) ¥ y≥ 0
- Vẽ ĐTHS y= f(x)
- Lấy phần đồ thị ( C) nằm trên trục hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị trên trục hoành qua Ox => ĐTHS | y | =f(x)
 Lưu ý
- Việc vẽ đồ thị các hàm số trên chỉ để ứng dụng trong các bài toán biện luận số nghiệm
của phương trình là chính
- Khi làm bài cần chỉ rõ cách vẽ hình

Chủ đề 1: Hàm số

8

DẠNG 5 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài toán 1 : Xác định điều kiện để hàm số y= f(x) có cực trị
 Phương pháp: Điều kiện để hàm số có cực trị là :
y’ =o có nghiệm
y’ đổi dấu qua nghiệm
Bài toán 2 : Xác định giá trị m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
x x


 Phương pháp
C1 :
- Hàm số đạt cực trị tại
0
x x

 y’(
0
x
) =0 => m
- Với giá trị của m thay vào hàm số và lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên để
tìm giá trị thích hợp của m
C2 :
- Hàm số đạt cực đại tại
0

x x

 y’(
0
x
) =0
y” (
0
x
) < 0
- Hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x

 y’(
0
x
) =0
y” (
0
x
) > 0
 Lưu ý:
0
x
được gọi là điểm cực trị của hàm số

0
y
được gọi là giá trị cực trị

0 0
( ; )
x y
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số
Bài toán 3 : Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
 Phương pháp
a, Đối với hàm đa thức ( thường là hàm bậc 3)
- Chia y cho y’ ta được : y= y’.q(x) + r(x), trong đó r(x) là phần dư
Chủ đề 1: Hàm số

9

- Gọi
0 0
( ; )x y là điểm cực trị của đồ thị hàm số 
0 0
'( ). ( ) ( )y y x q x r x 
Mà
0 0
'( ) 0 ( )y x y r x  
- Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) axy r x b  
b, Đối với hàm hữu tỷ
( )
( )
A x
y
B x


- Đường thẳng đị qua hai điểm cực trị là :
'( )
'( )
cuctri
A x
y
B x


- Bảng cực trị
Hàm Một cực trị Hai cực trị Ba cực trị Không cực trị
Đa thức bậc 3 0 X 0 X
Đa thức bậc 4 X 0 X 0
Hàm hữu tỷ 1/1 0 X 0 0
Hàm hữu tỷ 2/1 0 X 0 X
Hàm vô tỷ X X 0 X
Hàm hữu tỷ 2/2 0 X 0 X



 Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: ( C1)
a) ;
b) ;
c, .
Lời giải
a)
TXĐ:
, xác định với mọi

Chủ đề 1: Hàm số

10

BBT

Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
b)
TXĐ:
, xác định với mọi

BBT

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
c)

TXĐ:
, xác định với mọi

BBT

Vậy hàm số đạt cực đại tại
hàm số đạt cực tiểu tại
Chủ đề 1: Hàm số

11

Ví dụ 2. Tìm cực trị hàm số: (C2)
a)

b)
c)
Lời giải
a)
TXĐ:
, xác định với mọi


là điểm cực đại.
là các điểm cực tiểu của hàm số.
b)
TXĐ:
, xác định với mọi
hoặc
hoặc



Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm , đạt cực tiểu tại các điểm
c)
TXĐ:
, xác định với mọi




Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm , đạt cực tiểu tại các
điểm

Chủ đề 1: Hàm số

12

DẠNG 6 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 Phương pháp chung
1. Cách tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất trên đoạn [a, b]
+ Tập xác định  hàm số liên tục trên [a,b]
+ Tính y’ =0  tìm các nghiệm “x” thuộc khoảng (a,b)
+ Tính f(a), f(b), f(x). Tìm GTLN, GTNN dựa vào kết quả trên
2. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm trên khoảng (a,b)
+ Tập xác định
+ Lập bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên để tìm GTLL, GTNN
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp khảo sát gián tiếp
+ Đôi khi việc tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f(x) khá khó , nhất là đối với hàm lượng giác.
Khi đó ta làm theo cách sau đây:
+ Đặt r(x) =X
Tìm tập giá trị mới của X
 Ta được hàm y= F(X). Việc tìm GTLN, GTNN của hàm này đơn giản hơn hàm gốc ban đầu
và được làm giống như 1,2
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm chứa tham số
+ Tìm miền xác định ( thường miền xác định do đề bài cho và miền xác định có thể khác tập
xác định )
+ Tìm y’ . Giải phương trình y’ =0
+ Biện luận theo tham số trên miền D  Lập bảng biến thiên và kết luận
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a) trên
b) trên

Chủ đề 1: Hàm số

13

c) trên
d) trên
Lời giải
a) trên
, xác định trên



Vậy tại ,

tại .

b) trên
, xác định trên



Vậy tại ,

tại

c) trên
trên
Suy ra hàm số ĐB trên

Vậy ,

Chủ đề 1: Hàm số

14

d) trên
trên
Hàm số NB trên

Vậy

Ví dụ 2. Tìm GTLN của hàm số:
a)
b)

Lời giải
a)

TXĐ:
xác định với mọi


BBT


Vậy tại

b)
TXĐ:
, xác định với mọi

Chủ đề 1: Hàm số

15

BBT


Vậy tại

Ví dụ 3. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải
Gọi là một cạnh của hình chữ nhật.
 Suy ra cạnh còn lại là (ĐK: 0<x<8).
Khi đó diện tích HCN là
Bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số trên
, xác định trên

BBT


Do đó : khi

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh cm.

Chủ đề 1: Hàm số

16

DẠNG 6 : ỨNG DỤNG CỦA GTLN, GTNN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ
Bài toán 1: Giải phương trình
 Phương pháp: Khi giải phương trình f(x,m) = g(m), ta thực hiện các bước sau:
- Lập luận : Số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số : y= f(x,m) và
đường thẳng y=g(m)
- Xét hàm số : y= f(x,m)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ và y’ =0
+ Lập bảng biến thiên
- Kết luận : Phương trình có nghiệm


( ) ( ) ax ( )
x D x D
Minf x g m M f x
 
 

Bài toán 2: Giải bất phương trình f(x) ≤ g(m)
- Xét hàm số y= f(x)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ và y’ =0
+ Lập bảng biến thiên

- Kết luận
+ Bất phương trình có nghiệm 
in f(x) ( )
x D
M g m




+ Bất phương trình có nghiệm đúng x 
ax f(x) ( )
x D
M g m



Bài toán 3: Giải bất phương trình f(x) ≥ g(m)
- Tương tự như bài toán 2
- Kết luận
+ Bất phương trình có nghiệm 
ax f(x) ( )
x D
M g m




+ Bất phương trình nghiệm đúng  x 
in f(x) ( )
x D

M g m



Bài toán 4: Giải hệ phương trình
- Biến đổi sơ cấp hệ phương trình về phương trình f(x) =0 trên D
- Xét hàm số : y= f(x)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ và y’ =0
+ Lập bảng biến thiên
- Hệ có nghiệm 
( ) ( ) ax ( )
x D x D
Minf x g m M f x
 
 

Chủ đề 1: Hàm số

17

 DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ LOẠI HÀM SỐ

Hàm bậc 3 :
3 2
ax
y bx cx d
   
Hàm bậc 3:
3 2

ax
y bx cx d
   









+ a>0 + a>0
+ Hàm có 2 cực trị + Hàm không có cực trị
Hàm bậc 3 :
3 2
ax
y bx cx d
   
Hàm bậc 3:
3 2
ax
y bx cx d
   

+ a<0 + a<0
+Hàm số có 2 cực trị + Hàm số không có cực trị
Chủ đề 1: Hàm số

18

Hàm bậc 4 :
4 2
ax
y bx c
  
Hàm bậc 4:
4 2
ax
y bx c
  

(Trùng phương) ( Trùng phương)

+
0, 0
a b
 
+
0, 0
a b
 



Hàm bậc 4 :
4 2
ax
y bx c
  
Hàm bậc 4 :
4 2
ax
y bx c
  

( Trùng phương) ( Trùng phương)

+
0, 0
a b
 
+
0, 0
a b
 

Chủ đề 1: Hàm số

19


+ Hàm phân thức y = f(x) =
ax+b
cx+d
. + Hàm phân thức y = f(x) =
ax+b
cx+d
.
+ Hàm nghịch biến + Hàm đồng biến

+ Hàm
x
y a

+ Hàm
log
a
y x












a>1
0 <a<1
a>1

0<a<1
Chủ đề 1: Hàm số

20


+ Hàm số
2
ax
bx c
y
dx e
 


+ Hàm số
2
ax
bx c
y
dx e
 



+ Hàm số có 2 điểm cực trị + Hàm số có 2 điểm cực trị
+ a.d <0 + a.d >0

+ Hàm số
2
ax
bx c
y
dx e
 


+ Hàm số
2
ax
bx c
y
dx e
 



+ Hàm số không có cực trị + Hàm số không có cực trị
+ a.d <0 + a. d>0