SKKN cải tiến cách XD hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức trong chương trình đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình.
Chúng tôi, gồm:
1. Nguyễn Tiên Tiến

2.

Hoàng Thị Năm

3.

Phùng Thị Hằng

Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng
hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo
hướng phát triển năng lực học sinh.
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT, đặc biệt là lớp 10
và lớp 12.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Giải pháp cũ thường làm
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tôi và dựa vào kết quả lấy phiếu điều tra
đối giáo viên dạy Toán 10 về kinh nghiệm, tình hình giảng dạy về Bất đẳng thức
trong chương trình Đại số 10, tôi xin được đánh giá ưu điểm và hạn chế như sau:
-

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 1/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa. Cách làm này có
ưu điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo
khoa. Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày đầy đủ
các dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi và lời giải của các ví dụ mặc
dù được trình bày chi tiết nhưng lại không có sự phân tích để học sinh nhận biết,
thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức. Đồng thời, học sinh không được
cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học hoặc
đơn vị kiến thức đó.
Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý
thuyết. Sau khi làm xong ví dụ hoặc bài tập thì học sinh không được cung cấp bài tập
tự luyện để có “cơ hội” thực hành. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa
được xây dựng đủ ở các bốn mức độ và còn nằm rải rác trong các sách tham khảo,
được giảng dạy tách rời với phần tự luận. Điều này vừa mất nhiều thời gian vừa hạn
chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết
tự chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng
các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống.
Cách làm này có ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc
nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Học sinh giải được
bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài
toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng”. Do đó, học sinh sẽ khó hình dung các yêu cầu
sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước.
2. Giải pháp mới cải tiến

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá
những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy
học nội dung Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những cải tiến như
sau:
Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức.
Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học
sinh tiện theo dõi, có bổ sung và hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng
minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi. Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng
tôi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình và Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan.
Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình.
Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình
bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật
cho thi THPT Quốc gia hiện nay. Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 2/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận hoặc lời giải
được trình bày bằng nhiều cách có thể để học sinh hiểu rõ bản chất của phương
pháp hoặc cách tiếp cận vấn đề. Bên cạnh đó, sau mỗi ví dụ tự luận điển hình,
chúng tôi có giới thiệu thêm bài tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành
ngay mà không cần mất nhiều thời gian tìm kiếm trong các tài liệu tham khảo.
Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng
dạy ôn thi các kỳ thi, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan

theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Việc xây dựng được hệ thống
câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức
một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện
tập. Bên cạnh đó, chúng tôi còn liên hệ đến một số vấn đề liên quan như giải
phương trình, hệ phương trình hoặc các bài toán có chứa tham số liên quan đến
điều kiện có nghiệm của phương trình, hệ phương trình.
BI. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC 1.
Hiệu quả kinh tế
Thứ nhất, xét về mặt thời gian. Để biên soạn hệ thống câu hỏi và bài tập cho
một chủ đề hoặc một chuyên đề dạy học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất
nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham
khảo cho phù hợp với yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và năng lực học sinh.
Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự luyện thì cũng phải tìm kiếm trong
nhiều tài liệu rồi hệ thống lại.
Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức ở lớp 10) tính
đến thời điểm tác giả viết sáng kiến thì các ví dụ và bài tập chủ yếu ở dạng tự luận.
Vì vậy, để xây dựng được hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khách quan cho
chủ đề bất đẳng thức thì cần phải đầu tư thời gian để xây dựng các phương án
nhiễu.
Như vậy, để có một hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức bao gồm cả
tự luận và trắc nghiệm khách quan thì đỏi hỏi mất nhiều thời gian tìm kiếm và sắp
xếp, trong khi đó, với sáng kiến này, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay để
giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia. Nếu cần thì
giáo viên có thể bổ sung hàng năm để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài
tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy.
Thứ hai, xét về mặt tài chính. Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo
khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet,
và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc một số đầu sách tham
Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 3/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

khảo. Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần in hoặc in sao tài liệu này với giá
không quá 15.000 đồng.
2. Hiệu quả xã hội
Ngay sau khi văn bản số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 về
việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017
được Bộ GDĐT ban hành, trong đó có nội dung bài thi môn Toán thi theo hình
thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung
thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành xây dựng tài liệu
này và hoàn thiện dần qua các năm học. Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô
trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung
học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và bước đầu đã cho thấy tính khả
thi và phổ dụng của sáng kiến.
Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên cần có sự hướng
dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập. Điều này cho thấy,
nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh
tự học. Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng
lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh.
IV. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
1. Điều kiện áp dụng
Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm học 2017 –
2018 tại nhà trường và được hoàn thiện dần qua các năm học. Qua thực nghiệm và
tiến hành áp dụng trong hai năm học vừa qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong
công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh. Đồng thời, chất
lượng giảng dạy và học tập nội dung bất đẳng thức được nâng lên đáng kể, đặc biệt

là tạo được hứng thú và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho
học sinh ở các lớp mũi nhọn. Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng cho các trường
THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc.
2. Khả năng áp dụng
Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp
dụng trong giảng dạy ở các trường THPT. Tài liệu này được các đồng nghiệp trong
trường cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương
pháp và mục tiêu dạy học.
Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên
đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):
STT

Họ và tên
1

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Hoàng Thị Năm


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

2

Đào Thị Nụ

3 Đặng Đình Phương
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự
thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.

Xác nhận của Ban giám hiệu

Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019
Người nộp đơn
Nguyễn Tiên Tiến
Hoàng Thị Năm
Phùng Thị Hằng

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 5/5


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
PHỤ LỤC

PHẦN 1. LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

I. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. Bất đẳng thức

Định

nghĩa:

Giả sử a và b là hai số thực, các mệnh đề " a > b "," a < b "," a ≥ b "," a ≤ b" được gọi là
đúng hoặc sai.

những bất đẳng thức. Một bất đẳng thức có thể

Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

2.

nghĩa: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Định

Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến) và biến số thỏa mãn điều

kiện T .

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức f , viết là M = max f , nếu:

(1)
f ≤tại M
với
mọi
giásố trị
biến
điều kiện T .
(2) Tồn
bộ giá
trị của
các biến
thỏa của
mãn điều
kiện T thỏa

sao cho f mãn
=M.
b)
m mọi
được
là giá
trị điều
nhỏkiện
nhất
của biểu thức f , viết là m = min f , nếu:
(1) Số
f ≥ m với
giá trịgọi
của biến
thỏa mãn
T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f = m .

Đặc biệt, nếu hàm số y = f (x) đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu

M = max f (x) hoặc M = max f (x) ; nếu hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D

D

x∈D

thì ta ký hiệu m = min f (x) hoặc m = min f (x).

D

Nhận xét

x∈D

Để
giá
trị dưới
lớnđây:nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f , ta có thể trình
bày lờitìm
giải theo
các bước
-trong
Bước
1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T , ta đều có f ≤ M ,
đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f .

- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất
thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f = M .
- Bước 3: Kết luận max f = M .
II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

8.

a > b và b > c ⇒ a > c .
a>b⇔a+c>b+c.
Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc .
Nếu c < 0 thì a > b ⇔ ac < bc .
a > b và c > d ⇒ a + c > b + d .
a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd .

a > b ≥ 0 và n ∈

*

a>b≥0⇔

a>

⇒ a n > bn .
b.

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 1/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
9. a > b ⇔ 3 a > 3 b .
10.
11.

a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒
a≥b>0⇒

1 1
≤

a+

b≥

a + b và 3 a + 3 b ≥ 3 a + b .

.

a
12.
13.
14.
15.

b

a2 ≥ 0, ∀a ∈ . Đẳng thức xảy ra khi a = 0 .

− a ≤ a ≤ a , với mọi a ∈ .

Với a > 0 thì x < a ⇔ − a < x < a .
Với a > 0 thì x > a ⇔ x < −a hoặc x > a .

(1)

16.

( 2)

Với mọi a , b ∈ , ta có a − b ≤ a + b ≤ a + b .

Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ab ≤ 0 ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi ab ≥ 0 .

PHẦN 2. MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng
thức thường gặp trong các kỳ thi

như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là các
phương pháp và kỹ thuật:
(1):
biến
(2): SửSử
dụng dụng
bất đẳng thức
Cô-si; đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết;
(3):
bất
(4): SửSử
dụng dụng
kiến thức hình
học;đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki;
(6): SửSử

dụng dụng
tính chất của
hàm số; giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình;
(5):
miền

(7): Sử dụng dồn biến;
Với mỗi phương pháp, chúng tôi trình bày thống nhất ba phần:

- trực
Nội
Phần này chúng tôi trình bày nội dung cơ bản của phương pháp đó bằng cách
quan,dung
dễ hiểu nhấtphương
với mọi đối tượngpháp:
học sinh.

- Ví dụ tự luận điển hình: Phần này chúng tôi lựa chọn các ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác. Mỗi ví dụ đều có
sự phân tích để tìm ra lời giải
hoặc
rõ bản
của
phương
pháp
giải.
- Câu hỏilàm
trắc nghiệm
khách chất
quan: Phần
này chúng

tôi xây dựng
các ví dụ trong
trắc nghiệmlời
khách
quan mà

lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập. Với mỗi ví dụ, chúng tôi có đề cập đến các
sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc

câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các em học

xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

I. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết 1.1. Nội dung phương pháp

-

Để chứng minh bất đẳng thức A > B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:
Cách 1: Lập hiệu A − B . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A − B > 0 .
Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được A > B .
Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được B < A .

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 2/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
sau:

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài việc có thể phải sử dụng đến các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng thêm các kết quả
(1): x ∈ [ a; b ] ⇔ a ≤ x ≤ b ⇔ ( x − a )(x − b) ≤ 0 .

(2):

2

2

2

2

a + b ≥ 2ab; a + b ≥ −2ab.

 f (x)




(3): 3 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c2 ) , với mọi a , b , c .
1.2. Ví dụ tự luận điển hình

Ví dụ 1.1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g (x) =

a) Ta có f (x) =

x+2
Với mọi x ∈ [ −1;3], ta có: 1 ≤ x + 2 ≤ 5 ⇔

−4≤f

Do đó

(

Ta có

Vậy max f (x) = f (− 1) = −4 và min f (x) = f (3) =

[−1;3]

b) Với x ∈

[ −1; 2

Với mọi x thuộc đoạn [−1; 2] thì 1 ≤ 2x2 + 1 ≤ 9 ⇔ 1 ≥

1

⇔−1≤−

Mặt khác g ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∈ [ −1; 2]; g (x) =

Vậy max g (x) = g (2) =

[−1;2]

Bài tập tự luyện

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

x+2

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1.2. Tìm giá
trị nhỏ nhất của hàm số y =
− x2 + 4x + 21 ≥ 0
Điều kiện: 



⇔ −2 ≤ x ≤ 5 .

− x2 + 4x + 21 −
Lời giải

− x2 + 3x +10 .


− x2 + 3x + 10 ≥ 0

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 3/46

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Ta có (− x2 + 4x + 21)−

( − x2 + 3x + 10) = x + 11 > 0 , suy ra y > 0 .

y 2 = −2 x 2 + 7 x + 31 − 2 (x + 3

)(7 − x )(x + 2 )(5 − x)


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(x + 3)(5 − x) = (x + 2)(7 − x) ⇔ x =

1

= (x + 3 )(5 − x )

.

3
2 khi x =

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1

./.

3

Lời bàn

1)
giải
trên,
chúng ta đã tiến hành theo ba bước, đó là:
BướcTrong
1: Tìm điềulời
kiện để
hàm số
xác định.

Bước 2: Từ điều kiện xác định của hàm số, chúng ta chỉ ra được y > 0 .
Bước 3: Biến đổi và đánh giá biểu thức y2 . Suy ra đánh giá y ≥

2) Từ bất đẳng thức thức y2 ≥ 2 ta suy ra được y ≤ −
y < 0 thì y ≤ −

2 hoặc y ≥

2 và kết luận về giá trị nhỏ nhất.

2 . Nhưng vì chúng ta đã chỉ ra được y > 0 nên y ≥

2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị nhỏ nhất. Còn nếu chúng ta chỉ
ra được

2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị lớn nhất.

Bài tập tự luyện

1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g ( x ) =
2.

Ví dụ 1.3. a) Chứng minh rằng với mọi

b)

Cho a , b , c là ba số không nhỏ hơn

−

3

và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

4

x
2

a) Ta có

x

Suy ra

x
b) Từ giả thiết, ta có 1 = a + b + c ≥ a −

Tương tự, ta cũng có b ≤

Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

x
2

≤

+1


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

1

./.

3

Lời bàn

1) trả
Trong
trên, để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Vậy nếu không gợi ý ở ý a) thì
ra câu
lời lời
nhưgiải
sau:

chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Suy nghĩ để tìm

Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng

đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải
Thứ hai, giả thiết của bài toán là a + b + c = 1 (các biến số a , b , c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần

a
2
a +1

đánh giá

chứng minh.

≤ ma + n , trong đó m , n là các hằng số phải đi tìm.

Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi

a=b=c=

1
3

. Khi a =

cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.

3 − m ( 3a − 1

a
−

Xét

a +1 10
2

Lúc này, ta cần chọn m để 3 − a − 10 m ( a2 + 1) = 0 nhận a =

nhân tử (3a −1)2 ). Giải điều kiện đó ta tìm được m =

Kỹ thuật nói trên đây được coi là kỹ thuật
hệ
số bất định.
18
3
2) Khi học về đạo hàm (Giải tích 11), chúng ta có thể tìm ra biểu thức

a +

một cách đơn giản hơn

25

50

bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào?
Chúng ta dự đoán được a = b = c =

tiếp tuyến của đồ thị hàm số

18

3

y=

x+

. Lúc này ta lập hiệu

25

50

gọi là phương pháp tiếp tuyến.

Bài tập tự luyện

1.

a) Chứng minh rằng với mọi

x ∈ (0;1 )

, ta luôn có 6x

3

− x2 ≥

5 x −1

.

8

b) Cho các số thực dương a , b , c , d thỏa mãn a + b + c + d = 1 . Chứng minh rằng

2. a) Chứng minh rằng với mọi x ∈ (0;1) , ta luôn có

b) Cho các số thực dương a , b , c có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 5/46

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

3.
a) Chứng minh rằng
≥− 4xx
b) Ba số dương a , b , c thỏa mãn a
1− x2

2

3 với mọi x ∈ (0;1) .

+2
2

+b

+c

1.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x3 − 7x2 + 11x − 2 trên đoạn [0; 2

].

A. m = 11.

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.

Xét phương trình
Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Ta có y = (x3 − 7x2 + 10x) + x − 2 = x (x − 2)(x − 5) + x − 2 .

Do x ∈[0; 2] nên x ( x − 2 )(x − 5 ) ≥ 0; x − 2 ≥ −2 . Suy ra y ≥ −2 .
Đẳng thức xảy ra khi x = 0 ∈[0; 2]. Vậy m = −2 .

Bài tập tự luyện

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) = x 3 − 2 x 2 + x − 2 trên đoạn [0; 2] .

1.

A. max f (x) = −2.

[0; 2]
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 2 x

2.

2

A. max y =

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3 x

3.

2

A. min y = −18.

Câu 1.2. Cho hàm số y = 2x + 3 9 − x2

A. −6.
Lời giải

Điều kiện: −3 ≤ x ≤ 3 .

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn số cho trong bốn phương án.

-

Kiểm tra phương án B:

Xét phương trình 2 x + 3

9 − x 2 = −9 ⇔ 3

9 − x 2 = −9 − 2x

 − 9 − 2x ≥ 0


9 (9 − x

⇔

2



-


Kiểm tra phương án A:

Xét phương trình 2 x + 3

9 − x 2 = −6 ⇔ 3

9 − x 2 = −6 − 2x

 −6 − 2 x ≥ 0


2
 9(9−x )=


⇔



Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

)=


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Đối
chiếu với điều kiện ban đầu thì x = −3 . Thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −6 .
Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)
Với mọi x ∈ [ −3;3] , ta có y = 2 x + 3

Đẳng thức xảy ra khi

9 − x 2 ≥ 2 x ≥ 2. ( −3 ) = −6 .

x = −3

 9 − x2



Đáp án A.

Lời
bàn
1) Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Cụ thể như sau:

Ta có y

2

= (2. x + 3.

9 − x 2 )2 ≤ (2 2 + 32 )(x 2 + 9 − x2 ) = 9.13 ⇒ −3

Hơn nữa: y = 3

2) Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, các bạn cũng có thể tìm được giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: y = 2 x − 3

Câu 1.3. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A = 2 x + 3 y − 2z . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. m + 3M = 18.

 2x + y + 3z = 4
Ta có: 

3 x + 4 y − 3z = 6

Vì x, y, z không âm nên 0 ≤ z ≤

A = 4 ⇔ (x; y; z) = (2; 0; 0) và

Bài tập tự luyện

1. Cho các số thực không âm

x , y , z

thỏa mãn 

giá trị lớn nhất khi (x; y; z ) = (x0 ; y0 ; z0 ) . Tính giá trị của biểu thức S = 24 x0 + 6 y0 + 2019z0 .

A. S=48.

2. Cho các số thực không âm

A = 2 x + 3 y − 2z là
A. 0.

3. Cho các số thực không âm

E = x 2 + y 2 + 2 x + y − 3 z + 3 là

A. 4.

13 ≤ y ≤ 3

13 .


Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 7/46

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
4. Cho các số thực không âm x , y , z

biểu thức E = x

2

+y

2

+ 2 x + y − 3 z + 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S .

A. 415.

5.

Cho các

E=x2

+y2 +2x+y−3z+3

(x; y; z ) = (x2 ; y2 ; z2 ) . Giá trị của biểu thức T = p + x1 x2 + y1 y 2 + z1 z2
A. (9;10).

Câu 1.4.

Cho

F = (x − 2 y + 1)2 + ( 2x + my + 5)2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

dương và phân số

A. −74.

F ≥ 0, ∀ x , y ∈ . Đẳng thức xảy ra (tức là F = 0 ) khi và chỉ khi hệ phương trình

Ta có

x − 2 y + 1 = 0


có nghiệm ⇔ m ≠ −4 .

2x + my + 5 = 0
Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên m = −4 .

Khi m = −4 thì F

Đẳng thức xảy ra khi

x − 2 y +

11

= 0 ⇔ 5x − 10 y + 11 = 0

. Vậy, với m = −4 thì

min F =

9

.

Suy ra p = 9 , q = 5 và p 2 + q 2 + pqm = 9 2 + 52 + 9.5. ( −4 ) = −74 ./.

5

5
Đáp án A.

Bài tập tự luyện

1. Cho x , y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = (x − 2 y + 1) +
2

( 2 x + my + 5)

2

là một số dương.

A. m = 4.

2. Cho x , y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biểu thức F = (x − 2 y + 1)

2

+ ( 2 x + my + 5)2

trị nhỏ nhất là số dương khi

khoảng nào dưới đây?

A. (1;2).

3. Cho

x,y

F = (x − 2 y + 1) 2
10 x − ay + b = 0 . Giá trị của P = a + 2b + 3m bằng:

A. 12.

4. Cho x , y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức E = x − 2 y + 1 + 2 x + my + 5
đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương E0 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

0
A.

E∈

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 8/46

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
II. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857, nhà toán học người Pháp)
2.1. Nội dung phương pháp

(1)
Với hai số không âm a , b bất kỳ, ta luôn có:
Đẳng thức xảy ra khi a = b .

a+b

Các hình thức khác của bất đẳng thức này là

≥

ab .


(1.1):

- Hệ quả: +) Nếu a , b là các số không âm và a + b = S không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất bằng 1 S 2 khi và chỉ khi a = b = 1 S .

4

+) Nếu a , b là các số không âm và ab = P không đổi thì a + b đạt giá trị nhỏ nhất bằng

2P

khi và chỉ khi a = b =

4
+) Với

a > 0, b > 0

thì

1 1
+

. Đẳng thức xảy ra khi a = b .

≥

a
(2)

Với ba số không âm a , b , c bất kỳ, ta luôn có:

a+b+c

≥

3

b a+b

abc .

3

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .

Các hình thức khác của bất đẳng thức này là

-

Hệ quả: +) Nếu a , b , c là các số không âm và a + b + c = S không đổi thì abc đạt giá trị lớn

nhất bằng

+) Nếu a , b , c là các số không âm và abc = P không đổi thì a + b + c đạt giá trị nhỏ nhất

bằng 33 P khi a = b = c = 3 P .

+) Với a > 0, b > 0, c > 0 thì

2.2. Ví dụ tự luận điển hình

Ví dụ 2.1. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) = x +

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g ( x) = x +

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h (x) = x +

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p (x) = x +

a) Do x > 0 nên ta có f (x ) = x +

3
Đẳng thức xảy ra khi x =

⇔x=

3 (thỏa mãn điều kiện x > 0 ).

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 9/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Vậy, f (x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

b) Do x > 1 nên ta có g ( x ) = x − 1 +

Đẳng thức xảy ra khi x − 1 =

Vậy, g ( x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

=x+

c) Ta có h (x)

1
Do x > −

nên ta có 2 h ( x ) ≥ 2

2
Đẳng thức xảy ra khi 2x + 1 =

Vậy, h ( x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

d) p (x) = x +

4x + 7
Từ giả thiết ta có 4 x + 7 ≥15 . Do đó



Đẳng thức xảy ra khi


x

=2

Vậy p ( x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng

5
Lời bàn

Về hình thức thì các biểu thức

nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất hay nói cách khác là phải chọn
đúng

rơi. tìm
Cụ thể
cảđánh
bốn
biểu
thứcđiểm
cần phải
cách
giá f (x ) ≥ m1 ; g ( x ) ≥ m2 ; h ( x ) ≥ m3 ; p ( x ) ≥ m4 .

1) Việc đánh giá f (x
của biểu thức f (x).

) ≥ m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà

2) Việc đánh giá g ( x ) ≥ m2 ; h ( x
điều chỉnh hình thức của biểu thức

g(x)=x+

(nhằm khi đánh giá thì vế phải không còn biến số).

3) Việc đánh giá

) ≥ m3 thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu

không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức

áp dụng ngay thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần

3
x −1


điều chỉnh về hình thức của p ( x) một cách khéo léo hơn thì mới đạt được mục tiêu. Kể cả khi viết

chúng ta viết lại biểu thức p ( x) thành 4 p ( x ) = 4 x + 7 +

đẳng thức Cô-si. Vì khi áp dụng thì ta được 4 p ( x ) ≥ 2

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 10/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

4x+7=

viết 4 p ( x) thành 4 p ( x ) =

4
Và số

được tìm ra như th

75
Chúng ta để ý khi x ≥ 2 thì

nên ta phải tìm cách ghép m ( 4 x + 7) +

4 x + 7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi

x = 2 thì m ( 4 x + 7) =

Ví dụ 2.2. a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x + y = 5 . Chứng minh rằng

b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn

x

Lời giải

4 y 20

x + y = 5 thì

a) Khi

16181
b) Khi

x 4 y 20
Bài tập tự luyện

1. Giả sử x , y là hai số dương thỏa mãn x + y =

2. Giả sử x , y là hai số dương thỏa mãn 3 x +

y
3. Giả sử a , b là hai số dương thỏa mãn a +

b+2
2.3. Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

A. m =

4

+


Lời giải

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y = x

2

+

x

Đẳng thức xảy ra khi

Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh
Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m = 3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước.

2

2

x

Ta có

x

+

Đáp án D.

Lời bàn


1) Trong ví dụ này nếu thay giả thiết x ∈



thay đổi vì điểm rơi x = 1 vẫn thuộc khoảng



2

1
2) Nếu thay giả thiết


đẳng thức Cô-si cũng cần có sự điều chỉnh vì lúc này điểm rơi thay đổi (nó không thể là x = 1 nữa).


- Nế u x ∈ 



Đẳng thức xảy ra khi x =

5
- Nếu x ∈[2; 6]

Đẳng thức xảy ra khi x = 2 .

Bài tập tự luyện

1.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 4.

2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 2

6.

=3⇔x


3.

f (x ) = 3x2 +

Hàm số

x
A. x = 1.

4.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 4

3.
2

5.

Hàm số

f (x ) = 3x +

A. x = 0.

23

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 12/46


Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập
về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Câu 2.2. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x +

A. min y = 3

3

(0;+∞)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y = 3 x +

Đẳng thức xảy ra khi

Đáp án A.
Câu 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + 3

trên đoạn [2; 4] .

x −1
A. min y =

[2;4]

Hàm số xác định trên đoạn [2; 4] .

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

x2 − 1+ 4
Ta có y =

x−1
Với x ∈[2; 4] thì x − 1 > 0 nên theo bất đẳng thức Cô-si, ta có x − 1 +

Suy ra y ≥ 6, ∀x ∈ [

Cách 2: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Nhận thấy với x ∈[2; 4] thì y =

Kiểm tra phương án D trước (vì 6 <

x2 + 3

= 6 ⇔ x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3∈[2; 4]. V

Ta có

x −1
Câu 2.4. Cho x , y

biểu thức P = x + y .

A. min P = 6.

C. min P = 2 + 3

Từ giả thiết ta có y ( x − 1) ≥ x2 . Do x > 0, y > 0 nên suy ra x > 1 .


Với x > 1 thì y (x − 1) ≥ x2 ⇔ y ≥

x −1

P≥x+

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B

Trang 13/46