Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 2

Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn thi: Toán - Đề 1
Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
Cho hàm số: y = x
3
+mx
2
+9x+4 (Cm)
1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1. Tính:
I=

3/
4/
4


xdxtg
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x
2
; y= 4x
2
; y = 4.
CâuIII (2 điểm):
1.Cho phơng trình: (m+3)x
2
- 3mx + 2m = 0
Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x

1
và x
2
sao cho 2x
1
- x
2
= 3.
2 Xác định m để tam thức bậc hai:
f(x)= x
2
+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dơng với

x
4

Câu IV (2 điểm):
1. giải hệ phơng trình: x + y + xy = 11
x
2
+ y
2
+ 3(x + y) = 28
2. Giải và biện luận phơng trình:
mxmxx
+=
2
Câu V (2 điểm):
Cho phơng trình: 2Cos
2

x - (2m+1)Cosx +m = 0
1. Giải phơng trình với m =
2
3
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm x sao cho x






2
3
;
2

Câu VI (2 điểm):
1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
2. nếu ABC là nhọn, c/m tgA + tgB + tgC
33
Câu VII (2 điểm):
1. Tìm:
1
23
lim
3
1

x
xx
x
2. Giả phơng trình: 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
Câu XIII (2 điểm):
1. giải phơng trình: log
2
(3.2
x
- 1) = 2x + 1
2. Cho (H) có phơng trình: x
2
- 3y
2
= 1 và đờng thẳng : kx + 3y -1 = 0
a, Xác định k để tiếp xúc với (H)
b, Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu IX (2 điểm):
1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phơng trình lần lợt là:
(P): Ax + By + Cz + D
1
= 0 (1)
(Q): Bx + Cy + Az + D
2
= 0 (2)

(P): Cx + Ay + Bz + D
3
= 0 (3)
Với điều kiện A
2
+ B
2
+ C
2
> 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện ABCD có AB mp(BCD), BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông.
Câu X (2 điểm):
1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác .
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên (đợc viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Năm học: .................
Hớng dẫn chấm thi
Môn: Toán- Đề số I
(Bản hớng dẫn chấm gồm 7 trang)
Câu I:

1. y' = 3x
2
+ 2mx + 9
Hàm số có CĐ CT' y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ)
' = m
2
- 27 > 0
m (-;
33

) (
33

;+) (0,5đ)
2. Giả sử A(x
1
; y
1
) và B(-x
1
; -y
1
) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc
(Cm) (0,25đ)
Khi đó: y
1
=
49
1
2

1
3
1
+++
xmxx
(1)
-y
1
=
49
1
2
1
3
1
++
xmxx
(2) (0,25đ)
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
04
2
1
=+
mx
(0,25đ)

4
2
1
=

mx
có nghiệm m < 0 (0,25đ)
Câu II:
1. Ta có:
I =
dx
x
x
2
3/
4/
2
2
cos
sin











=
( )
dx
x

x


3/
4/
4
2
2
cos
cos1


(0,25đ)
=
dxdx
x
dx
dx
x
dx

+
3/
4/
3/
4/
2
3/
4/
4

cos
2
cos






(0,25đ)
=
( )
3/
4/
3/
4/
3/
4/
2
2)(1






xtgxtgxdxtg
++

(0,25đ)

=
123
2
2
3
1
3/
4/
3/
4/
3/
4/
3







+=+






+
xtgxxtgtgx
(0,25đ)

2. Giao điểm hai đờng y=x
2
có hoành độ là : x

2
Giao điểm y=4 với y = 4x
2
có hoành độ là x=

1
Giao điểm hai đờng y=x
2
và y= 4x
2
có hoành độ x=0 (0,5đ)
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo nh hình vẽ) là :
S=2








+

dxxdxxx
2
1

2
1
0
22
44

y = 4

y = x

2

y = 4x

2

y

x

= 2








+

1
0
2
1
2
2
1
2
43 dxxdxdxx
= 2






+
2
1
3
2
1
1
0
3
3
1
4 xxx
=

3
16
(đv dt) (0,5đ)
Câu III
1. Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
ta có :







+
=
=
+
=+
3
2
32
3
3
21
21
21
m

m
xx
xx
m
m
xx
(đk m-3) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta có : x
1
=
3
32
+
+
m
m
và x
2
=
3
3
+

m
m
(0,25đ)
Thay vào (3) ta đợc
1
99
3

)3(2)3)(32(
3
3
2
3
3
3
32
=



=





+=+


+
=
+

ì
+
+
m
m

m
mmmm
m
m
m
m
m
m
m
(0,25đ)
Với m=-1 phơng trình viết : 2x
2
+3x -2 =0
x
1
=
2
1
, x
2
=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ)
2. Tam thức đã cho dơng với x - 4
Khi vµ chØ khi

















<−
>−
≥∆
<∆
⇔








<≤−
≥∆
<∆
2
4
0)4(
0
0

4
0
0
21
s
af
xx
(0,25®)
⇔
2/7
132/7
13
5
2/7
13
13
0
2
5
072
032
032
2
2
−>⇒



>∨−≤<−
<<−

⇔












−>
−>
≥∨−≤
<<−
⇔

















>
+
>+
≥−+
<−+
m
mm
m
m
m
mm
m
m
m
mm
mm
(0,5®)
C©u IV:
1. §Æt



=
=+
Pxy
Syx

⇔



=−+
=+
)2(2823
)1(11
2
PSS
PS
(0,25®)
(1) ⇒ P = 11 - S thÕ vµo (2) ta ®îc: S
2
+ 5S - 50 = 0
gi¶i ®îc: S
1
= 5; S
2
= -10

-4
x
S/2
2

1

x
HÖ

(0,25 ®)
+ +
–