(Luận văn thạc sĩ) Bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGỌC THỊ HÀ

BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC,
SONG SONG TRONG HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGỌC THỊ HÀ

BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC,
SONG SONG TRONG HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝➠♥ ❜↔♥
✶✳✶

❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ s♦♥❣ s♦♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤
❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷

❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ s♦♥❣ s♦♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤
❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳✸

✾

❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝

tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷

✶
✸

✾

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ s♦♥❣ s♦♥❣
tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❍å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐
✸✺
✸ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❍å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐
✻✷
❑➳t ❧✉➟♥
✼✾
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
✽✶




ớ ỡ
rữợ t ỷ ớ ỡ t s s t tợ P

r ữớ t ợ ỏ t t ổ t t
tứ ỳ t ỗ tớ ữ r ỳ ớ ờ
ú t
ụ ỷ ớ ỡ tợ t ổ t t ở
rữớ ồ ồ ồ
ỗ r t ữợ ử tữớ t
ũ ồ ợ ồ ổ
tr ỳ tự ờ ỏ ổ ú ù t
t ủ tr q tr ồ t t trữớ
ố ũ ỡ ữớ t ỳ ữớ
ổ ừ ở ở ữủt q ỳ õ t tốt


t


✶

▼ð ✤➛✉
❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣✱ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❜➔✐ t➟♣ ✈➲ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣
❤❛② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❧✉æ♥ ❧➔ ❝→❝ ❜➔✐ t➟♣ t❤ó ✈à ♥❤÷♥❣ t❤÷í♥❣
r➜t ❦❤â✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ t❤➻ ❤å❝
s✐♥❤ ♣❤↔✐ ♥➢♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♥➙♥❣ ❝❛♦✱ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ t➼♥❤ ❝❤➜t
✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤æ♥❣ ❝â tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕✐ tr➔ ❝ô♥❣
♥❤÷ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➙♥❣ ❝❛♦ ð ❜➟❝ ❝ì sð✳
❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈ø❛ q✉❛✱ ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❤å❝ ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝→❝ ❝❤õ
✤➲ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ tr✐➸♥ ❦❤❛✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷❛ ❝â ❤å❝ ✈✐➯♥ ♥➔♦
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱
✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t♦→♥ sì ❝➜♣✳

❱î✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ô♥❣ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ q✉❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐ ✤➸ ❧➔♠ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ✈➔ ❧➔♠ t➔✐ ❧✐➺✉
t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tæ✐ ❝❤å♥ ❝❤õ ✤➲✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿

•

❚➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❤❛✐ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✭❤❛② ✈✉æ♥❣ ❣â❝✮ ✈î✐ ♥❤❛✉ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ ❝â ✤÷ñ❝
tø ✈✐➺❝ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✭❤❛② ✈✉æ♥❣ ❣â❝✮✳

•

❙÷✉ t➛♠ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✉②➺♥ t❤✐ ✤ë✐ t✉②➸♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱ t➼♥❤
✈✉æ♥❣ ❣â❝✳

•

❚r➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✉②➺♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❣✐ä✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱ t➼♥❤
✈✉æ♥❣ ❣â❝✳ ❚r♦♥❣ ✤â ❝è ❣➢♥❣ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ✤è✐ ✈î✐ ♥❤ú♥❣
❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ♠➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤➾ ❝â ❧í✐ ❣✐↔✐ ✈➢♥ t➢t ❤♦➦❝ ✤à♥❤
❤÷î♥❣ ❧í✐ ❣✐↔✐✳

ố ợ ởt t ố ữ r ớ ồ t
t tr ử t t ỵ ự
t t s s t ổ õ

ợ ử t ự ữ ố ử ừ ỗ ữỡ

ữỡ tự

ở ữỡ tố t t ỵ ữỡ
ự t t ổ õ ữớ t õ t
s s tr ồ ỵ t t ỡ ữ
ỵ s ỵ Ptrs ỵ ự ữớ
t ổ ởt s s ỗ q ỵ s tr t
tự ỵ rt t ữủ tứ ữớ t ổ õ tr
ừ t

...

ỗ tớ ụ ữ r ởt số t ử

ỵ tr ự t ổ õ s s

ữỡ t ự t ổ õ tr
t ồ s ọ
ở ữỡ tr ởt tữớ ử
ỵ t t

...

ự ởt số t q t

ổ õ ữ t t t ở t ồ s ọ
t ồ s ọ t ồ q t ổ õ

ữỡ t ự t s s tr
t ồ s ọ
ở ữỡ ừ tr ởt tữớ
ử ỵ t t

. . . ự ởt số t q

t s s ữ t t t ở t ồ s ọ
t ồ s ọ t ồ q t s s
tớ ợ ự ừ t
tr ừ t tở ồ

t


ồ


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝➠♥ ❜↔♥

✶✳✶ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ s♦♥❣ s♦♥❣
tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣

✶✳✶✳✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❚r÷î❝ t✐➯♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ✤➲ ❝➟♣
tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐→♦ ❞ö❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➲ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣✱
❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ xx , yy ❝➢t ♥❤❛✉ ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣â❝ t↕♦
t❤➔♥❤ ❝â ♠ët ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦þ
❤✐➺✉ ❧➔ xx ⊥ yy ✳

✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♠ët ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t↕✐ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ trü❝ ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ➜②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❧➔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤æ♥❣ ❝â

✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣✳

❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ ❤♦➦❝ ❝➢t ♥❤❛✉ ❤♦➦❝ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉✳


✹

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳
✭✐✮ ❍❛✐ ❣â❝

A1

❚ø ❤➻♥❤ ✈➩ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❝➦♣ ❣â❝ s❛✉ ✤➙②

✈➔

B3

❝ô♥❣ ♥❤÷ ❤❛✐ ❣â❝

A4

✈➔

B2

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤❛✐ ❣â❝ s♦ ❧❡

tr♦♥❣✳
✭✐✐✮ ❈➦♣ ❣â❝

A1

✈➔

B1

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❝➦♣ ❣â❝ ✤ç♥❣ ✈à✳ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ❝→❝

❝➦♣ ❣â❝ ✤ç♥❣ ✈à ❦❤→❝ ❧➔

A2

✈➔

B2 ❀ A3

✈➔

B3 ❀ A4

✈➔

B4 ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ◆➳✉ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ c ❝➢t ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ a, b ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝

❣â❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝â ♠ët ❝➦♣ ❣â❝ s♦ ❧❡ tr♦♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✭❤♦➦❝ ♠ët ❝➦♣ ❣â❝ ✤ç♥❣
✈à ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✮ t❤➻ a ✈➔ b s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉✳
❚✐➯♥ ✤➲ ✶✳✶ ✭❚✐➯♥ ✤➲ ❊✉❝❧✐❞❡✮✳ ◗✉❛ ♠ët ✤✐➸♠ ð ♥❣♦➔✐ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
❝❤➾ ❝â ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤â✳
❍❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣

AB

✈➔

CD

❣å✐ ❧➔ t➾ ❧➺ ✈î✐ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣

AB

✈➔

CD

♥➳✉ ❝â t➾ ❧➺ t❤ù❝

AB
AB
=
CD
CD

❤♦➦❝

AB
CD
=
.
AB
CD

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❜✐➳♥ ♠é✐ ✤✐➸♠ M

t❤✉ë❝ d t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ❜✐➳♥ ♠é✐ ✤✐➸♠ M ❦❤æ♥❣ t❤✉ë❝ d t❤➔♥❤ M s❛♦ ❝❤♦
d ❧➔ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ trü❝ ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ M M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛
✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d ❤❛② ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ trö❝ d✳ P❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ trö❝ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼
❤✐➺✉ ❧➔ ✣d✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ❈❤♦ ✤✐➸♠ I ✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❜✐➳♥ ✤✐➸♠ I t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ♥â✱

❜✐➳♥ ♠é✐ ✤✐➸♠ M ❦❤→❝ I t❤➔♥❤ M s❛♦ ❝❤♦ I ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣


✺

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ t➙♠ I ✳ P❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ t➙♠ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼
❤✐➺✉ ❧➔ ✣I
MM

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ❈❤♦ ✤✐➸♠ O ✈➔ ❣â❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ α✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❜✐➳♥ O

t❤➔♥❤ ❝❤➼♥❤ ♥â✱ ❜✐➳♥ ♠é✐ ✤✐➸♠ M ❦❤→❝ O t❤➔♥❤ ✤✐➸♠ M s❛♦ ❝❤♦ OM =
OM ✈➔ ❣â❝ ❧÷ñ♥❣ ❣✐→❝ (OM, OM ) = α ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ q✉❛② t➙♠ O ❣â❝
α✳ P❤➨♣ q✉❛② t➙♠ O ❣â❝ α t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Q(O,α) ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ❈❤♦ tr÷î❝ ♠ët ✤✐➸♠ O ✈➔−−sè→t❤ü❝ k−−=→0✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤

❜✐➳♥ ♠å✐ ✤✐➸♠ M t❤➔♥❤ ✤✐➸♠ M s❛♦ ❝❤♦ OM = kOM ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣
✈à tü t➙♠ O t➾ sè k ✈➔ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ V(O,k)✳ ✣✐➸♠ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛
✤✐➸♠ M, M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t↕♦ ↔♥❤ ❝õ❛ M , O ❧➔ t➙♠ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ✈à tü✱ k ❧➔ t➾ sè
✈à tü✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳

P❤➨♣ ✈à tü t➾ sè ❦ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

✭✐✮ ❇✐➳♥ ❜❛ ✤✐➸♠ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ t❤➔♥❤ ❜❛ ✤✐➸♠ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣ ✈➔ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤ù
tü ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✤â✳
✭✐✐✮ ❇✐➳♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ❤♦➦❝ trò♥❣ ✈î✐ ♥â✱ ❜✐➳♥

t✐❛ t❤➔♥❤ t✐❛✱ ❜✐➳♥ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✳
✭✐✐✐✮ ❇✐➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ t❤➔♥❤ t❛♠ ❣✐→❝ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ ♥â✱ ❜✐➳♥ ❣â❝ t❤➔♥❤ ❣â❝
❜➡♥❣ ♥â✳


✻

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❈❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ (O; R) ✈➔ ✤✐➸♠ M ❝è ✤à♥❤✱ OM

= d✳

▼ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤❛② ✤ê✐ q✉❛ M ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A ✈➔ B ✳ ❑❤✐
✤â✱
M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 .

✣↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤

❝õ❛ ✤✐➸♠ M ✤è✐ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (O; R)✱ ❦➼ ❤✐➺✉ PM/(O)✳
❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙② t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣ ✈➲ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩
❜ä q✉❛ ♣❤➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶

✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC

✭❍➺ t❤ù❝ ❧÷ñ♥❣ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣✮

✈✉æ♥❣ t↕✐ A✱ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ AH ✱ t❛ ❝â

AB 2 = BC.BH, AC 2 = BC.HC, AH 2 = BH.CH, BC.AH = AC.AH,
1
1
1
=
+
.
AH 2
AB 2 AC 2

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳ ❑❤✐ M ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) t❛ ✈➩ ✤÷ñ❝ t✐➳♣ t✉②➳♥ M T

tî✐ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ❑❤✐ ✤â PM/(O) = M A.M B = M T 2✳


✼

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❚ù ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❧➔ tù ❣✐→❝ ❝â ❜è♥ ✤➾♥❤ ❝ò♥❣

♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ✤â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ tù
❣✐→❝✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳

❚ù ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

✭✐✮ ❚ù ❣✐→❝ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝â tê♥❣ ❤❛✐ ❣â❝ ✤è✐ ❜➡♥❣

180◦ .

✭✐✐✮ ❚ù ❣✐→❝ ❝â ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❦➲ ❝ò♥❣ ♥❤➻♥ ①✉è♥❣ ♠ët ❝↕♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ❞÷î✐ ♠ët ❣â❝
❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻ ♥ë✐ t✐➳♣✳
✭✐✐✐✮ ❚ù ❣✐→❝ ❝â ✹ ✤➾♥❤ ❝→❝❤ ✤➲✉ ♠ët ✤✐➸♠ ❝❤♦ tr÷î❝ t❤➻ ♥ë✐ t✐➳♣✳
✭✐✈✮ ●â❝ ♥❣♦➔✐ t↕✐ ♠ët ✤➾♥❤ ❝õ❛ ♠ët tù ❣✐→❝ ❜➡♥❣ ❣â❝ tr♦♥❣ ✤è✐ ❞✐➺♥ ✈î✐
✤➾♥❤ ✤â ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ➜② t❤➻ ♥ë✐ t✐➳♣✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳ ❚ù ❣✐→❝ ABCD ❝â ❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤è✐ AB, CD ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ M ✳ ✣✐➲✉

❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ tù ❣✐→❝ ABCD ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷ñ❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❧➔ M A.M B =

M C.M D.

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✹✳ ❚ù ❣✐→❝ ABCD ❝â ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ AC, BD ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐
N ✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔
N A.N C = N B.N D.

✤õ ✤➸ tù ❣✐→❝ ❆❇❈❉ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷ñ❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❧➔

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✺✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ AB, M T ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐ M (M

❦❤æ♥❣ trò♥❣ A, B, T ✮✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ M A.M B
t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABT t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ M T t↕✐ T ✳

= MT 2

t❤➻ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐


✽

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❈❤♦ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t➙♠ (O1, R1); (O2, R2)✳
❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ M ❝â ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❧➔
♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➔② ❣å✐ ❧➔ trö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣
trá♥ ✤➣ ❝❤♦✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✹✳

❚rö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

✭✐✮ ❚rö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♥è✐ t➙♠✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐

A

✈➔

B

t❤➻

AB

❝❤➼♥❤ ❧➔ trö❝ ✤➥♥❣

♣❤÷ì♥❣✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ ✤✐➸♠
q✉❛

M

M

❝â ❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♥è✐ t➙♠ ❧➔ trö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

M, N
M N ❧➔

✭✐✈✮ ◆➳✉ ❤❛✐ ✤✐➸♠
✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

❝â ❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤➻
trö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

✭✈✮ ◆➳✉ ❜❛ ✤✐➸♠ ❝â ❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ✈î✐ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❤➥♥❣
❤➔♥❣✳
✭✈✐✮ ◆➳✉

(O1 ), (O2 )

O1 O2

❝➢t ♥❤❛✉ t↕✐

❧➔ trö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

A

t❤➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛

A

✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐


✾

✶✳✶✳✷ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ t➼♥❤ ✈✉æ♥❣ ❣â❝✱ s♦♥❣ s♦♥❣ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝
♣❤➥♥❣
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳
a
O
❈â ♠ët ✈➔ ❝❤➾ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳

a

✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠

✈➔ ✈✉æ♥❣

❝❤♦ tr÷î❝✳

c

◆➳✉ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

❝➢t ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

a, b

✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝

❣â❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ❝â ♠ët ❝➦♣ ❣â❝ s♦ ❧❡ tr♦♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ t❤➻
✭✐✮ ❍❛✐ ❣â❝ s♦ ❧❡ tr♦♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉❀
✭✐✐✮ ❍❛✐ ❣â❝ ✤ç♥❣ ✈à ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✸✳

◆➳✉ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝➢t ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ t❤➻

✭✐✮ ❍❛✐ ❣â❝ s♦ ❧❡ tr♦♥❣ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉❀
✭✐✐✮ ❍❛✐ ❣â❝ ✤ç♥❣ ✈à ❜➡♥❣ ♥❤❛✉❀
✭✐✐✐✮ ❍❛✐ ❣â❝ tr♦♥❣ ❝ò♥❣ ♣❤➼❛ ❜ò ♥❤❛✉✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✹✳

❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝ò♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♠ët ✤÷í♥❣

t❤➥♥❣ t❤ù ❜❛ t❤➻ ❝❤ó♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✺✳

▼ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣

s♦♥❣ s♦♥❣ t❤➻ ♥â ❝ô♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦✐❛✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✻✳

❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝ò♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♠ët ✤÷í♥❣

t❤➥♥❣ t❤ù ❜❛ t❤➻ ❝❤ó♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉✳

✶✳✶✳✸ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ tr♦♥❣
❤➻♥❤ ❤å❝ ♣❤➥♥❣
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✻
✳ ◆➳✉ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝➢t
✭✣à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✮

❤❛✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ t❤➻ ♥â ✤à♥❤ r❛ tr➯♥
❤❛✐ ❝↕♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ♥❤ú♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t➾ ❧➺✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ❣✐↔ sû ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ xx BC ✱ ❝➢t ❝↕♥❤
AB

✈➔

AC

t÷ì♥❣ ù♥❣ t↕✐

D

✈➔

E✳

❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

AE
AD
=
.
DB
EC

✭✶✳✶✮


✶✵

❱➻

DE

❚r♦♥❣

BC ✱ ♥➯♥ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ DEB
ABE ❦➫ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ EF. ❑❤✐ ✤â
SADE
SBDE

❜➡♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝

DEC ✳

1

AD.EF
AD
= 2
=
.
1
BD
BD.EF
2

✭✶✳✷✮

SADE
AE
=
.
SCDE
EC

✭✶✳✸✮

❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â

❚ø ✭✶✳✷✮ ✈➔ ✭✶✳✸✮ s✉② r❛ ❤➺ t❤ù❝ ✭✶✳✶✮✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✼

✳ ◆➳✉ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝➢t ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛

✭✣à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s ✤↔♦✮

♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ✤à♥❤ r❛ tr➯♥ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ➜② ♥❤ú♥❣ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ t➾ ❧➺
t❤➻ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤â s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ xx ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ AB, AC ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝
ABC

t❤❡♦ t❤ù tü t↕✐

D

✈➔

E

s❛♦ ❝❤♦

AB
AC
=
.
DB
EC
❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
◗✉❛

D

DE

BC.

❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤

BC

❝➢t ❝↕♥❤

AC

t↕✐ ✤✐➸♠

E✳

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s t❤✉➟♥ t❛ ❝â

AD
AE
AE
AE
AE
AE
=
⇒
=
⇔
+1=
+1
DB
EC
EC

EC
EC
EC
AE + E C
AE + EC
AC
AC
⇔
=
⇔
=
EC
EC
EC
EC
❤❛②

E C = EC ✱

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽

tù❝ ❧➔

E≡E✳

❉♦ ✤â

DE

BC.

✳ ❚r♦♥❣ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣✱ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣

✭✣à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❛s✮

✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✳




ự r BC



M, N

tọ

BM = BN = AB.

õ



1
1
BN A = BAN = 90 ABC, N AC = 90 BAN = ABC,
2
2
1

AM B = ABC.
2
õ
M CA ACN (g.g) t õ
MC
CA
AB + BC
AC
=

=
.
AC
CN
AC
BC AB



BC 2 = AB 2 + AC 2 .

ỵ

ữỡ ở ởt

ỵ Ptrs

ừ t tờ ữỡ ở ừ t õ
ỳ ừ t õ õ ổ

ự sỷ
t ổ õ ợ

ABC ổ t ổ tứ B ữớ
AC t AC t D ỵ Ptrs t õ
BC 2 = DB 2 + DC 2 .

tt

BC 2 = AB 2 + AC 2 .

r

AB 2 DB 2 = DC 2 AC 2 AD2 = AD(DC + AC)
õ

AD = DC + AC

ỵ

t

t ABC D, E, F

ỵ

ữủt tr BC, AC, AB. ự AD, BE, CF ỗ q ổ
ởt s s
DB EC F A
ã

ã
= 1.
DC EA F B






ự sỷ AD, BE, CF ỗ q ứ A ữớ
t s s ợ

BC

t

BE, CF

t

I



H

ỵ s t õ

DB
IA EC

BC F A
AH
=
;
=
;
=
.
DC
HA EA
IA F B
BC
DB EC F A
ã
ã
= 1.
õ
DC EA F B
ợ trữớ ủ AD
BE CF ử ỵ s

t ụ õ t

q

DB EC F A
ã
ã
= 1.
DC EA F B

ừ sỷ t õ
ồ

H, I

G



F

ữủt

DB EC F A
ã
ã
= 1.
DC EA F B
ừ AD t BE GC


t

AB



ữ tr ự r

ứ s r

ỵ

DB EC F A
ã
ã
= 1.
DC EA F B
F F

ỵ s tr t



t ABC tr

ữớ t ự BC, CA, AB P, Q, R tữỡ ự
s ộ ổ trũ ợ t õ P, Q, R
t
RB P C QA
ã
ã
= 1.
RA P B QC




✶✸

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿

●✐↔ sû ❜❛ ✤✐➸♠

❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐
❚❤❛❧❡s t❛ ❝â

❚❤❛②

AL

BC ✱

❝➢t ✤÷í♥❣

P, Q, R t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ◗✉❛ A✱
t❤➥♥❣ (d) t↕✐ L✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ

LA
QA
CP · QA
=
⇔
,
PC
PC
QC

✭✶✳✽✮

RB
PB
RB LA
=
⇔
·
=1
RA
LA
RA P B

✭✶✳✾✮

ð ✭✶✳✽✮ ✈➔♦ ✭✶✳✾✮ t❛ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ●✐↔ sû t❛ ❝â

RB P C QA
·
·
= 1.
RA P B QC
●å✐

Q

❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛

PR

✈➔ ❝↕♥❤

AC.

❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ t❛ ❝â

RB Q A P C
·
·
= 1.
RA Q C P B
❚ø ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✶✵✮ t❛ s✉② r❛

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷

QA
QA
=
✳
QC
QC

❱➟②

✭✶✳✶✵✮

Q≡Q.

✳ ❈❤♦ tù ❣✐→❝ ABCD ✈➔

✭✣à♥❤ ❧þ ▼❡♥❡❧❛✉s tr♦♥❣ tù ❣✐→❝✮

♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❝➢t AB, BC, CD, DA ❧➛♥ ❧÷ñt ð M, N, P, Q. ❑❤✐ ✤â t❛
❝â
M A N B P C QD
·
·
·
= 1.
M B N C P D QA

✭✶✳✶✶✮




ự r ữớ t (d) I, J
CD.

s

AI

BJ

ỵ s t õ

MA
JA N B

JB OD
PD
=
,
=
,
=
.
MB
JB N C
P C OA
IA
õ

M A N B P C QD
IA JB P C P D
ã
ã
ã
=
ã
ã
ã
= 1.
M B N C P D QA
JB P C P D IA

ỵ

ự ỗ ABCD ở t ởt ữớ

ỵ Pt

trỏ tờ ừ t ố t ữớ

AB.CD + AD.BC = AC.BD



ự M tở ữớ AC s ABD = M BC. õ
ABD M BC õ ABD = M BC, ADB = M CB
M BC (g.g). õ t õ

t

t

AD
MC
=
AD ã BC = BD ã M C.
BD
BC
BA
BM
=
ABM = DBC
ABM
BD
BC

AB
BD
=
AB ã CD = AM ã BD
AM
BC



ABD



DBC

ứ t ữủ

AD.BC + AB.CD = BD.M C + AM.BD = AC.BD
AB.CD + AD.BC = AC.BD.

s r




✶✺

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✹

✭✣à♥❤ ❧þ ❈❛r♥♦t✮

✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â M, N, P t❤❡♦ t❤ù

tü ♥➡♠ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB. ❱➩ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ d1, d2, d3 ✈✉æ♥❣ ❣â❝
✈î✐ BC, CA, AB t❤❡♦ t❤ù tü t↕✐ M, N, P. ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥
✈➔ ✤õ ✤➸ M, N, P ✤ç♥❣ q✉② ❧➔ t❛ ❝â ❤➺ t❤ù❝
M B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2

✭✶✳✶✺✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✿ ●å✐ O ❧➔ ✤✐➸♠ ✤ç♥❣ q✉② ❝õ❛ d1, d2, d3✳ ⑩♣ ❞ö♥❣
✤à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❛s t❛ ❝â

M B 2 = OB 2 − OM 2 , N C 2 = OC 2 − ON 2 , P A2 = OA2 − OP 2
⇒ M B 2 + N C 2 + P A2 = (OB 2 − OM 2 ) + (OC 2 − ON 2 ) + (OA2 − OP 2 )
= (OC 2 − OM 2 ) + (OA2 − ON 2 ) + (OB 2 − 0P 2 ) = M C 2 + N A2 + P B 2 .

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ●✐↔ sû ❝â ❤➺ t❤ù❝ ✭✶✳✶✺✮✳ ●å✐ O ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ d2, d3✳ ❱➩

OM ⊥ BC (M ∈ BC)✳

❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ð ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥✱ t❛ ❝â

M B 2 + N C 2 + P A2 = M C 2 + N A 2 + P B 2 ⇒ M B 2 = M B 2
⇒ MB = M B ⇒ M ≡ M
❱➟②

d1 , d2 , d3

✤ç♥❣ q✉② t↕✐

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✺

O✳

✳ ❈❤♦ ❜è♥ ✤✐➸♠ A, B, C, D ♣❤➙♥ ❜✐➺t tr♦♥❣

✭✣à♥❤ ❧þ ✹ ✤✐➸♠✮

♠➦t ♣❤➥♥❣✳ ❑❤✐ ✤â AB ⊥ CD ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●å✐ H, K ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ A, B ❧➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣
CD✳

◆➳✉

AB ⊥ CD

t❤➻

H≡K

♥➯♥ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❛s t❛ ❝â

AC 2 − AD2 = HC 2 − HD2 = BC 2 − BD2 .
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉

AC 2 − AD2 = BC 2 − BD2

t❤➻ t❛ ❝â

a = AC 2 −AD2 = HC 2 −HD2 = HC 2 −(CD ± HC)2 ⇒ HC = ±

a + CD2
2CD

a + CD2
✣ê✐ ✈❛✐ trá H ❝❤♦ K t❛ ❝ô♥❣ ❝â KC = ±
. ❉♦ ✤â HC = KC. ▲↕✐
2CD
✤ê✐ ✈❛✐ trá C ❜ð✐ D t❛ ❝ô♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ HD = KD. ◆❤÷ ✈➟② H ≡ K ✱
s✉② r❛ AB ⊥ CD.




ỵ

ự õ ữớ ổ õ

ự ỗ ABCD

õ ữớ AC BD AB + CD2 = AD2 + BC 2.
ự sỷ AC BD K ừ AC


BD

2

ỵ Ptrs t õ

AB 2 + CD2 = KA2 + KB 2 + KC 2 + KD2
= KA2 + KD2 + KB 2 + KC 2 = AD2 + BC 2 .

ừ sỷ t õ
AB 2 + CD2 = AD2 + BC 2 .
t

= AKB.

õ t

KA2 +KB 2 2KA.KB. cos +KC 2 +KD2 2KC.KD. cos = AB 2 +CD2
KA2 +KD2 2KA.KD. cos +KC 2 +KB 2 2KC.KB. cos = AD2 +BC 2 .


s r

(KA.KB + KC.KD KA.KD KA.KC). cos = 0.

= AC BD.
2

ỵ

ỵ srs

t ABC A1B1C1

ồ M ừ AB A1B1 N ừ AC A1C1 P

ừ BC B1C1 õ M, N, P t
AA1, BB1, CC1 ỗ q

ự AA1, BB1, CC1 ỗ q t O t ự



M, N, P t
N, A1 , C1 t õ

ử ỵ s

N A C1 C A 1 O
ã
ã
= 1.
N C C1 O A1 A

OAC

ợ



ự tữỡ tỹ t õ

P C B1 B C1 O
M B A1 A B1 O
ã
ã

= 1,
ã
ã
= 1.
P B B1 O C1 C
M A A1 O B1 B





ứ t õ

NA P C MB
ã
ã
= 1,
NC P B MA
õ ử ỵ s t

ABC t õ M, N, P

t

t M, N, P t t ự AA1, BB1, CC1

ỗ q t t
t

M BB1

N CC1

õ

M N, BC, B1 C1

ỗ q

P

O ừ BB1 CC1 ỡ ỳ A ừ M B
N C, A1 ừ M B1 N C1 õ t ự tr t õ
O, A, A1 t AA1 , BB1 , CC1 ỗ q
õ

ởt số t q t ổ õ
s s tr ồ
ử ỵ t t t s s ổ õ ữủ
tr tr ử ở ử t t s tr t
õ ở õ t ử t ú ỗ tớ ởt số t
t õ ữ r ớ ồ s ỹ ồ ữợ t
ũ ủ t tr ử ữủ t ừ tứ


t

tự ABCD ở t

ỵ rt

ữớ trỏ (O) õ ữớ AC BD ổ õ ợ t M
ự r ữớ t ố tr ởt ợ M ổ õ
ố ữủ

ự sỷ I
tt


AC BD

AB M I t CD
ABM = AM I õ AM I = CM E

tr



t

E.



õ ố


✶✽

▼➦t ❦❤→❝ tù ❣✐→❝

ABCD

♥ë✐ t✐➳♣ ♥➯♥

ABM = M CE

s✉② r❛

M AB + M BA = EM C + ECM ⇒ AM B = M EC ⇒ M EC = 90◦ .
❉♦ ✤â

M I ⊥ CD.

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ t❤❛♥❣ ABCD ✈î✐ AB
CD✳

●å✐ I ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AM
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ IK AB.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â

AIB ∼

t❛ ❝â

▼➦t ❦❤→❝✱

M D = M C, AB

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛
✈➔ BC, K ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ BM ✈➔ AC ✳

M ID

AB

IM
MD
=
.
IA
AB
M C ✭t❤❡♦ ❣✐↔

KM
MC
=
KB
AB
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s ✤↔♦ s✉② r❛

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✸✳ ❈❤♦

✭✈➻

IK

♥➯♥

CD, M

M D, AIB = M ID)✱

❞♦ ✤â

t❤✐➳t✮✳ ❉♦ ✤â

IM
KM
=
.
IA
KB

AB.

tr➯♥ tr✉♥❣ t✉②➳♥ AM ❧➜② ✤✐➸♠ K ❜➜t ❦➻ ❦❤→❝
A, M. ◗✉❛ M ❧➛♥ ❧÷ñt ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ KB, KC ❣✐❛♦ AC, AB
t↕✐ F, E ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ EF BC.
ABC,

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑➨♦ ❞➔✐ CK, BK
❧÷ñt ❧➔ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛

AB, AC t↕✐ P, Q. ❚❛ ❝â EM, F M ❧➛♥
BP C, BQC ♥➯♥ BE = P E, QF = CF ✳

❝➢t

✶✾
❉♦ ✤â

AP
AK
AQ
AP + P E
AQ + QF
=
=
⇔
=
PE
KM
QF
PE
QF

❤❛②

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s ✤↔♦ s✉②

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✹✳ ❈❤♦

❧➔ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr➯♥
r➡♥❣ EF BC ✳

AF

AE
=
.
EB
FC
r❛ EF
BC.

ABC. ●å✐ D ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ BC, E ✈➔ F ❧➛♥ ❧÷ñt
AB, AC s❛♦ ❝❤♦ AD, BF, CE ✤ç♥❣ q✉②✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❈❡✈❛ ❝❤♦
q✉②

AD, BF

✈➔

❱➻

BD = CD

❝â

EF

CE

♥➯♥

ABC

✈î✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤ç♥❣

t❛ ❝â

AE BD CF
.
.
= 1.
EB DC F A
AE CF
EA
FA
.
= 1 s✉② r❛
=
✳
EB F A
EB
FC

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s t❛

BC.

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✺✳ ❬✷❪ ●å✐ I ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC. ✣÷í♥❣

t❤➥♥❣ AI, BI, CI ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t↕✐ D, E ✈➔ F.
✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ DE ❝➢t ❝↕♥❤ AC t↕✐ M ✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ DF ❝➢t ❝↕♥❤ AB t↕✐ N.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ M N BC.




ự tt BE

ừ õ

EBC ADE = EDC
AM
AD
AN
AD
t
ADC õ
=
, tữỡ tỹ
=
.
MC
DC
NB
DB
ừ õ BAC s r DB = DC


ABC

ABE =

tt

AD



AD
AD
AM
AN
=

=
.
DB
DC
MC
NB

ỵ s s r

MN

BC.

t t ABC ở t ữớ trỏ (O) t

ữớ trỏ (I). H trỹ t D t ừ (I) ợ BC
sỷ OI BC ự r AO HD.

ự ồ K

ố ự ừ

D

q

I



M

tr

BC, AK t BC t E t t t ừ ữớ trỏ ở t
M D = M E s r IM ữớ tr ừ
KDE IM AE.
tt OI
BC tự OIM D ỳ t õ
IO = M E tự IOM E s r IM OE ứ
õ s r O tở ữớ t AE KD = 2OM
H trỹ t AH BC AH
KD, O t ữớ trỏ
t
ABC AH = 2OM AH = KD tự AKDH

õ HD
AK HD AO.



t tự ABCD ở t ữớ trỏ tọ AB =

BC, CD = DA M
t DB t Q ự

ự

tr CD,
r P Q AC

MB

t CD t P M A

AB = BC, CD = DA
CBD (c.g.c) DAB = DCB
tt

s r

DAB + DCB = 180 DAB = DCB = 90

ABD =

✷✶

❙✉② r❛

BD

❧➔ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❞♦ ✤â

AC ⊥ BD.

1
1
DQM = (s✤ M D +s✤ AB), DP M = (s✤ M D +s✤ BC), AB = BC.
2
2
DQM = DP M ✳ ❱➟② tù ❣✐→❝ DQP M ♥ë✐ t✐➳♣ ✈î✐ BD ❧➔ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤✳
◦
◦
✤â DM B = 90 ✱ s✉② r❛ DQP = 90 ✳ ❱➟②✱ P Q ⊥ BD ⇒ P Q
AC.

❉♦ ✤â
❉♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✽✳ ❬✶❪ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤å♥ ABC ✱ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ AD, BE, CF ✈➔ M

❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ BC ✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ AEF ❝➢t AM t↕✐
N, BN ❝➢t AD t↕✐ P, CF ❝➢t AM t↕✐ Q✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P Q BC ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦

AC, CF
BF HD

✈✉æ♥❣ ❣â❝

❣✐↔ t❤✐➳t

AB ✳

●å✐

AD
H ❧➔

BC, BE ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐
❣✐→❝ ABC. ❙✉② r❛ tù ❣✐→❝

✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐
trü❝ t➙♠ t❛♠

♥ë✐ t✐➳♣✱ ❞♦ ✤â

AF.AB = AH.AD
AEF ❝➢t AM t↕✐ N, AEH = AF H = 90◦ ✳
AN H = 90◦ ⇒ HN M + HDM = 180◦ s✉②

✣÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝
❚❛ ❝â✱

AH

❧➔ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ♥➯♥