Toán 11 HK 2 khối 11 lương thế vinh 2016 2017

Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình dưới đây. Tìm mệnh đề đúng.

A. Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị.
B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x = 2 .
C. Hàm số y = f ( x ) chỉ có một cực trị.
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Lời giải
Tác giả: Đinh Văn Vang; Fb: Tuan Vu
Chọn C
Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy phương trình f ′ ( x ) = 0 có nghiệm đơn x = −1 và nghiệm
kép x = 2 .
f ′ ( x ) đổi dấu từ ấm ( − ) sang ( + ) khi x qua x = −1 nên hàm số chỉ có một điểm cực tiểu là

x = −1 . Do đó chọn đáp C.

Đáp án A vì hàm số y = f ′ ( x ) chỉ đổi dấu một lần.
Đáp án B sai vì hàm số y = f ′ ( x ) không đổi dấu khi x qua x = 2 .
Đáp án D sai vì hàm =
số y f ′ ( x ) > 0 ∀ ( 0; 2 ) .
Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong ở
hình bên. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 3 .
Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình

( x) f ( x 2 − 3) và các mệnh đề sau:
vẽ bên dưới. Xét hàm số g=


I. Hàm số g ( x) có 3 điểm cực trị.
II. Hàm số g ( x) đạt cực tiểu tại x = 0.
III. Hàm số g ( x) đạt cực đại tại x = 2.
IV. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) .
V. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .

D. 2 .

Ghi nhớ:Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x0 là f ′ ( x ) đổi dấu khi x qua x0 .
Câu 2.

Giới hạn lim n

(

)

n + 4 − n + 3 bằng
B. +∞ .

A. 0 .

C.

1
.
2

D.

7
.
2

Lời giải
Tác giả: Trần Tiến Đạt ; Fb: Tien Dat Tran
Chọn C

(

)


n+4 − n+3 =
lim n 

n
1
= lim
= im
=

n+4 + n+3
4
3
1+ + 1+
n
n
Ta có : lim n

Bài tập tương tự :
Bài 1. Giới hạn lim

(

A. 3 .
Bài 2. Giới hạn lim

n+ 4−n−3 

n+4 + n+3 
1
2

)

n 2 + 2n + 3 − n + 2 bằng

(

B. +∞ .

)

D. −1 .

C. 0 .

n 2 − 18 − n 2 + 19 n bằng

C. −

B. −37 .

A. 0 .

37
.
2

D. +∞ .

Ghi nhớ:
1) Dạng vô định ∞ − ∞ mà biểu thức chứa căn thức, ta thực hiện khử vô định bằng cách nhân
liên hợp:
A− B
;
A− B =
A+ B

3

A−3 B =
3
A

( )

A− B
2

+ 3 A. 3 B +

( B)
3

2


2)

Sử

dụng

MTCT:

Nhập

biểu

thức

n

(

n+4 − n+3

)

và

CALC

6
9
=
X 10=
, X 1012 ,...) . Chọn kết quả
( X 10=

Câu 3.

1
1
hoặc xấp xỉ .
2
2
3
2
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =

− x + x − 3 x + 4 tại điểm M (1;1)

A. −1 .

B. −4 .

C. 0 .

D. −2 .

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh
Chọn B
Ta có khi x = 1 thì y =−(1)3 + (1) 2 − 3(1) + 4 =
1 nên điểm M (1;1) thuộc đồ thị của hàm số
3
2
y=
− x + x − 3 x + 4 . Do đó: hệ số góc của tiếp tuyến tại M (1;1) là y '(1) .
Ta có: y ' =
−3 x 2 + 2 x − 3 nên y '(1) =−3 + 2 − 3 =−4 .
Bài tập tương tự :
Bài 1. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x 3 + x 2 − 3 x + 4 tại điểm M (−2;6)
A. −19 .
B. 5 .
C. 2
D. −3 .
3
2
Bài 2. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2 x − 7 x − 4 x + 9 tại điểm M (4;9)

3
A. 148 .
B. 36 .
C.
D. 356 .
2

Câu 4.

Ghi nhớ: Nếu điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị của hàm số y = f ( x) thì hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị của hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là f '( x0 ) .
Cho tứ diện đều ABCD . Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC là
A. Hình thang.
B. Tam giác vuông.
C. Hình bình hành.
D. Tam giác cân.
Lời giải
Tác giả:Bùi Đoàn Tiến ; Fb:Bùi Đoàn Tiến
Chọn D

=
; MB MC
=
; DB DC nên ( AMD ) là mặt phẳng
Gọi M là trung điểm của BC . Ta=
có AB AC
trung trực của BC đồng thời tiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực của cạnh BC
. Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh a .

∆AMD có AM

= MD
=

a 3
và AM 2 + MD 2 > AD 2 nên ∆AMD cân tại M .
2

Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho tứ diện đều MNEF . Thiết diện của tứ diện MNEF và mặt phẳng trung trực của
cạnh EF là


A. Tam giác đều.
B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông cân.
D. Tam giác vuông.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD canh a . Thiết diện của tứ diện ABCD và mặt phẳng trung trực
của cạnh BC có diện tích là
2a 2
3a 2
2a 2
2a 2
A.
(đvdt).
B.
(đvdt).
C.
(đvdt).
D.
(đvdt).

4
3
2
4
Ghi nhớ:
+) Tứ điện đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
+) Chiều cao của tam giác đều cạnh a có độ dài là h =
Câu 5.

Cho hàm số
A. 2017! .

f  x  x  x 1 x  2 x  3... x  2018
B. 0 .

a 3
.
2

. Tính
C. 2017! .

f  1

.
D. 2018 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Vân ; Fb:Nguyễn Thị Vân
Chọn A

Cách 1.
Ta có f 1  0

lim
x1

f  x  f 1
x  x 1 x  2... x  2018
 lim
x1
x 1
x 1
 lim  x  x  2 x  3... x  2018  1.(1).(2)....(2017)  2017!
x1

Vậy f  1  lim
x1

f  x   f 1
 2017!
x 1

Cách 2.
Đặt g  x   x  x  2 x  3... x  2018 . Ta có f  x    x 1 g  x 

f   x   x 1 g  x   x 1.g   x  g  x   x 1 g   x
Suy ra f  1  g 1  1.2...2017  2017!
Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho hàm số f  x  x  x  1 x  2... x  2019. Tính f  0 .
A. 2018! .

B. 2019! .
C. 0 .
D. 1 .
Bài 2. Cho hàm số f  x  x  x 1 x  2... x  2019. Tính f  2019 .
A. 2018! .

B. 2019! .

C. 1 .

D. 2019 .

Ghi nhớ: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0  (a ; b) . Nếu tồn tại giới
hạn (hữu hạn)
f ( x)  f ( x0 )
lim
x x0
x  x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 và ký hiệu là f ( x0 )
(hoặc y ( x0 ) ), tức là
f ( x)  f ( x0 )
f ( x0 )  lim
x x0
x  x0


Câu 6.

Quy tắc: uv   u v  uv
Cho lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có AA′ = a , khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và CC ′ bằng

a 3 . Diện tích tam giác ABC bằng
A. a

2

3.

3a 2 3
B.
.
4

a2 3
C.
.
4

D. 2a 2 3 .

Lời giải
Tác giả: Dương Đức Trí ; Fb: duongductric3ct
Chọn A

Gọi H là trung điểm của A′B′ . Ta có C ′H ⊥ A′B′ và C ′H ⊥ AA′ nên C ′H ⊥ ( ABB′A′ ) .
′H a 3 .
′ )  C=
Vì CC ′ / / ( ABB′A′ ) ⇒ d ( CC ′; A′B ) =
d CC ′; ( ABB′A′ )  = d C ′; ( ABB′A=
3
′H :

∆A′B′C ′ đều có trung tuyến C ′H = a 3 nên
=
A ' B′ C=
2a
2
3
a2 3 .
⇒ S ∆A′B′=
A ' B′2 . = a 2 3 ⇒ S ∆ABC =
C′
4

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của
điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai
a 3
. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .
4
a3 3
a3 3
a3 3
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
12
24
3

đường thẳng AA′ và BC bằng
A. V =

a3 3
.
6

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD )
3 7a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
7
1
2
A. V = a 3 .
D. V = a 3 .
C. V = a 3 .
3
3
Đạo hàm của hàm số y = 4 sin 2 x + 7 cos 3 x + 9 là:

bằng

Câu 7.

A. 8 cos 2 x − 21sin 3 x + 9 .
C. 4 cos 2 x − 7 sin 3 x .

D. V =

3a 3
.
2

B. 8 cos 2 x − 21sin 3 x .
D. 4 cos 2 x + 7 sin 3 x .
Lời giải
Tác giả: Phó Văn Giang ; Fb: giang pho

Chọn B


4.(2 x)'c os2x − 7.(3 x)' sin 3 x =
8 cos 2 x − 21sin 3 x
Ta có: y ' =
Bài tập tương tự :
Bài 1. Đạo hàm của hàm số y = 3 sin 4 x − 4cos3 x + 2019
A. 12 cos 4 x + 12 sin 3 x .
B. 12 cos 4 x − 12 sin 3 x .
C. 12 sin 4 x + 12 cos 3 x .
D. 12 cos 4 x − 12 sin 4 x .
3
5
Bài 2. Đạo hàm của hàm số y = cos 2 x + sin 3 x + 2019 x là:
2
3
A. 3 sin 2 x + 5 cos 3 x + 2019 .
B. −3 sin 2 x + 5 cos 3 x + 2019 .
C. −3 sin 2 x − 5 cos 3 x + 2019 .
D. 3 sin 2 x − 5 cos 3 x + 2019 .

Ghi nhớ: * (sin u)' = u 'c osu
*(c osu)' = −u ' sin u
Câu 8.

 x+3 −2
khi x > 1

Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là
ax + 2
khi x ≤ 1

7
1
A. .
B. 1 .
C. − .
D. 0 .
4
2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn C
Tập xác định của hàm số f ( x ) là  .
Ta có f (1)= a + 2

x+3 −2
1
1
=

=
lim+ f ( x ) lim
lim=
+
+
x →1
x →1
x →1
x −1
4
x+3 +2

(

)

lim f ( x ) =lim− ( ax + 2 ) =a + 2

x →1−

x →1

1 ⇔ lim+ f ( x ) =
lim− f ( x ) =
f (1)
Hàm số đã cho liên tục tại x =
x →1

⇔

x →1

1
7
=a + 2 ⇔ a =− .
4
4

Bài tập tương tự :

( x + 1)2 khi x > 1

2
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) =
 x + 3 khi x < 1 . Tìm k để f ( x ) gián đoạn tại x = 1 .
k 2
khi x = 1

A. k ≠ ±2 .
B. k ≠ 2 .
C. k ≠ −2 .
D. k ≠ ±1 .
 sin 5 x
khi x ≠ 0

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) =  5 x
. Tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 0.
a + 2 khi x =
0
A. 1 .

B. −1 .
C. −2 .
D. 2.

Ghi nhớ:
Để xét tính liên tục của hàm số tại x0 ta cần phải nhớ.
1)Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K .


Hàm số y = f ( x ) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

l ⇔ lim+ f ( x) =
lim− f ( x) =
l
2)Định lý về giới hạn một bên lim f ( x) =
x → x0

Câu 9.

x → x0

x → x0

1
− x3 − mx 2 + ( 2m − 3) x + 2018 nghịch
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
3
biến trên  .
A. m ≤ 1 .

B. −3 ≤ m ≤ 1 .
C. −3 < m < 1 .
D. m ≥ 1 hoặc m ≤ −3 .
Lời giải
Tác giả: Trần Tuấn Anh; Fb: Trần Tuấn Anh
Chọn B
Cách 1. (tự luận)
TXĐ: D =  .

y′ =
− x 2 − 2mx + 2m − 3 .
Hàm số bậc ba y nghịch biến trên  khi và chỉ khi
a < 0
−1 < 0
⇔ 2
⇔ m 2 + 2m − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1
y ' ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 
4m + 8m − 12 ≤ 0
∆ y′ ≤ 0
Cách 2. (trắc nghiệm)
Ta có y nghịch biến trên 
 1
− 3 < 0
0
a
<

⇔ 2
⇔
⇔ m 2 + 2m − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1

b − 3ac ≤ 0
(−m) 2 − 3.  − 1  .(2m − 3) ≤ 0

 3

Bài tập tương tự :

1
− x3 + (m + 2) x 2 + mx + 2019
Bài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
3
nghịch biến trên tập xác định?
A. Vô số.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
y = 2 x3 − 3(m + 2) x 2 + 6(m + 1) x − 4m đồng biến trên tập xác định?
A. Vô số.
B. 5.
C. 1.
D. 0.
Ghi nhớ:
Với dạng toán tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu trên  hoặc có hai cực trị ta có thể sử
dụng biệt thức b 2 − 3ac để tính mà không cần dùng đạo hàm.
Cụ thể:

y có hai cực điểm cực trị ⇔ b 2 − 3ac > 0
a > 0
y đồng biến trên  ⇔  2

b − 3ac ≤ 0
a < 0
y nghịch biến trên  ⇔  2
b − 3ac ≤ 0

Câu 10. Cho các số thực a, b, c > 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu=
thức T

3
a+b+c
abc
là
+
3
a+b+c
abc


A. 2 .

B.

10
.
3

C.

5
.

2

Lời giải

D. 3 .
Tác giả : Lê Đình Năng, FB: Lê Năng

Chọn B
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a, b, c > 0 ta có

a+b+c 3
a+b+c
≥ abc ⇔ 3
≥ 3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b= c .
3
abc
Đặt

a+b+c
1 8x  x 1 
= x , x ≥ 3 thì khi đó T = x + = +  +  .
3
x 9 9 x
abc

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

x 1
x 1 2
8x 8

8
+ ≥ 2 . = và với x ≥ 3 thì
≥ .3 =
9 x
9 x 3
9 9
3

x 1
8 2 10
10
 =
Do đó T ≥ + = và T =
khi và chỉ khi  9 x ⇔ x =
3.
3 3 3
3
 x = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu=
thức T

3
a+b+c
abc
10
là
khi a= b= c .
+
3

a+b+c
3
abc

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho các số thực a, b > 0 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=
T
A. 2 .
Bài

5
.
2
số thực

B.

2.

Cho

các

4
a+b+c+d
abcd
là
+
4

a+b+c+d
abcd
17
A. 2 .
B.
.
4

C.
a , b, c , d > 0 .

7
.
2
Giá

a+b
ab
là
+
ab a + b
D. 3 .

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

=
T

C.

15
.
4

D. 5 .

Ghi nhớ :
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= x +

1
với x ≥ a ( a > 1)
x

1/ Nếu làm theo bất đẳng thức AM-GM cần chú ý dấu bằng xảy ra tại x = a . Nến đối với bài
1
trắc nghiệm thì min T= a + .
a
2/ Còn cách dùng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của T= x +

1

với x ≥ a > 1 .
x

Câu 11. Tìm mệnh đề sai? Trong không gian
A. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng thì đường thẳng đó
vuông góc với mặt phẳng.
B. Hai mặt phẳng cắt nhau và vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song
song với nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó
song song với nhau.


Tác giả: Đỗ Thị Bích Hường
Lời giải
Các câu A,B,C đúng vì là lý thuyết ( Định lý, hệ quả )
Câu D sai vì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc chéo nhau
Bài tập tương tự
Bài 1. Tìm mệnh đề đúng ? Trong không gian
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song
với đường thẳng còn lại.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với
đường thẳng còn lại.
Bài 2. Tìm mệnh đề đúng ? Trong không gian
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Ghi nhớ: Để làm các câu hỏi lý thuyết về quan hệ vuông góc trong không gian
-Cần nắm chắc các định lý, hệ quả về quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.
-Nắm chắc mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song trong không gian.
Câu 12. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + 1 có hai điểm cực trị là A và B . Phương trình đường thẳng AB
là
A. y =
−2 x + 1 .

B. =
y 2x −1.

C. y= x − 2 .

D. y =− x + 2 .

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương
Chọn A
Cách 1:
y = x3 − 3x + 1 ⇒ y′ = 3x 2 − 3

3 ⇒ A ( −1;3)
−1; y =
x =
y′= 0 ⇔ 
 x =1; y =−1 ⇒ B (1; − 1)



AB = ( 2; − 4 ) ⇒ u = (1; − 2 ) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB là

x −1 y +1
=
⇔ y=
−2 x + 1 .
1
−2

Cách 2:
Chia y cho y′ ta được thương p ( x ) =

x
và dư r ( x ) =
−2 x + 1 .
3

Do=
đó y y′. p ( x ) + r ( x ) .
′ ( x1 ) y=
′ ( x2 ) 0
Gọi A ( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó y=

Suy
ra y1 r=
=
r ( x) =
−2 x + 1 .
( x1 ) ; y2 r ( x2 ) . Vậy phương trình đường thẳng AB là y =

Bài tập tương tự :


Bài 1. Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 − 9 x + 2 có hai điểm cực trị là A và B . Phương trình
đường thẳng AB là
A. y= x − 8 .
B. =
C. y =− x + 8 .
D. y =
y 8x −1 .
−8 x − 1 .
Bài 2. Biết đồ thị hàm số y =
đường thẳng AB là
A. y =
−6 x − 3 .

1 3
1
x + x 2 − 8 x + có hai điểm cực trị là A và B . Phương trình
3
3

B. =
y 6x + 3 .

C. =
y 6x − 3 .

D. y =
−6 x + 3 .

Ghi nhớ: Phương pháp viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
bậc ba
Cách 1:Tìm tọa độ hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
đó.
Cách 2:
Chia y cho y′ ta được thương p ( x ) và dư r ( x ) .
Do=
đó y y′. p ( x ) + r ( x ) .
′ ( x1 ) y=
′ ( x2 ) 0
Gọi A ( x1; y1 ) và B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó y=

Suy
ra y1 r=
=
( x1 ) ; y2 r ( x2 ) . Vậy phương trình đường thẳng AB là y = r ( x ) .

)

(

a
a
2 x 2 − 3 x + 1 + x 2 = 2 , ( a là số nguyên, b là số nguyên dương,
tối
x →−∞
b
b
giản). Tổng a + b có giá trị là

A. 1 .
B. 5 .
C. 4 .
D. 7 .

Câu 13. Biết rằng lim

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền
Chọn D

lim

x →−∞

(

= lim

x →−∞

2 x − 3x + 1 + x 2
2

)

(
=lim

2 x 2 − 3x + 1 + x 2

)(

2 x 2 − 3x + 1 − x 2

)

2 x 2 − 3x + 1 − x 2

x →−∞

1

x  −3 + 
−3 x + 1
x

= lim

3 1
2 x 2 − 3 x + 1 − x 2 x →−∞ 
x− 2 − + 2 − 2 
x x



1
−3 +
3
x

lim
=
2.
x →−∞
4
3 1
− 2− + 2 − 2
x x
Vậy a = 3 , b = 4 suy ra a + b = 3 + 4 = 7 .
Bài tập tương tự:

(

)

a
a
x 2 + x + 1 + x = , ( a là số nguyên, b là số nguyên dương, tối giản).
x →−∞
b
b
2
2
Tính giá trị biểu thức P
= a +b .
A. P = 5 .
B. P = 0 .
C. P = 1 .
D. P = −1 .
a

a
Bài 2. Biết rằng lim 3 x 2 − 5 x + 1 + x 3 = 3 , ( a là số nguyên, b là số nguyên dương,
x →−∞
b
b
tối giản). Tổng a + b bằng
Bài 1. Biết rằng lim

(

)


A. 1 .

B. 7 .

C. 11 .

D. 3 .

Ghi nhớ:
Với x > 0 thì

x2 = x .

Với x < 0 thì x 2 = − x .
= AB
= a . Khoảng cách
Câu 14. Hình chóp S . ABC đều. G là trọng tâm tam giác ABC . Biết rằng SG

giữa hai đường thẳng SA và GC bằng
A.

a 5
.
5

B.

a 3
.
3

C.

a
.
2

D. a .

Lời giải
Chọn A.
S

O

x

α

I

A

C
G

M
B

Trong ( ABC ) , kẻ Ax song song GC . Đặt (α ) ≡ ( SA, Ax ) ⇒ GC / / (α )

d ( GC , SA ) d=
Khi đó: =
( GC , (α ) ) d ( G, (α ) )
Trong ( ABC ) , kẻ GI ⊥ Ax tại I
Trong ( SGI ) , kẻ GO ⊥ SI tại O

GO
Ta chứng minh được : GO ⊥ (α ) ⇒ d ( G, (α ) ) =
Xét ∆AGI có=
AG
=
sin IAG

2
a 3
=
AM

3
3

GI
a 3 3 a
⇒ GI = GA.sin 600 =
.
=
GA
3
2
2

Xét tam giác SGI có :
Vậy d ( SA, GC ) =

1
1
1
1
4
5
a 5
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ GO = .
2
2
GO
SG GI
a a

a
5

a 5
.
5

Câu 15. Chọn mệnh đề sai?
A. Phương trình x 2019 − x + 1 =
0 luôn có nghiệm.
1
1
−
=
m vô nghiệm với ∀m .
B. Phương trình
sinx cos x
C. Phương trình x 5 − x 2 − 3 =
0 có nghiệm thuộc khoảng (0;2).


D.Phương trình 2 sin x + 3cos x =
4 vô nghiệm.
Lời giải
Tác giả: Võ Văn Trung ; Fb: Van Trung
Chọn B
*Xét phương án A: Xét hàm số f(x)
= x 2019 − x + 1 .
f(−2) =−
( 2)2019 + 3; f(0) =1

f(−2).f(0) < 0 và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;0]. Suy ra phương trình có ít nhất một
2019
0 luôn có nghiệm. Do đó đáp án A: đúng.
nghiệm trong khoảng (-2; 0). Vậy pt x − x + 1 =

*Xét phương án B.

 x ≠ kπ
sin x ≠ 0

§K :
⇔
π
cos x ≠ 0
x ≠ 2 + kπ
π
x − sin x m sin x.cos x ⇔ cos(x
=
+ )
. pt ⇔ cos =
4
π
*=
m 0 : pt(1) ⇔ cos(x + =
) 0 : pt cã nghiÖm.
4

m
2

cos x.sin x(1)

Vậy đáp án B: sai.
*Xét phương án C: Xét hàm số f(x) = x 5 − x 2 − 3 .
f(0) =
−3; f(2) =
25
−75 < 0 và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;2]. Suy ra phương trình
f(0).f(2) =
5
2
x −x −3 =
0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2). Do đó đáp án C: đúng.

*Xét phương án D: Phương trình 2 sin x + 3cos x =
4(*)
Điều kiện có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c2

a 2 + b 2 = 2 2 + 32 = 13
⇒ a 2 + b 2 < c2 .Do đó pt (*) vô nghiệm. Vậy đáp án D: đúng.
 2
2
c= 4= 16
Bài tập tương tự
Bài 1.Chọn mệnh đề sai?
A. Phương trình x 3 + 3x 2 + 5x − 1 =
0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1).
B. Phương trình 2sin x cos x + 3 cos 2 x + m =
0 có nghiệm với ∀m .
C. Phương trình x5 + 7 x 4 − 3 x 2 + x + 2 =

0 luôn có nghiệm.
D. Phương trình 3sin x + 4 cos x =
2 luôn có nghiệm.
Bài 2.Chọn mệnh đề sai?
A. Phương trình (1 − m 2 ) x5 − 3 x − 1 =0 luôn có nghiệm với mọi m.
B. Phương trình 4 sin x − 5cos x =
3 luôn có nghiệm.
C. Phương trình 4 x 4 + 2 x 2 − x =
3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng ( −1;1) .
D. Phương trình 12sin x + m cos x =
13 có nghiệm với ∀m .
4
2
Câu 16. Cho hàm số =
y x − 2 x (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với trục hoành là
A. y = 1 .

B. y = 0 .

C. y = −1 .
Lời giải

D. y = 1 .


Tác giả:Hoàng Kiên ; Fb: Hoang kiên.
Chọn D
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên phương trình tiếp tuyến là y = a với a = ycd nếu
ycd ≠ 0 hoặc a = yct nếu yct ≠ 0 .
Ta có =

y ′ 4 x3 − 4 x

x = 1
y ′ =0 ⇔ 4 x − 4 x =0 ⇔  x =0
 x = −1
3

Bảng xét dấu y ' :

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra =
ycd y=
(0) 0 và yct =y (±1) =
−1. Vậy phương trình tuyến
tuyến
cần tìm là y = −1 , suy ra đáp án đúng là đáp án D.
Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho hàm số y = 3 x 4 − 6 x 2 + 1 (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với đường
thẳng y = 1 là
A. y = 3 .
B. y = −3 .
C. y = 2 .
D. y = −2 .
Bài 2. Cho hàm số =
y x 3 − 3 x 2 (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với trục hoành
là
A. y = −1 .
B. y = 5 .
C. y = 3 .
D. y = −4 .
Ghi nhớ:

Các tiếp tuyến nếu có của đồ thị hàm số song song với trục hoành hoặc song song với đường
thẳng dạng y = m ( nếu có) luôn luôn có phương trình là y = ycd hoặc y = yct hoặc cả tùy theo
m ≠ ycd hay m ≠ yct .
Câu 17. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây nghịch biến trên R ?
x+2
A. y =
.
B. y =
D. y = cot x .
− x 4 − x 2 − 1 . C. y =
− x 3 + x 2 − 3 x + 11 .
x −1
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Liên ; Fb: LienLe
Chọn C
y =− x 3 + x 2 − 3 x + 11 ⇒ y′ =−3 x 2 + 2 x − 3 < 0, ∀x ∈ R .
Suy ra hàm số nghịch biến trên R .
Bài tập tương tự
Bài 1. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây đồng biến trên R ?
1 4
3
A. y = x3 + x 2 + 9 x + 5 .
B. y=
x + x2 − .
2
2
2x − 1
C. y =
.
D. y = tan 2 x .

x +1
Bài 2.
Cho các hàm số: y = 2 x 2 − 3 x + 1 , y =
y = sin x .

1 − 2x
, y=
−2 x 2 − x 4 + 3 , y =
−5 x3 + 3 x 2 − 7 x + 2 ,
2x − 4


Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên những khoảng xác định của hàm
số đó?
0.
A.
B. 1 .
C. 2 . D. 3 .
Ghi nhớ.
Để giải quyết bài toán trên, cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số đó. Sau đó, xét dấu của đạo hàm bằng cách sử dụng các kiến
thức: định lí về dấu của nhị thức bậc nhất, định lí dấu của tam thức bậc hai, hàm số lượng giác.
Bước 3: Từ đó, kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.
x+4
Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
x−2
tung là
3

3
1
2
3
A. y =
B. y =
C. =
D. y =
− x − 2.
y
x − 2.
− x+ .
− x + 2.
2
2
6
3
2
Lời giải
Tác giả:Tạ Thị Bích Phượng ; Fb: Bích Phượng
Chọn B
 x=0
 x=0

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của hệ 
.
x+4 ⇔ 
=
−
y

2
=
y


x−2

Ta có y ' =

−6

( x − 2)

2

. Suy ra y ' ( =
0)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
là

=
y y ' ( 0 )( x − 0 ) − =
2

−3
x − 2.
2

−6 −3

=
.
4
2

x+4
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung
x−2

Bài tập tương tự
Bài 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
trục tung là
3
1
A. =
y
x− .
4
2

3
1
B. y =
− x− .
4
2

C. =
y

x −1
tại giao điểm của đồ thị hàm số với
x+2
3
1
x+ .
4
2

D.

3
1
y=
− x− .
4
2

− x3 + 3x − 2 có đồ thị ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm
Bài 2.Cho hàm số y =
với trục tung là
A. y =
−2 x + 1.

B. =
y 3 x − 2.

C. =
y 2 x + 1.

D. y =
−3 x − 2.

Ghi nhớ:Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) .
Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm M ( x0 , y0 ) là

y=
− y0 f ' ( x0 )( x − x0 ) .
 x2 + 1

+ ax − b  =
−5 . Tính tổng a + b .
Câu 19. Biết rằng lim 
x →+∞
 x−2

A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Phú Hòa; Fb: Nguyễn Phú Hòa


Chọn A
 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
 x2 + 1

+ ax − b  =
−5 .

lim 
lim 
=
x →+∞
x−2
 x−2
 x →+∞ 


 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
+ Khi a + 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ −1 , ta được lim 
 = +∞ . (Không thỏa)
x →+∞
x−2


+ Khi a + 1 =0 ⇔ a =−1 , ta được:
 ( a + 1) x 2 − ( 2a + b ) x + 2b + 1 
 − ( −2 + b ) x + 2b + 1 
lim 
= lim 

 = −5
x →+∞
x →+∞
x
−
2
x
−

2




⇔ −2 + b = 5 ⇔ b = 7 . Vậy a + b =
6.

Câu hỏi tương tự:

 x3 + 1

+ ax + b  =
10 . Tính tổng a + b .
Bài 1.Biết rằng lim  2
x →+∞ x − 2


A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
Bài 2.Biết rằng lim

x →±∞

S = 8a + 6b − 3c .
A. −1 .

a ( 2 x3 − x 2 ) + b ( x3 + 5 x 2 − 1) − c ( 3 x3 + x 2 )
a ( 5 x 4 − x ) − bx 4 + c ( 4 x 4 + 1) + 2 x 2 + 5 x

B. 2 .

C. 1 .

D. 9 .

= 1 , với a, b, c ∈  . Tính

D. 0 .

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên dưới đây. Tìm khẳng định đúng.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Khắc Sâm ; Fb: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
điểm cực đại của hàm số.

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x  2 nên x  2 là

Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau. Chọn khẳng định đúng

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 5 .

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .


Bài 2. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại:
A. x = −2 .
B. x = 0 .
C. x = −1 .
D. x = 2
.
Câu 21. Tứ diện OABC có OA
= OB
= OC và đôi một vuông góc. Tan của góc giữa đường thẳng OA và
mặt phẳng ( ABC ) bằng
A. 2 .

2.

B.

C. 1 .

D.

2
.

2

Lời giải
Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai
Chọn D
O

C

A
G

M

B

Theo bài ra tứ diện OABC có OA
= OB
= OC và đôi một vuông góc nên đáy ABC là tam giác
đều và hình chiếu vuông góc của O lên ( ABC ) trùng với trọng tâm G của ∆ABC .

 OAG
.
Do đó OG ⊥ ( ABC ) ⇒ ( OA; ( ABC ) ) =
Giả sử OA = OB = OC = a ⇒ AB = AC = BC = a 2 .
Xét tam giác OBC vuông: OM
=

BC a 2
(tính chất đường trung tuyến)

=
2
2

OA ⊥ OB 
 OM = a 2 =
 ⇒ OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ OM ⇒ tan OAM =
OA ⊥ OC 
OA
2a

2
.
2

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và
SA = a 6 . Gọi α là góc giữa SC và ( SAB ) , β là góc giữa AC và ( SBC ) . Giá trị tan α + sin β
bằng?


A.

1+ 7
.
7

B.

1 + 19

.
7

7 + 21
.
7

C.

D.

1 + 20
.
7

= AB
= a
Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA
. Sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

1
.
4

3
.
3

B.

1
.
3

C.

D.

2
.
3

Ghi nhớ:
Nếu đường thẳng a không vuông góc với ( P ) thì góc giữa đường thẳng a và ( P ) là góc giữa

a và hình chiếu a′ của a trên ( P ) .
a

a'

P

Câu 22. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ?
x +1
A. y =
B. y =
.
C. =
− x4 + x2 .

y x4 + 1.
x −1

D. y = x3 + x 2 + 2 x − 1 .

Lời giải
Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu
Xét hàm số =
y x 4 + 1 . Ta có y ' = 4 x3 ; y ' = 0 ⇔ x = 0 .
Bảng biến thiên
x
y'
y

−∞
-

0
0

+∞
+

0

Vậy hàm số =
y x 4 + 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài tập tương tự
Bài 1. Hàm số nào dưới đây chỉ có cực đại mà không có cực tiểu ?
2x + 3

A. y =
B. y =
.
C. y =
D. =
− x4 + 2x2 .
y x3 − 3x 2 .
−2 x 4 + 4 .
x+4
1 4
x − (m + 1) x 2 + 3m − 2 có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 2. Tìm tham số m để hàm số y =
4
A. m ≤ −1 .
B. m < −1 .
C. m > −1 .
D. m ≥ −1 .
Ghi nhớ:

=
-Hàm số phân thức hữu
tỷ y

ax + b
; (ad − bc ≠ 0; c ≠ 0) không có cực trị.
cx + d

-Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) : Khi a > 0 thì có cực tiểu, khi a < 0
thì có cực đại.
-Hàm số đa thức bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d ,(a ≠ 0) không có cực trị hoặc có cả cực đại và

cực tiểu.
Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD đều. Gọi H là trung điểm của AC. Tìm mệnh đề sai?
A. ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
B. SH ⊥ ( ABCD ) .
C. ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . D. CD ⊥ ( SAD ) .


Lời giải
Tác giả: Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng
Chọn D
S

A

D
H

B

C

AC ⊥ BD 
 ⇒ AC ⊥ ( SBD) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD)
AC ⊥ SH 
Vì S . ABCD là hình chóp đều ⇒ SH ⊥ ( ABCD)

SH ⊥ ( ABCD) 
 ⇒ ( SBD ) ⊥ ( ABCD )
SH ⊂ ( SBD) 
CD ⊥ ( SAD ) là mệnh đề sai

Bài tập tương tự :
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề sai?
A. AC ⊥ ( SBD ) .
B. ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) . C. SO ⊥ ( ABCD ) .
D. AB ⊥ ( SAD ) .
Bài 2. Cho hình chóp S . ABC đều có O là tâm đáy. Tìm mệnh đề sai?
A. SO ⊥ ( ABC ) .
B. AB ⊥ ( SOC ) .
C. ( SAB ) ⊥ ( SBC ) . D. ( SAO ) ⊥ ( ABC ) .
lim

1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
2n − 1

Câu 24.

bằng
B. +∞ .

A. 1 .

C.

2
.
2

D. 0 .

Lời giải

Tác giả: Trần Độ ; Fb: Trần Độ
Chọn C

1
n
2−
 2.1 + ( n − 1) .4 
n
2
n
1
−
1 + 5 + ... + ( 4n − 3)
(
)
n
= lim 2
= lim = lim
=
lim
1
2n − 1
2n − 1
2n − 1
2−
n
n
4 −1
= lim
= +∞

3 ( 2n − 1)
Bài tập tương tự :

12 + 22 + ... + n 2
Bài 1. lim
bằng
n
3

A. 1 .

B. +∞ .

3

C.

3
.
3

D.

1
.
3
3

2
2

1
1
1
+
+ ... +
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1)
Bài 2. lim
bằng
2n + 1
1
A. 1 .
B. .
C. +∞ .
2

D. 0 .

Ghi nhớ:Một số dãy số đặc biệt.
Câu 25. Cho hàm số y =
x 4 − 2mx 2 + 3m đồ thị ( Cm ) . Có bao nghiêu giá trị nguyên của tham số m để

( Cm )

có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của ( Cm ) nhỏ hơn 4

A. 3 .

C. 4 .

B. vô số.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Đặng Thanh Quang ; Fb: Quang Đăng Thanh
Chọn A

x = 0
Ta có =
.
y′ 4 x 3 − 4mx ; y′= 0 ⇔  2
x
=
m


( Cm )

có ba điểm cực trị ⇔ m > 0 .

) (

(

Khi đó dễ thấy ( Cm ) có hai điểm cực tiểu là A − m ; −m 2 + 3m , B

)

m ; −m 2 + 3m .

AB < 4 ⇔ AB 2 < 16 ⇔ 4m < 16 ⇔ m < 4 .
Như vậy 0 < m < 4 thỏa mãn đề bài.
Do m ∈  nên m ∈ {1; 2;3} ⇒ có 3 giá trị nguyên của m .
Bài tập tương tự.
Bài 1.Cho hàm số y =
− x 4 + 2mx 2 − 3m đồ thị ( Cm ) . Có bao nghiêu giá trị nguyên của tham số

m để ( Cm ) có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực đại của ( Cm ) nhỏ hơn 4
A. 3 .

B. vô số.

C. 4 .

D. 1 .

Bài 2.Cho hàm số y =x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m đồ thị ( Cm ) . Gọi m1 và m2 là hai giá trị để đồ thị

( Cm )

có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA = BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực

đại, B và C là hai điểm cục tiểu. Tính A = m1.m2
A. A = −4 . .
B. A = 4 .
C. A = −8 .

D. A = −8 .

Ghi nhớ:
- Phân biệt được điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số trùng số trùng phương.
- Công thức hình học liên quan: AB =

( xB − x A ) + ( y B − y A )
2

2

.

 x3 − 6 x 2 + 11x − 6
khi x ≠ 3

Câu 26. Cho hàm số f ( x ) = 
. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 3
x −3
m
khi x = 3

?
A. m = 1 .
B. m = 2 .
C. m = 3 .
D. m = 0 .
Lời giải
Tác giả: CongMinhĐinh;
Chọn B

Tập xác định của hàm số là  .


Ta có: f ( 3) = m .

x3 − 6 x 2 + 11x − 6
lim f ( x ) = lim
= lim ( x 2 − 3 x +=
2) 2 .
x →3
x →3
x →3
x −3
Hàm số liên tục tại x = 3 khi lim f ( x=
) f ( 3) ⇔ m= 2
x →3

Bài tập tương tự :
 x 3 − 6 x 2 + 11x − 6

x2 − 9
Bài 1. Cho hàm số f ( x ) = 
m− 2

3
tục tại x = 3 ?
8
2
A. .
B. .

3
3

 − x3 − 6 x 2 + x + 6

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) = 
x −1
 2m + 4

tục tại x = 1
A. 5 .
B. −18 .

khi x ≠ ±3

. Tìm giá trị của m để hàm số liên
khi x =
3

C. 1 .

D.

4
.
3

khi x ≠ 1

. Tìm giá trị của m để hàm số liên

khi x =
1

C. −9 .

D. 14 .

Ghi nhớ: Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và xo ∈ ( a; b ) . Hàm số f ( x ) liên tục
tại xo khi lim f ( x ) = f ( xo )
x → xo

Câu 27. Đường thẳng =
y ax − b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x 3 + 2 x 2 − x − 2 tại điểm M (1;0 ) . Tích

ab có giá trị là
A. ab = −36 .

C. ab = 36 .

B. ab = −5 .

D. ab = −6 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng thị Kim Liên ; Fb: Kim Liên
Chọn C
Ta có : y = x 3 + 2 x 2 − x + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 + 4 x − 1 ⇒ y ' (1) = 6 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 + 2 x 2 − x + 2 tại điểm M (1;0 ) là
a = 6
y = 6( x − 1) ⇔ y = 6 x − 6 ⇒ 

⇒ ab = 36
b = 6

Bài tập tương tự :
Bài 1. Đường thẳng =
y ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y =x 4 − 4 x 2 + 3 tại điểm M ( −1;0 ) .
Hiệu a − b là
A. −8 .

B. 8 .

D. 16 .

C. 0 .

Bài 2. Đường thẳng =
y ax + b tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + 3 x + 3 x + 2 tại điểm là giao
điểm của đồ thị với trục hoành. Khi đó, 2a + b là
A. −12 .
B. 12 .
C. 6 .
D. 0 .
3

2

Ghi nhớ:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x 0 ; y0 ) có
=
y f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
dạng:

Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số=
y x (1 − x 2 ) trên khoảng ( 0;1) là
A.

1
.
9

B.

1
.
3

C. 0 .

D.

2 3
.
9


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Bích ; Fb: Bich Nguyen
Chọn D
Ta có : y =x (1 − x 2 ) =x − x3 ⇒ y′ =1 − 3 x 2 .

1

.
3

Có y′ =
0⇔ x=
±

Xét =
y x (1 − x 2 ) trên khoảng ( 0;1) ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, giá trị lớn nhất của hàm số=
y x (1 − x 2 ) trên khoảng ( 0;1) là

1
2 3
khi x =
.
9
3
Bài tập tương tự :
Bài 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
−2 x 4 − 4 x 2 + 3 trên khoảng ( −1;1) là
B. 3 .

D. 5 .
 π
Bài 2. Giá trị lớn nhất của hàm =
số y 3sin x − 4sin 3 x trên khoảng  0;  là
 2
A. 1 .

B. −1 .
C. 3 .
D. 7 .
A. 2 .

C. 4 .

Ghi nhớ:
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K .
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng K .
Từ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Chú ý : Có thể sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính để lựa chọn đáp án trắc nghiệm
x+3
Câu 29. Đạo hàm của hàm số y =
là
x2 + 1
A.

(x

1 − 3x
2

)

+1

x2 + 1

.

B.

(x

1 + 3x

)

+1

2

x2 + 1

.

1 − 3x
C. 2
.
x +1

D.

(x

2x2 − x − 1
2

)

+1

x2 + 1

.

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Minh ; Fb: Trần Văn Minh
Chọn A

Ta có y ′

)

(

x 2 + 1 − ( x + 3) x
= =
x2 + 1 x2 + 1

(

)

(

′
x 2 + 1 − ( x + 3) x 2 + 1
=

2
x2 + 1

( x + 3)′

)

(x

1 − 3x
2

)

+1

x2 + 1

.

x 2 + 1 − ( x + 3)
x +1
2

2x
2 x2 + 1


Bài tập tương tự :

sin x
là
sin x − cos x
−1
1
B.
.
C.
.
1 − sin 2 x
1 − sin 2 x

Bài 1. Đạo hàm của hàm số y =
A. y =

co s x
.
cos x + sin x

x−3

Bài 2. Đạo hàm của hàm số y =
A.

(

1 − 3x

)

x2 − 1

x2 − 1

.

B.

Ghi nhớ:
Đạo hàm của hàm số y =

(

x −1
1 + 3x
2

)

x2 − 1

u ( x)
v ( x)

cos x

( sin x − cos x )

2

.

là

x2 − 1

.

C.

, v ( x ) ≠ 0 là y ′ =

3x 2 − 2 x − 5
bằng
x →−1
x2 −1
B. +∞ .

D.

3x − 1
.
x2 − 1

D.

u ′ ( x ) .v ( x ) − u ( x ) .v ′ ( x )
v2 ( x )

(

3x − 1

)

x2 − 1

x2 − 1

.

.

Câu 30. Giới hạn lim
A. 3.

C. 0.

D. 4.

Lời giải
Tác giả: Phùng Hằng ; Fb: Hằng Phùng
Chọn D
1)
( 3x − 5)( x + =
3x 2 − 2 x − 5
3 x − 5 3. ( −1) − 5 −8
= lim
lim
=

= = 4.
2
x →−1
x →−1 ( x − 1)( x + 1)
x →−1 x − 1
x −1
( −1) − 1 −2

Ta có: lim

Bài tập tương tự :

x3 + 8
Bài 1. Giới hạn lim 2
bằng
x →−2 x + 11x + 18
12
A. +∞ .
B.
.
7
Bài 2. Giới hạn lim
x →1

A.

4
.
3

4
.
7

C. 0.

D.

C. −2 .

D. −1 .

x2 + 2x − 3
bằng
2 x2 − x −1
B. +∞ .

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số f ′ ( x ) =
( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) . Hỏi hàm
2

3

4

số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị?
A. 1 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Quang Nhật Minh; Fb: Huynh Quang Nhat Minh
Chọn D
Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của f ′ ( x ) .
Ta có f ′ ( x ) có nghiệm x = 1 (nghiệm đơn) và nghiệm x = 3 (bội 3 ) nên hàm số f ( x ) có hai
điểm cực trị.
Bài tập tương tự :
5
2
3
4
Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số f ′ ( x ) =
( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) . Hỏi
hàm số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị?
A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .


Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là hàm số f ′ ( x ) =x ( x + 2 ) ( x 2 − 3) ( x − 4 ) . Hỏi hàm
2

3

4

số y = f ( x ) có mấy điểm cực trị?
A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 4 .

Ghi nhớ:Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của

f ′( x) .
Câu 32. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s ( t ) = 2t 3 − 3t 2 + 4t , trong đó t được tính
bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là
A. −2,5 m / s .
B. 4 m / s .
C. 2,5 m / s .
D. 8,5 m / s .
Lời giải
Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng
Chọn C
Vận tốc tức thời chuyển động thẳng là v ( t ) = s′ ( t ) = 6t 2 − 6t + 4 .

t ) v′ (=
t ) 12t − 6 .
Gia tốc tức thời chuyển động thẳng là a (=

Ta có a ( t ) = 0 ⇔ 12t − 6 = 0 ⇔ t =

1
.
2

1 5
Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là v  = = 2,5 .
2 2

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s ( t ) = t 3 − 3t 2 + 9t + 3 , trong đó t được
tính bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là
A. 5 m / s .
B. 4 m / s .
C. 6 m / s .
D. 8 m / s .
Bài 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s ( t ) =t 3 − 6t 2 + 14t + 2 , trong đó t
được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời tại thời điểm gia tốc bằng 0 là
A. 5 m / s .
B. 4 m / s .
C. 2 m / s .
D. 6 m / s .
Ghi nhớ:Vận tốc tức thời v ( t0 ) tại thời điểm t0 của một chuyển động có phương trình s = s ( t )
bằng đạo hàm của hàm số s = s ( t ) tại điểm t0 , tức là v ( t0 ) = s′ ( t0 ) .
Câu 33. Tìm mệnh đề đúng ?
A. Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông.
C. Hình hộp có đáy là hình chữ nhật.
D. Hình lăng trụ đều có đáy là tam giác đều.

Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Đại ; Fb: Trần Quốc Đại.
Chọn B
Vì theo định nghĩa hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 măt là hình vuông.
Bài tập tương tự :
Bài 1. Chọn khẳng định Đúng ?
A. Tứ diện đều có tất cả các mặt là các tam giác bằng nhau.
B. Hình chóp có đáy hình vuông là hình chóp tứ giác đều.
C. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
D. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật bằng nhau.
Bài 2. Cho các mệnh đề sau:


I. Hình chóp tam giác đều có tất cả các mặt là các tam giác đều.
II. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều.
III. Hình lăng trụ đều có tất cả các mặt đều là các hình vuông.
Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đều ĐÚNG ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 34. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng CD′ và AC ′ bằng
A. 30° .
B. 90° .
C. 60° .
D. 45° .
Lời giải
Chọn B.
A'

D'

C'

B'

D

A

B

C

CD′ ⊥ C ′D
⇒ CD′ ⊥ AC ′ suy ra góc giữa hai đường thẳng CD′ và AC ′ là 90° .
Ta có: 
 CD′ ⊥ AD
Câu 35. Tính giới hạn: I = lim
x →0

A. 40

cos 3 x − cos 7 x
x2
B. 0

C. −4

D. 20

Lời giải
Chọn D

cos 3 x − cos 7 x
x →0
x2
2sin 5 x ⋅ sin 2 x
sin 5 x sin 2 x
sin 5 x
sin 2 x
= lim
=
20=
lim
.
20 lim=
.lim
20
2
x →0
x →0
x →0
5x
2x
5 x x →0 2 x
x
I = lim

Nên chọn

D.

Tổng quát:
x(α + β )
x(α − β )
⋅ sin
cos α x − cos β x
2
2
lim
= lim
2
2
x →0
x
→
0
x
x
x(α + β )
x(α − β )
sin
sin
(α + β ) (α − β )
β 2 −α2
2
2
.lim
(−2)

= lim
⋅ lim
=
.
x →0
x(α + β ) x →0 x(α − β ) x →0
2
2
2
2
2
−2sin


Bài tập tương tự

cos 3 x − cos 5 x.cos 7 x
x →0
x2

Bài 1: Tính giới hạn: lim
A.

65
2

C. −4

B. 0

D. 20

Lời giải.
cos 3 x − 1 + (1 − cos 5 x ) cos 7 x + 1 − cos 7 x
cos 3 x − cos 5 x.cos 7 x
=
lim
x →0
x →0
x2
x2
(1 − cos 5 x ) cos 7 x
cos 3 x − 1
1 − cos 7 x
lim
lim
+ lim
2
2
x →0
x →0
x →0
x
x
x2

lim

3x
5x

7x
−2sin 2
2sin 2
cos 7 x
2sin 2
2 + lim
2
2
=
+ lim
lim
x →0
x →0
x →0
x2
x2
x2
2
2
2
3x 
5x 
7x 



sin
sin
sin
−9 

2  + lim 25cos 7 x 
2  + lim 49 
2  = 65
= lim . 





x →0 2
x →0
x →0 2
2
2
 3 x 
 5 x 
 7 x 
 2 
 2 
 2 

cos ax − cos bx.cos cx
x →0
x2
−a 2 + b 2 + c 2
B.
2

Bài 2: Tính giới hạn lim

a 2 − b2 + c2
A.
2

a 2 + b2 + c2
C.
2

−a 2 + b 2 − c 2
D.
2

Lời giải.
cos ax − 1 − ( cos bx − 1) cos cx + 1 − cos cx
cos ax − cos bx.cos cx
= lim
2
x →0
x →0
x
x2
ax
bx
cx
−2sin 2
2sin 2 cos cx
2sin 2
2 + lim
2
2

lim
=
+ lim
2
2
2
x →0
x
→
x
→
0
0
x
x
x

lim

2

2

2

ax 
bx 
cx 




sin 
sin 
2
2  sin

cos
b
cx
c
−a 2 
−a 2 + b2 + c 2
2
2
2 
lim
lim
= lim
+
⋅
+
⋅
=






x →0 2

x →0
x →0 2
2
2
 ax 
 bx 
 cx 
 2 
 2 
 2 
Câu 36. Tứ diện đều có góc tạo bởi hai cạnh đối diện bằng
A. 900 .
B. .
C. 300 .
D. 450 .
Lời giải.
Tác Giả: Phùng Văn Khải
Chọn A