SKKN GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH lập PHƯƠNG TRÌNH

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Tên đề tài :

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN
Phần : “Giải toán bằng cách lập
phương trình”
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào
tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người
mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức,
năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này,
trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong
phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng
dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói
riêng.
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng.
Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông,
nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh.
Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có
rất nhiều tài liệu sách báo đề cập tới. Giáo viên không
chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết
vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt,
truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất.
Chương trình toán rất rộng, các em được lónh hội nhiều
kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với
nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết

cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình,
từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải
các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài,
trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Tuy thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng
việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý
nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh.
Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, đồng thời
qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự
vận dụng kiến thức để giải bài toán bằng cách lập phương
trình của bộ môn đại số lớp 9. Tôi nhận thấy học sinh vận
dụng các kiến thức toán học trong phần giải phương trình và
giải bài toán bằng cách lập phương trình còn nhiều hạn chế
và thiếu sót.

www.giaoducviet.net Trang 1


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến
thức đã học để lập phương trình của bài toán. Đây là một
phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9, bởi lẽ
từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về
tính giá trò của biểu thức hoặc giải những phương trình cho
sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế,
các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận,

tìm mối liên hệ giữa các đại lượng, yếu tố trong bài toán
nên không lập được phương trình.
Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình
các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm
ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập
của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc
chắn nhưng khi áp dụng giải không được.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập
phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các
em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng
tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng
cao chất lượng học tập.
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9,
bản thân tôi khi dạy phần “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc học sinh
giải bài toán phần này.
Mặt khác khi giảng dạy phần này giáo viên và học sinh
cần hiểu rằng đó là sự kế thừa của toán lớp 8. Chỉ khác
chăng đó là quá trình giải phương trình bậc nhất, phương trình
bậc hai hay hệ phương trình mà thôi. Do đó, trong phạm vi
nghiên cứu. Bản thân tôi mong rằng: nếu có sự sáng tạo
của quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh
lớp 8,9 phát triển tư duy, cũng có thể làm dùng đề tài để
dạy tự chọn môn toán 9, chủ đề bám sát.
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghó từng bước
để hoàn thiện phương pháp của mình, nên bản thân tôi rất
nhiều năm nghiên cứu đề tài này. Mặt khác, theo suy nghó
của riêng tôi, mỗi người chỉ cần tập trung suy nghó thấu đáo
một vấn đề và nhiều người góp lại chắc chắn hiệu quả
giáo dục qua từng năm được sẽ được nâng lên rõ rệt. Từ suy

nghó đó tôi tiếp tục thực hiện đề tài mà trước đây tôi đã
thực hiện. Tuy nhiên, bản thân tôi cố gắng hết sức mình
nghiên cứu bổ sung nội dung mới để đề tài đáp ứng chương
trình đổi mới sách giáo khoa lớp 8, 9 và cả chương trình tự
chọn lớp 9. Mong quý thầy cô giáo hết sức thông cảm khi
đọc đề tài này. Trên cơ sở nghiên cứu đó tôi đã rút ra được
một vài kinh nghiệm nhỏ để giúp các em có được kỹ năng
lập phương trình khi giải bài toán bằng cách lập phương trình.

www.giaoducviet.net Trang 2


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải
các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm
yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự
mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có
nghò lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong
quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm
thấy dễ dàng hơn trong việc“Giải bài toán bằng cách lập
phương trình” ở lớp 9, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh
cách lập phương trình rồi giải phương trình một cách kỹ càng,
yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này
cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù

hợp với từng dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta
phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em
nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một
phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả
năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả
học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” , đây là một
trong những dạng toán lập phương trình cơ bản mà lớp 8 là
tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản, là cơ
sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Nên đòi hỏi phải
hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm một cách chắc chắn.
I- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH :
Trước hết phải cho các em nắm được lược đồ để “Giải
bài toán bằng cách lập phương trình”
Bước 1 : Lập phương trình gồm các công việc :
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vò và đặt điều kiện cho
ẩn số (Nếu có)
- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu
thò các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành
phương trình , hệ phương trình.
- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài,
mà lập phương trình, hệ phương trình.
Bước 2 : Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy theo từng
dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn
gọn.

www.giaoducviet.net Trang 3

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Bước 3 : Nhận đònh kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý
so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp
không,có thể thử lại kết quả đó với cả nội dung bài toán
(Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ) sau
đó trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vò ).
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết đònh nhất. Thường đầu
bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác đònh đơn vò
đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghóa thực tiễn.
II- PHÂN TÍCH BÀI TOÁN :
- Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài
tập, giáo viên phải phân ra từng loại toán, giới thiệu đường
lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên
quan từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài
như :
Loại toán :
1- Bài toán về chuyển động.
2- Bài tập năng suất lao động.
3- Bài toán liên quan đến số học và hình học.
4- Bài toán có nội dung vật lý - hóa học.
5- Bài toán về công việc làm chung và làm riêng.
6- Bài toán về tỷ lệ, chia phần.
Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém
phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi
tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã
hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại

lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa
các đại lượng.
Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế
nào để làm toán, lên dạng tổng quát của phương trình, ghi
được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng
tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập phương trình được
dễ dàng. Đến đây coi như đã giải quyết được một phần lớn
bài toán rồi.
Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập phương trình,
các em không biết chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện
của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là ở
những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu
tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn”.

www.giaoducviet.net Trang 4


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghóa thực tế
của bài song cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng
nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ dàng
hơn.
Muốn lập được phương trình bài toán không bò sai thì một
yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia
vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu như
thế nào? lúc sau như thế nào?

* Chẳng hạn khi giải bài toán : Một phân xưởng may lập
kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng
phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân
xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó, phân xưởng
không chỉ hoàn thành trước kế hoạch 9 ngày mà còn may
thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao
nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28).
Phân tích:
Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (
đã biết), Tổng số áo may và số ngày may (chưa biết): Theo
kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ:
Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số
áo may.
Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta
chọn x là số ngày may theo kế hoạch. Quy luật trên cho phép
ta lập bảng biểu thò mối quan hệ giỡa các đại lượng trong bài
toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào
bảng)
Số áo may trong1
ngày

số ngày
may

Tổng số áo
may

Theo kế
hoạch

90

x

90x

Đã thực
hiện

120

x-9

120(x - 9)

Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo
may theo kế hoạch được biểu thò bởi phương trình:
120(x - 9) = 90x +60.
* Hoặc khi giải bài toán:“Số lượng trong thùng thứ nhất
gấp đôi lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ
nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số dầu trong hai

www.giaoducviet.net Trang 5


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít
dầu?”
Tóm tắt:
Lúc đầu : - Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II
- Bớt thùng I đi 75lít.
- Thêm vào thùng II là 35 lít.
Lúc sau : - Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II.
Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít)
- Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau :
+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2
thùng dầu).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào?
(Số dầu T1 = 2T2)
+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75lít,
thùng II thêm 35lít).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao (Số dầu T 1 =
số dầu T2).
+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng? (Số lít).
+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết.
Ở đây cần phải ghi rõ cho học sinh thấy được là bài
toán yêu cầu tìm số dầu mỗi thùng lúc đầu, có nghóa là 2
đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn số lít
dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu
là ẩn.
- Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lit).
- Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số
dương).
- Biểu thò đại lượng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc
đầu là 2x(lít).
Chú ý : Thêm (+), bớt (-).

- Số dầu thùng I khi bớt 75 lít ? (2x – 75)
- Số lit dầu thùng II khi thêm 35 lit ? (x + 35)
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lúc sau là (số
lit dầu 2 thùng bằng nhau) ta lập phương trình: x + 35 = 2x –75
(1)

www.giaoducviet.net Trang 6


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

- Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương
trình không phải là khó, song cũng cần phải hướng dẫn cho
các em thực hiện các phép biến đổi, giải theo các bước đã
được học.
Sau khi giải xong, tìm được giá trò của ẩn, một điều cần
thiết là phải đối chiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên
để trả lời bài toán.
- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghó xem
còn có thể giải theo cách nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta
có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu là ẩn.
Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các
em sẽ lập được phương trình bài toán : x - 75 =

1
x + 35
2

(2)

Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với
cách giải thứ nhất thì giải phương trình nào dễ hơn.
Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình
(2) bởi vì khi giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai
vế của phương trình rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng
túng cho các em.
Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu
thùng II lúc đầu là ẩn, vì nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu
là ẩn thì lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó khăn
hơn.
Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi
đối tượng này gấp mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc
xem nên chọn đối tượng nào là ẩn để bớt khó khăn khi giải
phương trình.
Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì
điều kiện của ẩn : “nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem
ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung thực tế
bài toán cho.
Ở chương trình lớp 8, 9 thường gặp các bài toán về dạng
chuyển động ở dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều,
ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển động trên
dòng nước.
Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến
thức, công thức liên quan, đơn vò các đại lượng.

www.giaoducviet.net Trang 7

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại
lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của
chúng qua công thức S = v.t . Từ đó suy ra:
v=

s
t

; t=

s
v

Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước
chảy.
Thì :

Vxuôi = VRiêng + V

dòng nước

Vngược = VRiêng - V

dòng nước

* Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe
máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ phút. Tính
quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy
là 20km/h.
Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài,
đồng thời ra vẽ sơ đồ minh họa thì học sinh dễ hình dung bài
toán hơn
Tóm tắt:
Đoạn đường AB

A

B

t1 = 3g 30 phút
t2 = 2g 30 phút
V2 lớn hơn V1 là 20km/h (V2 – V1 = 20)
Tính quãng đường AB=?
- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)
- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời
gian.
- Các số liệu đã biết:
+ Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’
+ Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’
+ Hiệu hai vận tốc : 20 km/h
- Số liệu chưa biết:
Vxe máy? Vôtô? SAB ?
* Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng
đường không đổi. Quan hệ giữa các đại lượng s, v, t được biểu

diễn bởi công thức: s = v.t. Quan hệ giữa v và t là hai đại
lượng tỷ lệ nghòch.

www.giaoducviet.net Trang 8


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Như vậy ở bài toán này có đại lượng chưa biết, mà ta
cần tính chiều dài đoạn AB, nên có thể chọn x (km) là chiều
dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0
Biểu thò các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại
lượng đã biết.
Vận tốc xe máy :
Vận tốc ôtô :

x
3,5 (km/h)
x
2,5 (km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(V 2 – V1 = 20)

x
x
= 20
2,5 3,5

- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trò này của x
phù hợp với điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều
dài đoạn AB là 175km.
Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng :
Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc
của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là
ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô
là ẩn.
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn
theo hai cách (quãng đường xe máy đi hoặc của ôtô đi).
- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phương trình trên ta được: x = 50.
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết
quả bài toán : Vận tốc xe máy là 50 km/h.
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu
cầu tìm quãng đường nên khi có vận tốc rồi ra phải tìm
quãng đường.
- Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng
dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện của ẩn, yêu cầu của
đề bài. Chẳng hạn như bài toán trên, ẩn chọn là vận tốc
của xe máy, sau khi tìm được tích bằng 50, thì không thể trả lời
bài toán là vận tốc xe máy là 50 km/h, mà phải trả lời về
chiều dài đoạn đường AB mà đề bài đòi hỏi.

www.giaoducviet.net Trang 9


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013

Năm học 2012-

Tóm lại : Khi giảng dạng toán chuyển động, trong bài có
nhiều đại lượng chưa biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy
ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm ẩn.
Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu
cần phải tìm là ẩn. Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời
kết quả.
Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực
tiếp đại lượng phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng
trung gian là ẩn.
- Cần chú ý 1 điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h)
thì điều kiện x>0 chưa đủ mà phải x > 20 vì dựa vào thực tế
bài toán là vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20
(km/h)
Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc”
giáo viên cần cung cấp cho học sinh một kiến thức liên quan
như :
- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi
toàn bộ công việc là 1 đơn vò công việc biểu thò bởi số 1.
-

Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1
đơn vò thời gian.
A : Khối lượng công

việc
Ta có công thức A = nt ;

Trong đó

n : Năng suất làm việc

t : Thời gian làm việc
- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng
làm.
- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian
hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài
toán cụ thể.
Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ
dàng giải quyết bài toán.
Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8)
4
giờ đầy bể
5
1
1 giờ vòi 1 chảy bằng 1
lượng nước vòi 2
2

2 vòi cùng chảy 4

Hỏi : mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?

www.giaoducviet.net Trang 10


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013

Năm học 2012-

- Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội
dung sau :
+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một
bể.
+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)
+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời
gian hoàn thành của mỗi vòi.
+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành
công việc của mỗi vòi).
- Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để
đầy bể.
Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2
chảy đầy bể.
Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là
x (h)
Điều kiện của x ( x > 4

4
24
giờ =
giờ)
5
5

- Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vòi chảy.

Nên tìm :
+ Năng suất của vòi 1 chảy là?
+ Năng suất vòi 2 chảy là ?

1
(bể)
x

3
(bể)
2x

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ :
Ta có phương trình :

1:

24 5
=
(bể)
5 24

1
3
5
+
=
x 2x
24

Đây là dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các
bước để giải phương trình trên, ta được x = 12. Vậy thời gian vòi
hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.
- Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của
một vòi thì ta tìm năng suất của vòi 1 là :

1
3
=
(bể)
2.12
8

www.giaoducviet.net Trang 11


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Từ đó ta tìm được thời gian là 8 giờ.
* Ở chương trình đại số lớp 8, 9 các em cũng thường gặp
loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán
tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng
khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một
số kiến thức liên quan.
- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vò trí giữa các chữ số
trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số.

Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số
của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số
lớn hơn số đã cho là 18 đơn vò. Tìm số đã cho.
Học sinh phải nắm được :
- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vò như thế
nào?
(Tổng 2 chữ số là 16).
- Vò trí các chữ số thay đổi thế nào?
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ

số

hàng chục, chữ số hàng đơn vò).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự
nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng
đơn vò; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc
chữ số hàng đơn vò).
Nếu gọi chữ số hàng chục là x
Điều kiện của x ? (x ∈ N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vò là : 16 – x
Số đã cho được biết 10x + 16 - x = 9x + 16
Đổi vò trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết.
10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :
(160 – 9x) – (9x + 16) = 18

www.giaoducviet.net Trang 12

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

- Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy chữ số hàng chục là 7.
Chữ số hàng đơn vò là 16 – 7 = 9.
Số cần tìm là 79.
III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ :
Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại,
bản thân tôi không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài
liệu tham khảo các em học sinh luyện tập thêm. Do đó, bản
thân tôi cũng đúc rút từ các sách do quý thầy giáo , quý
cô giáo đi trước đã dày công nghiên cứu để biên soạn và
viết lại. Mong quý thầy cô và các em học sinh vui lòng góp ý.
Loại 1 : Bài toán về chuyển động
Ví dụ 1 :Nhà Hòa và nhà Bình cùng nằm trên đường
quốc lộ cách nhau 7km. Nếu Hòa và Bình đi xe đạp cùng một
lúc và ngược chiều thì sau

1
giờ họ gặp nhau. Tính vận tốc của
4

mỗi người, biết rằng vận tốc của Hòa bằng

3

vận tốc của
4

Bình.
Lời giải : Gọi vận tốc của Bình là x (km/h)(x > 0).vận tốc của
Hòa là

3
x (km/h).
4

Trong

1
1
giờ, Bình đi được x (km).
x
4

Hòa đi được
Ta có phương trình :
Giải ra được :
1
4

1 3
. x (km)
4 4

1

1 3
x + . x =7
4
4 4

7 1
3
3
x. =7 Þ x =16 ⇔ x =16. =12
4 4
4
4
3
4

Thử lại : 16. +12. =12
Vậy vận tốc của Hòa là 12 (km/h), của Bình là 16 (km/h).

www.giaoducviet.net Trang 13


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Ví dụ 2 : Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ
thành phố A đến thành phố B cách nhau 120km. Xe thứ nhất
chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ, nên đến B sớm hơn xe
thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.

Giải :
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là : x km/h (với x > 10). Vận
tốc của xe thứ hai là (x – 10) km/h. Thời gian xe thứ nhất đi từ A
đến B là

120
120
giờ, xe thứ hai đi từ A đến B mất
giờ, và
x
x -10

như vậy lâu hơn 1giờ. Ta có phương trình :

120
120
+1 =
x
x -10

Hay : 120 (x – 10) + x (x – 10) = 120x⇔ x2 – 10x
– 1200 = 0
∆’ = 25 + 1200 = 1225 = 352 ;
Phương trình có hai nghiệm là : x1 = 40

∆ ' = 35

;

x2 = - 30

Vì x > 10 nên ta loại nghiệm âm.
Thử lại :

120
120
= 4 (giờ)
= 3( giờ) ;
40
30
3 + 1 = 4 (giờ)

Vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h). Vận tốc của xe
thứ hai là 30(km/h).
Bài tập đề nghò :
1- Hai bến tàu thủy A và B cách nhau 48 km. Một tàu
thủy đi từ A đến B rồi trở lại A ngay mất 5 giờ tất cả. Biết
vận tốc của dòng nước là 4 (km/h). Tính vận tốc của tàu
thủy khi nước đứng im.
2- Một xe ôtô phải đi quãng đường dài 150km với vận
tốc đã đònh. Người ta tính rằng : Nếu ôtô tăng vận tốc thêm
10km mỗi giờ thì thời gian chạy hết quãng đường sẽ giảm
được 45 phút. Tính vận tốc đã đònh.
Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động

www.giaoducviet.net Trang 14


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như
vậy năng suất lao động trội = mức quy đònh + tăng năng
suất.
Ví dụ : Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 chi tiết
máy. Trong tháng sau, tổ I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15%
nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong
tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Phân tích : Cần phải xác đònh năng suất của mỗi tổ
trong tháng đầu, nên ta có thể đặt hai ẩn, mỗi ẩn tương ứng
là năng suất của mỗi tổ. Nhưng vì biết năng suất chung của
hai tổ là 400 chi tiết máy, do đó có thể chỉ cần một ẩn số.
Giả sử gọi năng suất của tổ I (trong tháng đầu) là x thì năng
suất của tổ II là 400- x . Tiếp theo có thể dựa vào năng suất
của mỗi tổ trong tháng sau để lập phương trình, hoặc có thể
dựa vào phần tăng năng suất của mỗi tổ để đi đến một
phương trình khác.
Giải :
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng
đầu, x nguyên dương, như vậy tổ 2 sản xuất (400 – x) chi tiết
máy.
Trong tháng sau, tổ I làm được so với tháng đầu là :
100% + 10% = 110%
Tổ II làm được so với tháng đầu là :
100% + 15% = 115%
Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là:
110x 115(400 - x)
+

= 448
100
100

Giải phương trình trên :
110x + 115 (400 – x)

= 44.800 ⇔- 5x = - 1.200 ⇔ x

= 240
Thử lại:

110.240
= 264
100

;

115.160
= 184 ; 264 +184 =448.
100

Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy,
tổ II sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2 Phần đặt ẩn số như cách 1.

www.giaoducviet.net Trang 15


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu

2013

Năm học 2012-

Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là :
448 - 400 = 48 (chi tiết máy)
Như vậy ta có phương trình :
10x 15(400 - x)
+
= 48
100
100

Giải phương trình trên :
10x + 15 (400 – x) = 4.800⇔- 5x= - 1200⇔ x = 240
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy,
tổ 2 sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Bài tập đề nghò :
1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất
nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực
hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B
tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều
hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân
xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?
2- Một đội công nhân hoàn thành một công việc với
mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết
rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành
công việc sẽ giảm đi 7 ngày công.
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học
Chú ý về cấu tạo thập phân của một số : mỗi đơn vò

của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vò của hàng
liền sau nó (hoặc liền trước nó) 10lần. Chẳng hạn, số có ba
chữ số abc bằng :

abc = 100a + 10b + c
trong đó a, b, c là các số tự nhiên từ 0 đến 9, riêng a từ
1 đến 9.
Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai
chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự
ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vò.
Giải :
Gọi số đã cho là xy , trong đó x, y là số tự nhiên và 1 < x
< 9, 0 < y < 9 và

xy = 10x + y .

www.giaoducviet.net Trang 16


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Theo giả thiết thì x + y = 7. Số được viết theo thứ tự ngược
lại là

yx = 10y + x

.

Theo đầu bài ta có hệ phương trình :
ìï x + y = 7
ï
í
ïï 10y + x - (10x + y) = 27
ỵ
ìï x + y = 7
Rút gọn hệ này ta được : ïí
ïï y - x = 3
ỵ

Cộng theo từng vế ta có 2y = 10 hay y = 5. Suy ra x = 7 - 5 =
2.
Giá trò này thõa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 52 - 25 = 27
Vậy số phải tìm là 25.
Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng
hai cạnh góc vuông bằng 35cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc
vuông.
Giải :
Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông, x > 0. Cạnh
góc vuông kia dài 35 - x (cm). Theo đònh lý Pitago ta có phương
trình :
x2 + (35 - x)2 = 252
hay

x2 + 1225 - 70x + x2 = 625⇔x2 - 35x - 300 = 0
∆ = 1225 - 1200 = 25 ;

D = 5.

Phương trình có hai nghiệm: x 1 = 20 và x2 = 15. Hai giá trò
này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại : 20 + 15 = 35 và 20 2
+ 152 = 400 + 225 = 625 = 252.
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là
15cm.

20cm và

Bài tập đề nghò :
1- Nhà trường dự đònh làm một sân tập thể dục hình chữ
nhật diện tích 350m 2. Tính kích thước của sân biết rằng nếu
giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích
vẫn không đổi.

www.giaoducviet.net Trang 17


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

2- Trong một tam giác vuông, đường cao thuộc cạnh huyền
dài 12cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 7cm.
Tính độ dài cạnh huyền.
Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học
Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức,
đònh luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng

có trong đề toán.
Ví dụ 1 : Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để
đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ
nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun
nóng thêm mấy độ?.
Phân tích : Công thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)
trong đó nhiệt độ được tăng thêm là t 2 - t1, suy ra khối lượng
của nước là

m=

Q
c(t - t ) , biết rằng nhiệt dung riêng của
2 1

nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.
Giải: Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x>0). Như
vậy khối lượng nước
nhỏ là:

m=

Q
168
=
(kg) , vì khối nước lớn được đun nóng
c(t - t )
4
,2.x
2 1

kém hơn khối nước nhỏû 20C nên khối lượng của khối nước
lớn là:
ø

168
4,2(x - 2) (kg)
Theo đầu bài ta có phương trình :

168
168
+1 =
4,2(x - 2)
4,2.x

Giải phương trình trên ta được :

40
40
+ 1=
x
x- 2

40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x ⇔ x2 - 2x - 80 = 0
∆‘ = 1 + 80 = 81 ⇒ ∆ ' = 9
Phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8
Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.
Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lượng
khối nước nhỏ).

www.giaoducviet.net Trang 18


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g
chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m 3 ta được
một hỗn hợp có khối lượng riêng là 350kg/m 3. Tính khối lượng
riêng của mỗi chất lỏng.
Phân tích : Công thức khối lượng riêng: D =

M
(kg/m3)
V

Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác
nhau thì khối lượng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể
tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng thể tích của
hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính thể tích: V =

M
.
D

Giải :
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m 3)

thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m 3.
Điều kiện x > 100.

0.04
0.03
và
với thể
x
x - 100
0,04 + 0,03 0,07
=
350
350

So sánh thể tích của hai chất lỏng
tích củahỗn hợp:
Ta đi đến phương trình :

0.04
0.03
0,07
+
=
x
x - 100
350

Nhân hai vế với 100 và thay

7

1
=
ta được phương trình:
350 50

4
3
1
+
=
x x - 100 50

⇔50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100) ⇔ x2 - 450x + 20000 = 0
∆ = 202500 - 80000 = 122500 = 350 2 ;

D = 350.

Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50.
Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.
Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m 3 và
300kg/m3.
Bài tập đề nghò :
1- Có hai loại dung dòch chứa cùng một thứ axit. Loại I
chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dòch
chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dòch mỗi
loại?

www.giaoducviet.net Trang 19

Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích
là 3,500dm3.
Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết
rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm 3; của nhôm là
2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng
Chú ý : Nếu mất n đơn vò thời gian (giờ, ngày...) để làm
xong một công việc thì trong 1 đơn vò thời gian ấy sẽ làm được
1
công việc.
n

Ví dụ 1 : Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì
mất 6 ngày sẽ làm xong công trình. Nếu làm riêng thì đội I
phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì
mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình.
Giải :
Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn
thành công trình. Như vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày.
Điều kiện x > 5. Mỗi ngày đội I làm được
II làm được

1
x

công trình, đội

1
công trình và cả hai đội
x- 5

làm chung được

1
công trình. Ta có phương trình :
6

1
1
1
+
=
x x- 5
6

Giải phương trình trên :
6(x - 5) + 6x = x(x - 5)⇔ x2 - 17x + 30 = 0
∆ = 289 - 120 = 169 = 132;

D = 13

Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2
Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15
Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước
trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4

giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy

2
bể. Hỏi mỗi vòi
5

nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.
Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nước chảy một mình
để đầy bể, x và y dương và tính bằng giờ. Như vậy, sau 1 giờ

www.giaoducviet.net Trang 20


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

mỗi vòi chảy được

Năm học 2012-

1
1
1
và bể, cả hai vòi chảy được
bể.
y
x
12

Theo đề bài ta có hệ phương trình :

ìï 1 1
ïï + = 1
ïï x y 12
í
ïï 4 6 2
ïï + =
5
ïỵ x y

Giải hệ phương trình : x =20 và y = 30
Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại đúng.Vậy mỗi vòi nếu chảy riêng thì lần lượt phải
mất 20 giờ và 30 giờ mới đầy bể.
Bài tập đề nghò :
1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau
7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và
cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì mới
được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu
phải làm trong bao lâu để xong công việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để
mỗi đội làm riêng cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất
tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai
đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải
mất bao lâu để đào xong mương ?
3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau
11
giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy
12

2

bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể
trong bao lâu?.
Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần
Ví dụ 1 : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít nước chấm. Nếu
cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số
nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa
hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít nước
chấm?
Giải :Gọi số nước chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x lít, ở
cửa hàng thứ hai là y lít. Điều kiện x, y dương và nhỏ hơn 600.
Theo gia thiết thứ nhất ta có
x + y = 600.

www.giaoducviet.net Trang 21


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít.
Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80). Như vậy ta có hệ phương
trình:
x + y = 600
y + 80 = 2(x - 80)
Giải hệ phương trình trên :
x + y = 600

x + y = 600

y - 2x = - 240

2x - y = 240

hay

Suy ra 3x = 840 hay x = 280, từ đó y = 600 - 280 hay y = 320.
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 (280 - 80)
Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và cửa hàng thứ hai
có 320 lit nước chấm.
Ví dụ 2 : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng .
Hôm làm việc, có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải
chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe?(SGK- Lớp 9 trang 95).
Giải : Gọi x là số xe của đội xe, x nguyên dương. Hôm làm
việc có (x - 2) xe. Theo dự đònh thì mỗi xe phải chở

120
tấn,
x

nhưng vì có 2 xe đi làm việc khác nên mỗi xe thực tế phải chở

120
tấn
x- 2
trình :

và như thế phải chở thêm 16 tấn. Ta có phương

120 120
= 16
x- 2 x

Giải phương trình :120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2)
16x2 - 32x - 240

= 0 ⇔x2 - 2x - 15 = 0

∆‘ = 1 + 15 = 16 ⇒

∆' = 4

Phương trình có nghiệm là x1 = 5 và x = -3 . Chỉ có giá trò x
=5 là thích hợp với điều kiện đẫ nêu.
Thử lại:

120 : 5 =24 (tấn) ; 5-2=3 (xe)
120 : 3 =40 (tấn) ; 40 – 24 =16 (tấn).

Vậy đội xe co 5 xe ô tô.
Bài tập đề nghò :

www.giaoducviet.net Trang 22


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

1-Hai lớp 91 và 92 được mua tất cả thảy 380 tập giấy và
được phân phối đều cho hai lớp theo tỷ lệ

9
. Hỏi mỗi lớp
10

mua được bao nhiêu tập giấy.
2-Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào
40 m3 đất. Nhưng khi bất đầu làm đôïi được bổ sung thêm 5
người nên mỗi người giảm được đònh mức 0,4m 3 đất. Hỏi đội
có bao nhiêu người?
3- Hội trường có 320 chỗ ngồi. Số người đến dự là 420
người, do đó phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và phải đặt
thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi hội trường lúc đầu có
mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.
C – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài
toán “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng
lên lớp chính khóa (2tiết) là rất khó.Do đo,ù bản thân tôi
mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi
đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bò một hệ
thống câu hỏi phù hợp, các bài tập trắc nghiệm, tự luận
phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ
phụ đạo do nhà trường tổ chức hoặc trong các giờ học môn

tự chọn môn toán.Tuy nhiên để truyền tải thông tin đến học
sinh nhanh nhất bản thân tôi soạn một số bài tập trắc
nghiệm nhỏ để các em thực hiện.
Ví dụ: Để ôn tập cho phần “Đường lối chung để giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình” tôi soạn một bài tập như
sau: Sắp xếp các bước sau theo cách hợp lý để chỉ ra “Đường
lối chung để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
c- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề
bài, mà lập phương trình,hệ phương trình
e- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vò và đặt điều kiện cho
ẩn số.
a-Nhận đònh kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh
với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không, sau đó
trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vò).
d- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để
biểu thò các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành
phương trình, hệ phương trình.

www.giaoducviet.net Trang 23


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

h-Lập phương trình gồm các công việc :
b-Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy theo từng dạng
phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.”
*Hoặc với bài toán :”Nếu hai vòi cùng chảy vào bể thì

sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong
10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy

2
bể. Hỏi
15

nếu mỗi vòi chảy riêng thì phải bao lâu đầy bể ?”( Bài
5 trang 69 – Đại số 9). Bản thân tôi soạn một phiếu học
tập như sau: Em hãy điền vào chỗ trống (........) nội dung
thích hợp:
Nếu gọi thời gian vòi

2 chảy là x (h) .Điều kiện của

x ............
+ Năng suất của vòi 1 chảy là.........
+ Năng suất vòi 2 chảy là ..................
+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ :
Ta có phương trình :

1
2
+ ........... =
6x
15

3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm
trưởng (Học sinh có học lực khá ,có uy tín với các bạn ).Tổ
chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu”mà giáo viên đã

giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà
giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài
giaiû của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của
lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài. (nếu câu
hỏi hay giáo viên phải kòp thời khen ngợi các em)
4/ Giáo viên phải chuẩn bò một số bài tập tương tự cho
các em ( bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên
phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau ,bản thân tôi
thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số
em, sửa từng câu văn, phép tính. Đây là một việc làm
không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm,
tận tụy chòu khó trong công việc.
D - KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ
thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải

www.giaoducviet.net Trang 24


Trường THCS Nguyễn đình Chiểu
2013

Năm học 2012-

toán bằng cách lập phương trình cũng rất đa dạng, tuy nhiên
với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng
đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 8, lớp 9.
Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp
các em có kỹ năng lập phương trình bài toán, bởi vì muốn
giải được bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập

được phương trình, có phương trình đúng thì giải phương trình có
kết quả đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà bài toán
đòi hỏi.
Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự
nghiên cứu áp dụng .Bước đầu tôi thấy có một số kết quả
sau:
-Trước khi thực hiện phương pháp này, đầu năm học tôi
cho cacù học sinh lớp 9 (năm học: 2011-2012) do tôi phụ trách
( gồm 48 em) làm một bài toán giải của lớp 8,Tôi ghi lại kết
quả theo dõi như sau:
-Điểm 9 ; 10: 04 học sinh.
-Điểm 5;6;7;8: 20 học sinh .
-Điểm dưới trung bình: 24 học sinh.
Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên
rõ rệt:
-Điểm 9 ; 10 :

10 học sinh.

-Điểm 5;6;7;8 :

26 học sinh.

-Điểm dưới trung bình: 8 học sinh. (Kết quả kiểm tra học kỳ
I) và trong bài kiểm tra chương III Đại số 9, Tôi thấy hầu hết
các em đã biết trình bày bài toán dạng này (36/44 học sinh đạt
điểm trên trung bình). Tuy nhiên, một kết quả khác mà học
sinh của tôi đạt được . Tôi thiết nghó không thể nói lên bằng
các con số đó là:
-Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán bằng

cách lập phương trình.
- Các em không còn lúng túng khi lập phương trình nữa.
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học
toán , Từ đó, nó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghó.

www.giaoducviet.net Trang 25