Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 17

Đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn: Toán
Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số:
1
2

=
x
x
y
(C)
a. Khảo sát hàm số
b. Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó
tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
(Trích trong cuốn Đạo hàm và ứng dụng của tác giả: Lê Hồng Đức)
Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau: (Sáng tác)

+
=
2
0
2006
1

xtg
dx
I
Câu 3: (3 điểm) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
mxxxx
=+++
)6)(3(63

(Trích trong cuốn Điều kiện cần và đủ để giải phơng trình của: Phan Huy Khải)
Câu 4: (2 điểm) Tìm (x;y) biết rằng (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo 3 góc của một tam
giác và (x;y) thoả mãn:
sin
2
[(x+1)y] = sin
2
xy + sin
2
[(x-1)y]
(Trích trong cuốn: Phơng trình lợng giác của tác giả: Trần Phơng)
Câu 5: (2 điểm) Giải phơng trình:
xx
20062005
20052006
=
(Sáng tác)
Câu 6: (3 điểm) Cho (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
(0 < b < a). A, B là hai điểm tuỳ ý nằm trên
(E) sao cho OA

OB

. Hãy xác định vị trí của A và B trên (E) để cho tam giác
OAB có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Trích trong cuốn: Hình giải tích của tác giả: Trần Phơng)
Câu 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều SABC nội tiếp trong mặt cầu tâm O
bán kính R, các cạnh bên hợp với nhau góc

.
a. Tính thể tích hình chóp SABC theo R và

b. Khi

thay đổi xác định

để thể tích ấy lớn nhất
Câu
ý
Nội dung Điểm
1
2
o
1
1
Khảo sát hàm số:
1
2

=
x

x
y
- Viết lại hàm số dới dạng:
1
1
1

++=
x
xy
1. Tập xác định: D = R\{1}
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên

2
)1(
1
1'

=
x
y


y = 0

x = 0 hoặc x = 2

y > 0 trên (
);2()0;

+


Hàm số đồng biến trên (
);2()0;
+

- Tơng tự

y < 0 trên (0;2)

hàm số nghịch biến trên (0;2)
b. Cực trị
- Đồ thị hàm số đạt cực đại tại x = 0

y
CĐ
= 0
- Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

y
CT
= 4
c. Giới hạn
- Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng
- Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng y = x + 1 làm tiệm cận xiên
-
=

y

x
lim
,
=


y
x 1
lim
d. Bảng biến thiên
x

0 1 2 +


y + 0 - - 0 +
0 +

+

y



4
3. Đồ thị y
- Nhận I(1;2) là giao của hai đờng
tiệm cận làm tâm đối xứng
4
I

x
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5
2 - Giả sử M(a;y(a))

(C), với a > 1. Khi đó phơng trình tiếp tuyến
tại M có dạng:
d:
1
)(
)1(
2
2
2
2

+


=
a
a
ax
a

aa
y
- Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận đứng
0.25
0.25
0.25
2
)
1
2
;1(
1
1
)(
)1(
2
2
2
2







=

+

=
a
a
A
x
a
a
ax
a
aa
y
- Toạ độ giao điểm của d với tiệm cận xiên
)2;12(
1
1
)(
)1(
2
2
2
2
aaB
xy
a
a
ax
a
aa
y

+=

+


=
- Khi đó AI = |x
A
- x
I
| =
1
2

a
, BI =
122

a

AI.BI =
24
- AB
2

= AI
2
+ BI
2
- 2AI.BI.cos
BIAIBIAI ..2
4
22
+=

-

C
AIB
= AI + BI + AB = AI + BI +
BIAIBIAI .2
22
+

)12(2224.2.2.2
4
+=+
BIAIBIAIBIAI
- Vậy C
AIB min
=
)12(2224
4
+
khi AI = BI hay

4
2
1
1
+=
a
Khi đó: M(
4
44
2
1
22;21
+++
)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2
- Đặt
xt
=
2



dt = -dx

dx = -dt

- Đổi cận: x = 0

t =
2

, x =
2


t = 0
- Khi đó I =

+
=
+
=
+

2
0
2
0
2006
2
0
2006
2006
0
2
2006

11
.
cot1


ttg
dt
dt
ttg
dtttg
tg
dt
Vậy I =
4

0.5
0.25
0.75
0.5
3 Điều kiện cần:
- Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình

3 - x
0
cũng là nghiệm


để phơng trình có nghiệm duy nhất thì x

0
= 3 - x
0


x
0
=
2
3
- Khi đó m =
2
926

Điều kiện đủ:
- Khi m =
2
926

thì phơng trình có dạng:
=+++
)6)(3(63 xxxx
2
926

0.5
0.5
3
- Đặt

=+

=+






=
+=
0,0
9
2
926
6
3
22
vu
vu
uvvu

xv
xu
- Từ trên


01826)(2)(
2
=+++
vuvu
- Vì (u+v)
2
u
2
+ v
2


Nghiệm của phơng trình u + v =
23
- Từ đó suy ra





=
=+
2
9
23

uv
vu

u, v là nghiệm của PT
2
23
0
2
9
23
2
===+
vutt
. Tức phơng trình có nghiệm duy nhất x
=
2
3
.
- Vậy m =
2
926

là giá trị cần tìm
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

4 - Vì (x+1)y, xy, (x-1)y là số đo ba góc của một tam giác nên:
(x+1)y+ xy + (x-1)y =



xy =
3

. Khi đó phơng trình đã cho
có dạng: sin
2
(
3

+y) = sin
2
3

+ sin
2
(
3

-y)

cos(
3
2

-2y) - cos(

3
2

+2y) =
2
3

2
3
2sin
=
y
)(
3
6
Zk
ky
ky







+=
+=

Do (x-1)y > 0

y <
3



y =
6

- Từ xy =
3



x = 2. Vậy (x;y) = (2;
6

)
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
5
- PT
2005log.20062005
2006

xx
=
2005log)
2006
2005
(
2006
=
x
x =
2005loglog
2006
2006
2005
0.5
1.0
0.5
6 - Gọi A là giao điểm của đờng thẳng y = kx với (E), khi đó toạ độ
4
C
B
C
A lµ nghiÖm cña hÖ








+
=
+
=
⇒





=
=+
222
222
2
222
22
2
2
2
2
2
1
bka
bak
y
bka
ba
x
kxy

b
y
a
x
A
A
-
⇒
OA
2
=
222
2
222
222
)1()1(
bka
k
abOA
bka
bak
+
+
=⇒
+
+
- V× OA
⊥
OB nªn B lµ giao cña ®êng th¼ng y =
x

k
1
−
víi (E)
⇒
OB =
222
2
2
2
2
2
1
1
)1
1
(
kba
k
ab
b
k
a
k
ab
+
+
=
+
+

- VËy S
OAB
=
))((
1
2
1
.
2
1
222222
2
22
kbabka
k
baOAOB
++
+
=
- Theo C«si ta cã:
22
22
222
222
))(1(
)1(
ba
ba
bak
kba

S
AOB
+
=
++
+
≥
⇒
S
OABmin
=
22
22
ba
ba
+
khi a
2
k
2
+ b
2
= a
2
+ b
2
k
2

⇒

k = ± 1

0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
7 1
- Ta cã V
SABC
=
3
1
SI.S
ABC
- Trong ®ã: XÐt hai tam gi¸c ®ång d¹ng S
∆
SAI ~
∆
SDA (g.g.g)
A
⇒
R
SA
SD
SA
SI
SD

SA
SA
SI
2
22
==⇒=
(1)
MÆt kh¸c: SI =
2
sin
3
4
22222
α
SASAAISA
−=−
(2)
Tõ 1 vµ 2
⇒
SA = 2R
)
2
sin
3
4
1(2
2
sin
3
4

1
22
αα
−=⇒−
RSI
S
ABC
=
2
sin)
2
sin
3
4
1(34)
2
sin.2.(
4
3
4
3
22222
ααα
−==
RSAAB
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.5
5