Chuyên đề: Số phức môn toán THPT

MỤC LỤC
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

2

PHẦN II: NỘI DUNG

3

A: KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

5

DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ

5

PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN.
10

Bài tập luyện tập.
DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC.

11

Bài tập luyện tập

18

DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

19

Bài tập luyện tập

24

PHẦN III: KẾT LUẬN

26

PHỤ LỤC

27

Số phức trong đề thi đại học các năm

28

Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

30

Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

SỐ PHỨC

1


PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
Trong quá trình dạy học, phương pháp dạy của thầy, việc tiếp thu kiến thức
của học trò là vấn đề chúng ta đặc biệt quan tâm. Chuyên đề này tôi đặc biệt dành
tặng các em học sinh có lực học trung bình nhưng lại có khát vọng vươn lên trong
cuộc sống, quyết tâm thay đổi số phận của mình trên con đường học tập, bước chân
vào ngưỡng của Đại học.
Kể từ khi chương trình toán THPT bổ sung nội dung số phức, trong ki` thi
đại học các năm gần đây, luôn có 01 điểm dành cho nội dung này. So với các phần
khác, thì 1,0 điểm này dễ lấy hơn nhiều, như nội dung khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số. Dễ cho cả người dạy và người học.
Trong nhiều năm gần đây, các bài toán số phức thường có trong đề thi Đại
học, Cao đẳng. Chuyên đề này sẽ giúp các em rèn luyện kĩ năng giải toán liên quan
tới số phức, lấy được 01 điểm thuộc về số phức trong các bài thi, để các em tiến
gần hơn đến ngưỡng của ĐH – CĐ.
Thực hiện SKKN này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho
quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các
bạn đồng nghiệp. Trong SKKN này tôi đề cập đến một số phương pháp giải một số
dạng toán liên quan đến số phức, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh
hoạt trong giải toán. Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập,
do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.

SỐ PHỨC

2


PHẦN II: NỘI DUNG
A: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:
z = a + bi

( a, b ∈ R, i2 = - 1)

2. Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:
+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z |= a 2 + b 2
+ Số phức liên hợp : z = a − bi
+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b).
+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau
3. Các phép toán đối với số phức
Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và
nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.
• Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i

• Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i

* Phép chia hai số phức
Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
SỐ PHỨC

3


z1
z2

=

z1 . z 2
z 2 .z 2

=

z1 .z 2
| z 2 |2

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng
đúng trên các số phức.
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có ∆ =b2 – 4ac.
−b± ∆
+ Nếu ∆ > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1, 2 =

2a

+ Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =
+ Nếu ∆ < 0, PT có 2 nghiệm phức x1, 2 =

−b
2a

−b±i | ∆|
2a

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ∆' =b’2 – ac.
− b'± ∆'
+ Nếu ∆' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1, 2 =
a

+ Nếu ∆' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =
+ Nếu ∆' < 0, PT có 2 nghiệm phức x1, 2 =

− b'
a
− b'±i | ∆' |
a

5. Một số kết quả cần nhớ :
1) i0 = 1 ⇒ i4n = 1

2) i1 = i ⇒ i4n + 1 = i

3) i2 = - 1 ⇒ i4n + 2 = - 1

4) i3 = - i ⇒ i4n + 3 = - i

5) (1 – i)2 = - 2i

6) (1 + i)2 = 2i

SỐ PHỨC

4


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ
PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN.
Với dạng bài tập này bên cạnh việc kiểm tra được kĩ năng làm phép toán số phức
còn giúp HS ghi nhớ các khái niệm cơ bản liên quan tới số phức.
Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i)(3 − 2i ) +

1
3+i

Giải:
3−i

3−i

Ta có : z = 5 + i + (3 + i)(3 − i) = 5 + i + 10
Suy ra số phức liên hợp của z là: z =

53 9
− i
10 10

Ví dụ 2: Tìm mô đun của số phức z =
Giải: Ta có : z =

(1 + i )(2 − i)
1 + 2i

5 − 5i
= 1− i
5

Vậy, mô đun của z bằng: z = 1 + ( −1) = 2
2

*Trong tính toán số phức, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ
thừa của đơn vị ảo i như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;
∀ n ∈ N*
SỐ PHỨC

5


Vậy in∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N.
−n

−n
1
Nếu n nguyên âm, i = (i ) =  ÷ = ( −i ) .
i

n

-1 -n

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được các phép toán lũy thừa của
số phức với số mũ lớn, như các ví dụ dưới đây:
Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết:
z = i105 + i23 + i20 – i34
Giải:
Z

= i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Vậy phần thực của z bằng 2; phần ảo bằng 0.
Ví dụ 4: Tính số phức sau:
z = (1+i)15
Giải:
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i
⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
16

8

1+ i 
 1− i 
Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = 
÷ +
÷
 1− i 
 1+ i 

Giải:
Ta có:

1 + i (1 + i )(1 + i ) 2i
=
= =i
1− i
2
2
SỐ PHỨC

6


⇒

16

8

1− i
1+ i 

 1 − i  16
8
= −i . Vậy 
+
÷
÷ =i +(-i) = 2
1+ i
 1− i 
 1+ i 

Hay chính trong đề thi khối A -2010 thực chất cũng là bài toán khai thác kiểm tra
làm tính với số phức và khái niệm số phức liên hợp, phần ảo của số phức
Ví dụ 6( A-2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết
z = ( 2 + i) 2 (1 − 2i)

Giải:

) ( 1 − 2i )
= ( 2 + 2 2i + i ) ( 1 − 2i )
= ( 1 + 2 2i ) ( 1 − 2i )
z=

(

2 +i

2

2

= 1 − 2i + 2 2i − 4i 2 = 5 + 2i
⇒ z = 5 − 2i
Vậy phần ảo của z là b = − 2 .
Ví dụ 7: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i. Tìm z3∈ C sao cho các điểm biểu diễn của z1,
z2, z3 tạo thành tam giác đều.
Giải: Giả sử z3 = x+yi (x,y là các số thực)
Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì
 4+4 =
 z1 − z2 = z1 − z3

⇔

 z1 − z2 = z2 − z3
 4+4 =


( x − 1)

2

+ ( y − 1)

2

( x + 1)

2

+ ( y + 1)

2

2
2
( x − 1) + ( y − 1) = 8
⇔
 x + y = 0

⇒ 2y2 = 6 ⇒ y = ± 3 ⇒ x = m 3
Vậy có hai số phức thoả mãn là yêu cầu bài toán: z3 = 3 (1+i) và z3 = - 3 (1-i)

SỐ PHỨC

7


Từ năm 2014, nội dung số phức được cho điểm khiêm tốn hơn trong đề thi
đại học, chỉ còn 0,5 điểm. Tuy vậy, trong một kì thi quan trọng như kì thi THPT
Quốc gia thì 0,5 điểm “ăn chắc” là đáng quý lắm rồi. Hay nói cách khác, nội dung
số phức vẫn chỉ là phần cho điểm thí sinh.
Ví dụ 8 (B-2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Tìm modun của z.
Giải: Giả sử z = x+yi (x,y là các số thực)

Vậy modun của số phức z là
Trong đề thi cao đẳng năm 2014, Bộ Giáo dục vẫn giữ nguyên 1,0 điểm cho
phần số phức.
Ví dụ 9(Cao đẳng năm 2014):
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

. Tìm phần thực và phần

ảo của z.
Giải: Giả sử z = x + yi (x, y là các số thực)

SỐ PHỨC

8


Vậy số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng 4.
Ví dụ 10 (Kì thi THPT Quốc Gia năm 2015):
Cho số phức z thỏa mãn

.

Tìm phần thực và phần ảo của z.
Giải:
Ta có

Vậy số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng -2

SỐ PHỨC

9


Bài tập luyện tập :
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
1) (3 – 5i) + (2 + 4i)

2) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i)
3) ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i )
2

2

4)
5)

3i (1 + 2i )
+ 4 – 3i.
12i

6) +
7) (1 + i) 2
8) (1 + i )2009
9) (1 – i)2006
Bài 2. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.
1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2
3) z = (1 – i)(2 – i)(3 + i)

2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3
4) z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010

5) z =

6) z =

1 + i 1 + 2i
−

1 − 2i 1 − i

7) z = 2 + 3i −

(4 − i ) 2
(1 + i ) 3

9) z2 – 2z + 4i

Bài 3: Cho z =

(1 + i )(1 − 2i ) 2
− (3 − 2i ) 2
4 + 2i
z +i
8)
iz + 1

10) z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i)
1 + 2i − (1 − i )3
1+ i

Tính |z| và tìm z .

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC
Trong dạng này tôi chia nhỏ thành 2 dạng :
SỐ PHỨC

10

+ Giải các phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai, phương trình trùng phương ….với ẩn là số phức z,
+ Giải tìm số phức z thông qua đặt z = a+bi (thường gặp trong các đề thi).
Ví dụ 1: Tìm số phức sau:
a.

(1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

b.

2+i
− 1 + 3i
z=
1− i
2+i

Giải :
a. (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i
1+ i
2 + 3i
5−i
⇔ 1+ z =
 
13
8 1
⇔ z = − − i    
13 13
⇔ 1+ z =

2+i
− 1 + 3i
z=
2 + i Ta có :
b. 1 − i

2+i
−1 + 3i
(−1 + 3i )(1 − i)
z=
⇔z=
 
1− i
2+i
(2 + i) 2
2 + 4i
(2 + 4i )(3 − 4i )
⇔z=
⇔z=
3 + 4i
25
22 4
⇔z=
+ i
25 25

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên trường số phức:
a. z2 + 2z + 5 = 0

b.. z3 – 27 = 0

Giải
a. Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0
Ta có: ∆ = -4 = 4i2⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i.
SỐ PHỨC

11


z = 3
z = 3
⇔
b. z – 27 = 0 ⇔ (z – 3) (z + 3z + 9) = 0 ⇔  2
 z = −3 ± 3 3i
z
+
3
z
+
9
=
0

2,3

2
3

2

z = 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: 
−3 ± 3 3i
z2,3 =

2

Ví dụ 3: (TN năm 2014) Giải phương trình
trên tập số phức.
Giải

Phương trình có hai nghiệm z =1+4i; z = 1- i.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên trường số phức:
a. z4 + 2z2 -3 = 0

b. z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (*)

Giải
a.

4

2

z + 2z -3 =

z2 = 1
 z = ±1
⇔ 2
⇔

 z = ±i 3
 z = −3
 z = ±1

Vậy phương trình có 4 nghiệm 

 z = ±i 3

b. Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.
(1) ⇔ (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0
⇔ (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0

SỐ PHỨC

12


z = 1
z = 1
z = 3


z
=
3
⇔
⇔
 z = 2i
 z 2 + 4 = 0


 z = −2i

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:

Ví dụ 5: Giải phương trình:
(z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0
Giải:
Đặt t = z2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

−1 + 23i
z =
2

2
z + z − 6 = 0

 t = −6
−1 − 23i
⇔ 2
⇔ z =
t2 + 4t – 12 = 0 ⇔ 
2
t = 2
z + z − 2 = 0

z =1
 z = −2


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 6: Giải phương trình:
(z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0
Giải:
Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:
t = z
t = −3 z

t2 +2zt – 3z2 = 0 ⇔ (t – z)(t+3z) = 0 ⇔ 

 z = −1 + 5i
+ Với t = z ⇔ z + 3z +6 –z = 0 ⇔ z + 2z + 6 = 0 ⇔ 
 z = −1 − 5i
2

2

SỐ PHỨC

13


 z = −3 + 3

+ Với t = -3z ⇔ z2 + 3z +6 +3z = 0 ⇔ z2 + 6z + 6 = 0 ⇔ 

 z = −3 − 3

Trong đề thi đại học, ta thường gặp hơn bài toán tìm số phức z, đưa về tìm a, b với
z = a+bi
Nhưng trước hết ta nên bắt đầu từ bài toán so sánh hai số phức

Ví dụ 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải:
Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
1

x=−

3 x + y = 2 y − 1

7
⇔
Giải hệ này ta được: 
5 x = x − y
y = 4

7

Ở ví dụ trên, ta sử dụng tính chất rất quen thuộc của số phức: hai số phức
bằng nhau, phần thực, phần ảo tương ứng bằng nhau. Ta sử dụng điều đó vào bài
toán tìm số phức z, đưa về tìm a, b với z = a+bi.
Ví dụ 8:(A-2011) Tìm tất cả các số phức z biết
2

z2 = z + z

Giải
Đặt z =a+bi (a, b là các số thực), ta có:

SỐ PHỨC

14


2

z2 = z + z
⇔ (a + bi )2 = a 2 + b 2 + a − bi
⇔ a 2 − b 2 + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi
a 2 − b 2 = a 2 + b 2 + a
⇔
2ab = −b
a − 2b 2 = 0
⇔
b(2a + 1) = 0
1 
1

a=−
a=−


a
=
0


2 
2

⇔
∨
∨
b = 0 b = 1
b = − 1
2
2


1
2

1
2

1
2

1
2

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn ycbt: z = 0 ∨ z = − + i ∨ z = − − i
Ví dụ 9:(D-2010)
Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i) z = 1 − 9i.
Giải:
Đặt z = a+bi (a, b là các số thực)
z − (2 + 3i) z = 1 − 9i
⇔ (a + bi ) − (2 + 3i )(a − bi ) = 1 − 9i
⇔ (a + bi ) − [2a + 3b − (3a − 2b)i ]=1- 9i
⇔ −(a + 3b) + (3a − b)i =1- 9i

a + 3b = −1
⇔
3a − b = −9
4

a = − 5
⇔
b = 3

5
4
5

3
5

Vậy số phức z cần tìm là: z = − + i

SỐ PHỨC

15


Ví dụ 10 (B -2009)
Tìm số phức z thỏa mãn

và z.z = 25 .

Giải
Đặt z = a+bi (a, b là các số thực)

z − (2 + i ) = 10
⇔ a − 2 + (b − 1)i = 10
⇔ (a − 2) 2 + (b − 1) 2 = 10
⇔ a 2 + b 2 − 4a − 2b − 5 = 0(*)

Lại có z.z = 25 ⇔ a 2 + b 2 = 25(**)
Từ (*)(**) ta có
b = 10 − 2a
 2
2
a + b = 25
⇔ a 2 + (10 − 2a) 2 = 25
⇔ a 2 − 8a + 15 = 0
a = 3 a = 5
⇔
∨
b = 4 b = 0

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán : z= 3+4i ; z =5.



Ví dụ 11: Tìm số phức z thoả mãn hệ: 



z −1
=1
z −i
z − 3i

=1
z +i

Giải: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ℜ)
Khi đó

z −1
= 1 ⇔ |z-1| = |z-i| ⇔ |x+yi-1|=|x+yi-i|
z −i

⇔ (x-1)2 + y2 = x2 + (y-1)2⇔ x=y.
SỐ PHỨC

16


Ta lại có:
z − 3i
= 1 ⇔ |z-3i| = |z+i| ⇔ |x+yi-3i| = |x+yi+i| ⇔ x2 + (y – 3)2 = x2 + (y+1)2
z +i

⇔ y = 1 ⇒ x = 1.
Vậy số phức phải tìm là z =1+i
Ví dụ 12 (CĐ -2011): Tìm modun của số phức z biết (−3 + 4i ) z + z = 4i − 20
Giải: Giả sử z = a + bi (a, b ∈ℜ)
(−3 + 4i ) z + z = 4i − 20
⇔ (−3 + 4i )(a + bi) + (a − bi ) = 4i − 20
a + 2b = 10
⇔
a − b = 1

a = 4
⇔
b = 3

Vậy modun của số phức z cần tính là: z = 42 + 33 = 5

SỐ PHỨC

17


Bài tập luyện tập:
Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 2 z + 3i = 7 + 8i

b) ( 1 − 3i ) z + ( 4 + 3i ) = 7 − 5i

c) ( 1 + i ) z + 3 = 2i − 4 z

d)

z
− ( 1 + 2i ) = 5 − 6i
2 + 3i

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 2 + 2 z + 5 = 0

b) z 2 − 4 z + 20 = 0

c) −3z 2 + z − 5 = 0

d) 4 z 2 + 9 = 0

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z 3 − 8 = 0

b) z 3 + 4 z 2 + 6 z + 3 = 0

c) z 4 − z 3 + 6 z 2 − 8 z − 16 = 0

d) z 4 − z 2 − 12 = 0

Bài 4. Giải ptrình sau trên tập số phức: z4 – z2 – 6 = 0
Bài 5. Giải ptrình: 3 z 4 + 4 z 2 − 7 = 0 trên tập số phức.
Bài 6 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).
1). 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i
2). x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i
2
3). x(1 + 4i) + (y – 5)I = 3y + 3
4). x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = 9 + 14i
5). x(1 + i) + 4y – 6 – (3y + 5)I = 0
Bài 7 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.
4

 z +i
1). 
 =1
 z −i
z −1

z − 3i
= 1 và
=1
3).
z −i
z +i

2). z = z.
4).

1 − 3i
1 + 2i

z −1
z − 2i
= 1 và
=1
z −3
z +i

Bài 8: Tìm số phức z biết z2+ |z| = 0
Bài 9: Tìm số phức z= x+yi biết x, y thỏa mãn đẳng thức :
x(3+5i) + y(1-2i)3 = 9 + 14i
SỐ PHỨC

18


DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN
ĐK CHO TRƯỚC

Phương pháp:
Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi
điểm M(x;y).
Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp
điểm M.
Một số quỹ tích thường gặp:
Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu:
* x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy).
* y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox).
* (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R.
* (x-a)2 +(y-b)2 ≤ R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên).
* (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán
kính R.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z thoả mãn: |z – 2+3i| =

3
2

Giải:
Giả sử z = x + yi, khi đó :
|z – 2+3i| =

3
3
⇔ |(x-2) +(y+3)i|=
2
2

⇔ (x-2)2 + (y+3)2 =

9
4
SỐ PHỨC

19


⇒ Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2;-3) và bán
kính 3/2.
Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng phức (Oxy).tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:
1. z − 1 + i =2
2. 2 + z = 1 − i
3. 2 + z > z − 2
4. 1≤ z + 1 − i ≤ 2
Giải:
1) Xét hệ thức: z − 1 + i =2 (1)
Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i.
Khi đó (1) ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2
⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4
⇒ Tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là
đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2.
2) Xét hệ thức 2 + z = z − i (2)
Giả sử z = x + yi, khi đó:
(2) ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2⇔ 4x + 2y + 3 = 0.
vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
3) Xét: 2 + z > z − 2 (3)

SỐ PHỨC

20


Giả sử z = x + yi, khi đó:
(3) ⇔ |2+x+yi| > |x+yi-2|
⇔ (x+2)2 +y2> (x-2)2 +y2⇔ x > 0.
⇒ Tập hợp các điểm cần tìm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung, tức là các
điểm (x;y) mà x > 0.
4) Xét hệ thức 1≤ z + 1 − i ≤ 2 ⇔ 1≤ z − (−1 + i ) ≤ 2 .
Giả sử z = x +yi khi đó
(5) ⇔ 1 ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ 2 ⇔ 1 ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ 4
⇒ Quỹ tích cần tìm là hình vành khăn có tâm tại A(-1;1) và các bán kính lớn và
nhỏ lần lượt là 2 và 1
Ví dụ 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thoả mãn một trong các điều kiện sau đây:
1. |z + z +3|=4
2. |z + z + 1 - i| = 2
3. 2|z-i|=|z- z +2i|
Giải:
1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1)
Đặt x = x + yi ⇒ z = x – yi, do đó
(1) ⇔ |(x+yi)+(x-yi)+3|=4
1

x = 2
⇔ |2x+3|=4 ⇔ 
x = − 7

2

SỐ PHỨC

21


Vậy tập hợp tất cả các điểm M là hai đường thẳng song song với trục tung x
=

1
7
và x = −
2
2

2) Xét hệ thức: |z + z + 1 - i| = 2.
Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi. Khi đó:

1+ 3
y =
2
(2) ⇔ |1+(2y-1)i| = 2 ⇔ 1 + (2y-1)2 = 4 ⇔ 2y2 -2y-1 = 0 ⇔ 

1− 3
y =

2

Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với trục hoành y =

1± 3
.
2

3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i|.
Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi. Khi đó: (3) ⇔ |x+(y-1)i| = |(x+y)i|
⇔ x2+(y-1)2 = (x+y)2⇔ x2 – 4y = 0 ⇔ y =
Vậy tập hợp các điểm M là parabol y =

x2
.
4

x2
.
4

Ví dụ 4 (D-2009):
Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
z − (3 − 4i ) = 2

Giải:
Giả sử z = x + yi, khi đó :
z − (3 − 4i) = 2
⇔ ( x − 3) + ( y + 4)i = 2
⇔ ( x − 3) 2 + ( y + 4)2 = 4
SỐ PHỨC

22

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm I(3;-4) bán kính R=2.
x2
Vậy tập hợp các điểm M là parabol y = .
4

Ví dụ 5 (B-2010):
Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
z − i = (1 + i ) z

Giải:
Giả sử z = x + yi, khi đó :
z − i = (1 + i ) z
⇔ x + ( y − 1)i = (1 + i )( x + yi )
⇔ x + ( y − 1)i = ( x − y ) + ( x + y )i
⇔ x 2 + ( y − 1) 2 = ( x − y ) 2 + ( x + y ) 2
⇔ x2 + y2 + 2 y = 1
⇔ x 2 + ( y + 1) = 2
2

Vậy quỹ tích cần tìm là đường tròn tâm I(0; -1) bán kính R= 2 .

SỐ PHỨC

23


Bài tập luyện tập :
Bài 1. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện:

a) Phần thực của z bằng 2.
b) Phần ảo của z thuộc khoảng ( −1;3) .
c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [ −2; 2] .
Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa
điều kiện:
a) z = 2 .

b) z ≤ 3 .

c) 1 < z ≤ 3 .

d) z > 4

Bài 3. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa
mãn điều kiện sau :
1). |z – 1 – i| = 1
3). | z - 2 z + i| = 2
5). |z - z + 1 + i| = 2
7). |2i - 2 z | = | 2z – 1|
9). |z2 - z 2 | = 4
11). |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20
13). | z – 2| - | z + 2| = 6
15). (2 – z)(i + z ) là 1 số thực tùy ý

2). |z + 3i + 4| < 2
4). |z + z + 3 – i| > 3
6). 2|z – i| = |z - z + 2i|
8). |2iz – 1| = 2|z + 3|
10). |z + 2| + |z – 2| = 6
12). |z – 2| = x + 3

14). | z + 4| = y – 5
16). (2 – z)(i + z ) là 1 số ảo tùy ý

17).

18).

z +i
là 1 số thực .
z +i

z
= k , k là 1 số thực dương ?
z −i

Bài 4 .Tìm các số phức thỏa điều kiện sau :
4

 z +i
1). 
 =1
 z −i

2). z = z.

1 − 3i
1 + 2i

SỐ PHỨC

24


3).

z −1
z − 3i
= 1 và
=1
z −i
z +i

4).

z −1
z − 2i
= 1 và
=1
z −3
z +i

Bài 5: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một
trong các điều kiện sau:
a) |z-2| = 3

e) Phần thực của

b) |z+i|<1
f)

c) |z-1+2i| > 3
d) z +

z−2
bằng 0
z −1

1+ z
∈R
z

1
=2
z

Bài 6. Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả
mãn các điều kiện sau
a) z +1 = z − i

2

b ) z + 3z + 3z = 0

PHẦN III: KẾT LUẬN

SỐ PHỨC

25