CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

CHUYÊN ĐỀ:

BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Tổng số tiết dạy: 48 tiết = 16 buổi.
MỞ ĐẦU
Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác là nội dung cơ bản và quan
trọng trong học tập lượng giác và là một nội dung trong cấu trúc đề thi THPTQG.
Thành thạo các phép biến đổi lượng giác giúp các em học sinh thêm tự tin trong kì thi
THPTQG.
Với mục đích cung cấp cho học sinh THPT. Đặc biệt là học sinh lớp 10, 11.Các
phương pháp về biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác góp phần phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.
Chuyên đề này gồm: Hệ thống ngắn gọn các kiến thức cơ bản về biến đổi lượng
giác và cách giải phương trình lượng giác.
Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán về biến
đổi lượng giác và phương trình lượng giác.
Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kĩ năng biến
đổi lượng giác, giải phương trình lượng giác.

PHẦN I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
A. Lí thuyết cơ bản.
B. Bài tập và phương pháp giải toán.

Dạng 1. Bài tập về hệ thức lượng giác cơ bản.
I. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị của biểu thức lượng giác.
1. Cho một hàm số lượng giác. Tính giá trị các hàm số lượng giác còn lại.
2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác.Tính giá trị của

một biểu thức lượng giác.
3. Cho một biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá của biểu thức
lượng giác.

Tổ: Toán - Tin

1

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Bài tập tính giá trị của biểu thức lượng giác qua các đề thi thử THPTQG năm
2015.
II. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
III. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.
IV. Rút gọn các biểu thức lượng giác.

Dạng 2: Bài tập về công thức quy gọn góc (Công thức biểu diễn góc (cung)
có liên quan đặc biệt).
Dạng 3: Bài tập về công thức lượng giác. (Công thức cộng. Công thức nhân.
Công thức biến đổi).
I. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
II. Rút gọn biểu thức lượng giác.
III.Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
IV. Tính giá trị lượng giác.Tính giá trị biểu thức lượng giác.
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.
Dạng 2: Phương trình lượng giác thường gặp.
I.

Phương trình bậc nhất, bậc 2, bậc 3 với một hàm số lượng giác.

II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
III. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.
IV. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.
Dạng 3. Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình tích các
phương trình lượng giác thường gặp.
I.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

II. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng
giác.
III. Phương trình đưa về phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và
cosx.
IV. Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx.
Dạng 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực với phương pháp khác.
I

Phương pháp tổng bình phương.

II. Phương pháp đánh giá hai vế.

Tổ: Toán - Tin

2

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

PHẦN I. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Số tiết dạy:18 tiết = 6 buổi.
A.Mục tiêu bài dạy.
1.Mục tiêu bài dạy.
- Học sinh nhớ được các hệ thức lượng giác cơ bản.
-Hiểu được các công thức thu gọn góc.
-Hiểu và nhớ công thức cộng, công thức nhân và công thức biến đổi.
2. Kỹ năng.
-Dùng công thức lượng giác để: +Tính giá trị lượng giác.
+Rút gọn biểu thức lượng giác. Chứng minh đẳng thức lượng giác.
B.

LÝ THUYẾT CƠ BẢN.

I. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG:
1. Độ:

Goù
c10 =

1
goù

c beït
180

x

2. Radian: (rad)

1800 =π rad
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung) thông dụng:
Độ
Radian

00
0

300
π

450
π

600
π

900
π

1200
2π

1350
3π

1500
5π

6

4

3

2

3

4

6

II. GÓC LƯỢNG GIÁC & CUNG LƯỢNG GIÁC:

3600
2π

y

1. Định nghĩa:
y

1800
π

(tia ngọn)
(điểm ngọn)

B
+

α

t

α
O

x

(Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

Tổ: Toán - Tin

O

(tia gốc)

+

α
M

t

x

A (điểm gốc)

AB = α + k 2π
3

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

III. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
y

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin (trục hoành )

−1

(trục tung )

C

x'

• t'At : trục tang

u

B
1

u'

• y'Oy : trục sin

t
+

R =1
O

1
A
−

−1

• u'Bu : trục cotang

y'

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:

x

t'

a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x 'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t 'At và u'Bu
Ta định nghĩa:

t

y

t

Trục sin

Trục cotang

u'

U

B
M

Q
t
x'

α

O

Trục cosin

P

+

T
α

x

A

−1
y'

u

t'

cosα = OP
sinα = OQ

−

tgα

= AT

cot gα = BU

Trục tang

b. Các tính chất:
Với mọi α ta có:

−1≤ sinα ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

• tanα xaù
c ñònh ∀α ≠

π
+ kπ với k ∈ ¢
2

c ñònh ∀α ≠ kπ k ∈ ¢
• cotα xaù

Tổ: Toán - Tin

4

Trường THPT ……….

Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

c. Tính tuần hoàn

sin(α + k2π ) = sinα
cos(α + k2π ) = cosα
tan(α + kπ ) = tanα
cot(α + kπ ) = cotα

(k ∈ Z )

IV. GIÁ TRỊ CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC
BIỆT:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y

t
3

- 3

- 3/3

-1

u'

2π/3
3π/4

π

π/2

1

3/3

u
π/4

3/2

π/6

1/2

1/2

- 3/2 - 2/2 -1/2

-1

2/2

3/2

-π/6

-1
-π/2

-1

-π/3

y'

tan α
cot α

00

300

450

600

0

π
6

π
4

π
3

0

1
2

2
2
2
2

3
2
1
2

1

3

kxđ

1

3
3

0

1
0
kxđ

3
2
3
3
3

- 3/3

-π/4

- 3/2

cos α

x

1 A (Ñieå
mgoá
c)

-1/2

Hslg
sin α

3/3

O

- 2/2

Góc

3

1

π/3

2/2

5π/6

x'

B

t'

- 3

900

1200

1350

1500

π
2

2π
3

3π
4

5π
6

π

2π

3
2
1
−
2

2
2
2
−

2

1
2

0

0

-1

1

− 3

-1

0

0

3
3

-1

kxđ

kxđ

1
0

−

3
2
3
−
3
−

− 3

1800

3600

V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT:

Tổ: Toán - Tin

5

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Đó là các cung:
π
π
& − ,…)
6
6

1. Cung đối nhau

: α vaø-α

2. Cung bù nhau

: α vaøπ -α

3. Cung phụ nhau

π
π
π π
& ,…)
: α vaø − α (tổng bằng ) (Vd:

4. Cung hơn kém

(tổng bằng 0) (Vd:

2

2

π
π
: α vaø + α
2
2

5. Cung hơn kém π : α vaøπ + α
1. Cung đối nhau:
cos(−α ) = cosα
sin(−α ) = − sinα
tan(−α ) = − tanα
cot(−α ) = − cotα

π 5π
&
,…)
6
6

(tổng bằng π ) (Vd:

6

3

(Vd:

π 2π
&
,…)
6
3

(Vd:

π 7π
&
,…)
6
6

2. Cung bù nhau:

Cos đối

Sin bù

3. Cung phụ nhau:

π
cos( − α ) = sinα
2
π
sin( − α ) = cosα Phụ chéo
2
π
tan( − α ) = cotα

2
π
cot( − α ) = tanα
2

cos(π − α ) = − cosα
sin(π − α ) = sinα
tan(π − α ) = − tanα
cot(π − α ) = − cotα

4. Cung hơn kém
π
Hơn kém
2

sin bằng cos
cos bằng trừ sin

π
2

π
cos( + α ) = − sinα
2
π
sin( + α ) = cosα
2
π
tan( + α ) = −cotα
2

π
cot( + α ) = − tanα
2

5. Cung hơn kém π :

Tổ: Toán - Tin

6

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

cos(π + α )
sin(π + α )
tan(π + α )
cot(π + α )

= − cosα
= − sinα
= tanα
= cotα

……

Hơn kém π
tan , cot

VI. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Các hệ thức cơ bản:

1+ tan2α =

cos2α + sin2α = 1
sinα
π
tanα =
(α ≠ +kπ )
cosα
2
cosα
cotα =
(α ≠ kπ )
sinα

1+ cot2α =

1
cos2α
1
sin2α

(α ≠

π
+kπ )
2

(α ≠ kπ )

tanα . cotα =1 (α ≠

kπ
)
2

2. Công thức cộng:

cos(α + β ) = cosα .cosβ − sinα .sinβ
cos(α − β ) = cosα .cosβ + sinα .sinβ
sin(α + β ) = sinα .cosβ + sinβ .cosα
sin(α − β ) = sinα .cosβ − sinβ .cosα
tanα +tanβ
tan(α +β ) =
1− tanα .tanβ
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1+ tanα .tanβ
3. Công thức nhân đôi:

cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2 α − 1= 1− 2sin2α
= cos4α − sin4 α
sin2α = 2sinα .cosα
2tanα
π
π kπ
π
tan2α =

(α ≠ ± +kπ , α ≠ + ,α ≠ +kπ )
2
4
4 2
2
1− tan α
4. Công thức nhân ba:

cos3α = 4cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α
5. Công thức hạ bậc:
cos 2 α =

Tổ: Toán - Tin

1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2

7

tg 2α =

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α
4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

1 − cos 2α
1 + cos 2α

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

6. Công thức tính sin α ,cos α , tan α theo t = tan
sin α =

2t
;
1 + t2

cos α =

1− t2
;
1 + t2

tan α =

……

α
2

2t
1 + t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sinα .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sinα .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cosβ =

8. Công thức biến đổi tổng thành tích:
α+β
α −β
cosα + cosβ = 2cos
.cos
2
2
α+β
α −β
cosα − cosβ = −2sin
.sin

2
2
α +β
α −β
.cos
2
2
α +β
α −β
sinα − sin β = 2cos
.sin
2
2
sinα + sin β = 2sin

sin(α + β )
cosα cosβ
sin(α − β )
tanα − tan β =
cosα cosβ
tanα + tan β =

9. Các công thức thường dùng khác:
π
π
cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + )
4
4
π
π

cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − )
4
4
3 + cos 4α
4
5
+
3
cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8
cos 4 α + sin 4 α =

C. BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Tổ: Toán - Tin

8

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

DẠNG 1. BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG CƠ BẢN
I. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG
GIÁC.
1. Cho 1 hàm số lượng giác. Tính giá trị của các hàm số lượng giác còn lại.
* Các bước thực hiện:

Bước 1: Kiểm tra dấu của các hàm số lượng giác cần tính.
Bước 2: Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.
Bước 3: Kết luận.
* Ví dụ 1:
a) Cho sinα =

4
π
và < α < π
5
2

Tính cosα, tanα, cotα.
Giải:
+ Vì:

π
< α < π => cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0
2

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
cos2α = 1 – sin2α = 1 tanα =

sin α
4
=−
cosα
3

cotα = −

b) Cho cosα = + Vì π < α <

16 9
3
=
⇒ cosα = −
25 25
5

3
4
1
3π
với π < α <
. Tính sinα, tanα, cotα.
4
2

3π
=> sinα < 0, tanα > 0, cotα > 0.
2

+ Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản, ta có:
sin2α = 1 – cos2α =

Tổ: Toán - Tin

15
− 15
⇒ sin α =

16
4

9

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

tanα = 15 ;cot α =

……

15
15

* Ví dụ 2:

π
< α < π . Tính sinα, cosα, cotα;
2
3π
b) Cho cotα = 3 và π < α <
. Tính sinα, cosα, tanα.
2
a) Cho tanα = - 2 và

2. Biết một hàm số lượng giác hay một phương trình lượng giác. Tính giá trị của
một biểu thức lượng giác.

* Phương pháp:
Cách 1: Rút gọn biểu thức lượng giác đã cho chỉ còn hàm số lượng giác đã biết.
Cách 2: + Tính các hàm số có trong biểu thức.
+ Thay kết quả tìm được vào biểu thức.
Cách 3: Giải phương trình để tính giá trị đơn.
* Áp dụng:
Ví dụ 1: Cho tanα = - 2. Tính giá trị của các biểu thức.
A=

sin α + 2cos α
sin α − 2cos α

Giải:
Vì tanα = - 2(gt) => cosα ≠ 0
Chia cả tử và mẫu của A cho cosα ≠ 0 và thay tanα = - 2, được:
A=

tan α + 2 −2 + 2
=
=0
tan α − 2 −2 − 2

Ví dụ 2: Cho cotα = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
A=

1
cos α − sin α cosα + sin 2 α
2

Giải:

Chia cả tử và mẫu của B cho sin2α ≠ 0 thay cotaα = 3, được:

A=

1 + cot 2 α
10
=
cot 2 α − cot α + 1 7

Ví dụ 3:

Tổ: Toán - Tin

10

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

a) Cho 3sin4α - cos4α =

……

1
(1). Tính
2

A = sin4α + 3cos4α.
Giải: Đặt t = sin2α với 0 < t < 1. => cos2α = 1 – t

Thì (1) trở thành 3t2 – (1 – t)2 =

1
2

 6t2 – 2(1 – 2t + t2) = 1

 −3
t = 2 ∉ [ 0;1]
2
 4t + 4t – 3 = 0  
t = 1 ∈ [ 0;1]
 2
Với t =

1
1
1
ta có sin2α = => cos2α = thay vào A ta được:
2
2
2

A=

1 3
+ =1
4 4

b) Tương tự cho 3 sin4α +2cos4α =

98
. Tính A = 2sin2α + 3cos4α.
81

Ví dụ 4: (Đề minh họa – THPT Quốc Gia – 2015)
Cho

3
tan α
π
< α < π và sinα = . Tính A =
5
1 + tan 2 α
2

Ví dụ 5: Đề thi THPT Quốc gia năm 2015
Tính giá trị của biểu thức p = (1-3cos2α) (2+3cos2α), biết
2
sin α =
3
Giải:
2 7 14
P = (−2 + 6sin 2 α )(5 − 6sin 2 α ) = . =
3 3 3
3. Cho 1 biểu thức lượng giác. Tính giá trị lượng giác. Tính giá trị của biểu thức
lượng giác.
* Phương pháp:
- Dùng hệ thức lượng giác cơ bản để tính.

Tổ: Toán - Tin

11

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

* Áp dụng:
Ví dụ 1: Cho sinα + cosα =

2

a) Tính sinα , cosα, tanα, cotα.
b) Tính giá trị của biểu thức A = sin5α + cos2α
Giải:
a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản, ta có

sin α + cosα = 2
sin α = 2 − cosα
⇔
 2

2
2
2
sin α + cos α = 1



( 2 − cosα ) + cos α = 1


2
2
=
sin α = 2 −

2
2 ⇒  tan α = 1

 cot α = 1

cosα = 2

2

2
. Thay vào A ta được:
2

b) Theo kết quả a) sinα = cosα =
5

5

 2  2
2

A= 
÷ +
÷ =
4
 2   2 
Ví dụ 2: Cho tanα + cotα = 2
a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα
b) Tính giá trị của biểu thức A =

sin α cosα
tan 2 α + cot 2 α

Giải:
a) Theo giả thiết và hệ thức lượng giác cơ bản ta có:

 tan α = 2 − cot α
 tan α + cot α = 2
 tan α = 2 − cot α
<=>



 2
 tan α cot α = 1
 cot α (2 − cot α ) = 1
cot α − 2cot α + 1 = 0
 tan α = 1
cot α = 1



+ sin α = cosα =

2
2

2 2
.
1
b) Theo kết quả a, thì A = 2 2
=
1+1
4
Tổ: Toán - Tin

12

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

Ví dụ 3: Cho sin2αcos2α =

……

1
4

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của biểu thức A = sin4α + cos4α
Giải:
a) Theo hệ thức lượng giác cơ bản và giả thiết có:

1
 2
s inx = ±
sin 2 α + cos 2α = 1
sin
x
=



2
⇔
 2
1 ⇔
2
sin α cos α =
cos 2 x = 1
cos x = ±

4


2

1
2

1
2

⇒ tanx = ± 1; cotx = ± 1
b) A = (sin2x)2 + (cos2x)2 =

1 1 1
+ =
4 4 2

BÀI TẬP TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
QUA CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2015
1. Cho góc α thỏa mãn π < α <

3π
và tanα = 2
2
2

π

 5π

Tính M = sin α + sin  α + ÷ + sin 
− 2α ÷
2

 2

2

THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội)
Giải:
+ Vì π < α <

1
1
1
3π
= ⇒ cosα = −
(gt) ⇒ cosα < 0 ⇒ cos2α =
1 + tan α 5
5
2

+ M = sin2α + cosα + cos2α = sin2α + 2cos2α + cosα - 1
= cos2α + cosα =

1 1
−
5
5

2. Biết rằng số thực α thỏa mãn tanα = 2. Tính:

sin α + 2cos 3 α
(Trường ĐH Vinh – TPTH chuyên lần 2)
cosα + 2sin 3 α
7
π

3. Biết rằng α ∈ (−π ; − ) và sin2α = . Tính:
9
2
A=

Tổ: Toán - Tin

13

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

A=

……

cos 2α − 4cos α + 4 + sin 2 α − 4sin α + 4
(ĐH Vinh – THPT chuyên lần 3)

4. Cho

π
π

< α < 2π và tan  α + ÷= 1
4
2





Tính A = cos  α −

π
÷ + sinα
6
(Đề THPT Hùng Vương – Phú Thọ)

5. Cho sinα + 2cosα = - 1 và

π
< α < π . Tính sin2α
2

(Đề THPT Cẩm Lý – Bắc Giang)
6. Cho góc α thỏa mãn π < α <

π
−4
3π

và cosα =
. Tính tan  α − ÷
4
5
2


(Đề THPT Thạch Thành I)
7. Cho góc α. Thỏa mãn

4
π
< α < π và sinα = . Tính A = sin2(α + π)
5
2
(Đề Sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

8. Cho góc α thỏa mãn π < α <

3π
và sinα - 2cosα = 1. Tính A = 2tanα - cotα
2

(Đề Sở GD&ĐT Nghệ An)

π 
π
4
π

với - < α < 0 . Tính A = sin  α − ÷cos  α + ÷
4 
4
5
2


9. Cho cosα =

(Đề THPT Thủ Đức)

sin 3 α + cos3α − sin 3 α + sin α
10. Cho tanα = 2. Tính A =
2sin 3 α − 3cos 3 α + sin α + cosα
(Mẫu đề thi thử THPT QG đề 9)
4. Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho sinα - cosα =

2

a) Tính sinα, cosα, tanα, cotα
b) Tính giá trị của biểu thức A = sin6α + cot6α
Bài 2: Cho sinα + cosα = a với a ∈  − 2; 2  . Tính giá trị của biểu thức:
a)

A = sinαcosα;

B = sinα - cosα;

D = tan α + cot α
2

Tổ: Toán - Tin

2

C = sin4α + cos4α

sin 2 α
sin α + cosα
E=
−
sin α − cosα
tan 2 α − 1

14

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

Bài 3: Tính sinα, cosα, tanα, cotα, biết
a) asinα + bcosα = 0 với a2 + b2 ≠ 0
1 
1 


b)  1 +
÷sin α + 1 +
÷cosα = 2 + 2
 cosα 
 sin 
c) 5sinα - 20cosα = 4(tanα - 4)
d) 49 – 50sinαcosα = 12(tanα + cotα)

II. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Bài toán: CMR: A (sin, cos, tan, cot) = B(sin, cos, tan, cot)
2. Phương pháp:
Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản
 A = A1 = A2 = ... = Am = B

 B = B1 = B2 = ... = Bm = A

Cách 2: Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.
 A = A1 = A2 = ... = Am = G
 B = B = B = ... = G

1
2

⇒ A=B

Cách 3: Biến đổi tương đương
A = B ⇔ A1 = B1 ⇔ A2 = B2 ⇔ … ⇔ An = Bn – đúng.
Cách 4: Xuất phát từ 1 đẳng thức đúng
An = Bn ⇔ An-1 = Bn-1 ⇔ … ⇔ A = B
3. Ví dụ minh họa:

1 + sin 2 a
Ví dụ 1: CMR:
= 1 + 2 tan 2 a
2
1 − sin a

(1)

Giải: Sử dụng cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản.

1 + sin 2 a 1 + sin 2 a
1
sin 2 a
=
=
+
= (1 + tan 2 a) + tan 2 a = 1 + 2 tan 2 a
2
2
2
2
1 − sin a
cos a
cos a cos a
Ví dụ 2: Biến đổi đến cùng một biểu thức trung gian:

tan 2 a 1 + cot 2 a
1 + tan 4 a
.
=
1 + tan 2 a cot 2 a
tan 2 a + cot 2 a

(1)

Giải: Sử dụng cách 2. Biến đổi về cùng một biểu thức trung gian.
VT(1) =

Tổ: Toán - Tin

tan 2 a  1
tan 2 a

+
1
=
tan 2 a + 1) = tan 2 a
(

÷
2
2
2
1 + tan a  cot a  1 + tan α

15

(2)

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

1 + tan 2 a

tan 2 a(tan 2 a + cot 2 a)
=
= tan 2 a
VP(1) =
2
2
2
2
tan a + cot a
tan a + cot a

(3)

Từ (2), (3) ⇒ đpcm.
Ví dụ 3: CMR:

1 − sin a
cos a
π
=
, ∀a ≠ + kπ
cos a
1 + sin a
2

Giải: Sử dụng cách 3: Biến đổi tương đương.
1 − sin a
cos a
=
⇔ (1 − sin a)(1 + sin a) = cos 2 a

cos a
1 + sin a
⇔ 1 – sin2a = cos2a ⇔ sin2a + cos2 = 1 đúng.

Chứng tỏ:

1 − sin a
cos a
=
đúng (đpcm).
cos a
1 + sin a

4. Bài tập tương tự:
Bài 1: CMR:

cos a
1
+ t ana =
1 + sin a
cos a

b)

sin a
1 + cos a
2
+
=
1 + cos a

sin a
sin a

t ana cot 2 a − 1
c)
.
=1
1 − tan 2 a cot a

d)

1 + cos a 1 − cos a 4cot a
−
=
1 − cosa 1 + cos a sin a

a)

Bài 2: CMR:
a) (sina + cosa)2 - (sina – cosa)2 = 4sinacosa
b) 1 + 2sinacosa = sinacosa (1 + tana) (1 + cota)2
c) tan2a – sin2a = tan2a sin2a
d)

(sin a + cos a) 2 − 1
= 2 tan 2 a
cot a − sin a cos a

Bài 3: CMR:

sin 2 a
cos 2 a
−
= sin a cos a
a) 1 1 + cot a 1 + t ana
c) sin4a – cos4a = 1 – 2cos2a

b)

1 + cot a 1 + t ana
=
1 − cot1 t ana − 1

d) sin4a + cos4a = 1-2sin2acos2a

e) sin6a + cos6a = 1 – 3sin2acos2a
g) sin8a + cos8a = 1 – 4sin2acos2a + 2sin4acos4a.
h) sin2a – tan2a = tan6a (cos2a – cot2a)

tan 3 a
1
cot 3 a
−
+
= tan 3 a + cot 3 a
i)
2
2
sin a sin a cos a cos a
k)

t ana − sin a
1
=
3
sin a
cosa(1+ cos a)

Tổ: Toán - Tin

16

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC BIẾN SỐ
1. Phương pháp
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà
không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa một biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.
2. Ví dụ minh họa:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số.
Bài 1: a)

A = cos4x – sin4x + 2sin2x
= cos2x – sin2x + 2sin2x

= cos2x + sin2x = 1

b)

B = cos4x + sin2xcos2x + sin2x
= cos2x (cos2x + sin2x) + sin2x = 1

c) Tương tự: C = 2(cos6x + sin6x) – 3 (sin4x + cos4x)
d)
Bài 2: a)

D = 3(sin8x – cos8x) + 4(sin6x – 2sin6x) + 6sin4x
A = (sin4x + cos4x – 1) (tan2x + cot2x + 2)

b)

B=

(1 − tan 2 x) 2
1
− 2
2
tan x
sin x cos 2 x

c)

C=

tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x

+
sin 2 x
cos 2 x

d)

1 − sin 6 x 3tan 2 x
−
D=
cos 6 x
cos 2 x

IV. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp
- Đưa về cùng một hàm số lượng giác và rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích rồi rút gọn
cho nhân tử chung.
- Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng lũy
thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Tổ: Toán - Tin

17

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

A = cos2a + cos2acot2a = cos2a (1 + cot2a) = cos2a .

……

1
= cot2a
2
sin a

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
1 
1 
1

2
B = 1 + t ana +
÷1 + t ana −
÷ = (1 + t ana) −
cos a 
cos a 
cos 2 a

= 1 + 2tana + tan2a - 1- tan2a = 2tana.
Ví dụ 3: Rút gọn

2cos 2 a − 1 (cos a + sin a)(cos a − sin a)
=
= cos a − sin a
C=

sin a + cos a
sin a + cos a
3. Bài tập tương tự
Rút gọn biểu thức
a)

A = (tanx + cotx)2 – (tanx – cotx)2

b)

cos 2 a + cos 2 a cot 2 a
B=
sin 2 a + sin 2 a tan 2 a

d)

D=

sin 2 a − tan 2 a
c) C =
cos 2 a − cot 2 a

tan a sin a
−
sin a cot a

e) E =

1 + sin a
1 − sin a

+
1 − sin a
1 + sin a

DẠNG 2: CÔNG THỨC QUI GỌN GÓC
(CÔNG THỨC BIỂU DIỄN CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT)
I. BẢNG CÔNG THỨC QUY GỌN GÓC.
Góc
HSLG
sin
cos
tan
cot

-α

900-α

900+α

1800-α 1800+α 2700-α 2700+α 3600+α

-sin
cosα
-tanα
-cotα

cosα
sinα
cotα

tanα

cosα
-sinα
-cotα
-tanα

sinα
-cosα
-tanα
-cotα

-sinα
-cosα
tanα
cotα

-cosα
-sinα
tanα
cotα

-cosα
sinα
-cotα
tanα

sinα
cosα
tanα

cotα

II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác của các góc sau:
a) 4950

b)

43π
6

Giải:
a) Ta có: 4950 = 3600 + 1800 - 450

Tổ: Toán - Tin

18

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

sin4950 = sin[3600 + (1800 – 450)] = sin(1800 - 450) = sin450 =

2
2

cos4950 = cos[3600 + (1800 – 450)] = cos(1800 – 450) = -cos450 = -

2
2

tan4950 = - 1
cot4950 = - 1
b)

43π
π
= 6π + π +
6
6
sin

43π
π 
π
π
1


= sin  6π + (π + )  = sin  π + ÷ = − sin = −
6
6 
6
6
2




cos

43π
π
π
3
= cos(π + ) = −cos = −
6
6
6
2

tan

43π
π
π
1
= tan(π + ) = tan = +
6
6
6
3

cot

43π cot π
=

= 3
6
6

(cot 440 + tan 2260 )cos4060
− cot 720.cot180
Bài 2: Tính A =
0
cos316
Giải:
cot440 = tan460 ;

cos4060 = cos460

tan2260 = tan 460 ; cos3160 = sin460

cot720 = tan180

(tan 460 + tan 460 )cos460
Khi đó: A =
− tan180.cot180
0
sin 46
= 2 (tan460 . cot460) – 1 = 2 – 1 = 1
Bài 3: Tính a) B = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800
b) C = tan100tan200 … tan700tan800.
Giải:
a) B = (cos200 + cos1600) + (cos400 + cos1400) + (cos600 + cos1200) +
(cos800 + cos1000) + cos1800 = - 1
b) C = (tan100tan800) (tan200 tan700) (tan300 tan600) (tan400tan500) = 1

III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
cos(−2880 ) cot 720
− tan180
Bài 1: a) A =
0
0
tan( −162 )sin108

Tổ: Toán - Tin

19

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

sin( −2340 ) − cos216 0
.tan 360
b) B =
0
0
sin144 − cos126
c) C =

cos 21970 + cos 2 2870 sin 2 3230
−
1 − sin 2 217 0

cos 2 37 0

1
2sin 25500.cos(−1880 )
+
d) D =
tan 3680
2cos6380 + cos980
Bài 2: Tính:
a) A = tan200 + tan400 + … + tan1600 + tan1800
b) B = sin50 + sin100 + … + sin3550 + sin3600
DẠNG 3: BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
(CÔNG THỨC CỘNG, CÔNG THỨC NHÂN, CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI)
I. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp:
Khi gặp các dạng toán này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong bài. Từ
đó có các phương pháp để giải quyết như sau:
Phương pháp 1: Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản.
Phương pháp 2: Biến đổi hai vế của đẳng thức cần chứng minh về một đẳng
thức luôn đúng.
Phương pháp 3: Rút gọn hai vế của đẳng thức cần chứng minh về cùng một
biểu thức trung gian thứ ba.
Phương pháp 4: Từ một đẳng thức luôn đúng hoặc đẳng thức cho trước qua các
phép biến đổi tương đương để được đẳng thức cần chứng minh.
2. Bài tập áp dụng
Bài 1:
Chứng minh rằng

sin x − sin y
x+y

= −cot(
)
cos x − cos y
2

Giải

Tổ: Toán - Tin

20

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

x+y
cos 
÷
x+y
 2 
cot
=
Bởi vì
.Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức

÷
 2  sin  x + y 


÷
 2 
x+y
x+y
xuất hiện cos 
÷, sin 
÷.
 2 
 2 
Khi đó ta có:
x+y
x−y
sin
sin x − sin y
2
2 = −cot x + y
=
cos x − cos y −2sin x + y sin x − y
2
2
2
2cos

Bài 2:
Chứng minh rằng:

cos x + sin x
cos2x
=

cos x − sin x 1 − sin 2x

Giải:

cos2x
cos 2 x − sin 2 x
( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) = cos x + sin x
=
=
1 − sin 2x cos 2 x + sin 2 x − 2sinxcosx
cos x − sin x
( cos x − sin x ) 2
Bài 3: Chứng minh rằng:
n

tan n α + cos nα
 tan α + cosα 
(n ∈ Z+ )

÷ =
n
n
 1 + cotα .cosα  1 + cot α .cos α
n



n

tan α + cosα ÷

n
 tan α + cosα 
Ta có 
=
= ( tan α )
÷
÷ 
 1 + cotα .cosα   1 + 1 .cosα ÷
tan α



(1)

tan n α + cos nα
tan n α + cos nα
n
=
= ( tan α )
n
n
1
1 + cot α .cos α 1 +
.cos nα
n
( tan α )

(2)

Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.

sin 4 x + cos 4 x − 1 2
Bài 4: chứng minh:
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 3
Giải:
Ta có sin 4 a + cos 4 a − 1 = 1 − 2sin 2 acos 2 a − 1 = −2sin 2 acos 2 a

Tổ: Toán - Tin

21

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

sin 6 a + cos 6 a − 1 = (sin 2 a + cos 2 a)3 − 3sin 2 acos 2 a(sin 2 a + cos 2 a) − 1
= −3sin 2 acos 2 a
sin 4 x + cos 4 x − 1 −2sin 2 acos 2 a 2
Do đó
=
=
sin 6 x + cos 6 x − 1 −3sin 2 acos 2 a 3
Bài 5: Chứng minh rằng: 8 + 4tan
Ta có: (*) ⇔ 8 = cot

π

π
π
π
+ 2tan + tan = cot (*)
8
16
32
32

π
π
π
π
− tan − 2tan − 4tan
32
32
16
8

cosa sin a cos 2a-sin 2 a 2cos2a
−
=
=
= 2cot2a
Mà cota-tana=
sina cosa
sinacosa
sin2a
Do đó:

π
π 
π
π

⇔ cot − tan  − 2tan − 4tan = 8
32 
16
8
 32
π
π
π

⇔  2cot − 2tan  − 4tan = 8
16
16 
8

π
π
⇔ 4cot − 4tan = 8
8
8
⇔ 8cot

π
= 8 (hiển nhiên đúng).
4

Bài 6: Chứng minh:

 2π

 2π
 3
a/cos 2 x+cos 2 
− x ÷+ cos 2 
+ x ÷=
 3

 3
 2
b/

1
1
1
1
+
+
+
= cotx - cot16x
sin2x sin4x sin8x sin16x

Giải:

 2π

 2π


− x ÷+ cos 2 
+ x÷
 3

 3


2
2
a/ Ta có: cos x+cos 

1
1
4π   1 

 4π

= (1 + cos2x) + 1 + cos  2x+
- 2x ÷
÷ + 1 + cos 
2
2
3  2 

 3

=

3 1

4π

+  cos2x + cos  2x+
2 2
3


Tổ: Toán - Tin


 4π

- 2x ÷
÷+ cos 

 3


22

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

=

3 1
4π 
+  cos2x + 2cos2xcos 

2 2
3 

=

3 1
 -1   3
+  cos2x + 2cos2x  ÷ =
2 2
 2  2

b/ Ta có: cota - cotb =

……

cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b − a)
−
=
=
sina sinb
sin asinb
sin asinb

Do đó: cot x − cot 2 x =

sin(2 x − x)
1
=
(1)
sinxsin2x sin 2 x

sin(4 x − 2 x)
1
=
(2)
sin 2 x sin 4 x sin 4 x
sin(8 x − 4 x)
1
cot 4 x − cot 8 x =
=
(3)
sin 4 x sin8 x sin8 x
sin(16 x − 8 x)
1
cot 8 x − cot16 x =
=
(4)
sin16 x sin8 x sin16 x
cot 2 x − cot 4 x =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được:

cotx - cot16x =

1
1
1
1
+
+

+
sin2x sin 4 x sin8 x sin16 x

9 3
1
1
+ cos4x +
(1 + cos8x) − (1 − 2cos4x+cos 2 4 x)
16 8
32
32
9 3
1
1
1
= + cos4x +
cos8x+ cos4x (1+cos8x)
16 8
32
16
64
35 7
1
=
+ cos4x+ cos8x
64 16
64
=

3. Bài tập tương tự

Bài 1. Chứng minh rằng:

π
 π
 1
a.sinxsin − x ÷sin + x ÷ = sin3x
3
 3
 4
π

π
 1
b.cosxcos − x ÷cos + x ÷ = cos3x
3

3
 4
c. tan α .tan(

π
π
+ α ).tan( − α ) = tan 3α
3
3

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

Tổ: Toán - Tin

23

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

α
3α
− cot 2
2
2 = 8cos2 α .cosα
3α
2
1 + cot 2
2

cot 2
a.

tan 2 a − tan 2 2a
b. tan a.tan 3a =
1 − tan 2 a.tan 2 2a
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x ta có:
a. sin10 x + cos10 x =

63 15
5

+ cos4x +
cos8x
128 32
128

b. cos6 x − sin 6 x =

15
1
cos2x + cos6x
16
16
7
8

1
8

c. cos8 x − sin8 x = cos2x + cos6x
II. RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp
- Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác giác và rút gọn đến biểu thức đơn
giản nhất.
- Nếu gặp dạng phân thức lượng giác thì phải biến đổi tử và mẫu dưới dạng tích
rồi rút gọn cho nhân tử chung.
- Nếu gặp căn thức lượng giác thì phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn dưới
dạng luỹ thừa rồi rút gọn cho chỉ số căn thức.
2. Áp dụng
2
 1 + cos x   (1 − cos x) 

VD: Rút gọn biểu thức A= 
÷1 +
sin 2 x 
 sinx  

1 π
< x <π
2 2

Tính giá trị của A nếu cos x = − ,
Giải

2
2
 1 + cos x   sin x + 1 − 2cos x + cos x 
A=
÷
÷
sin 2 x
 sinx  


 1 + cos x  2(1 − cos x) 
=
÷
÷
2
 sinx  sin x 
2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x
2

=
=
sin 3 x
sin 3 x sinx

Tổ: Toán - Tin

24

Trường THPT ……….


Chuyên đề: Biến đổi lượng giác và phương trình lượng giác

……

1 π
1 3
3
< x < π có sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ sinx =
2 2
4 4
2

Với cos x = − ,

(do sinx > 0)
Do đó A =

2

4 4 3
=
=
s inx
3
3

3. Bài tập tương tự:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

A=

sin2a + sin5a -sin3a
1+ cosa - 2sin 2 2a

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
a. A = sin3xsin 3 x + cos3x cos3 x
b. B =

1 + cos x  (1 − cos x)2 
1 +
÷
sin x 
sin 2 x ÷

c. C = sin3xcos3x + cos3xsin 3 x
d. D = cos3x.cos3x − sin3xsin 3 x

π
4

e. E = cos(x + ) sin 2 x(1 + cotx) + cos 2 x(1 + tan x)

π
(x ≠ k )
2

π
4sin(4x − )
2
f. F =
3
π
3π
cot 2 (2x − ) − tan 2 (2x + )
2
2
III. CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN:
1. Nhận xét:
Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn
có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì
biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay
đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu
thức:
2. Phương pháp:
- Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà
không phụ thuộc vào biến số theo yêu cầu bài toán.
- Nếu biểu thức chứa 1 biến số thì biểu thức rút gọn là một hằng số.
3. Áp dụng

Tổ: Toán - Tin

25

Trường THPT ……….