Lý thuyết và công thức tính nhanh giải tích 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

MỤC LỤC
PHẦN I. HÀM SỐ....................................................................................................................................... 4
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ.......................................................................4
1.1. Định nghĩa..................................................................................................................................... 4
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm...................................................................................... 4
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm................................................................................................. 5
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức...............................................................5
1.5. Đạo hàm cấp 2............................................................................................................................. 5
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ............................................................................................................................. 7
2.1. Định nghĩa..................................................................................................................................... 7
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị..................................................................................... 8
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị....................................................................................... 8
2.4. Quy tắc tìm cực trị...................................................................................................................... 8
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ............................................9
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba

y  ax3  bx2  cx  d. ................................................9

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

y  ax4  bx2  c,

 a �0 ...................12

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT...........................................................................14
4.1. Định nghĩa................................................................................................................................... 14
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN...................................................................................... 14
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ...........................................................................15
5.1. Đường tiệm cận ngang...................................................................................................... 15

5.2. Đường tiệm cận đứng........................................................................................................ 15
6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.......................................................16
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức...............................................16
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị................................................................................................... 17
7. TIẾP TUYẾN...................................................................................................................................... 20
7.1. Tiếp tuyến.................................................................................................................................... 20
7.2. Điều kiện tiếp xúc..................................................................................................................... 20
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ................................................................................................................... 20
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG.............................................................................20
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong................................................................20
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên................................................................................... 21
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng............................................................................21
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách..........................................................................22
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT................................................................................................................... 24
1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA......................................................................................... 24
1.1. Khái niệm lũy thừa.................................................................................................................... 24
1.2. Phương trình x  b. ................................................................................................................ 24
n

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 1


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1.3. Một số tính chất của căn bậc n ...........................................................................................25
1.4. Hàm số lũy thừa........................................................................................................................ 25
1.5. Khảo sát hàm số mũ

y  ax ,

 a  0,a �1 ...................................................................26

2. LOGARIT............................................................................................................................................. 27
2.1. Khái niệm Logarit...................................................................................................................... 27
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp..............................................................27
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT................................................................................28
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản.................................................................................................. 28
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản............................................................................................28
4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG.......................................................................................... 29
4.1. Lãi đơn.......................................................................................................................................... 29
4.2. Lãi kép.......................................................................................................................................... 29
4.3. Tiền gửi hàng tháng................................................................................................................. 30
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng........................................................................30
4.5. Vay vốn trả góp.......................................................................................................................... 30
4.6. Bài toán tăng lương.................................................................................................................. 31
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số.................................................................................................. 31
4.8. Lãi kép liên tục........................................................................................................................... 31
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN......................................32
1. NGUYÊN HÀM.................................................................................................................................. 32
1.1. Định nghĩa................................................................................................................................... 32
1.2. Tính chất của nguyên hàm..................................................................................................... 32
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm.................................................................................................... 32
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp......................................................................32
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng................................................................................................... 33
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM...........................................................................34
2.1. Phương pháp đổi biến.............................................................................................................. 34
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần................................................................................35
3. TÍCH PHÂN........................................................................................................................................ 36
3.1. Công thức tính tích phân........................................................................................................ 36

3.2. Tính chất của tích phân........................................................................................................... 36
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN..........................................................................................37
4.1. Phương pháp đổi biến.............................................................................................................. 37
4.2. Phương pháp tích phân từng phần...................................................................................... 38
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN.......................................................................38
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ............................................................................................................... 38
5.2. Tích phân hàm vô tỉ.................................................................................................................. 40
5.3. Tích phân hàm lượng giác...................................................................................................... 43
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN............................................................................................................... 46
6.1. Diện tích hình phẳng................................................................................................................ 46

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 2


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay.......................................................................46
PHẦN IV. SỐ PHỨC................................................................................................................................. 48
1. SỐ PHỨC............................................................................................................................................ 48
1.1. Khái niệm số phức.................................................................................................................... 48
1.2. Hai số phức bằng nhau............................................................................................................ 48
1.3. Biểu diễn hình học số phức.................................................................................................... 48
1.4. Số phức liên hợp........................................................................................................................ 48
1.5. Môđun của số phức................................................................................................................... 48
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC.............................................................................49
2.1. Phép cộng và phép trừ số phức............................................................................................ 49
2.2. Phép nhân số phức................................................................................................................... 49
2.3. Chia hai số phức........................................................................................................................ 49
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC.................................................................................... 49

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC......................................................................50
4.1. Căn bậc hai của số thực âm................................................................................................... 50
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực.................................................................................... 50
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC.......................................50

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 3


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
định trên K ta có:
 Hàm số

  được gọi là đồng biến (tăng) trên K

yf x

 

 

yf x

xác

nếu:

 

x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2

 Hàm số

 

yf x

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

 

 

x1, x2 �K , x1  x2 � f x1  f x2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K
* Nhận xét:

 

 

f x

 

f x2  f x1
�ι
x2  x1

 

f x2  f x1
�ι
x2  x1

 Hàm số
đồng biến trên K
đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

 

f x

 

 Hàm số
nghịch biến trên K
đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
 Nếu

 

 

f �x  0, x � a;b �

hàm số

 

f x

 

0�
�x1, x2

K ,�
�
x1

x2.

0�
�x1, x2

K ,�
�
x1

x2.

đồng biến trên khoảng

 a;b .

f�
 x  0, x� a; b �



f �x  0, x � a;b �
f x
a;b .
hàm số
không đổi trên khoảng

Nếu

 Nếu
 Nếu

 

 

f x

 

f x

 

đồng biến trên khoảng

f x

 

 a;b

nghịch biến trên khoảng

 Nếu thay đổi khoảng

 a;b

 

 

�
f �x

 a;b

 

f x

0,

 

�
f �x

x

0, x

 a;b .
 a;b .

liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm



nghịch biến trên khoảng

bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ

sung thêm giả thiết “hàm số

Quy tắc tính đạo hàm: Cho

Khi đó

 a;b .

 Nếu

hàm số

Khi đó

 

 

u  u x ; v  v x ;C :

là hằng số .

�
u �v  u�
�v�
.

Tổng, hiệu:

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 4


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Tích:

�

.v  v�
.u �  C .u   C .u�
.
 uv.  � u�

�
�u � u�
�
.v  v�
.u
C � C .u�
, v �0 � � �  2
� �
2
v�
v
u
�
�u �
 Thương:



 Đạo hàm hàm hợp: Nếu



 

 

y  f u , u  u x � yx� yu��
.ux
.

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ Đạo hàm của hàm hợp
cấp
�
�
C 0
x   .x 1
(C là hằng số).

 

 

 x  �  .x


 u  �  .u

 1



 1

.u�

�
�1 �
1
� �  2 (x �0)
x
�x �

�
�1 �
u�
� �  2 u �0
u
�u �

 x  � 21x  x  0

 u  � 2u�u  u  0





 sinx � cosx

.cosu
 sinu � u�

 cosx �  sin x

.sin u
 cosu � u�

 tan x � cos1 x

 tanu � cosu u

 cot x �  sin1 x

 cot u �  sinu u

 e  � e
 a  � a .lna
 ln x  � x1

 e  � u�.e
 a  � u�.a .lna
 ln u  � uu�

 log x  � xln1 a

u�
 log u  � u.ln
a

�

2

2

�

2

x

2

x

x

u

x

u

u

a

u

a

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức





� ad  bc
�
ax  b �
.
�
�
cx  d � cx  d 2
�





a�
�
b
�2
a�
�
�
c
b�
�
c
�
x 2
x

�
�
e
�
d�
�
�
f
e�
�
�
f
�ax2  bx  c � d�
.
� 2
�
2
2
dx  ex  f �
�
dx  ex  f





Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 5

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1.5. Đạo hàm cấp 2
1.5.1. Định nghĩa
�
�
f�
 x  �
 x �
�f �
�

1.5.2. Ý nghĩa cơ học



s f t

Gia tốc tức thời của chuyển động
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
f

* Một số chú ý:
 Nếu hàm số

 

 

f x g x

 

f x

 n

tại thời điểm

�

 
f
, n
 x  �
 x �
�
�
n 1

 

gx

và

t0

là:

 

 

�t0 .
a t0  f �

.

�, n

2

cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số

cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể

không đúng đối với hiệu
 Nếu hàm số

 

f x

và

 

 

gx

biến) trên K thì hàm số

 .

f x g x

là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch

   

f x .g x

cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính

chất này có thể không đúng khi các hàm số
dương trên K .
 Cho hàm số

  , xác định với x � a;b

uu x

cũng xác định với
Ta có nhận xét sau:
 Giả sử hàm số
đồng biến với

 

x � a;b

 

uu x

 

 

uu x

và

không là các hàm số

    . Hàm số

u x � c;d

đồng biến với

 

 .

x � a;b

đồng biến với

nghịch biến với

Khi đó, hàm số

u� c; d

x� a; b

.

. Khi đó, hàm số

 

u � c;d
x� a; b � f  u
nghịch biến với
nghịch biến với
.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 

 

 

 

f' x 0
với mọi x �K và
chỉ tại một số hữu hạn
điểm x �K thì hàm số f đồng biến trên K .

 Nếu

f ' x �0

f' x 0
với mọi x �K và
chỉ tại một số hữu hạn
điểm x �K thì hàm số f nghịch biến trên K .

 Nếu

f ' x �0

f�
u x �
�
�

.

x � a;b � f u

 Giả sử hàm số

   

f x ,g x

Chú ý:
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 6

f�
u x �
�
�

 

f�
u x �
� �


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
y
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
dấu đạo hàm y�không xảy ra.

 

ax  b �
d�

x � �
�
cx  d �
c�
thì dấu "  " khi xét

 

y  f x  ax3  bx2  cx  d � f �x  3ax2  2bx  c.

Giả sử
Hàm số đồng biến trên �
�
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
۳��
f �x
0; x � �
a0 .
�
�
�
b 0

�
�
�
c0
�
�
�

Hàm số nghịch biến trên �
�
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
�x
ۣ
ۣ
�f�
0; x � �
a0 .
�
�
�
b 0
�

�
�
c0
�
�
�

 

 

 

f x d
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a  b  c  0thì
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều
trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau:
Bước 1: Tính





y� f �x;m  ax2  bx  c.

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

 x ;x  � y� 0 có 2 nghiệm phân biệt
1

2

�
0
�
��
a �0
�

 *

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l



� x1  x2  l � x1  x2

Bước 4: Giải

 *

và giao với



2

 4x1x2  l 2 � S2  4P  l 2

 * *

 * *

để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
x �K
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0
. Ta nói:

 a;b chứa x0
 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
sao cho

 a;b �K và f  x 

 

   .

 f x0 , x � a;b \ x0

Khi đó

f  x0 

được gọi là

giá trị cực tiểu của hàm số f .

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 7


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
x0



cho





 

a;b
x
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
chứa 0 sao

 a;b �K và f  x   f  x  , x � a;b \  x  . Khi đó f  x 
0

0

0

được gọi là giá trị

cực đại của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm
số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực
trị) của hàm số.



 

x ; f x0
 Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm 0
trị của đồ thị hàm số f .

* Nhận xét:
 Giá trị cực đại (cực tiểu)

được gọi là điểm cực

  nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ

f x0

 

f x0
nhất) của hàm số f trên tập D;
chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

 

a;b
x
x
hàm số f trên một khoảng
nào đó chứa 0 hay nói cách khác khi 0
điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa

x0

sao cho

  là giá

f x0

 

a;b .
trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng
 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm
số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:

Giả sử hàm số
tại điểm

x0

thì

  đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y  f  x 

yf x

0

có đạo hàm

 

f �x0  0.

Chú ý:
 Đạo hàm

f�
 x

có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực

trị tại điểm x0 .
 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo
hàm.

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 8


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
x
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại

điểm

x0

thì

 Nếu
x0

 

f �x  0

.
trên khoảng

x

0

 h;x0

 

f �x  0

trên khoảng

x

0





là một điểm cực tiểu của hàm số

 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm

 

trên khoảng

 x ;x

 

trên khoảng

 x ;x

f �x  0

0

0



thì

 h

thì

h

 

 h;x0

2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:

và

f x .

là một điểm cực đại của hàm số

 Nếu
x0

f ' x0   0

và

f �x  0

0

0

 

f x .

 

f �x .





x i  1;2;...

 Bước 2: Tìm các điểm i
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
đi qua
Định lí 3:
Giả sử

xi

thì hàm số đạt cực trị tại

xi

0

0

đổi dấu khi

.

  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  x  h;x  h
�
f�
 x   0, f �
 x   0 thì hàm số f đạt cực đại tại x .

yf x

 Nếu

  . Nếu f � x

f �x

với h  0. Khi đó:

0

0

0

 

�x0  0
f�
x.
 x0   0, f �
 Nếu
thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
 Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
 Bước 2: Tìm các nghiệm
 Bước 3: Tính

 

�x
f�

 

 Nếu

�xi  0
f�

 Nếu

�xi  0
f�

 

xi

và tính

 

f �x .

 i  1;2;...
 

của phương trình

 

f �x  0.

�xi .
f�

x.
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i

thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi .

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
3
2
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d.
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ
cho trước

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 9


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số





y  f x;m  ax3  bx2  cx  d.

Tìm tham số m để hàm số

x ,x
có cực đại, cực tiểu tại 1 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp:
 Bước 1:
 Tập xác định: D  �.
2
2
 Đạo hàm: y� 3ax  2bx  c  Ax  Bx  C
 Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có
cực đại và cực tiểu)
� y�
 0 có hai nghiệm phân biệt và y�
đổi dấu qua 2 nghiệm đó

� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt
�
A  3a �0
�
��
�
y� B 2  4AC  4b2  12ac  0
�

 Bước 3:
Gọi





x1, x2

�
a �0
�
� m �D1.
�2
b  3ac  0
�

là hai nghiệm của phương trình y� 0.

�
B
2b
x  x2    
�
�1
A
3a .
�
C
c

�
x1.x2 

A 3a
Khi đó: �
Bước 4:
Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm
m �D2.
được
Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn:
* Chú ý: Hàm số bậc ba:

m  D1 �D2.





y  ax3  bx2  cx  d a �0 .

2
Ta có: y '  3ax  2bx  c.
Điều kiện



Kết luận
Hàm số không có cực trị.

b2  3ac �0
Hàm số có hai điểm cực trị.
b2  3ac  0
Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
 Hàm số có 2 cực trị trái dấu
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu



� AC
.  3ac  0 � ac  0.
Hàm số có hai cực trị cùng dấu
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 10


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12





�
 0
� y�
��
C

P  x1.x2 
0
�
�
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
� phương trình y� 0 có hai nghiệm dương phân biệt
�
y� 0
�
�
B
�
��
S  x1  x2    0
A
�
C
�
P  x1.x2 
0
�
A
Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
� phương trình y� 0 có hai nghiệm âm phân biệt
�
y '  0
�
�
B

�
��
S  x1  x2    0
A
�
C
�
P  x1.x2 
0
�
A

 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị

x1, x2

thỏa mãn:

x1    x2
x1  x2  
  x1  x2



x1, x2

Hai cực trị



thỏa mãn



x1    x2







� x1   x2    0 � x1.x2   x1  x2   2  0


x1, x2

Hai cực trị



thỏa mãn



x1  x2  







�
�
x1.x2   x1  x2   2  0
�x1   x2    0
�
��
��
x1  x2  2
x1  x2  2
�
�
x1, x2



Hai cực trị



�
�x   x2    0
��1
�
x1  x2  2
�
Phương trình bậc 3 có 3



khi có 1 nghiệm là



x

thỏa mãn



  x1  x2





�
x1.x2   x1  x2   2  0
�
�
x1  x2  2
�
nghiệm lập thành cấp số cộng

b
3a , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1

d

a .
nghiệm là
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm
cùng phía, khác phía so với một đường thẳng
x  3

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 11


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Cho 2 điểm




 
 và đường thẳng  : ax  by  c  0.
 c  ax  by  c  0
thì hai điểm A, B nằm về
A xA ;yA , B xB ;yB

axA  byA
B
B
Nếu
hai phía so với đường thẳng .
Nếu

 ax

A





 byA  c axB  byB  c  0

thì hai điểm A, B nằm cùng

.
phía so với đường thẳng
Một số trường hợp đặc biệt:
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
� hàm số có 2 cực trị cùng dấu
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
� hàm số có 2 cực trị trái dấu
� phương trình y� 0 có hai nghiệm trái dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0
Đặc biệt:
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục
Ox
�
yC Đ .yCT  0
�

�
y  yCT  0
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt và �C Đ
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục
Ox
�
yC Đ .yCT  0
�
�
y  yCT  0
� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt và �C Đ
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

� phương trình y� 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
� đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

 

� phương trình hoành độ giao điểm f x  0 có 3 nghiệm phân
biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)
3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
�2c 2b2 �
bc
y��
.y �
y��
.y�

g x � 
xd
�
g x y
g
x

y

.


9a
�
�
3y�
�3 9a �
18a hoặc
hoặc
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

 

 

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

AB 

4e  16e3
b2  3ac
e
a
9a
với

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ
 Hàm số có một cực trị ۳ ab 0.

y  ax4  bx2  c,

 a �0

 Hàm số có ba cực trị � ab  0.
�
a0
�
��
b �0
�
 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu
.
�
a0

�
��
b �0
�
 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại
.
�
a0
�
��
b 0
�
 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại
.
�
a0
�
��
b 0
�
 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại
.
3.2.2. Một số công thức tính nhanh

�
b
�
A(0;c), B �  ;  �
,C
� 2a 4a �

4
2
�
�
Giả sử hàm số y  ax  bx  c có 3 cực trị:
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab  0
�
Đặt: BAC = a

� b
�
�  ; �
� 2a 4a �
�
�

 b3
cot

2 8a
2

Tổng quát:

Dữ kiện
Tam giác ABC vuông cân tại A
Tam giác ABC đều
S
 S0
Tam giác ABC có diện tích ABC

max(S0)
Tam giác ABC có diện tích
Tam giác ABC có bán kính đường tròn
nội tiếp

rABC  r0

Công thức
thỏa mãn ab  0;c �0
b3  8a
b3  24a
32a3(S0)2  b5  0

S0  
r 

b5
32a3
b2

�
b3 �
�
4a �
1 1
�
8a �
�
�

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 13


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Tam giác ABC có bán kính đường tròn
ngoại tiếp

R

RABC  R

BC  m0
Tam giác ABC có độ dài cạnh
AB  AC  n0
Tam giác ABC có độ dài
Tam giác ABC có cực trị B,C �Ox
Tam giác ABC có 3 góc nhọn
Tam giác ABC có trọng tâm O
Tam giác ABC có trực tâm O
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành
hình thoi
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
nội tiếp
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
ngoại tiếp
Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC
Trục hoành chia tam giác ABC thành

b3  8a
8a b

am02  2b  0
16a2n02  b4  8ab  0
b2  4ac
b(8a  b3)  0
b2  6ac
b3  8a  4ac  0

b2  2ac
b3  8a  4abc  0
b3  8a  8abc  0
b3.k2  8a(k2  4)  0

b2  4 2 ac
hai phần có diện tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều 2
b  8ac
trục hoành
C : y  ax4  bx2  c
Đồ thị hàm số
cắt 2 100
b 
ac
trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành
9
cấp số cộng
Định tham số để hình phẳng giới hạn

 

 C  : y  ax

4

 bx2  c

36
bởi đồ thị
và trục b2 
ac
5
hoành có diện tích phần trên và phần
dưới bằng nhau.
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:

�2 
�
�2  �
x2  y2  � 
 c�
y  c� 
� 0
b 4a
b 4a �
�
�
�
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

4.1. Định nghĩa.
Cho hàm số

 

yf x

xác định trên tập D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

 

yf x

trên D

�
�f (x) �M , x �D
�
M  max f ( x)
x0 �D, f (x0)  M
�
x�D
. Kí hiệu:
.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 14

nếu:


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

 

yf x

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên

D

nếu:

�
�f (x) �m, x �D
�
m  minf (x)
x0 �D, f (x0)  m
�
x�D
. Kí hiệu:
.
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 

f�
 x và tìm các điểm x1, x2,..., xn �D mà tại đó f �x  0 hoặc
 Bước 1: Tính
hàm số không có đạo hàm.
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
 Bước 1:

 Hàm số đã cho

 

yf x

�
a;b�
.
xác định và liên tục trên đoạn � �

 

 

 

a;b
f �x  0

f �x
x , x ,..., xn
 Tìm các điểm 1 2
trên khoảng
, tại đó
hoặc
không xác định.

     

   

f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .
 Bước 2: Tính
 Bước 3: Khi đó:



 

    

     

 

    

     

max f x  max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
�
a,b�
�
�

min f x  min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .
�
a,b�

 ��
4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
(x) .
 Bước 1: Tính đạo hàm f �

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm

xi �(a;b)

(x)  0 và tất cả
của phương trình f �

i �(a;b)

(x) không xác định.
làm cho f �
A  lim f (x) B  lim f (x) f (x ) f( )
i ,
i .
x�a

x�b
 Bước 3. Tính
,
,

các điểm

M  maxf (x) m  minf (x)
(a;b)
(a;b)
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
,
.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất).
Chú ý:



 
 

 
 

�
min f x  f a
��
a;b�
�� �

max f x  f b
�
yf x
�
a;b�
�
a;b�
�
�
�
Nếu
đồng biến trên
thì � �
.

 

 
 

�
min f (x)  f b
��
a;b�
.
�� �
max
f
(
x

)

f
a
�
yf x
�
a;b�
�
a;b�
 Nếu
nghịch biến trên � �thì �� �

 

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 15


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó.
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
5.1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y  f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

 a; � ,  �;b

hoặc

 �; � ). Đường thẳng

y  y0

là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện
lim f (x)  y0, lim f (x)  y0
x��
sau được thỏa mãn: x��
5.2. Đường tiệm cận đứng
x  x0
Đường thẳng
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của
đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f (x)  �, lim f (x)  �, lim f (x)  �, lim f (x)  �

x�x0

Lưu ý:

x�x0

x�x0

x� x0

Với đồ thị hàm phân thức dạng

cận ngang là

y

ax  b
c �0; ad  bc �0
cx  d
luôn có tiệm



y



a
d
x .
c và tiệm cận đứng
c

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
y  ax3  bx2  cx  d

6.1.1. Hàm số bậc ba
a0
TRƯỜNG HỢP
/

Phương trình y  0

 a �0

a 0

có
2 nghiệm phân biệt

/
Phương trình y  0
có nghiệm kép

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 16


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Phương trình
vô nghiệm

y/  0

6.1.2. Hàm số trùng phương
a0
TRƯỜNG HỢP
Phương
trình

y  ax4  bx2  c

 a �0
a 0

y/  0 có
3 nghiệm phân
biệt
(ab<0)

Phương

trình

y  0 có
1 nghiệm.
/

6.1.3. Hàm số nhất biến
D  ad  bc  0

y

ax  b
cx  d

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị

 C  : y  f  x

suy ra đồ thị

 c �0, ad bc �0
D  ad  bc  0

 C � : y  f  x  .

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 17


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

 
 

�
�f x
yf x �
�f x
Ta có:

 

và

 

yf x

khi x �0
khi x  0

là hàm chẵn nên đồ thị

 C � từ  C  :

* Cách vẽ

 C�
 nhận Oy làm trục đối xứng.

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
qua Oy.
Ví dụ: Từ đồ thị
suy ra đồ thị
Biến đổi

 C  : y  f  x  x

 C � : y  x

3

 3x

C  :

 Bỏ phần đồ thị của

3

 C  : y  f  x .

 C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ

 3x

C  : y  x

3

 3x

.

C 

bên

 

 C � : y  x

C
trái Oy, giữ nguyên

bên
phải Oy.
 Lấy đối xứng phần đồ thị được
giữ qua Oy .

3

 3x

6.2.2. Dạng 2

 C  : y  f  x suy ra đồ thị  C � : y  f  x
�
khi f  x  �0
�f  x 
y  f  x  �
� f  x  khi f  x   0
Ta có:
 C � từ  C  :
* Cách vẽ
Từ đồ thị

.

 

yf x
 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Ox.
Ví
dụ:
Từ
đồ
thị
 C  : y  x3  3x
 C  : y  f  x  x3  3x suy ra đồ thị
y  x3  3x
Biến đổi

.

 C :

 C � : y  x

3

 3x

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 18


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Bỏ phần đồ thị của



dưới Ox, giữ nguyên
phía trên Ox.

C 
C 

Lấy đối xứng phần đồ thị
bị bỏ qua Ox .



 

 

y f x
yf x
Chú ý với dạng:
ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị
Ví
dụ:
Từ
đồ
thị

 C  : y  f  x  x

3

 3x

đồ thị

. Biến đổi

 C � : y  x

 C � : y  x
 C �� : y 

3

3

 3x

 C �� : y 

suy ra đồ thị

3

y  x  3x

C 

 3x

và

 

y f x
3

x  3x

để được

. Biến đổi

ta được đồ thị

3

x  3x

.

6.2.3. Dạng 3

 C  : y  u  x .v  x suy ra đồ thị  C � : y  u  x .v  x .
�
u  x  .v  x   f  x 
khi u  x  �0
�
y  u  x  .v  x   �
u  x  .v  x   f  x  khi u  x   0
�

Ta có:
 C � từ  C  :
* Cách vẽ
Từ đồ thị

 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền

 

 

u x �0

 

của đồ thị

 C  : y  f  x .

u x 0
C
 Bỏ phần đồ thị trên miền
của
, lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox.
Ví dụ
a)
Từ
đồ
thị

x
C :y  f x 
x1
C : y  f x  2x3  3x2  1
b) Từ đồ thị
suy ra đồ
x
C �: y 
C �: y  x  1 2x2  x  1
thị
x 1
suy ra đồ thị
�
�x
khi x �1
�f x
khi x � 1; �
�
y  x  1 2x2  x  1  �
x
�x  1

f
x
khi
x

1
y



.
�
�
x
x1 �

khi x � �;1
Đồ thị (C’):
� x1

 

 

 



 







 
 

 

 







Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 19


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
 Giữ nguyên (C) với x �1.
 Bỏ (C) với x  1. Lấy đối xứng
phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Đồ thị (C’):
Bỏ phần đồ thị của



C 

với

 

x  1, giữ nguyên C
với
x  1.
Lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox.



Nhận xét: Trong quá trình thực hiện
phép suy đồ thị nên lấy đối xứng
các điểm đặc biệt của (C): giao điểm
Nhận xét: Đối với hàm phân thức
với Ox, Oy, CĐ, CT…
thì nên lấy đối xứng các đường
tiệm cận để thực hiện phép suy
đồ thị một cách tương đối chính
xác.
7. TIẾP TUYẾN
7.1. Tiếp tuyến
y  f  x

Cho hàm số





M 0 x0;y0 �(C )
Trong đó:



có dạng:

, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

 



y  f �x0 x  x0  y0

.



 

 

M 0 x0;y0 �(C )
y  f x0
k  f ' x0
Điểm
được gọi là tiếp điểm. ( với 0
) và
là hệ
số góc của tiếp tuyến.
7.2. Điều kiện tiếp xúc

Cho hai hàm số

 C  : y  f  x

và

 C ' : y  g x . Đồ thị

 C  và  C �
 tiếp xúc nhau

   
   

�
�f x  g x
�/
f x  g/ x
khi chỉ khi hệ phương trình: �
có nghiệm.
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
(C )
Cho hàm số y  f (x) có đồ thị 1 và y  g(x) có đồ thị (C2 ) .

Phương trình hoành độ giao điểm của

(C 1)



f (x)  g(x) 1
và (C2 ) là
. Khi đó:

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 20


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
(C )
1
 Số giao điểm của (C1) và 2 bằng với số nghiệm của phương trình   .
x0



Nghiệm

của phương trình



Để tính tung độ

y0

 1

chính là hoành độ

x0

của giao điểm, ta thay hoành độ

của giao điểm.
x0

vào

 

yf x

hoặc

 .

yg x


Điểm

M  x0 ; y0 

là giao điểm của

(C 1)

và

(C 2)

.

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
(C )
Xét họ đường cong m có phương trình y  f (x, m) , trong đó f là hàm đa thức
theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố
định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?
Phương pháp giải:
 Bước 1: Đưa phương trình y  f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có
2
dạng sau: Am  B  0 hoặc Am  Bm  C  0.
 Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ

�
A0
�
�
B 0
A0
�
�
�
�
C 0
B 0
phương trình: �

hoặc �
.
 Bước 3: Kết luận:
- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong

(C m )

không có điểm cố định.
(C )
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của m .
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên
Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x) (hàm phân thức). Hãy tìm những
điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ
của điểm đó đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
 Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
 Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong (C) có phương trình y  f (x) . Tìm những điểm đối xứng nhau
qua một điểm, qua đường thẳng.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 21


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

 C  : y  Ax

Bài toán 1: Cho đồ thị

điểm đối xứng nhau qua điểm
Phương pháp giải:
 Gọi

 Bx2  Cx  D

3

I (xI ,yI )

.







trên đồ thị

M a;Aa3  Ba2  Ca  D , N b;Ab3  Bb2  Cb  D



C 

tìm những cặp

là hai điểm trên

C 

đối

xứng nhau qua điểm I .

�
a  b  2xI
�
� 3
A(a  b3)  B a2  b2  C a  b  2D  2yI
�
 Ta có
.
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.







 C  : y  Ax

 Bx2  Cx  D

3

Bài toán 2: Cho đồ thị
điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:





C 

. Trên đồ thị

 

M a, Aa3  Ba2  Ca  D , N b, Ab3  Bb2  Cb  D

 Gọi
xứng nhau qua gốc tọa độ.



tìm những cặp

là hai điểm trên

 C

đối

�
a b 0
�
� 3
A(a  b3)  B a2  b2  C a  b  2D  0
�
 Ta có
.
a,b
 Giải hệ phương trình tìm được
từ đó tìm được toạ độ M , N .







 C  : y  Ax

Bài toán 3: Cho đồ thị

3



 Bx2  Cx  D

d : y  A1x  B1

điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
Phương pháp giải:
 Gọi





trên đồ thị

C 

tìm những cặp

.



M a; Aa3  Ba2  Ca D , N b; Ab3  Bb2  Cb D



là hai điểm trên

 C

đối

xứng nhau qua đường thẳng d .

�
I �d
(1)
�
u
u
u
u
r
r
�
r
MN .ud  0 (2)
 Ta có: �
(với I là trung điểm của MN và u d là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d ).
 Giải hệ phương trình tìm được M, N.
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
9.4.1. Lý thuyết:
 Cho hai điểm
 Cho điểm

đến d là





M x0;y0



 

A x1;y1 ;B x2;y2



h M ;d 





� AB 

x

 x1
2

  y
2

 y1
2



2

và đường thẳng d : Ax  By  C  0 , thì khoảng cách từ M

Ax0  By0  C
A2  B 2

.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 22


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
ax  b
cx  d tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M
 Cho hàm phân thức:
là trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác MAB không đổi:
y

SMAB 

2
ad  bc
c2
.

9.4.2. Các bài toán thường gặp
y





ax  b
c �0, ad  bc �0
C
cx  d
có đồ thị
. Hãy tìm trên

 

Bài toán 1: Cho hàm số
(C ) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB
ngắn nhất.
Phương pháp giải:

d
c do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm

có tiệm cận đứng
về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số  ,  là hai số dương.

C 

x

 Nếu A thuộc nhánh trái:

xA  

 Nếu B thuộc nhánh phải:
 Sau đó tính:



  y
2



d
d
d
� xA      
c
c
c ; yA  f (xA ) .

xB  



2

d
d
d
� xB      

c
c
c ; yB  f (xB ) .

 



2





2

 �a    a   �  yB  yA
�
�
.
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.
AB 2  xB  xA

B

 yA

 

C

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
có phương trình y  f (x) . Tìm tọa độ điểm M
thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
 Gọi



M x;y

 và

tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì

d  x  y.

 Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc
biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
 Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn
hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét
đến.
 Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa
vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .
Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y  f (x) . Tìm điểm M trên (C ) sao cho
khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trụcOy .
Phương pháp giải:

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 23

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

�
y  kx
y kx � �
�
y


kx
�
Theo đầu bài ta có

 
 

�
f x  kx
�
f x  kx
�
�
.

ax  b
y  f (x) 
 c �0, ad bc �0
(

C
)
cx  d
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số
có phương trình
. Tìm tọa độ điểm M trên (C ) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai
tiệm cận).
Phương pháp giải:

 Tiệm cận đứng

x

d
a
y
c ; tiệm cận ngang
c.

�d a �
I� ; �
 Ta tìm được tọa độ giao điểm �c c �của hai tiệm cận.
2

2

�
d� �
a�
IM  �

xM  � �
yM  �  g  xM 
M  xM ;yM 
c� �
c�
�
 Gọi
là điểm cần tìm, thì:
 Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y  f (x) và đường thẳng
d : Ax  By  C  0. Tìm điểm I trên (C ) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn
2

nhất.
Phương pháp giải:





� I x0;y0 ; y0  f (x0)
 Gọi I thuộc (C )
.

 

g(x0)  h I ;d 

Ax0  By0  C

A2  B 2
 Khoảng cách từ I đến d là
 Khảo sát hàm số y  g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –
0907822142
Page 24


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT
1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1.1. Khái niệm lũy thừa
1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a .
an  aa
.2
......
14
43a
n

Với a �0. thì

a0  1

( n thừa số).
a n 

1
an

n
0
Ta gọi a là cơ số, n là mũ số. Và chú ý 0 và 0 không có nghĩa.
1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa
 Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

a
 a   ; (a )  a . ;
a �
a  a   ; a
(ab)  a �
b ;






�
a � a �
a � �b �
� �   ; � �  � ��
a�
�b � b �b � �



 Nếu a  1 thì a  a �    ;



 Nếu 0  a  1 thì a  a �    .
 Với mọi 0  a  b , ta có:

am  bm � m  0
am  bm � m  0
Chú ý:
 Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không
nguyên.
 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
n
1.2. Phương trình x  b.
n
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình x  b như sau:
 Trường hợp n lẻ:
Với mọi số thực b , phương trình có nghiệm duy nhất.

 Trường hợp n chẵn:
 Với b 0 , phương trình vô nghiệm.
 Với b  0 , phương trình có một nghiệm x  0.
 Với b  0 , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
n

b , còn giá trị âm là  n b .

Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG –

0907822142
Page 25