SKKN một số bài toán phân số tối giản dạt học sinh đội tuyển toán 6 trường THCS nguyễn chích năm 2018 2019

MỤC LỤC
Mục
I

II

III

Nội dung
MỤC LỤC

Trang
1
MỞ ĐẦU
2
1. Lí do chọn đề tài.
2
2. Mục đích nghiên cứu
2
3. Đối tượng nghiên cứu.
3
4. Phương pháp nghiên cứu
3
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
16
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
17
1. Kết luận
17
2. Kiến nghị.
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
19
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng
20
SKKN Ngành GD huyện đánh giá đạt từ loại C

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài .
1


Năm học 2018 – 2019 trường THCS Nguyễn Chích tiếp tục thực hiện đề
án xây dựng trường trọng điểm chất lượng cao giai đoạn 2018 – 2020. Với sứ
mạng bồi dưỡng học sinh giỏi và làm công tác dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp
tỉnh hàng năm cho huyện Đông Sơn, nhà trường tiếp tục đăng ký thực hiện mô
hình kiểu mẫu với chủ đề: “Xây dựng nhà giáo có năng lực bồi dưỡng học sinh
giỏi đứng tốp đầu toàn tỉnh”. Bản thân tôi được giao nhiệm vụ phụ trách đội
tuyển toán 6, nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi để tham gia kỳ thi giao lưu HSG
Nguyễn Chích do phòng giáo dục tổ chức vào trung tuần tháng 4/2019.
Trong quá trình trực tiếp ôn luyện và bồi dưỡng cho học sinh lớp 6, tôi
nhận thấy phần kiến thức phân số tối giản là chủ đề nâng cao rất khó, rất mới mẻ

với học sinh. Trong các tài liệu tham khảo chưa có chủ đề riêng nào nghiên cứu
phần này. Khi giảng dạy chủ đề này giáo viên phải lượm lặt rất nhiều bài tập nhỏ
lẻ từ các tài liệu khác nhau, được giới thiệu rất ít trong mỗi tài liệu (một số bài).
Để giúp học sinh rèn luyện tư duy logic với hệ thống bài tập phong phú, đa dạng
cũng như khắc phục những khó khăn trên; tôi đã học hỏi, rút kinh nghiệm từ
những đồng nghiệp đã có nhiều năm làm công tác bồi dưỡng HSG và sưu tầm
trong các tài liệu có sẵn để hoàn thành SKKN đề tài: “Một số bài toán phân số
tối giản dạy học sinh đội tuyển toán 6 trường THCS Nguyễn Chích năm học
2018 - 2019” để làm tư liệu giảng dạy cũng như tài liệu lưu hành nội bộ cho các
đồng nghiệp sau này.
2. Mục đích nghiên cứu:
Thông qua việc tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng đề tài để tìm ra phương
pháp bồi dưỡng hiệu quả và phát huy năng lực tự học toán cho học sinh, qua đó
giúp các em nắm chắc kiến thức một cách chủ động, sáng tạo. Tạo niềm vui,
hứng thú học tập cho các em. Bước đầu hình thành thói quen lao động tích cực
sáng tạo, khoa học của con người lao động trong thời đại mới. Kích thích và
khơi dậy lòng say mê nghiên cứu khoa học.
Ngoài ra mục đích nghiên cứu của đề tài còn định hướng cho học sinh biết
khai thác các bài toán cùng dạng và giúp các em có thể giải các bài toán tương
tự nhằm phát huy khả năng sáng tạo của học sinh theo hướng tích cực hóa các
hoạt động, từ đó rèn luyện cho các em khả năng tự học, tự tin hơn và yêu thích
bộ môn toán hơn
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi chương trình lớp 6
phù hợp với các đối tượng học sinh giỏi trong khi học loại toán liên quan đến
phân số tối giản, phân số không tối giản (phân số rút gọn được) thông qua một
số bài toán điển hình tại các giờ học luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Trò chuyện, trao đổi với học sinh, đồng nghiệp.
2

Phân tích, tổng hợp kết quả nhận thức của học sinh.
Phương pháp thực nghiệm.
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tất cả mọi dạng toán đều đòi hỏi HS nắm vững kiến thức cơ bản. Phân tích
quan hệ giữa các kiến thức đó và vận dụng phù hợp, linh hoạt vào các tình
huống giải toán cụ thể.
Việc hướng dẫn HS đi từ ôn tập kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán
cơ bản sau đó nâng dần lên theo mức độ và khả năng tiếp thu của học sinh là
hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức (từ thấp đến cao, từ đơn giản đến
phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng).
Trong học tập nói chung, học toán nói riêng nếu người học được tự mình
xây dựng hệ thống kiến thức cho mỗi chủ đề và khai thác ứng dụng các kiến
thức đó vào thực tế giải toán thì không chỉ giúp người học nhớ lâu tránh được
lối tiếp thu thụ động mà còn tạo được thói quen làm việc năng động, tích cực,
sáng tạo đồng thời góp phần hướng tới mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học
nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của HS.
Đối tượng HS lớp 6 thuộc lứa tuổi thích khám phá, thích thể hiện khả năng
sáng tạo tìm tòi của bản thân nên việc thực hiện đề tài cũng có nhiều thuận lợi
nhất định.
Năng lực tự học của học sinh là khả năng tự khám phá, tự phát hiện, tự
tìm đến kiến thức mới thông qua các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức
hoặc trao đổi với bạn bè.
Năng lực tự học của học sinh còn thể hiện qua tính tích cực chủ động sáng
tạo của người học, khả năng nhận biết các tình huống có vấn đề và giải quyết
được các tình huống ấy. Qua đó tự đánh giá được nhận thức của mình về một nội
dung, một kiến thức hay một lĩnh vực nào đó. Người học không chỉ biết làm

theo, sao chép những cái đúng mà phải nghiên cứu tìm ra cái đúng, đồng thời
vận dụng được cái đúng một cách sáng tạo vào cuộc sống thực tế.
Năng lực tự học của học sinh còn được thể hiện qua các thao tác tư duy
phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa vấn đề và khả năng giải quyết
vấn đề một cách nhanh gọn, độc đáo. Một học sinh có năng lực tự học tốt sẽ có
nhiều kết quả cao trong học tập, khả năng thích ứng nhanh với cuộc sống đầy
biến động; luôn đặt cho mình các câu hỏi trước mọi vấn đề khi hành động: “Làm
thế nào tốt hơn?”, “Có cách nào tốt hơn không?” hoặc “Làm như thế có được
không?”
Chính vì vậy việc bồi dưỡng và phát huy khả năng tự học cho học sinh là
rất cần thiết trong quá trình dạy học. Trong đó, giáo viên có vai trò quan trọng
-

3


nhất. Giáo viên không chỉ trực tiếp bồi dưỡng mà còn là người phát huy khả
năng tự học của học sinh thông qua các bài giảng của mình.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Với học sinh:
Bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán có nhiều cách sử
dụng câu hỏi khác nhau với cùng một yêu cầu. Mặt khác trong thực tế, thường
thì các em HS lớp 6 chỉ mới làm quen và dừng lại ở dạng toán đơn giản, tường
minh về phân số tối giản. Vì thế khi bắt gặp những bài toán mà phân số cho dưới
dạng tử và mẫu là những biểu thức chứa chữ (tham số) với yêu cầu chứng minh
phân số đó là phân số tối giản hoặc tìm giá trị thích hợp của tham số để phân số
đã cho trở thành phân số tối giản thì đa số các em gặp phải khó khăn, lúng túng
do chưa nắm vững bản chất của dạng toán, thiếu kinh nghiệm trong việc huy
động lượng kiến thức liên quan cũng như khả năng ngôn ngữ hạn chế và chưa
quen với việc sử dụng các lập luận có căn cứ.

Trước khi sử dụng SKKN vào giảng dạy học sinh giỏi, tôi đã dạy HS giải
một số bài toán về phân số tối giản có trong sách bài tập toán 6 tập 2 (Tôn Thân
chủ biên), kiểm tra 20 học sinh đội tuyển trong thời gian 45 phút với 3 câu hỏi:
Câu 1. (4,5 điểm) Trong các phân số sau phân số nào là phân số tối giản, phân
số nào không là phân số tối giản?
8 9 11 8 6 17
; ; ; ; ;
11 15 −8 15 17 6

Câu 2. (4 điểm) Chứng minh rằng với n ∈ Z các phân số sau tối giản.
n
2n +1 ( n khác 0)

a,
Câu 3.(1,5 điểm)

3n + 2
b, 5n + 3

7
Tìm tất cả các số nguyên n để n −1 (n khác 1) là phân số tối giản.

Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm
9 – 10
8-9
7- 8
6 -7
5-6
Dưới 5

Số lượng
0
2
5
4
5
6
(tỉ lệ)
(0%)
(10%)
(25%)
(20%) (25%) (30%)
Như vậy là tỉ lệ học sinh biết giải toán phân số tối giản của nhóm học sinh
đội tuyển còn rất thấp, đa phần các bài tập mà tử hoặc mẫu có tham số các em
đều còn đang lung túng khi xác định cách giải cũng như cách lập luận. Nhiều em
chưa thể định hướng được cách giải loại toán này, vì vậy các em thiếu tự tin khi
gặp dạng toán phân số tối giản.
2.2. Với giáo viên

4


Trên thực tế, chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm ban đầu về
phân số tối giản trong một thời lượng hạn hẹp. Sách bài tập và các nguồn sách
tham khảo chỉ đưa ra một số ít bài tập khác nhau và lời giải chưa cụ thể cho mỗi
bài và chưa có sự khái quát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm
vi kiến thức liên quan. Chưa có sách tham khảo nào hoặc đề tài sáng kiến kinh
nghiệm nào giới thiệu cách giải của từng dạng toán liên quan đến phân số tối
giản. Vì vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng, quan
tâm khai thác, thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyện

dạng toán về phân số tối giản cho các em.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .
3.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản
Trước hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và phân số
tối giản:
a
(a, b ∈ Z ; b ≠ 0)
- Phân số là số có dạng b

- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa.
a
(a, b ∈ Z ; b ≠ 0)
a; b
- Phân số b
là phân số tối giản nếu ƯCLN(
) = 1 hoặc
ƯC(a,b) = { ± 1}

- Mọi phân số đều có thể đưa về dạng tối giản.
- Dạng tối giản của một phân số là duy nhất.
3.2. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác
Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản
Cách giải:
GV cần làm rõ với HS:
- Muốn chứng minh một phân số tối giản thì cần chỉ ra tử và mẫu của phân số đó
chỉ có ước chung là 1 và -1. Nếu phân số có tử và mẫu là số nguyên dương thì
chỉ ra ƯCLN của tử và mẫu bằng 1
- Một cách chứng minh phân số mà có tử hoặc mẫu chứa tham số là phân số tối
giản:
Bước 1: Gọi d ước chung (hoặc ƯCLN nếu tử và mẫu là số nguyên dương) của

tử và mẫu của phân số đã cho
Bước 2: Suy ra tử chia hết cho d, mẫu chia hết cho d
Bước 3: Từ điều kiện cả tử và mẫu cùng chia hết cho d, biến đổi để khử tham số
và tìm được d là ước của 1 hoặc ước của -1
HS cần nắm các tính chất chia hết của tổng, tích sau để khử tham số ở
bước 2:
a m ⇒ ka m ( a, k , m ∈ Z ; m ≠ 0 )

a m; bm ⇒ a ± b m ( a, b, m ∈ Z ; m ≠ 0) ; ka ± qb m ( a, b, m, k , q ∈ Z ; m ≠ 0)

5


a m ; a ± b m ⇒ b m

a m; a ± b  m ⇒ b m

Bước 4: Sau khi khử n thì d chỉ có thể là ước của 1 hoặc -1. Vậy kết luận phân
số đã cho là phân số tối giản.
* Nhận xét: Muốn khử n từ điều kiện tử và mẫu cùng chia hết cho d ở bước 2, ta
thường phải nhân biểu thức của tử và mẫu với một thừa số phụ thích hợp khác 0
sao cho các số hạng chứa n phải giống nhau, sau đó ta trừ hai biểu thức cho nhau
(thường lấy biểu thức lớn hơn trừ biểu thức nhỏ hơn). Muốn thế ta phân tích số
hạng chứa tham số ở tử và mẫu ra thừa số, tìm thừa số riêng. Sau đó nhân tử với
thừa số riêng vừa tìm ở số hạng chứa n của mẫu, nhân mẫu với thừa số riêng vừa
tìm ở số hạng chứa n của tử. Khi đó các số hạng chứa n giống nhau, thực hiện
phép trừ sẽ khử được n.
n +1
Bài 1: Chứng minh rằng nếu n ∈ N thì phân số 2n + 3 tối giản.

Hướng dẫn tìm lời giải:
Bước 1: Nếu n ∈ N thì n +1 và 2n + 3 là số nguyên dương
Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 1 và 2n + 3
 n + 1d
⇒
Bước 2: Suy ra  2n + 3d

(1)
( 2)

Phân tích: n = 1.n; 2n = 2.n nên (1) phải được nhân với thừa số riêng của số
hạng chứa n ở (2) là 2
Bước 3: Nhân (1) với thừa số 2, ta được:
 2n + 2 d

 2n + 3d

(3)
( 4)

Áp dụng tính chất chia hết của tổng, trừ (3) và (4) hoặc trừ (4) và (3) để
khử n
Vì 2n + 2 nhỏ hơn 2n + 3 nếu n ∈ N
⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + 2 ) d ⇒ 1 d

Vậy d chỉ có thể là 1
n +1
Bước 4: Kết luận vậy phân số 2n + 3 là phân số tối giản với n là số tự nhiên

Giải:

Goi d là ước chung lớn nhất của n + 1 và 2n + 3
 n + 1d
 2n + 2 d
⇒
⇒
⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + 2 ) d ⇒ 1 d
 2n + 3d
 2n + 3d
n +1
Nên d = 1, vậy phân số 2n + 3 là phân số tối giản với n là số tự nhiên

6


Nhận xét:
n +1
- Để chứng minh với n ∈ N thì phân số 2n + 3 tối giản, do n+1 và 2n + 3 là hai

số tự nhiên nên bài toán này cũng có thể phát biểu dạng khác: chứng minh với n
∈ N thì n+1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
n−5
Bài 2: Chứng minh rằng 3n − 14 là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Giải.
Gọi d là ước chung của n – 5 và 3n – 14
n − 5 d
3n − 15 d
⇒
⇒
⇒ ( 3n − 14) − ( 3n − 15) d ⇒ 1 d ⇒ d = ± 1

3n −14 d
3n − 14 d
n−5
Vậy phân số 3n − 14 là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi n ∈ Z, :
n2 + 1
a, n (n ≠ 0)

7n + 1
2
b, 7n + n + 1

15n + 1
c, 30n + 1

n 3 + 2n
4
2
d, n + 3n + 1

Giải:
a, Gọi d là ước chung của n2 + 1 và n
n 2 + 1 d
n 2 + 1 d
⇒
⇒ 2
⇒ n 2 + 1 − n 2 d ⇒ 1 d
n d
n d

(

)

⇒ n = ±1

n2 + 1
Vậy phân số n là phân số tối giản.

* Nhận xét: Vì số hạng chứa n ở tử dạng: n2 = n.n; ở mẫu là n = 1.n
Vậy cần nhân mẫu với n và tử giữ nguyên (nhân 1) thì sẽ khử được n
b, Gọi d là ước chung của 7n + 1 và 7n2 + n + 1
2

 7 n + 1 d
7 n + n d
⇒ 2
⇒ 2
⇒ ( 7 n 2 + n + 1) − ( 7 n 2 + n ) d ⇒ 1 d

⇒ n = ±1
 7 n + n +1 d
7 n + n + 1 d
7n + 1
2
Vậy 7n + n + 1 (với mọi n ∈ Z)

c, Gọi d là ước của 15n +1 và 30n + 1
 15n +1 d

30n + 2 d
⇒
⇒
⇒ ( 30n + 2 ) − ( 30n + 1) d ⇒ 1 d
⇒ n = ±1
30n + 1d
30n + 1 d
15n + 1
Vậy 30n + 1 là phân số tối giản.

d, Gọi d là ước chung của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1
7


3
4
2


 n + 2n d
n + 2n d
⇒ 4
⇒ 4
⇒ ( n 4 + 3n 2 +1) − ( n 4 + 2n 2 ) d ⇒ n 2 + 1 d
2
2


n + 3n + 1d
n + 3n + 1 d

Ta có:
n 3 + 2n d
⇒ n 3 + 2n − n 3 + n d ⇒ nd
 2
n + nd

(

) (

)

n 4 + 3n 2 +1d
⇒ 1d

n

d
⇒ n = ±1
Từ: 
n 3 + 2n
4
2
Vậy: n + 3n + 1 là phân số tối giản

* Nhận xét: Khi số hạng chứa tham số ở tử hoặc mẫu có số mũ khác nhau lớn
hơn 1, Ta khử dần từ số hạng có số mũ lớn nhất và phải thực hiện phép khử
nhiều lần mới được kết quả (khử hết số hạng chứa tham số.
Trên đây là các bài toán của cùng một dạng được đưa ra và hướng dẫn HS

lần lượt khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức
học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sự
thích thú, lôi cuốn kích thích sự tìm tòi đồng thời cũng là một cách khai thác sâu
hơn bài toán chứng minh phân số tối giản và rèn luyện được khả năng diễn đạt
cho các em.
Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải để
giúp các em tháo gỡ. Chẳng hạn khi gặp bài toán sau:
a
Bài 4: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số a + 2 có là PSTG không?

Phân tích: Nếu ƯCLN (a; a + 2) = d thì a Md và a + 2 Md do đó 2 Md nên
d = 1 hoặc d = 2. Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải là quên yếu tố a là số tự
nhiên chia 4 dư 3. Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận
a
a + 2 không phải là phân số tối giản.

Giải:
Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a Md và a +2 Md do đó 2 Md nên d = 1 hoặc d = 2.
Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1.
a
Vậy phân số a + 2 là phân số tối giản.

Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từ
bài toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải và
khai thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất.
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài tập 1: Chứng minh với n là số tự nhiên các phân số sau tối giản
8

2n + 1
a. 2n(n + 1)

3n + 4
c. 5n + 7

3n + 2
b. 5n + 3

n−5
d. 3n − 14

Giải:
a. Gọi d là ước chung của 2n + 1 và 2n(n+1)
2
2n + 1 d
2n + nd
⇒
⇒ 2
⇒ 2n 2 + 2n − 2n 2 + n d ⇒ nd
2
n
(
n
+
1
)

d



2n + 2nd

(

Ta có n

) (

)

d; 2n + 1  nên 1  d ⇒ n = ± 1

2n + 1
Vậy phân số 2n(n +1) là phân số tối giản

b. Gọi d là ước chung của 3n + 2 và 5n + 3
3n + 2 d
15n + 10 d
⇒
⇒
⇒ (15n + 10 ) − (15n + 9 ) d ⇒ 1d
⇒ d = ±1
5n + 3d
15n + 9d
3n + 2
Vậy phân số 5n + 3 là phân số tối giản.

c. Gọi d là ước chung của 3n + 4 và 5n + 7
3n + 4d

15n + 20 d
⇒
⇒
⇒ (15n + 21) − (15n + 20 ) d ⇒ 1 d ⇒ d = ±1
5n + 7d
15n + 21d
3n + 4
Vậy phân số 5n + 7 là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

d. Gọi d là ước chung của n – 5 và 3n – 14
n − 5 d
3n − 15 d
⇒
⇒
⇒ ( 3n − 14) − ( 3n − 15) d ⇒ 1 d ⇒ d = ± 1
3n −14 d
3n − 14 d
n−5
Vậy phân số 3n − 14 là phân số tối giản với mọi số nguyên n.

Khi HS đã nắm bắt một cách chắc chắn các dạng toán điển hình, tôi mạnh
dạn hướng dẫn HS khai thác các dạng toán liên quan.
Dạng 2: Tìm tham số n để phân số không phải là phân số tối giản(phân số
rút gọn được).
Cách giải:
GV cần làm rõ: Điều kiện để phân số không phải là phân số tối giản cũng là điều
kiện để phân số rút gọn được. Một phân số chỉ có thể rút gọn được khi tử và mẫu
có ước chung khác ± 1. Muốn vậy ta tìm các ước nguyên tố chung của tử và
mẫu. Lập luận để tìm quan hệ chia hết giữa tham số với ước nguyên tố vừa tt́m.
Từ đó sẽ suy ra điều kiện của tham số để phân số đã cho không tối giản (rút gọn

được).
Để giải bài toán này ta làm theo các bước:
Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của tử và mẫu
9


Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d
Bước 3: Khử tham số ở bước 2, suy ra d là ước nguyên tố của một số nguyên.
Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết giữa tham số với giá trị của d (là số
nguyên tố) ở bước 3.
Bước 5: Từ quan hệ chia hết của tham số và ước nguyên tố của tử và mẫu ở
bước 4, tìm được điều kiện của tham số để phân số đã cho tối giản.
Chú ý:
Nếu n chia hết cho d thì n có dạng: n = kd ( k ∈ Z)
Nếu n – b chia hết cho d ( 0 < b < d, b ∈ N*) thì n có dạng: n = kd + b
6
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 2n + 1 không phải là phân số tối

giản
Hướng dẫn tìm lời giải:
Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 6 và 2n+1
Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d
6d
⇒
2n + 1d

Bước 3: Suy ra d là ước nguyên tố của một số nguyên tố của 6, từ đó tìm được
giá trị của d
⇒ 6 d nên d = 2 hoặc d = 3; mà 2n + 1 là số lẻ và 2n + 1  d nên d là số lẻ
Vậy d = 3

Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết giữa tham số với giá trị của d (là số
nguyên tố) ở bước 3.
Khi đó 2n + 1 3 ⇒ 2n – 2 + 3 3 ⇒ 2(n – 1) 3
Mà (2, 3) = 1 ⇒ n – 1 3
Bước 5: Từ quan hệ chia hết của tham số và ước nguyên tố của tử và mẫu ở
bước 4, tìm được điều kiện của tham số để phân số đã cho tối giản.
⇒ n – 1 = 3k (k ∈ Z)
6
Vậy n = 3k + 1 thì phân số 2n + 1 không phải là phân số tối giản

Giải:
Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 6 và 2n + 1
6 d
⇒
2n +1d

Vì d là ước nguyên tố của 6 nên d = 2 hoặc d = 3; mà d là ước của 2n + 1 là số
lẻ nên d lẻ. Vậy d = 3
⇒ 2n + 1 3 ⇒ 2n – 2 + 3 3 ⇒ 2n – 2 3 ⇒ 2(n - 1) 3
Do (2,3) = 1 ⇒ n – 1  3 ⇒ n – 1 = 3k (k ∈ Z) ⇒ n = 3k + 1 (k ∈ Z)
10


6
Vậy n = 3k + 1 (k ∈ Z) thì phân số 2n + 1 không phải là phân số tối giản.

* Nhận xét: Ở bài giải trên ta đã dùng cách tách:
Nếu an + b chia hết cho d thì tách b = -qa + md ( q, m ∈ Z ), thông thường a là số
nguyên tố cùng nhau với d. Ta sẽ biến đổi được:
an + b = an - qa + md  d ⇒ a(n - q )  d , vì (a, d) = 1 suy ra n - q  d

Vậy n = kd + q (q ∈ N*, 0 < d < q)
Cụ thể ở bài toán trên ta đã tách từ 2n + 1 3 ⇒ 2n – 2 + 3 3 ⇒ 2n – 2 3
⇒ 2(n - 1) 3 (tách 1 = -2 + 3)
3n 2 + 2n + 3
2n + 1
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số
không phải là phân số

tối giản
Hướng dẫn tìm lời giải:
Bước 1: Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 3n 2 +2n+3 và 2n+1
Bước 2: Suy ra tử và mẫu chia hết cho d
3n 2 + 2n + 3d
⇒
2n + 1d

Bước 3: Khử tham số ở bước 2(làm giống các bước 2, 3, 4 của bài 1), suy ra d là
ước nguyên tố của một số nếu có, từ đó tìm được d
3n 2 + 2n + 3 d
6n 2 + 4n + 6d
⇒
⇒ (6n 2 + 4n + 6) − 6n 2 + 3n d
 2
 2
2n + n d
6n + 3n d

(

)

⇒ n + 6 d mà 2n + 1  d

Ta có:

n + 6 d
2n +12d
⇒

2n + 1d
2n +1d

⇒ (2n + 12) – (2n + 1) d ⇒ 11 d, vì d là số nguyên tố nên d = 11

Bước 4: Lập luận tìm quan hệ chia hết giữa tham số với giá trị của d (là số
nguyên tố) ở bước 3.
Khi đó n + 6  11 ⇒ n – 5 + 11 11 ⇒ n – 5 11
Bước 5: Từ quan hệ chia hết của tham số và ước nguyên tố của tử và mẫu ở
bước 4, tìm được điều kiện của tham số để phân số đã cho tối giản.
⇒ n – 5 = 11k (k ∈ Z)
Giải
Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 3n2 + 2n + 3 và 2n + 1
2
2
3n 2 + 2n + 3d
3n + 2n + 3 d
6n + 4n + 6d
⇒
⇒ 2
⇒ 2

⇒ (6n 2 + 4n + 6) − 6n 2 + 3n d
2n + n d
6n + 3n d
2n + 1d

(

)

⇒ n + 6 d ⇒ 2n + 12  d; mà 2n + 1  d

11


⇒ (2n + 12) – (2n + 1) d ⇒ 11 d, vì d là số nguyên tố nên d = 11
Khi đó n + 6  11 ⇒ n – 5 + 11 11

⇒ n − 511 ⇒ n – 5 = 11k (k ∈ Z)
3n 2 + 2n + 3
2n + 1
Vậy n = 11k + 5 ( k ∈ Z) thì phân số
không phải là phân số tối giản

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài tập 2: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau không là phân số tối
giản
a,

20
3n + 1

b,

4n + 5
n +2

21n + 3
c. 6n + 4

Giải:
Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 20 và 3n + 1
20d
⇒
3n +1d

Vì d là ước nguyên tố của 20 nên d = 2 hoặc d = 5
Nếu d = 2 ⇒ 3n + 1  2 ⇒ 3n – 3 + 4 2 ⇒ 3n – 3 2 ⇒ 3(n - 1) 2
Do (3,2) = 1 ⇒ n – 1  2 ⇒ n – 1 = 2k (k ∈ Z) ⇒ n = 2k + 1 (k ∈ Z)
Nếu d = 5 ⇒ 3n + 1 5 ⇒ 3n – 9 + 10 5 ⇒ 3n – 9 5 ⇒ 3(n - 3) 5
Do (3,5) = 1 ⇒ n – 3  5 ⇒ n – 3 = 5m (m ∈ Z) ⇒ n = 5m + 3 (m ∈ Z)
Vậy n lẻ, n chia cho 5 dư 3, vậy n là các số nguyên có chữ số tận cùng là 3 thì
20
phân số 3n + 1 không phải là phân số tối giản.

b. Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 4n + 5 và n + 2
4n + 5d
4n + 5 d
⇒
⇒
⇒ ( 4n + 8) − ( 4n + 5) d ⇒ 3 d

n + 2d
4n + 8d

Vì d là ước nguyên tố của 3. Vậy d = 3
⇒ n + 2 3 ⇒ n – 1 + 3 3 ⇒ n - 1 3
⇒ n – 1 = 3k (k ∈ Z) ⇒ n = 3k + 1 (k ∈ Z)
4n + 5
Vậy n = 3k + 1 (k ∈ Z) thì phân số n + 2 không phải là phân số tối giản.

c. Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 21n + 3 và 6n + 4
21n + 3d
42n + 6d
⇒
⇒
⇒ ( 42n + 28) − ( 42n + 6 ) d ⇒ 22 d
6n + 4d
42n + 28d

Vì d là ước nguyên tố của 22. Vậy d = 2 hoặc d = 11
Nếu d = 2 ⇒ 21n + 3  2 ⇒ 21n – 21 + 24 2 ⇒ 21n – 21 2 ⇒ 21(n - 1) 2
Do (21,2) = 1 ⇒ n – 1  2 ⇒ n – 1 = 2k (k ∈ Z) ⇒ n = 2k + 1 (k ∈ Z)
12


Nếu d = 11 ⇒ 6n + 4 11 ⇒ 6n – 18 + 22 11 ⇒ 6n – 18 11 ⇒ 6(n - 3) 11
Do (6,11) = 1 ⇒ n – 3  11 ⇒ n – 3 = 11m (m ∈ Z) ⇒ n = 11m + 3 (m ∈ Z)
21n + 3
Vậy n = 2k + 1 (k ∈ Z) hoặc n = 11m + 3 (m ∈ Z) thì phân số 6n + 4 không

phải là phân số tối giản.

Dạng 3: Tìm tham số n để phân số là phân số tối giản.
Cách giải:
GV cần làm rõ: Điều kiện để phân số tối giản cũng là điều kiện để phân số
không rút gọn được. Vậy ta sẽ tìm điều kiện của tham số để phân số rút gọn
được (dạng toán 2). Sau đó ta lấy các giá trị khác các giá trị vừa tìm của tham số
ta sẽ được điều kiện để phân số tối giản
Để giải bài toán này ta làm theo các bước:
Bước 1: Giả sử phân số đã cho không phải là phân số tối giản
Bước 2: Tìm điều kiện để phân số không phải là phân số tối giản (Dạng 2)
Bước 3: Kết luận với các giá trị khác giá trị vừa tìm của tham số ở bước 2 thì
phân số đã cho là phân số tối giản.
7
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên n để n − 1

(n ≠ 1) là phân số tối giản.

Hướng dẫn cách giải:
Bước 1: Giả sử phân số đã cho không phải là phân số tối giản
7
Giả sử phân số n − 1 không phải là phân số tối giản

Bước 2: Tìm điều kiện để phân số không phải là phân số tối giản (Dạng 2)
7
Vì 7 là số nguyên tố nên để n − 1 (n ≠ 1) là phân số rút gọn được thì
⇒ n − 1 7 ⇒ n – 1 = 7k ( k ∈ Z) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z)

Bước 3: Kết luận với các giá trị khác giá trị vừa tìm của tham số ở bước 2 thì
phân số đã cho là phân số tối giản.
7
Vậy phân số n − 1 (n ≠ 1) là phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1( k ∈ Z, k ≠ 0)

7
Giải: Giả sử phân số n − 1 không phải là phân số tối giản
7
Vì 7 là số nguyên tố nên để n − 1 (n ≠ 1) là phân số rút gọn được thì
⇒ n − 1 7 ⇒ n – 1 = 7k ( k ∈ Z) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z)
7
Vậy phân số n − 1 (n ≠ 1) là phân số tối giản thì n ≠ 7k + 1( k ∈ Z, k ≠ 0)

13


18n + 3
Bài 8 : Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 21n + 7 là phân số tối giản.

Giải
Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có ) của 18n + 3 và 21n + 7
18n + 3 d
7(18n + 3) d 126n + 21 d
⇒
⇒
⇒
⇒ (126n + 42) − (126n + 21) d
21n + 7 d
6 (21n + 7) d 126n + 42 d
⇒ 21d . Vì d là một ước nguyên tố nên d = 3 hoặc d = 7

* Nếu d = 3, suy ra 21n + 7  3, vô lí
* Nếu d = 7 ⇒ 18n +3  7 ⇒ 4n + 3  7 ⇒ 4n – 4 + 7  7
⇒ 4( n - 1)  7. Vì 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
⇒ n – 1  7 ⇒ n – 1 = 7k ( k ∈ Z ) ⇒ n = 7k + 1( k ∈ Z )

18n + 3
Vậy n ≠ n = 7k + 1( k ∈ Z ) thì phân số 21n + 7

* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài tập 3: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a,

2n − 9
(n ≠1)
n −1

b,

4n + 5
( n ≠ − 2)
n+2

c,

4n 2 + 6n + 3
( n ≠ − 3)
n +3

d,

n −1
2n − 2n − 7
2

Giải.

a. Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 2n – 9 và n - 1
2n − 9 d
 2n − 9 d
⇒
⇒
⇒ ( 2n − 2) − ( 2n − 9 ) d ⇒ 7d
n − 1 d
2n − 2 d
Vì d là số nguyên tố nên d = 7 ⇒ n − 1 d ⇒ n – 1 = 7k ⇒ n = 7k + 1 (k ∈ Z)
2n − 9
Vậy phân số n −1 là phân số tối giản khi n ≠ 7k + 1 (k ∈ Z; k ≠ 0 )

b.Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của 4n + 5 và n + 2
4n + 5d
4n + 5 d
⇒
⇒
⇒ ( 4n + 8) − ( 4n + 5) d ⇒ 3 d
n + 2d
4n + 8 d

Vì d là số nguyên tố nên d = 3
⇒ n + 23 ⇒ n − 1 + 3 3 ⇒ n − 13 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1(k ∈ Z)
4n + 5
Vậy phân số: n + 2 là phân số tối giản khi n ≠ 3k + 1 (k ∈ Z)

c, Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) 4n2 + 6n + 3 và n + 3
 4n 2 + 6n + 3 d
4n 2 + 6n + 3 d
⇒

⇒ 2
⇒ ( 4n 2 + 6n + 3) − ( 4n 2 + 3n ) d ⇒ 3n + 3d
4n + 3n d
n + 3d

Ta có n + 3 d ; 3n + 3  ⇒ 3.(n + 3) – (3n + 3) ⇒ 6  d, mà d là số nguyên tố
⇒ d = 3 hoặc d = 2
* Nếu d = 3
14


⇒ n + 3  3 ⇒ n 3 ⇒ n = 3k (k ∈ Z )
* Nếu d = 2 ⇒ 4n2 + 6n + 3  2 ⇒ 3 2, vô lí
4n 2 + 6n + 3
n +3
Vậy n ≠ 3k (k ∈Z ) thì phân số
là phân số tối giản.

d. Gọi d là một ước nguyên tố chung (nếu có) của n – 1 và 2n2 – 2n – 7
2n 2 − 2n d
n −1d
⇒ 2
⇒ 2
⇒ 2n 2 − 2n − 2n 2 − 2n − 7 d ⇒ 7 d
2n − 2n − 7 d
2n − 2n − 7 d
Mà d là số nguyên tố ⇒ d = 7

(

) (

)

⇒ n - 1 7 ⇒ n – 1 = 7k ⇒ n = 7k + 1 ( k∈ Z )
Vậy n ≠ 7k + 1 ( k∈ Z )

Dạng 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để có nhiều phân số cùng tối giản
Đây là dạng bài khó, trừu tượng nên GV cần chú ý dẫn dắt sao cho phù
hợp với đối tượng HS của mình.
Cách giải:
- Dạng chung của các phân số là: Tử (hoặc mẫu) là các số tự nhiên liên tiếp thì
mẫu (hoặc tử) cũng là các số tự nhiên liên tiếp có chứa tham số.
Bước 1: Tách phần tử (hoặc mẫu) có tham số thành số tự nhiên ở mẫu (hoặc tử)
ai
cộng với cùng một biểu thức chứa tham số dạng ai + (n + 3)

(hoặc dạng

ai + ( n + b)
ai
)
ai
ai + ( n + b)
ai
Bước 2: Để các phân số có dạng ai + (n + 3) (hoặc dạng
) là phân số

tối giản thì ai và n + b phải là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một (vì nếu
chúng cùng chia hết cho một ước chung d khác 1 thì phân số rút gọn được cho

d)
Bước 3: Do n là số tự nhiên nhỏ nhất nên n + b là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn
các số ai.
Bước 4: chọn cho n + b một giá trị thích hợp rồi tìm n
Bài 9: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để có nhiều phân số cùng tối giản:
n + 7 n + 8 n + 9 n + 10 n + 11
;
;
;
;
3
4
5
6
7

Giải.
Viết các phấn số đã cho dưới dạng:
( n + 4) + 3 ( n + 4) + 4 ( n + 4) + 5 ( n + 4) + 6 ( n + 4) + 7
;
;
;
;
3
4
5
6
7

15

Để các phân số trên là phân số tối giản thì n + 4 phải nguyên tố cùng nhau với 3;
4; 5; 6; 7; mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên n + 4 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn
hơn 7.Vậy n + 4 = 11 ⇒ n = 7
14 15 16 17 18
; ; ; ;
Vậy n = 7, khi đó các số đã cho là: 13 4 5 6 7

Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để có nhiều phân số cùng tối giản:
5
6
7
17
;
'
;....,
n + 8 n + 9 n + 10
n + 20

Giải
Viết các phấn số đã cho dưới dạng:
5
6
17
;
; .....;
5 + (n + 3) 6 + (n + 3)
17 + (n + 3)
a

Để các phân số có dạng a + (n + 3) là phân số tối giản thì a và n + 3 phải là

hai số nguyên tố cùng nhau (vì nếu chúng cùng chia hết cho một ước chung d
khác 1 thì phân số rút gọn được cho d)
Suy ra các phân số trên là phân số tối giản thì n + 3 phải nguyên tố cùng
nhau với 5; 6; 7; .....; 17; mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên n + 3 là số nguyên tố
nhỏ nhất lớn hơn 17. Vậy n + 3 = 19 ⇒ n = 16
Vậy n = 16
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây tối giản:
7
8
9
31
;
'
; ....,
n + 9 n + 10 n + 11
n + 33
a
Gợi ý: Tách các phân số có dạng a + (n + 2) là phân số tối giản thì a và n + 2

phải là hai số nguyên tố cùng nhau ( vì nếu chúng cùng chia hết cho một ước
chung d khác 1 thì phân số rút gọn được cho d)
Vậy n là số tự nhiên nhỏ nhất nguyên tố cùng nhau với 7; 8; 9; ...; 31 nên n là số
nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 31
Vậy n + 2 = 37 ⇒ n = 39
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi hoàn thành được SKKN này, bản thân tôi đã tích lũy được nhiều

hơn những dạng toán khó liên quan đến phân số tối giản, rút ra được các
phương pháp giải từng dạng để có hệ thống bài tập phong phú giúp học sinh ôn
luyện có hiệu quả những bài tập cùng dạng.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy hướng dẫn học sinh nhận biết các
dạng toán và hướng dẫn học sinh phân tích kiến thức kiên quan, tt́m ṭi cách giải
16


đã góp phần nâng cao được chất lượng dạy học, tạo hứng thú học tập cho học
sinh, pháp huy được tính tích cực chủ động của học sinh đồng thời tăng cường
và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh.
Thông qua hệ thống bài tập tôi đã giới thiệu, khi áp dụng vào giảng dạy cho
học sinh, chỉ sau một buổi ôn luyện (3 tiết) khi học sinh gặp được các tinh
huống “Có vấn đề” liên quan đến phân số tối giản học sinh đều tìm cách giải
quyết vấn đề đó một cách nhanh chóng. Ngoài ra việc áp dụng SKKN này trong
giảng dạy đã giúp xây dựng cho học sinh thói quen lập luận, trình bày lời giải,
tìm lời giải ngắn gọn, khoa học nhất, phát huy óc ðộc lập, sáng tạo của học
sinh.Sau mỗi tiết học, học sinh có thể hoàn thiện kiến thức và phát hiện được
kiến thức mới cần tìm hiểu, nghiên cứu.
Kết thúc chuyên đề, tôi đã kiểm tra đánh giá định kỳ để rút kinh nghiệm và
đánh giá mũi nhọn, chất lượng bài làm của học sinh đã nâng lên rõ rệt.
Kiểm tra 20 học sinh đội tuyển trong thời gian 45 phút với 3 câu hỏi:
Câu 1. (4 điểm) Chứng minh rằng với n ∈ Z các phân số sau tối giản.
a)

2n + 1
3n + 1

b)

21n + 4
14n + 3

Câu 2. (4 điểm)
21n + 3
a) Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 6n + 4 là phân số chưa tối giản.
8n + 193
b) Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 4n + 3 là phân số tối giản.
a
11a + 2b
Câu 3. (1,5 điểm) Cho phân số tối giản b xét xem phân số 18a + 5b có là phân

số tối giản không?
Kết quả làm bài của các em đạt được như sau:
Điểm
9 – 10
8-9
7- 8
6 -7
5-6
Dưới 5
Số lượng
1
5
6
4
4
0
(tỉ lệ)
(0,5%)

(25%)
(30%)
(20%) (20%)
( 0%)
Như vậy là tỉ lệ học sinh biết giải toán phân số tối giản của nhóm học sinh
đội tuyển đã tăng lên rất nhiều, đa phần các bài tập mà tử hoặc mẫu có tham số
các em đều xác định cách giải cũng như biết lập luận đúng. Nhiều em đã tự tin
khi gặp dạng toán phân số tối giản trong các đề thi HSG toán 6.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Để bồi dưỡng và phát huy tốt năng lực tự học của học sinh và giúp các em
học sinh khá giỏi có thể tiếp cận kiến thức nâng cao, kiến thức khó một cách
thuận tiện, hứng khởi thì giải pháp cần làm đối với một giáo viên toán là:
Một là: Xác định rõ mục chuyên đề cần bồi dưỡng.
17


Hai là: Xác định rõ kiến thức cơ bản, trọng tâm. Từ đó tổ chức, dẫn dắt học
sinh lĩnh hội kiến thức đó. Đồng thời lường trước khó khăn học sinh sẽ mắc
phải.
Ba là: Không áp đặt cho học sinh kiến thức sẵn có mà phải hình dung được
yêu cầu mức độ khác nhau của từng nhóm học sinh. Để đảm bảo tính vừa sức
sao cho học sinh được làm việc nỗ lực nhất. Muốn vậy phải chuẩn bị tốt đồ dung
dạy học: bảng phụ, phiếu học tập…Luôn tạo ra tình huống có vấn đề” cho học
sinh có hứng thú học tập.
Bốn là: Khi giải các bài tập khó phải tổ chức các hoạt động học tập để phân
tích giúp học sinh tiếp cận kiến thức từ dễ đến khó, giản đơn đến phức tạp. Yêu
cầu học sinh giải quyết bằng nhiều phương án và lựa chọn phương án tốt nhất.
Sau đó giáo viên giới thiệu một phương án tối ưu nhất, gọn nhất, nhanh nhất và
ít gặp sai lầm trong tình toán làm mẫu cho HS.

Năm là: Phải tổng hợp, hệ thống hóa và xác định mối liên hệ giữa các dạng
toán, giúp học sinh phân biệt và định hướng kiến thức đã học. Chọn bài tập (số
lượng và nội dung) phù hợp với quy luật từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp,
phù hợp với đối tượng học sinh và yêu cầu cuộc sống.
2. Kiến nghị
Qua thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm bước đầu, tôi có một vài kiến
nghị và đề xuất với các cấp quản lí giáo dục nói chung và BGH Trường THCS
Nguyễn Chích nói riêng như sau: Luôn quan tâm và tạo điều kiện hơn nữa cho
giáo viên trong tổ thường xuyên được trao đổi, rút kinh nghiệm dạy các chuyên
đề khó trong quá trình dạy học bồi dưỡng HSG và áp dụng, thử nghiệm các
PPDH mới bằng nhiều hình thức.
Tôi rất mong muốn được nhà trường và các cấp quản lí giáo dục quan
tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tôi có thể mở rộng nghiên cứu, áp dụng, thử
nghiệm kinh nghiệm này cho các lớp học khác, khoá học khác, cũng như khai
thác các dạng toán khó khác trong chương trình toán học phổ thông, góp phần
cùng toàn trường, toàn ngành và toàn xã hội nâng cao chất lượng và hiệu quả
dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 09 tháng 3 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

18


Nguyễn Thị Minh Hải

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách Bài tập toán 6 tập 2 - Tôn Thân (Chủ biên) – Phạm Gia Đức
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản
2. Sách Các dạng toán và phương pháp giải toán 6 tập 2 - Tôn Thân (Chủ
biên) – Vũ Hữu Bình – Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản
3. Sách Các chuyên đề chọn lọc toán 6 tập 2 - Tôn Thân (Chủ biên – Bùi Văn
Tuyên
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản; Tìm điều kiện của tham
số để phân số là tối giản hoặc phân số không phải là phân số tối giản
4. Sách Nâng cao và phát triển toán 6 tập 2 – Vũ Hữu Bình
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản; Tìm điều kiện của tham
số để phân số là tối giản hoặc phân số không phải là phân số tối giản
5. Sách Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán 6 tập một: Số học – Vũ
Hữu Bình (Chủ biên) – Nguyễn Tam Sơn
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản; Tìm điều kiện của tham
số để phân số là tối giản hoặc phân số không phải là phân số tối giản.
6. Sách Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6 – Vũ Dương Thụy (Chủ biên)
– Nguyễn Ngọc Đạm
Dạng bài tập: Chứng tỏ một phân số là phân số tối giản; Tìm điều kiện của tham
số để phân số là tối giản hoặc phân số không phải là phân số tối giản

19


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Minh Hải
Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác:Trường THCS Nguyễn Chích

TT
1.

2.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Giúp HS khá giỏi lớp 9
trường THCS Nguyễn Chích
áp dụng định lí Vi ét trong
giải toán

Huyện

A

2013

Rèn luyện kỹ năng giải bài
toán bằng cách lập phương
trình thông qua tiết 53 – 54:
luyện tập đại số lớp 8 cho học
sinh trường THCS Nguyễn
Chích

Huyện

B

2016

20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ĐÔNG SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN SỐ TỐI GIẢN DẠY HỌC SINH
ĐỘI TUYỂN TOÁN 6 TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Người thực hiện: Nguyễn Thị Minh Hải
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Chích
Huyện Đông Sơn, tỉnh Thanh Hóa

SKKN thuộc môn: Toán

21
THANH HOÁ NĂM 2019