SKKN hướng dẫn học sinh giải bài tập toàn về lũy thừa trong booig dưỡng học sinh giỏi lớp 6

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU .……………………….………………………………...…....… 1
1.1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………....…… 1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………...... 1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………....……….2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…..…………………………………….....…….2
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.............................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …….................................... 3
2.1. Cơ sở lí luận .......................................…………………………......…..... 3
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu………………………………....………… 4
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……………………......……..4
2.4. Hiệu quả của sáng SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường…….......................…..……………......…....15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……………………………………...….... 17
3.1. Kết luận về vấn đề nghiên cứu .................................................................. 17
3.2. Kiến nghị………………………………………………………...…….… 17

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Phương pháp dạy học hiện nay nói chung và phương pháp dạy học toán
trong nhà trường nói riêng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của
người học và hướng tới phát triển các năng lực tư duy sáng tạo, nhận biết, khái
quát hóa khả năng giải quyết các vấn đề độc lập.
Để giúp học sinh học tốt môn toán đòi hỏi người thầy phải có sự lao động
sáng tạo nghiêm túc. Là một giáo viên giảng dạy môn toán. Bản thân tôi luôn
trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em học sinh, trong
quá trình học toán, làm toán các em học sinh cũng gặp rất nhiều khó khăn vì các
dạng toán rất phong phú, kiến thức học sinh có hạn. Chính vì thế mà dạy và học

như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức một cách có hệ thống
có chiều sâu mà các em còn hứng thú và say mê học toán.
Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương
pháp giải thích hợp. Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa
ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho
người học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6. Sau khi các em được
học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít
nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều. Để giải được các bài tập nâng
cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chương trình,
học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng. Những kiến thức
này không được phân phối trong trong các tiết học nên học sinh ít được vận dụng
và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó. Vì vậy khi gặp những bài tập khó
này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ đó không còn thích thú học môn toán
nữa.
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không
chút ngần ngại khi gặp một số dạng toán này. Tôi thấy rằng cần phải giúp các
em nắm được các kiến thức cơ bản, các dạng toán, các phương pháp giải. Từ đó
gây hứng thú cho các em đồng thời rèn cho các em kỹ năng giải thành thạo dạng
toán.
Vậy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán 6 và làm nguồn
bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán 7, 8, 9 ở trường THCS Đông Cương tôi chọn
đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích đưa ra một số phương pháp tìm lũy thừa đối với
học sinh khá giỏi lớp 6.
Giúp học sinh vận dụng các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào
từng dạng bài cụ thể, nhằm giúp học sinh phân dạng bài nhanh, sử dụng phương
pháp thuần thục, khoa học, ngắn gọn, xúc tích.
Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể.

Giúp các đồng nghiệp tham khảo để có thể vận dụng tốt hơn trong công
tác giảng dạy về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa.

2


1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán về lũy thừa vào
từng dạng bài khác nhau từ đấy rèn cho học sinh các kĩ năng tìm lũy thừa, so
sánh lũy thừa vào các bài tập cụ thể và một số các bài tập nâng cao về lũy thừa
trong đề thi khảo sát chất lượng học kì của TP Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm:
- Phát triển một số kiến thức nâng cao về phần lũy thừa mà sách giáo
khoa không đề cập.
- Đề tài được thông qua đồng nghiệp và được đồng nghiệp áp dụng vào
dạy học đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trên cơ sở “lũy thừa với số mũ tự nhiên” trong sách giáo khoa toán 6 và
các tài liệu nâng cao toán 6. Qua nhiều năm dạy toán và bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi toán. Tôi nhận thấy muốn nâng cao chất lượng học sinh khá, giỏi toán thì

giáo viên phải dạy học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về lũy thừa, từ đó
mở rộng nâng cao các kiến thức về lũy thừa và đưa ra các phương pháp giải bài
toán về lũy thừa.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.2.1. Thực trạng.
Mặc dù học sinh đã được học và giải các bài toán về lũy thừa của một số
ở lớp 6, bài toán về lũy thừa của một số hay của một biểu thức. Nhưng thực tế
học sinh khá, giỏi toán ở trường THCS Đông Cương giải đúng và có kỹ năng
giải chiếm tỉ lệ thấp, phần lớn học sinh chưa giải được các bài toán về lũy thừa
của một số hay của một biểu thức hoặc chỉ giải đúng được một vài bước.
Từ thực trạng trên, tôi đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu, tìm tòi và
thử nghiệm phương pháp riêng của mình và bước đầu đã có những dấu hiệu khả
quan.
2.2.2. Kết quả của thực trạng.
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán
lớp 6. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trường,
thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố bản thân
tôi nhận thấy các em học sinh chưa thành thạo khi làm các dạng bài tập về lũy
thừa, vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng giải các bài
toán về lũy thừa.
Khi nghiên cứu đề tài này, tôi đã khảo sát tình hình thực tế của 40 học
sinh lớp 6A và 40 học sinh ở lớp 6C Trường THCS Đông Cương năm học 20172018 khi chưa áp dụng đề tài này. Kết quả thu được như sau:
Học sinh giải
đúng
Lớp

Học sinh giải được
một vài bước đúng

Học sinh không

giải được.

Số HS
SL

%

SL

%

SL

%

6A
6C

40
7
17,5
15
37,5
18
45
40
5
12,5
14
35

21
52,5
Nguyên nhân dẫn đến việc tỉ lệ học sinh lớp 6 chưa giải được các bài toán
về về lũy thừa chiếm tỉ lệ cao thì có nhiều nguyên nhân, song theo quan điểm
của tôi chỉ tập trung vào ba nguyên nhân chủ yếu sau đây:
Thứ nhất: Do phần lũy thừa là phần mới đối với học sinh;
Thứ hai: Do các em chưa nắm vững các phương pháp giải các bài toán về
lũy thừa và chưa có kỹ năng giải các bài tập về phần lũy thừa;
Thứ ba: Do các em chưa đọc và giải nhiều bài tập ở sách nâng cao toán 6
về chủ đề lũy thừa.
4


2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Các giải pháp thực hiện.
1. Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các kiến thức
nâng cao về lũy thừa.
2. Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số bài tập
và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương năm học 2017–
2018.
3. Luyện giải các các bài toán nâng cao về lũy thừa trong các đề thi khảo sát chất
lượng học kì TP Thanh Hóa.
4. Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông Cương thường
mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa.
2.3.2. Các biện pháp tổ chức thực hiện.
1. Dạy học sinh nắm vững kiến thức về lũy thừa, từ đó mở rộng các
kiến thức nâng cao về lũy thừa.
1.1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.
+ Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a
a n = a14

.a.........
2 43a (n ∈ N*)
n thua so

1

0

+ Quy ước: a = a; a = 1(a ≠ 0)
1.2. Các phép toán về lũy thừa.
*) Với a, b, m, n ∈ N ta có các phép tính:
+ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: am. an = am+n;
am. an . ap = am+n+p (p ∈ N)
+ Chia hai lũy thừa cùng cơ số: am : an = am-n
(a ≠ 0, m > n)
m
m
m
+ Lũy thừa của một tích: (a.b) = a . b
+ Lũy thừa của một thương: (a : b)m = am : bm (b ≠ 0 )
+Lũy thừa của lũy thừa: (am)n = am.n
+ Lũy thừa tầng: a mn = a ( m )
*) Với x là phân số, n ∈ N; a, b ∈ Z
x.x.........
2 43x ( x ∈ N*)
xn = 14n thua
so
n

n

an
a
+   = n (b ≠ 0)
b
b
1.3. Tính chất về thứ tự:
+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn)
a = b (nếu n lẻ)
m
n
+ Nếu a = a thì m = n
+ Nếu 0 < a <1, m > n và m,n ∈ N* => am < an
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+ Nếu m > n > 0, a > 1 => am > an
+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Chú ý: Với n ∈ N: (-x)2n = x2n; (-x)2n+1 = - x2n+1

5


2. Vận dụng phương pháp các bài toán về lũy thừa vào việc giải một số
dạng bài tập và ứng dụng đối với học sinh lớp 6 trường THCS Đông Cương
năm học 2017–2018.
2.1. Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân chia dưới dạng một lũy thừa.
*Phương pháp: - Biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số .
- Áp dụng công thức:
am . an = am + n;
am : an = am- n

an . bn = (a.b)n
(a : b)n = an : bn
* Ví dụ 1. Viết các tích, thương sau dưới dạng một lũy thừa.
a) A = 86.164
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 4

A = 86.164 = (2.4)6 .(4.4) 6 = 26.46.4 4.4 4 = (2 2 )3 .414
A = 43.414 = 417
Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa có cơ số 2
3
4
A = 86.164 = ( 2 ) . ( 2 ) = 218.216
6

4

= 234

b) B = 93.813.273
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683.
3
B = 93.813.273 = ( 9.81.27 ) = 19683
3

Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 3.

2
4

3
B = 93.813.273 = ( 3 ) . ( 3 ) .3 = 36.312.33 = 36 +12+3 = 321
3

3

c, C = 256 :1253
Giải:
Cách 1: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683.

2
3
C = 256 :1253 = ( 5 ) : ( 5 ) = 512 : 59 = 512−9 = 53
6

3

Cách 2: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 19683.

C = 256 :1253 = 256 : (25.5)3 = 256 : (253.53 ) = (256 : 253 ) : 53
C = 253 : 53 = (25 : 5)3 = 53
Cách 3: Có thể đưa về cùng lũy thừa cơ số 125 rồi thực hiện phép nhân chia.

C = 56 :1253 = ( 252 ) :1253 = (25.25)3 :1253 = (5.125)3 :1253
3

C = (53.1253 ) :1253 = 53.(1253 :1253 ) = 53
*Nhận xét: Đối với dạng bài tập này, có rất nhiều cách giải. Tuy nhiên để thuận
tiện cho việc tính toán ta thường đưa về lũy thừa của cùng một số nguyên tố.
`

2.2. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức.
2.2.1. Các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên:
6


* Phương pháp:
- Thực hiện theo thứ tự phép tính và sử dụng các phép tính của lũy thừa để tính.
- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng.
Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức:
a) A = 453 : 53 − 246 :126
+ Hướng dẫn: Các lũy thừa của 45 và 5 có cùng số mũ là 3. Lũy thừa của 24 và
12 có cùng số mũ là 6. Vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính: Nhân,
chia đến cộng, trừ.
Giải:
A = 453 : 53 − 246 :126 = (45 : 5)3 − (24 :12) 6
A = 93 − 36 = (32 )3 − 36 = 36 − 36 = 0

Vậy A= 0.

(

)

24
23
66
b) C = 8 + 8 : 2

+Hướng dẫn: Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8, sau đó sử dụng tính chất phân

phối của phép cộng dể thực hiện.
Giải:
Cách 1:

(

)( )

C = ( 824 + 823 ) : 266 = 824 + 823 : 23

22

= ( 824 + 823 ) : 822 = 824 : 822 + 823 : 822

C = 82 + 8 = 72 . Vậy C=72
Cách 2:

C = ( 824 + 823 ) : 266 = [ ( 23 ) + ( 23 ) ] : 266 = ( 272 + 2 69 ) : 266
24

23

C = 269 ( 23 + 1) : 266 = (269 : 266 ).(8 + 1) = 269−66.9 = 23.9 = 8.9 = 72
Vậy C= 72.
2.2.2. Các biểu thức có dạng phân số:
+ Phương pháp: Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa. Sau đó sử dụng
tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không.
Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức:
33.35 ) ( 25.73 )
(

a) A =
2
( 3.5.72 )
+ Hướng dẫn: Đưa tử và mẫu về dạng tích của các lũy thừa có cơ số là các số
nguyên tố. Sau đó ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũy
thừa, tính lũy của lũy thừa, rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau.
Giải:
3
3 .35) ( 25.73 ) ( 33.5.7 ) ( 52.73 )
(
A=
=
2
2 2
( 3.5.7 )
( 3.5.7 2 )
33.5.7.52.73 33.53.7 4
A = 2 2 4 = 2 2 4 = 3.5= 15. Vậy A= 15.
3 .5 .7
3 .5 .7
7


95.13 + 39.52
b) C =
38.258
+ Hướng dẫn: Biểu thức C có tử là một tổng vì vậy ta có thể biến đổi rồi sử
dụng tính chất phân phối viết tử thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn.
Giải:
9

2
9
5
9 .13 + 39.52 310.13 + 39.52 3 ( 2.13 + 5 ) 3 ( 26 + 25 ) 51 .
=
C=
=
=
=
86
38.258
38.258
38.3.86
39.86
51
Vậy C =
86
2.2.3. Biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo quy luật.
* Phương pháp: Làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó có chứa
các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừ
hai biểu thức.
Ví dụ 4. Thu gọn biểu thức sau:
A =1 + 2 + 22 + 23 +... + 2 2018

+ Hướng dẫn:
- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị.
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 2 ( 2 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong A
có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp).
Giải:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22018

2 A = 2 + 22 + 23 + 2 4 + ... + 2 2019
2 A − A = (2 + 2 2 + 23 + 24 + ... + 2 2019 ) − 1 + 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + ... + 2 2018

(

)

A = 22019 − 1
Vậy A = 22019 − 1 .
Ví dụ 5. Thu gọn biểu thức:
B = 1 + 53 + 56 + ... + 5105
+ Hướng dẫn:
- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị.
- Nhân cả hai vế của biểu thức với 53 ( 53 có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong
B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp).
Giải:
B = 1 + 53 + 56 + ... + 5105
53.B = 53 + 56 + 59... + 5108
125.B − B = (53 + 56 + 59... + 5108 ) − ( 1 + 53 + 56 + 59 + ... + 5105 )
124.B = 5

108

−1 ⇒ B =

Vậy B =

5108 − 1
124

5108 − 1
124

8


1 1 1
1
Ví dụ 6. Thu gọn biểu thức: C = + 2 + 3 + ... + 99
3 3 3
3
+ Hướng dẫn: - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là
lũy thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị. Nhân cả hai vế của biểu thức
với 3.
Giải:
1 1 1
1
C = + 2 + 3 + ... + 99
3 3 3
3
1 1 1
1
3C = 1 + + 2 + 3 + ... + 98
3 3 3
3
1 1 1
1
1 
1 1 1
3C − C = (1 + + 2 + 3 + ... + 98 ) −  + 2 + 3 + ... + 99 ÷

3 3 3
3
3 
3 3 3
1
2C = 1 − 99
3
1
1
C = − 99
2 2.3

2.3. Dạng 3. So sánh hai lũy thừa.
2.3.1. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số .
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số.
- Sử dụng tính chất: Nếu m > n thì a m > a n ( a > 1 ).
Ví dụ 1. So sánh các số sau: a) 2711 và 818 ;
b) 19920 và 200315
a) + Hướng dẫn:
- Các cơ số 27 và 81 đều là lũy thừa của 3
- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh.
Giải:
Ta có 2711 = ( 33 ) = 333
11

818 = ( 34 ) = 332
8

Vì 333 > 332 ⇒ 2711 > 818
Vậy 2711 > 818

b) + Hướng dẫn: - Ta biến đổi đưa về so sánh qua lũy thừa của một số trung
gian.
Giải:
Ta có: 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20 = 260 . 540
201315 > 200015 = (16.125)15 = (24 . 53)15= 260.545
Vì 260 . 540 < 260.545 nên 19920 < 201315.
2.3.2. So sánh hai lũy thừa cùng số mũ.
* Phương pháp: - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0.
- Sử dụng tính chất: Nếu a > b thì a m > b m ( m > 0 )
Ví dụ 2. So sánh: 32n và 23n với n ∈ N g
+ Hướng dẫn: Ta thấy số mũ 2n và 3n đều có chung thừa số n nên ta viết hai
lũy thừa trên thành các lũy thừa có cùng số mũ là n, rồi so sánh cơ số.
Giải:
9


Ta có : 32 n = ( 32 ) = 9n ;
n

23 n = ( 23 ) = 8 n
n

Với n ∈ N gnên ta có 9n > 8n ⇒ 32 n > 23n
Áp dụng. So sánh:
a) 3200 và 2300
Ta có: 3200 = (32)100 = 9100; 2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100. Nên 3200 > 2300
b) 1619 và 825

( )

=(2 )

Ta có: 1619 = 2 4

825

19

3 25

= 276

= 275

Vì 276 > 275 nên 1619 > 825.
2.4. Dạng 4: Tìm số chưa biết trong lũy thừa.
2.4.1. Tìm cơ số:
* Phương pháp:
- Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng số mũ.
- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b hoặc a = - b (nếu n chẵn )
a = b (nếu n lẻ)
3
Ví dụ 1. Tìm số nguyên x, biết: ( x + 1) = − 27
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 3 nên ta viết
vế phải thành lũy thừa có số mũ là 3.
Giải:
( x + 1) = − 27
3

3

( x + 1)3 = ( − 3) ⇒ x + 1 = − 3 ⇒ x = −3 − 1 ⇒ x = −4

Vậy x= - 4.
Ví dụ 2. Tìm số nguyên x, biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở cơ số của lũy thừa có số mũ là 2 cả hai lũy
thừa đều biết số mũ là 2, nhưng cơ số chưa biết. Do đó ta sử dụng tính chất bình
phương của hai lũy thừa bằng nhau khi cơ số của chúng bằng nhau hoặc đối
nhau.
Giải:
Ta có:
(x - 5)2 = (1 – 3x)2
=> x – 5 = 1– 3x hoặc x – 5 = 3x – 1
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1:
x – 5 = 1– 3x
4x = 6
6
x=
4
3
x = ∉Z
2
10


* Trường hợp 2:
x – 5 = 3x – 1
2x = -4
x = -2∈ Z
Vậy x = -2.

2.4.2. Tìm số mũ:
* Phương pháp: - Biến đổi 2 vế thành những lũy thừa có cùng cơ số.
- Áp dụng tính chất: a m = a n thì m = n
Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên x, biết: a) 5 x = 625 ;
b) 16x < 1284
a)+ Hướng dẫn: Số x phải tìm nằm ở số mũ của lũy thừa có cơ số là 5 nên ta
viết vế phải thành lũy thừa có cơ số là 5.
Giải:
5 x = 625 ⇒ 5x = 54 ⇒ x = 4 . Vậy x = 4.
b)+ Hướng dẫn: Biến đổi rồi đưa về lũy thừa cùng cơ số 2.
Giải:
Ta có: (24 ) x < ( 27 )

4

24 x < 228 ⇒ 4x < 28 ⇒ x < 7
Vậy x ∈{ 0;1; 2;3; 4;5; 6} .
Ví dụ 4. Tìm n ∈ Z, biết: 32-n. 16n = 1024
+ Hướng dẫn: Viết các lũy thừa về dạng lũy thừa của 2 .
Giải:
-n
32 . 16n = 1024
(25)-n. (24)n = 1024
2-5n. 24n = 210
2-n = 210
=> n = -10. Vậy n = - 10.
5.Dạng 5. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
Kiến thức:
+Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
- Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ

số tận cùng vẫn không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận
cùng vẫn không thay đổi, còn nâng lên lũy thừa chẵn thì có chữ số tận cùng lần
lượt là 6 và 1.
- Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)
thì chữ số tận cùng là 1.
- Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)
thì chữ số tận cùng là 6.
+Tìm hai chữ số tận cùng: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần
chú ý những số đặc biệt sau:
- Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng
bằng chính nó.
11


- Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có
hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.
- Các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76.
- Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01.
- Số 25n (n ∈ N, n >1) có tận cùng là 25.
5.1.Tìm một chữ số tận cùng.
Ví dụ 1. Tìm chữ số tận cùng của các số: 10092008 ,8732, 5833, 47102.
+ Hướng dẫn: Lũy thừa 10092008 ta viết số mũ 2008 dưới dạng 2.1004 ; 8732 viết
số mũ 32 dưới dạng 4.8; 5833 viết dưới dạng 58.5832; còn 47102 viết dưới dạng
47100. 472. Và dựa vào kiến thức trên ta dễ dàng tìm được chữ số tận cùng.
Giải:
2008
1009 = 10092.1004 = (10092)1004 = (...1)1004 = ...1, có chữ số tận cùng bằng 1.
8732=874.8=...1, có chữ số tận cùng bằng 1.
5833 = 58 . 5832 = 58 . 584.8 =(...8) . (...6) = ...8, có chữ số tận cùng bằng 8.

47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 = (...1) . (...9) = ...9, có chữ số tận cùng bằng 9.
5.2.Tìm hai chữ số tận cùng.
Ví dụ 2. Tìm hai chữ số tận cùng của: 2100; 3100
+ Hướng dẫn: Dựa vào nhận xét ở trên ta viết 2100 thành lũy thừa của 220.5, 3100
thành lũy thừa của 320.5.
Giải:
100
2 = (220)5 = ( ......76 )5 = ......76
3100 = (320)5= ( ......01 )5 = ......01
3. Một số bài toán nâng cao và một số bài toán về lũy thừa trong đề thi
khảo sát chất lượng học kì TP Thanh Hóa.
*Nhận xét: Trong 5 dạng toán về lũy thừa đã giới thiệu ở trên, mỗi dạng có
phương pháp làm cụ thể song trong quá trình làm bài ta gặp các bài toán mà phải
sử dụng tổng hợp các kiến thức đã làm trong các bài trên như tìm chữ số tận
cùng, so sánh phân số … như các loại bài sau:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: A = 998 − 1 chia hết cho 2 và 5
+ Hướng dẫn: - Các số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 2 và 5.
- Do đó ta đi tìm chữ số tận cùng của biểu thức A
Giải:
2 49
A = 998 − 1 = ( 9 ) − 1 = 8199 − 1 = ...1 − 1 = ...0
Vì biểu thức A có chữ số tận cùng là 0 nên A chia hết cho 0 và 5.
Ví dụ 2. So sánh C và D biết:
C=

3918
3918 − 75

và

D=

3918 + 5
3918 − 2

(Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2014-2015)
Giải:
3918
3918 − 7 + 7
7
=
= 1 + 18
Ta có: C = 18
18
39 − 7
39 − 7
39 − 7
18
18
39 + 5 39 − 2 + 7
7
=
= 1 + 18
D = 18
18
39 − 2
39 − 2
39 − 2

12

Mà 3918 − 7 < 3918 − 2 nên

7
39 − 7
18

>

7
39 − 2
18

Vậy C > D
Ví dụ 3. Cho 10k - 1 M19 ( k ∈ N) Chứng minh:
102k - 1 M19
( Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2014-2015)
Giải:
Ta có: 102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1)= 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1)
= (10k - 1). ( 10k + 1) M19 (vì 10k -1 M19)
Mở rộng bài toán: Cho 10k - 1 M19 ( k ∈ N) Chứng minh:
103k - 1 M19
Giải:
Ta có: 103k - 1 = ( 103k - 10k) + (10k - 1)
= 10k . ( 102k - 1) + ( 10k - 1)1 M19
Do 102k -1 M19; 10k -1 M19
Vậy 103k - 1M19.
Ví dụ 4. So sánh: A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009 – 1
+ Hướng dẫn: Biểu thức A là tổng các lũy thừa viết theo quy luật, để so sánh A

và B ta phải thu gọn biểu thức A.
Giải:
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 22008
2 A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2 2009
2 A − A = (2 + 2 2 + 23 + 24 + ... + 22009 ) − 1 + 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + ... + 2 2008

(

)

A = 22009 − 1

Vậy A = B.
Ví dụ 5. Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ... + 201271 + 201272 và
B = 201273 - 1. So sánh A và B.
(Đề thi HSG huyện Bá Thước - Thanh Hóa năm 2011-2012).
Giải:
Ta có:
A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + ... + 201271 + 201272
2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273
2012A – A = 201273 – 1
Do 201273 – 1= B
Suy ra: A =

201273 −1
< 201273 −1 = B
2011

Vậy A < B.
1 1 1

1
1
+ 2 + 2 + ×××+
+
<1
2
2
2 3 4
2007 20082
+ Hướng dẫn: - Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học
sinh hiểu được giáo viên dẫn dắt, gợi mở cho học sinh.
1
1
1
= −
- Giáo viên giới thiệu kiến thức:
(n ∈ N*)
n.(n − 1) n n + 1

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng: H =

13


Giải:
1
1
1
1
1

1
1
1
<
Ta có: 2 <
; 2 <
; 2 <
;…;
1.2 3
2.3 4
2
3.4
2008 2 2007.2008
1 1 1
1
1
1
1
1
+
<
+
+
×××+
=> H = 2 + 2 + 2 + ×××+
2 3 4
2007 2 20082 1.2 2.3
2007.2008
1 1
1

1 1 1 1 1
1
1
1
+ ×××+
= 1 − + − + − + ×××+
−
= 1−
<1
Mà +
1.2 2.3
2007.2008
2 2 3 3 4
2007 2008
2008
=> H < 1.
Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Ví dụ 7. Chứng tỏ rằng:
M=

1 1 1
1
+ 2 + 2 + ×××+ 2 < 1 ( với
2
2 3 4
n

n ∈ N và n ≥ 2)

Giải:

Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1
<
<
<
<
;
;
;
…
;
n 2 n.(n − 1)
2 2 1.2 3 2 2.3 4 2 3.4
1 1 1
1
1
1
1
+
+ ×××+
=> M = 2 + 2 + 2 + ×××+ 2 <
2 3 4
n 1.2 2.3

n.( n − 1)
1
1
1
1 1 1 1 1
1 1
1
+ ×××+
= 1 − + − + − + ×××+
− = 1− < 1
Mà +
1.2 2.3
n.(n − 1)
2 2 3 3 4
n −1 n
n
=> M < 1.
1
1
1
  1

− 1÷
Ví dụ 8. Cho A =  2 − 1÷. 2 − 1÷. 2 − 1÷...
2
2
 3
 4
  100


1
So sánh A với −
2
( Đề khảo sát chất lượng học kì II- TP Thanh Hóa năm 2015-2016)
Giải:
Ta có A là tích của 99 số âm , nên A< 0. Do đó:

1
1
1 
1 

A = − 1 − 2 ÷. 1 − 2 ÷.1 − 2 ÷...1 −
2 ÷
 2   3   4   100  
1 
1 
 1   1  
A = − 1 − ÷. 1 − ÷.1 − ÷... 1 −
÷
 4   9   16   10000  
 3 8 15 9999 
A = −  2 × 2 × 2 ××× 2 ÷
100 
2 3 4
 1.3 2.4 3.5 99.101 
A = −  2 × 2 × 2 ×××
÷
1002 
2 3 4

14


 1.2.3...98.99 3.4.5...100.101 
A = −
×
÷
2.3.4...99.100
2.3.4...99.100 

101
1
1
 1 101 
A = −
× ÷= −
< − . Vậy A < −
200
2
2
 100 2 
Ví dụ 9. Tìm các số nguyên dương x,y biết: 2 x − 256 = 2 y
(Đề khảo sát chất lượng học kì I- TP Thanh Hóa năm 2017-2018)
Giải:
Vì 2 x − 256 = 2 y ⇒ 2 x − 2 y = 256
2 x − 2 y = 256 = 28
2 y.(2 x − y − 1) = 28

(1)

Nhận thấy x > y. Ta xét bài toán trong các trường hợp sau:
+) x - y = 1 ta có: 2 y (2 − 1) = 28 ⇒ 2 y = 28 ⇒ y = 8 khi đó x= 9
+) Nếu x - y ≥ 2 thì 2 x − y − 1 là một số lẻ lớn hơn 1, nên vế trái của (1) chứa thừa
số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của ( 1) chỉ chứa
thừa số nguyên tố 2 (Mâu thuẫn).
Vậy x = 9, y= 8.
Vậy để giải một giải bài toán về lũy thừa nào đó có thể có nhiều cách
giải, có thể kết hợp nhiều phương pháp giải. Vấn đề đặt ra là chúng ta phải
lựa chọn phương pháp nào để giải sao cho ngắn gọn và chính xác.
4. Khắc phục những sai lầm một số học sinh trường THCS Đông
Cương thường mắc phải khi giải bài toán về lũy thừa.
Khi giải bài toán về lũy thừa học sinh thường hay mắc các sai lầm sau:
- Nhầm lẫn về cách tính một lũy thừa, tìm thiếu nghiệm.
- Trình bày dài dòng, chưa lôgic...
Sau khi dạy song chủ đề này, tôi đã chỉ ra các lỗi sai mà các em thường
mắc phải và sửa lại cho đúng như sau:
Lỗi sai
2

3 =3.2=6
(- x)2 yx5(- y)3 = (- x)7 (- y4) = x7y4

Thực hiện đúng
3 =3.3=9
(- x)2 yx5(- y)3 = (-1x)2 x5y(-1y)3
= (-1)5x7y4 = - x7y4
2

15

3
2.3
6
2 2 = 2 = 2 = 64

3
8
2 2 = 2 = 256

2n + 2n = 64 => 2n+n = 64 => 2n = 6

2n + 2n = 64 → (1+1) 2n = 64
=> 2n = 32 => n = 5

5 4 - 53
= -53
4
5

54 - 53
53 (5 - 1)
5 3.4 4
=
= 4 =
5
54
54
5

x2= 25 => x=5

x2= 25 => x=5 hoặc x=-5.

Những lỗi trên mặc dù rất đơn giản, cơ bản nhưng học sinh lại rất hay bị
mắc khi làm bài là do các em không nắm vững định nghĩa về lũy thừa, nhầm lẫn
giữa lũy thừa tầng và lũy thừa tích, cộng hai lũy thừa cùng cơ số với nhân hai
lũy thừa cùng cơ số, chưa nắm chắc cách rút gọn biểu thức ...Từ những nguyên
nhân và nhầm lẫn trên.
Tóm lại khi giải bài toán về lũy thừa thì các em có thể gặp nhiều khó
khăn, sai lầm. Chẳng hạn như một số sai lầm tôi đã nêu ở trên. Về nguyên
nhân thì cũng có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên chẳng hạn như
do kỹ năng biến đổi và tính toán của các em chưa tốt hoặc các em chưa nắm
vững các kiến thức ở phần trước đó. Vấn đề của giáo viên ở đây là khi dạy
phần này muốn đạt được kết quả cao thì phải dành nhiều thời gian để giúp
học sinh khắc phục những khó khăn, sai lầm. Nếu giáo viên làm tốt điều này
thì các em sẽ tự tin hơn trong việc tiếp thu các kiến thức của môn toán. Từ đó
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
2.4. Hiệu quả của SKKN:
2.4.1. Với hoạt động giáo dục:
Trong quá trình thực hiện tôi đã thu được kết quả chung:
*Ý thức: Đa số các em có ý thức cao trong học tập.
*Khả năng tiếp thu: Phần lớn các em tiếp nhận kiến thức tốt.
*Khả năng vận dụng: Học sinh đã có khả năng vận dụng những tri thức
thu nhận vào thực tế.
*Kết quả thu được: Nhiều học sinh đã vận dụng rất tốt các phương pháp
Tìm nghiệm nguyên mà tôi đưa ra. Với cách làm này đã nâng cao chất lượng
học sinh giỏi Toán đối với học sinh khối 6 trường THCS Đông Cương và những
học sinh này sẽ làm nguồn cho đội tuyển học sinh giỏi toán năm học tới.
Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi để có được đề tài “Hướng dẫn học sinh

giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học sinh lớp 6” tôi đưa vào thực tế
giảng dạy lớp 6A, 6C ở Trường THCS Đông Cương, đặc biệt là những tiết bồi
dưỡng học sinh giỏi. Năm học 2017- 2018 nghiên cứu và thực hiện đề tài với đối
tượng học sinh lớp 6 Trường THCS Đông Cương với tổng số 80 em. Kết quả thu
được đáng mừng, tôi nhận thấy học sinh đã tự tin hơn khi học toán phần lũy
thừa, các sai lầm và khó khăn thường gặp ở các em giảm hẳn, số bài tập trong
sách nâng cao toán 6 phần lũy thừa các em có thể làm được hầu hết, mà không
gặp trở ngại lớn. Điều này chứng minh được kết quả bước đầu của đề tài có hiệu
quả.

16


Để khẳng định được tính hiệu quả của các giải pháp đã áp dụng tôi đã
khảo sát 80 học sinh lớp 6A, 6C trường THCS Đông Cương năm học 20172018. Kết quả thu được như sau:
Học sinh giải
Học sinh giải được
Học sinh không
đúng
một vài bước
giải được.
Lớp
Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
6A

40
33
82,5
6
15
1
2,5
6C
40
31
77,5
7
17,5
2
5
So sánh kết quả trước và sau khi áp dụng đề tài:
- Học sinh giải đúng tăng cao từ dưới 18% tăng lên 78 đến 82%
- Học sinh không giải được giảm rõ rệt từ 52% giảm còn 2,5-5%.
2.4.2. Với bản thân trong giảng dạy toán về lũy thừa: Trong quá trình nghiên
cứu và áp dụng đề tài này với học sinh đã thu được nhiều kết quả khả quan, nâng
cao ý thức tự giác cho học sinh, giúp các em tự tin hơn khi làm các bài tập về
lũy thừa, từ đó đưa ra cách giải tối ưu nhất.
2.4.3. Với đồng nghiệp và nhà trường: Đề tài này đã được đồng nghiệp tham
khảo, được ứng dụng và lồng ghép vào việc giảng dạy đối với học sinh trường
THCS Đông Cương. Từ đó cùng với đồng nghiệp ghóp phần đưa chất lượng học
sinh trường THCS Đông Cương ngày càng tốt hơn.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17

3.1. Kết luận về vấn đề nghiên cứu:
Sau khi tìm ra các phương pháp giải cho bài toán về lũy thừa, học sinh
tích cực học tập hơn, chủ động tìm tòi và linh hoạt hơn trong việc giải một số bài
toán về lũy thừa, từ đó có kĩ năng giải tốt bài tập cùng loại.
Học sinh biết đưa các bài tập từ dạng phức tạp về dạng đơn giản hơn một
cách nhanh chóng và từ đó củng cố lại kiến thức một cách chắc chắn và lôgic.
Biết phân tích các bài toán về lũy thừa và ứng dụng vào giải toán tạo cho
học sinh có tư duy linh hoạt, sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía
cạnh, góc độ khác nhau.
Đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tuy rằng không dám
khẳng định: Đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 6” quyết định tất cả kết quả học tập của các em, nhưng
chắc chắn rằng nó đã góp phần không nhỏ vào thành công giảng dạy của bản
thân. Thực tế qua các lần khảo sát chất lượng đã chứng tỏ điều đó (tôi kiểm
nghiệm trong một năm học) đối với học sinh khá giỏi lớp 6A, 6C trường THCS
Đông Cương, năm học 2017-2018.
Mặc dù những kết quả trên chưa cao, song nó đã động viên, khích lệ tôi
rất nhiều trong việc nghiên cứu tìm tòi, hệ thống các dạng toán, phương pháp
giải toán. Giúp tôi vững tin hơn về kiến thức, phương pháp giảng dạy của mình,
tạo nên động lực, niềm đam mê nghề càng lớn trong tôi, để tôi tiếp tục thành
công hơn trong sự nghiệp "trồng người", để tôi có thể đóng góp một phần sức
lực trí tuệ trong sự nghiệp giáo dục của Trường THCS Đông Cương - TP Thanh
Hóa nói riêng và sự nghiệp giáo dục trên cả nước nói chung.
Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng do điều kiện dạy học, đề tài của tôi còn
không tránh khỏi hạn chế đó là: Đối với một số học sinh trung bình, yếu kém,
phương pháp còn chưa phù hợp với đối tượng nên việc tiếp thu và vận dụng
chưa có kết quả cao.
Thấy được ưu, nhược điểm đó, cho phép tôi một lần nữa khẳng định rằng
đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán về lũy thừa trong bồi dưỡng học

sinh giỏi lớp 6” sẽ phát huy tối đa tác dụng của nó trong việc bồi dưỡng học
sinh khá, giỏi.
3.2. Kiến nghị:
Sở GD, Phòng GD TP Thanh Hóa nên tổ chức thêm các buổi chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 cho giáo viên để giáo viên được học hỏi nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Đây chỉ là vấn đề nhỏ mà tôi đưa vào quá trình giảng dạy có hiệu quả.
Với cách làm này đã giúp học sinh phát huy được khả năng tự học, tự giải
quyết vấn đề. Tuy nhiên bài viết không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong
được sự góp ý của đồng nghiệp để bản thân tôi vận dụng vào quá trình giảng
dạy đạt kết quả tốt hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

18


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 8 tháng 4 năm 2018.
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Liên

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách bài tập toán lớp 6;
2. Các chuyên đề chọn lọc toán 6- Tôn Thân (chủ biên);
3. Sách nâng cao và phát triển toán 6- Vũ Hữu Bình;
4. Phương pháp giải bài tập toán 6- Dương Đức Kim- Đỗ Duy Đồng;
5. Các dạng toán và phương pháp giải toán 6- Tôn Thân;
6. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6- Nguyễn Đức Tấn;
7. Toán cơ bản và nâng cao toán 6- Vũ Thế Hựu;
8. Đề thi Khảo sát chất lượng TP Thanh Hóa.

20