Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6,7 ở trường THCS phạm văn hinh

1. MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung
và đổi mới để đáp ứng đòi hỏi của xã hội. Vì vậy, mỗi người giáo viên dạy toán
phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để thực hiện chủ
trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra.
Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạng
toán cũng được đề cập đến tương đối nhiều. Trong số đó, các bài toán về lũy
thừa là một mảng kiến thức quan trọng. Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đề cập
đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đối tượng
học sinh trung bình, yếu. Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học
sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán
về lũy thừa và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ và nâng cao
kịp thời cho các em. Ở phần mỗi bài toán về lũy thừa đòi hỏi một cách giải
riêng phù hợp với đặc điểm của từng bài toán. Điều đó có tác dụng rèn luyện
tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học. Do đó các bài toán về
lũy thừa thường có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh
giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kì thi Violimpic Toán....
Bên cạnh đó, các bài toán về lũy thừa là đề tài lí thú của phân môn Số học
và Đại số, là đối tượng nghiên cứu của Toán học. Các bài toán về lũy thừa được
đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu
cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy vất vả nhất là học sinh lớp 6
và lớp 7. Với Trường THCS Phạm Văn Hinh, một trung tâm chất lượng cao bậc
THCS huyện Thạch Thành công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng
đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường trong tất cả các năm học. Bồi
dưỡng học sinh giỏi toán 6,7 là nhiệm vụ quan trọng đặc biệt là các bài toán về
luỹ thừa, đây là nền tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo
nhất là lớp 9 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề

tài “Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”. Nhằm tìm
ra các biện pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp giúp học sinh tiếp
cận với các bài toán lũy thừa một cách chủ động, sáng tạo, hứng thú trong quá
trình học.
Các bài toán về lũy thừa rất phong phú về dạng toán, nhưng trong nội dung
sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và một số phương
pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Tìm ra các phương pháp giải các dạng toán về lũy thừa.
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính
xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh.

1


- Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Để bản thân rút ra một số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp
6,7 khi giải các dạng toán về lũy thừa tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
“Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp
- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên
quan.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
So với sáng kiến kinh nghiệm đã viết năm học 2014-2015 các nội dung
được viết thêm:
- Phần kiến thức thêm nội dung các công thức mở rộng và các phép toán về

thứ tự, cách tìm chữ số tận cùng
- Số lượng bài tập ở các dạng nhiều hơn và được nâng cao dần.
Cụ thể :
TT
Các dạng
Các bài thêm
1 Dạng 1
Thêm bài 8
2 Dạng 3
Thêm phần 3.4 và bài tập 20.
3 Dạng 4
Thêm bài 22
4 Dạng 5
Thêm bài 36
5 Dạng 7
Thêm bài 41
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình
và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc
trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và
ký hiệu toán học.
Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng của
mỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học.
Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lực
phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân
cách cho người lao động trong tương lai. Học sinh muốn có kiến thức toán sâu
thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của
mình. Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người

dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng cách phân dạng các
bài toán về lũy thừa một cách khoa học nhất.

2


Trong toán học, luỹ thừa là một phép toán được thực hiện trên hai số a, b, kí
hiệu là a b , đọc là luỹ thừa bậc b của a, số a được gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.
Trong trường hợp n là số nguyên dương, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa
số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trường THCS
đang được quan tâm đặc biệt, đó là một trong những vấn đề đánh giá chất lượng
của một nhà trường. Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII yêu cầu của nhiệm vụ
bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết quả
học sinh giỏi cũng là kết quả của phong trào "hai tốt" ở các nhà trường, nó gắn
liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục toàn diện đối với học sinh.
Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó là
nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết
thực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào
thực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi
dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu
trên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn
luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và
phát triển ở học sinh các tư duy cần thiết.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
a.Thực trạng
Ưu điểm: Trường THCS Phạm Văn Hinh có truyền thống trong việc bồi
dưỡng học sinh giỏi toán một số học sinh có tư chất thông minh, có thiên hướng
học các môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán.

Nhược điểm:
Về học sinh:Không biết cách về giải các bài toán về luỹ thừa
Không biết cách trình bày.
Không nắm được các dạng toán về luỹ thừa một cách cụ thể.
Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về luỹ thừa.
Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưa
quan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về luỹ thừa..
Nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít.
+ Sách giáo khoa chưa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán về luỹ
thừa.
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về luỹ
thừa
Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện
nhiều.

3


+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức
về luỹ thừa.
Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
tôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy
việc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học
sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về lũy thừa. Ở trường
trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến lũy thừa xuất hiện nhiều ở lớp
6,7 đặc biệt là các đề học sinh giỏi.
b. Kết quả thực trạng

Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có
biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham gia
giải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát các em trong đội tuyển 26
em mà tôi đảm nhận. Cụ thể hai bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm x là số tự nhiên biết : 32x . 27 = 2187. [1]
Bài toán 2: So sánh 5566 và 6655 [ 2]
Kết quả thu được sau khi các em làm 2 bài tập trên như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
8
30.8
9
34.6
7
26.9
2
7.7
Trên đây là bảng tổng hợp kết quả mà bản thân đã khảo sát trước khi thực
hiện với công việc phân loại các bài tập về lũy thừa.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề.
* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:
- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết.
- Củng cố trong những tiết luyện tập.
Vậy tại sao chúng ta phải cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ
thừa?
Vì giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa để từ đó vận dụng vào
thực hành. Với m, n ∈ N; x,y ∈ R ; x,y ≠ 0.
+ xn = x.x...x
( n thừa số x) (Định nghĩa về lũy thừa)
n
m
n+m
+x .x =x
(Nhân hai lũy thừa cùng cơ số)
n
m
n-m
+x :x =x
(n >m )
(Chia hai lũy thừa cùng cơ số)
n m
n.m
+ (x ) = x
(Lũy thừa của lũy thừa)
n
n
n
+ (x . y) = x . y
(Lũy thừa của một tích)

n
n
n
+ (x : y) = x : y
(Lũy thừa của một thương)
+

x

* Qui ước: xo =1

mn

(m )
=x
n

; x1 = x và x-1 =

( Lũy thừa tầng)
1
x

Nội dung kiến thức mở rộng và Các tính chất về thứ tự :
Trong trang này: Bài toán 1 tham khảo từ TLTK số

[1] ; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số [ 2]

4

+ x-n =

1
(x ≠ 0)
xn

+ Với a,b,c ∈ N* ta có: Nếu

a
a a+c
< 1 thì <
;
b
b b+c

Nếu

a
a a+c
> 1 thì >
b
b b+c

+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn), a = b ( nếu n lẻ)
+ Nếu am = an thì m = n
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+Nếu 0< a < 1 thì a m < a
+ Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an

+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Với n ∈ N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1 [ 5]
Với các kiến thức trên tôi xin giới thiệu và phân thành các dạng bài tập như sau:
* Hướng dẫn vận dụng các phương pháp giải các dạng bài toán về luỹ thừa:
2.3.1. Dạng 1: Thực hiện phép tính, tính giá trị của biểu thức.
Bài toán 1: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa
a. 420.830
b.415.530
c. 2716: 910 d. (0,125)3 . 256
e. 920 : (0,375)40 [1]
Giải
20 30
2 20
3 30
40 90
a. Ta có 4 .8 = (2 ) . (2 ) = 2 .2 =2130
b. Ta có 415.530 = 415.(52)15 = (4.25)15 =10015
c. Ta có 2716: 910 = (33)16: (32)10 = 348: 320 =328
d. Ta có (0,125)4 . 4096 = (0,53)4.212 = (0,5.2)12 =112 =1
e. Ta có 910 : (0,375)20 = (32)10: (0,375)20 = (3 : 0,375)20 = 820
Đối với các bài tập trên việc giải là quá đơn giản vì chỉ cần vận dụng các
công thức cơ bản về lũy thừa.
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
M=

126 7 .54 4
12 5.189 6

N=

210.13 + 210.65
2 8.104

7

3 4

Giải
2

P=

410 − 810
8 4 − 411

[ 2]

(2.3 .7) .( 2.3 )
126 .54
2 7 .314.7 7.2 4.312
211.3 26.7 7
Ta có M =
=
= 10 5 18 6 = 10 23 6 = 2.27.7=378
(2 2.3) 5 .(33.7) 6
12 5.189 6
2 .3 .3 .7
2 .3 .7
10
10

10
10
10
2 .13 + 2 .65
2 .13 + 2 .65
2 (13 + 65)
210.78
211.3.13
Ta có N =
=
=
=
=
=3
2 8.104
2 8.104
2 8.2 3.13
211.13
211.13
2 20 (1 − 210 )
410 − 810
2 20 − 2 30
Ta có P = 4 11 = 12 22 = 12
= 28 = 256
2 (1 − 210 )
8 −4
2 −2
7

4

Đối với các bài tập trên thì ở câu M ta biến đổi các số về các số nguyên tố
với số mũ của nó rồi từ đó rút gọn. Đối với câu N ta vận dụng tích chất phân
phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ đó là ab ± ac = a (b ± c) rồi
biến

5


Trong trang này Phần hướng dẫn nắm vững kiến thức cơ bản và mở rộng tham khảo từ TLTK số

; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số [ 2] .

[ 5]

. bài

toán 1 tham khảo từ TLTK số

[1]

đổi tử và mẫu về dạng tích sau đó rút gọn.
Còn câu P ta phải vận dụng cả hai phương pháp trên để giải.
2.3.2.Dạng 2:Tìm thành phần chưa biết (cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa).
Bài toán 3: Tìm x ∈ N biết:

x

a. 2 .8 = 256

1
b.  
2

3 x +1

=

1
.
16

[ 3]

Giải
a. 2 .8 = 256 ⇒ 2 .2 = 2 ⇒ 2 = 28 : 23 ⇒ 2x = 25 ⇒ x =5
x

1
b.  
2

x

3 x +1

1
1
⇒  
=

16
2

3

3 x +1

8

x

4

1
=   ⇒ 3x + 1 = 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x =1
2

Đối với các bài toán trên ta chỉ việc biến đổi về cùng cơ số và để tìm được x
thì cho hai số mũ bằng nhau.
Bài toán 4: Tìm x ∈ Z biết.
a. (2x – 3)3 = 729 b. (2x – 1)2=49 c.(x - 7)2016 = (x- 7)2017 d.x2016 = x [1]
Giải
3
3
3 ⇒
⇒
a. (2x – 3) = 729 (2x – 3) = 9
2x - 3 = 9 ⇒ 2x =12 ⇒ x = 6
b.(2x –1)2= 49 ⇒ (2x –1)2 =( ± 7)2 ⇒ 2x -1=7 hoặc 2x -1= -7 ⇒ 2x=8 hoặc 2x = - 6
⇒ x = 4 hoặc x = -3

2016
2017
c. (x - 7) = (x- 7) . Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Nếu x - 7 = 0

⇒ x = 7 (vì 02016 = 02017 = 0)

Trường hợp 2: Nếu x - 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ 7 chia hai vế cho ( x - 7) ta được

( x − 7 ) 2017
=1
( x − 7 ) 2016

hay x - 7 =1 ⇒ x = 8.
d. x
= x . Đối với bài toán này ta có 2 cách giải
Cách 1: x2016 = x ⇒ x = 0 hoặc x = 1 (vì 02016 = 0 và 12016 =1)
Cách 2: x2016 = x ⇒ x2016 - x = 0 ⇒ x(x2015 - 1) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x2015 - 1 = 0
⇒ x = 0 hoặc x2015= 1 ⇒ x = 0 hoặc x = 1
Trong hai câu a, b ta biến đổi 2 vế đẳng thức về cùng số mũ , để tìm giá trị
của x hay đẳng thức xảy ra khi số mũ ở hai vế bằng nhau.
Trong câu c, d ta sử dụng công thức 1 n = 1; 0n = 0 ( với n ∈ N*) hoặc cũng có
thể đưa về dạng tích như trong câu d. Các bài toán trên mới đưa ra tìm một giá
trị x từ các bài toán trên cũng có thể đưa ra bài toán tìm hai giá trị x, y.
Bài toán 5: Tìm x,y biết
[1]
a. (x + 6)2+(y - 4)2= 0 b.(x - 2 - y)2016 + x − 6 + y = 0 c. 2y + 2x+3 = 272
Giải
2
≥

a. Vì (x + 6)
0 với mọi x và (y - 4)2 ≥ 0 với mọi y.
2016

x + 6 = 0
 x = −6
⇔
. Vậy x = - 6; y = 4
y − 4 = 0
 y=4
≥ 0 với mọi x,y và x − 6 + y ≥ 0 với mọi x,y.

Như vậy để (x + 6)2 + (y - 4)2 = 0 thì 
b. Ta có (x - 2 - y)2016

6


Trong trang này: Bài toán 3 tham khảo từ TLTK số

[ 3] ;: Bài toán 4,5 tham khảo từ TLTK số [1]
x − 2 − y = 0
x = 4
⇔
. Vậy x = 4; y= 2
x − 6 + y = 0
y = 2

Để (x - 2 - y)2016 + x − 6 + y = 0 ⇔ 
c. 2y + 2x+3 = 272.

 2 y = 2.8
x + 3 = 8
x = 5
⇔
⇔


.
x +3
8
2 = 2
 y =8
y = 8

Ta có 272 = 2.8+28 nên 2y + 2x+3 = 272 ⇒ 

Vậy x = 5; y = 8
Ở câu a,b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi
các hạng tử đều bằng 0. Còn ở câu c thì phải biến đổi vế phải về dạng đặc trưng
của vế trái từ đó đồng nhất hai vế để tìm ra kết quả.
Bài toán 6: Tìm n ∈ N, biết:
[11]
a) 5 n + 5 n+ 2 =650
b) 32 − n .16 n = 1024
c) 3 −1 .3 n +5.3 n −1 =162
Giải
n
n+ 2
n

2
⇔
⇔
a) 5 + 5 =650 5 (1+5 ) = 650 5 n .26 = 650 ⇔ 5 n = 650:26 = 25
⇔ 5 n = 5 2 ⇒ n=2
b) 32 − n .16 n = 1024 ⇔ (2 5 ) − n .2 4 n = 2 10 ⇔ 2 −5n .2 4 n = 2 10 ⇔ 2 4 n−5n =2 10 ⇒ 4n-5n = 10
⇒ -n = 10 ⇒ n = -10
−1
n
n −1
c) 3 .3 +5.3 =162 ⇔ 3 n−1 +5.3 n −1 = 162 ⇔ 3 n−1 (1+5) =162
⇔ 3 n −1 = 162 : 6 = 27 ⇔ 3 n −1 = 3 3 ⇒ n -1 = 3 ⇒ n =4
Cả 3 câu a,b,c trên ta đều đưa chúng về hai lũy thừa cùng cơ số để tìm
thành phần chưa biết.
[11]
Bài toán 7: Tìm m,n thuộc N biết : 2 m +2 n = 2 m+ n
Giải
m
n
m+ n ⇔
m
n
m
Ta có: 2 +2 = 2
2 +2 = 2 .2 n ⇔ 2 m +2 n - 2 m .2 n = 0
⇔ 2 m - (2 m .2 n - 2 n ) = 0
⇔ 2 m - 2 n (2 m - 1) = 0 ⇔ 2 m -1 - 2 n (2 m - 1) = - 1 ⇔ (2 m - 1)( 1- 2 n ) = -1
⇔ (2 m - 1)( 2 n -1) = 1
vì 2 m ≥ 1; 2 n ≥ 1
Vậy để (2 m - 1)( 2 n -1) = 1 thì 2 m - 1 = 1 hoặc 2 n -1 = 1 ⇒ 2 m =2 hoặc 2 n = 2

⇒ m =1 hoặc n =1(thỏa mãn đề bài).
Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc chuyển vế sau đó đưa vế phải bằng
không. Rồi bằng cách thêm bớt đưa về tích của hai biểu thức rồi lập luận để tìm
m và n.
[11]
Bài toán 8: Tìm x, y thuộc N biết: a) 2 x +1 . 3 y = 12 x b) 10 x :5 y = 20 y
Giải
3y
22x
a)2 x +1 . 3 y =12 x ⇔ 2x+1.3y = 4x.3x ⇔ 2x+1 .3y = 22x.3x ⇔ x = x +1 ⇔ 3y-x = 2x-1 (*)
3
2
Vì (3;2) =1 nên (*) xảy ra khi và chỉ khi y-x = x-1= 0 ⇔ 2x =y+1

Vậy nếu 2 lũy thừa có cơ số không bằng nhau mà là hai số nguyên tố cùng
nhau thì chúng bằng nhau và bằng 1.
b) 10 x = 20 y .5 y ⇔ 10 x = 400y ⇔ 10 x = 102y ⇔ x = 2y. Vậy có vô số cặp (x;y)
thuộc N sao cho x = 2y.
Ở câu a,b ta biến đổi 2 vế về lũy thừa của các số nguyên tố, để đẳng thức xảy ra

7


Trong trang này: Bài toán 6,7,8 tham khảo từ TLTK số

[11] .

khi số mũ của lũy thừa cùng cơ số hai vế bằng nhau. Đồng thời triệt tiêu các số
mũ của lũy thừa không cùng số mũ.
2.3.3. Dạng 3: So sánh hai lũy thừa

+ Dạng 3.1: So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số
- Dạng 3.1.1. So sánh hai lũy thừa của các cơ số dương bằng cách đưa về
cùng cơ số
5

Bài toán 9: So sánh

a) 625 và 125

1
b)  
9

7

17

 1 
và  
 27 

12

[ 2]

Giải
a) Ta có 625 = (5 ) = 5 ; 125 = (5 ) = 521 vì 520 < 521 nên 6255 < 1257
5

4 5

20

 1 
1
b) Ta có   =  
9
 3 
17

2





17

7

3 7

34

1
=   và
3

 1 
 1 

  =  
 27 
 3 
12

34

3 12





1
= 
 3
36

36

17

1
1
1
1
1
 1 
Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là (0 < < 1) nên   >   .Do đó   >  
3

3
 3
 3
9
 27 
*
Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức với m, n ∈ N và m > n, a ≥ 0.

12

+ Nếu a > 1 thì am > an ( câu a)
+ Nếu a = 0;a =1 thì am = an
+ Nếu 0 < a < 1 thì am < an (câu b)
- Dạng 3.1.2. So sánh hai lũy thừa của các cơ số âm bằng cách đưa về cùng
cơ số
Bài toán 10: So sánh. a) (-5)30 và (- 3)50
b) (-32)9 và (-18)13
c) (

− 1 100
−1
) và ( )500
16
2

[ 5]

Giải
30

30

3 10

10

a) Ta có (-5) = 5 = (5 ) = 125
(- 3)50 = 350 = (35)10 = 24310 vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (- 3)50
b) Do -18 < -16 ⇒ (-18)13 < (-16)13 < (-32)9 . Vậy (-18)13 < (-32)9
1100
− 1 100
1 100
1 100
1
−1
1
1
c) Ta có: ( ) = ( ) = ( 4 ) = 4 100 = 400 và ( )500 = ( )500 = 500
(2 )
16
16
2
2
2
2
2
1
1
−1
−1

vì 2400 < 2500 nên 400 > 500 hay ( )500 < ( )100
2
16
2
2

Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau: Với m, n ∈N* và m > n trong đó
m, n là số lẻ, a < 0.
Ta có:
- Nếu a < -1
thì am < an
- Nếu a = -1
thì am = an
- Nếu -1 < a < 0 thì am > an
Trong đó câu b là trường hợp số mũ lẻ. Còn câu a, c là trường hợp số mũ
chẵn áp dụng như khi đưa về hai lũy thừa cùng cơ số.
Ngoài ra ta còn gặp một số bài toán về so sánh nhưng không thể đưa về cùng
cơ số hoắc số mũ mà phải đưa về so sánh với lũy thừa trung gian.
Trong trang này:Bài toán 9 tham khảo từ TLTK số

[ 2] ;bài toán 10 tham khảo từ TLTK số [ 5]

8


+ Dạng 3.2. So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ.
Bài toán 11: So sánh a) 2300 và 3200
b) 202303 và 303202
c) 9920 và 999910
10

d)11

1979

1320

10

và 3

9

e) 1990 +1990 và 1991

10

 16 
3
f)   và  
 25 
7

40

[ 2]

Giải
a) Ta có 3 = (3 ) = 9
và 2 = (23)100 = 8100

vì 9 >8 ⇒ 8100 < 9100 nên 3200 >2300
b) Ta có 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.1013)101
303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
Do 8.1013 = 8.101.1012 > 9.1012 ⇒ (8.1013) > (9.1012)101 ⇒ 202303 > 303202
c) Ta có 9920 = (992)10 . Do đó 992 <99.101 = 9999
⇒ (992)10 <999910 hay 9920 < 999910
d)Ta có 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
(1)
1320
2 660
660
37 = (37 ) = 1369
(2)
660
660
1979
Từ (1) và (2) ta thấy: 1331 < 1369 mà 11 < 1331660 ⇒ 111979 < 111920
e) Ta có 199010 +19909 = 19909(1990+1) = 1991.19909
Ta thấy 1991.19909 <1991.19919 =199110. Nên 199010 +19909 < 199110
200

2 100

100

10
 4  2 
 16 
f) Ta có   =   
 25 

 5  

10

300

4
= 
5

20

4 9
4
Vì >
nên  
5 49
5

40
 3  2 
3
và   =   
7
 7  
20

20

20

 9 
= 
 49 
10

20

40

 9 
 16 
3
>   . Dó đó   >  
 49 
 25 
7
*
Trong bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau. Với m ∈ N và a,b ∈ R, ta có:

+ Nếu a < b thì am < bm
+ Nếu a = b thì
a m = bm
+ Nếu a > b thì
a m > bm
+ Dạng 3.3: So sánh hai lũy thừa bằng cách dùng lũy thừa trung gian
Bài toán 12: So sánh a) 1612 và 637
b) 3111 và 1714
[ 2]
c) 10750 và 7375

d) 291 và 535
Giải
7
7
8
12
a) Ta có 63 < 64 < 64 , mà 16 = (42)12 = 424 = (43)8 = 648. Suy ra 637 < 162
b) Ta có 1714 > 1614 = (24)14 = 256 và 3111 < 3211 = (25)11 = 255
Do 256 > 255 nên 1714 > 3111
c) Ta có 10750<10850 = (4.27)50 = (22.33)50 = 2100.3150
7375 >7275 = (8.9)75 = (23.32)75 = 2225.3150
⇒ 10750 > 2100.3150 < 2225.3150 < 7375
d)Ta có 291 > 290 = (25)18 = 3218
535 < 536 = (52)18 =2518 vì 2518 < 3218 nên 535 < 291
Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c
(trong đó b là phần trung gian). Cụ thể: Ở câu a ta sử dụng 64 8 làm lũy thừa
trung gian, còn ở câu b ta sử dụng 1614 và 3211, câu c sử dụng 10850 và 7275 ,
Trong trang này: Bài toán 11,12 dựa theo tài liệu tham khảo số
90
36

[ 2]

Câu d sử dụng 2 và 5 làm lũy thừa trung gian để so sánh.

9


[ 6]
Bài toán 13 : Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528

Giải
27
3 9
9
63
7 9
Ta có 5 = (5 ) = 125 và 2 = (2 ) = 1289 nên 527 < 263 (1)
Ta lại có 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 nên 263 < 528 (2)
Từ (1) và (2) ta được 527 < 263 < 528
[ 2]
Bài toán 14: So sánh 2100 và 1031
Giải
100
31 69
31
31
Ta có 2 = 2 .2 và 10 = (2.5) = 231.531
Từ cách phân tích trên để so sánh 2100 và 1031 , chỉ cần so sánh 269 và 531
Thật vậy, ta có 531 = 53 . 528 = 53 . (54)7 = 125 . 6257
269 = 26 . 263 = 26 . (29)7 = 64 . 5127
Vì 125 > 64 và 6257 > 5127 nên 125 . 6257 > 64 . 5127 => 531 > 269
Do vậy 1031 > 2100
Ở bài toán trên ta đã phân tích 10 31 thành tích của hai lũy thừa trong đó có
một thừa số chứa 231, đồng thời cũng phân tích 2100 thành một lũy thừa chứa 231.
Cụ thể so sánh 269 và 531.
[ 2]
Bài toán 15: So sánh
5566 và 6655
66
66

66
66
6 11
66
Giải : Ta có 55 = (5.11) = 5 .11 = (5 ) .11 = (15625) 11 .1166
6655 = (6.11)55 = 655.1155 = (65)11. 1155 = (7776) 11 .1155
vì 1166 > 1155 và (15625) 11 >(7776) 11 . Nên 5566 > 6655
Ở bài toán này, ta đưa về dạng tích, sau đó so sánh từng thành phần rồi ta chỉ
việc so sánh hai tích.
Hay nói cách khác trong bài toán trên đã sử dụng tính chất:
Với a, b, c, d∈ N* . Nếu a > b và c > d thì a.c > b.d
+Dạng 3.4. So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa
Bài toán 16: So sánh hai biểu thức sau biết:
a) A=

2016 2016 + 1
2016 2015 + 1
;
B=
2016 2017 + 1
2016 2016 + 1

b) M=
Giải

2017 2017 + 1
2017 2016 + 1
;
N
=

2017 2016 + 1
2017 2015 + 1

[ 7]

2016
+1
2016 2016 + 1 2016 2016 + 1 + 2015
⇒
<1
<
2016 2017 + 1
2016 2017 + 1 2016 2017 + 1 + 2015
2015
+ 1) 2016 2015 + 1
2016 2016 + 2016 2016.(2016
=
=
=
=B. Vậy A < B
2016
+ 1) 2016 2016 + 1
2016 2015 + 2016 2016.(2016
a
a a+c
Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất:Nếu < 1 thì <
với a,b,c ∈ N*
b
b b+c
2016(2016 2016 + 1) 2016 2017 + 2016

Cách 2: Ta có 2016A =
=
2016 2017 + 1
2016 2017 + 1
2015
2016 2015 + 1 + 2015
=
=
1+
2016 2017 + 1
2016 2017 + 1
Trong trang này: Bài toán 14; 15 tham khảo từ TLTK số [ 2] ; bài toán 13 tham khảo từ TLTK số [ 6] .bài toán 16 tham khảo từ TLTK số [ 7 ]

Cách 1.a)Vận dụng ta có: A =

2016

.

10


2015
2016(2016 2015 + 1) 2016 2016 + 2016 2016 2016 + 1 + 2015
2016B=
=
=
=
1+
2016 2016 + 1

2016 2016 + 1
2016 2016 + 1
2016 2016 + 1
2015
2015
vì
<
nên 2016A < 2016B hay A < B
2017
2016
+1
2016 2016 + 1

Trong bài toán trên do cơ số là 2016 nên khi so sánh ta đưa về so sánh
2016A và 2016B.
2017 2017 + 1
2017 2017 + 1 2017 2017 + 1 + 2016 2017 2017 + 2017
⇒
b) Ta có M =
>1
>
=
2017 2016 + 1
2017 2016 + 1 2017 2016 + 1 + 2016 2017 2016 + 2017
2017.(2017 2016 + 1) 2017 2016 + 1
=
=
=N
2017.(2017 2015 + 1) 2017 2015 + 1
a

a a+c
Như vậy ta đã sử dụng tính chất:Nếu > 1 thì >
với a,b,c ∈ N*
b
b b+c

Ngoài ra ta có thể làm theo cách 2 là so sánh 2017M với 2017N , từ đó so sánh
M và N.
2 2017 − 3
2 2016 − 3
Bài toán 17: So sánh E và F biết: E = 2016
và F = 2015
2
−1
2
−1

[11]

Giải

1
1 2
1
2
−3
− 3 2 2017 − 3 2 2017 − 2 − 1
⇒
E
=

.
= 2017
= 2017
= 1 - 2017
2016
2016
2
2 2
2
−2
2
−1
−1 2
−2
2
−2
2016
2016
2016
2016
1
1 2
1
2
−3
−3
2
−3 2
− 2 −1
⇒ F = . 2015

F = 2015
= 2016
= 2016
= 1 - 2016
2
2 2
2
−2
2
−1
−1
2
−2
2
−2
1
1
1
1
⇒ 1 - 2017
vì 22017 - 2 > 22016 -2 nên 2017
< 2016
< 1 - 2017
2
−2
2
−2
2
−2
2

−2
1
1
⇒ E < F hay E < F
2
2
1
1
Bài toán này ta không so sánh E với F trực tiếp mà so sánh E và F sau đó
2
2

Ta có E =

2017

2017

mới so sánh được E và F. Trường hợp bậc của lũy thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn
bậc của lũy thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên
rồi so sánh từng phần tương ứng.
100 69 + 1
100100 + 1
A=
và B =
100 99 + 1
100 68 + 1

Bài toán 18: So sánh A và B biết:

[11]

Giải

(100100 + 1)(100 68 + 1)
100100 + 1
=
(100 99 + 1)(100 68 + 1)
100 99 + 1
(100 69 + 1)(100 99 + 1)
100 69 + 1
B=
=
(100 68 + 1)(100 99 + 1)
100 68 + 1

Quy đồng mẫu số A và B ta có: A =

Xét hiệu hai tử số của A và B sau khi quy đồng:
(100100+1)(10068+1) - (10099+1)(10069+1) = 100168 +100100 +10068+1 - 100168 10099- 10069-1 = 100100 +10068 -10069 - 10099 = (100100 - 10099)- (10069- 10068)
= 10099.(100 - 1) - 10068.(100 - 1)= 99.10099 - 99.10068
Trong trang này: Bài toán 17 ,18 tham khảo từ TLTK số

[11] .

11


= 99.(10099 - 10068) > 0 vì 10099 - 10068 > 0.
Do đó A > B

Đối với giải bài toán trên so sánh A và B ta thực hiện việc quy đồng sau đó
xét hiệu của 2 tử số sau khi đã quy đồng.
Bài toán 19: Không quy đồng hãy so sánh:
A=

−9
− 19
−9
− 19
+ 2017 và B = 2017 + 2016
2016
10
10
10
10

[10]

Giải

−9
− 19
−9
− 10
−9
−9
−9
− 10
+ 2017 = 2016 + 2017 + 2017 = ( 2016 + 2017 ) + 2017
2016

10
10
10
10
10
10
10
10
−9
− 19
−9
− 10
−9
−9
−9
− 10
B = 2017 + 2016 = 2017 + 2016 + 2016 = ( 2016 + 2017 ) + 2016
10
10
10
10
10
10
10
10
1
1
−
10
−

10
Vì 102017 > 102016 ⇒ 2017 < 2016 ⇒ 2017 > 2016 .
10
10
10
10

Ta có A =

Vậy A > B
Bài toàn trên ta đã tách A và B thành hai phần trong đó A, B đều có phần
chung là

−9
−9
+ 2017 .
2016
10
10

Như vậy việc so sánh A và B ta chỉ cần so sánh hai phần riêng của A và B
sau khi tách ra.
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 9
Bài toán 20: So sánh C =
;
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 9
D=
1 + 3 + 3 2 + ... + 3 8

[ 6]

Giải
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
2

Ta có: C =

9

1 + (5 + 5 2 + ... + 5 9 ) 1 + 5(1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8 )
1
=
=
+ 5 > 5 (1)
2
8
2
8
2
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5
1 + 5 + 5 + ... + 5 8
1
+ 3 < 4 (2)
Tương tự D =
2
1 + 3 + 3 + ... + 3 8
1

1
Từ (1) và (2) ta có : C =
+
5
>
5
>
4
>
+3 =D
1 + 5 + 5 2 + ... + 5 8
1 + 3 + 3 2 + .... + 3 8

=

Do đó C > D
Với bài toán ở biểu thức C ta lại dùng phương pháp kết hợp từ 5 đến 59 ở
trên tử tách riêng số 1 rồi từ đó dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng đặt 5 ra ngoài rồi thực hiện chia tử cho mẫu sau đó so sánh với 5.
Với biểu thức D làm tương tự ta được kết quả , so sánh với 4 từ đó rút ra được
kết quả C > D
Trong trang này:Bài toán 19 tham khảo từ TLTK số

[10] .bài toán 20 tham khảo từ TLTK số [ 6]

2.3.4. Dạng 4: Tìm số tận cùng

12

Dạng 4.1:Tìm 1 chữ số tận cùng
Kiến thức cần nhớ
+ ....1 n = ....1 ;
....0 n = ....0 ;
....5 n = ....5 ;
....6 n = ....6 (với n ∈ N*)
+ ....4 2n+1 = ....4 ;
....4 2n = ....6 ;(n ∈ N*)
+ ....9 2n = ....1 ;
....9 2n+1 = ....9 (n ∈ N*)
Bài toán 21: Tìm một chữ số tận cùng của các số sau:
[1]
20072008; 13582008; 23456; 5235; 204208; 9 9 ; 4 5 ; 996; 81975
Giải
2008
2 1004
1004
Ta có 2007 = (2007 ) = A9
= ....1
2008
2 1004
1004
1358 = (1358 ) = B 4
= ....6
3456
2 1728
1728
2 = (2 ) = 4 = ....6
5235 = 5232.523 = (522)16. C 8 = D 4 16. C 8 = E 6 . C 8 = ...8
204208 = (2042)104 = M 6 104 = ....6

9 9 . Nhận xét: 99 là số lẻ ⇒ 9 9 có tận cùng là 9.
4 5 . Nhận xét: Ta thấy 5 6 là số lẻ ⇒ 4 5 = ....4
996 = (92)48 = ....1
81975 = 81974.8 = (82)987.8 = ....4 2n+1.8 = ....4 .8 = ....2
[1]
Bài toán 22: Tìm chữ số hàng đơn vị của A = 172008 -112008 -32008
Giải
2008
2008
2008
2 1004
Ta có A = 17 -11 -3 = (17 ) - ....1 - (32)1004 = ....9 1004 - ....1 - ....9 1004
= ....1 - ....1 - ....1 = ....9 . Vậy A có chữ số tận cùng là 9.
Bài toán 23: Tìm chữ số tận cùng của :
[1]
a) 37101
b) 20162017
c) 359 5
d) 20032004
Giải
101
100
4 25
a) Ta có 37 = 37.37 = 37.(37 ) = 37. ....1 25 = 37. ....1 = ....7
b)Ta có 20162017=2016.20162016=2016. (20162)1008=2016. ....6 1008=2016 ....6 = ....6 .
c) 359 5 . Ta có 5 7 = 5.5.5.....5 là số lẻ
Đặt 5 7 = 2k+1 ⇒ 359 5
= 3592k+1 = 3592k .359 = (3592)k .359 = ....1 k . 359
= ....1 .359 = ....9
2005

2004
d) 2003
. Ta có 2004 chia hết cho 4.
Đặt 20042005 = 4k ⇒ 20032004 = 20034k = (20034)k = ....1 k = ....1
Ở bài tập 16,17,18 chủ yếu ta vận dụng các kiến thức về số tận cùng đã nêu
trong phần kiến thức cơ bản.
Dạng 4.2:Tìm 2 chữ số tận cùng
Kiến thức cơ bản
+ ...01 n = ...01 ;
...25 n = ...25 ;
...76 n = ...76 ;
+ Các số 410; 165; 184; 242; 684 ; 742 có tận cùng bằng 76
+ Các số 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng bằng 01
9

9

67

9

67

67

7

7 2014

7 2014

2005

2014

2014

7 2014

2005

2005

Trong trang này: Bài toán 21; 22; 23 phát triển từ TLTK số

[1]

Bài toán 24: Tìm hai chữ số tận cùng của 5151; 9999; 6666 ; 14101 .16101

[1]

13


Giải
51

50

2 25

Ta có: 51 = 51 .51 = (51 ) .51 = ...01 25. 51 = ...01 .51= ...51
Ta có :9999 = 9998.99 = (992)49.99 = ...01 49.99 = ...01 .99 = ...99
Ta có: 6666 = 6665.6 = (65)123 .6 = ...76 .6 = ...56
14101 .16101 = (14.16)101 = 224101 = 224100.224 = (2242)100.224 = ...76 .224 = ...24
Bài tập trên đã vận dụng các kiến thức cơ bản về hai chữ số tận cùng nêu
trên, việc vận dụng là không khó mà chỉ cần học sinh nhớ các thức và thực hiện
rất đơn giản.
[8]
Bài toán 25: Tìm chữ số tận của A = 5+52+53+54 +.....+594 +595+ 596.
Giải
2
3
4
94
95
96
Ta có A = 5+5 +5 +5 +...+5 +5 + 5 nên 5A = 52+53+54 +...+595+ 596+ 597
Do đó 5A - A = (52+53+54 +...+595+ 596+ 597) - (5+52+53+54 +...+594 +595+ 596)
5 97 − 5
4
97
97
vì 5 = ....5 ⇒ 5 - 5 = ...5 - 5 = ...0 . Vậy A có chữ số tận cùng là 0
⇒ 4A = 597 - 5 .Suy ra A =

Bài toán trên phải tính giá trị của A được một kết quả là một lũy thừa, từ lũy
thừa này tìm được số tận cùng của 597- 5. Từ đó sẽ tìm được số tận cùng của A.
Bài toán 26: Tìm 2 chữ số tận cùng của:
a) 512k; 512k+1 (k∈ N * )

b) 992n ; 992n+1 ; 99 99
c) 65n ; 65n+1; 6 66 [1]
Giải
2k
2 k
k
a) Ta có 51 = (51 ) = ...01 = ...01 và 512k+1 = 512k.51 = ...01 k. 51 = ....51 .
b) Ta có 992n = (992)n = ...01 n = ...01
992n+1 = 992n.99 = (992)n .99 = ...01 n.99 = ....99
9999 là số lẻ ⇒ 99 99 là số có dạng 992n+1 ⇒ 99 99 có tận cùng là 99.
c) Ta có 65n = (65)n = ...76 n = ...76
65n+1 = 65n .6 = (65)n .6 = ...76 n .6 = ...76 .6 = ...56
66 chia cho 5 dư 1 nên 6 66 là số lẻ ⇒ 6 66 có dạng 65n+1 và 65n .6 = (65)n .6 =
...76 n .6 = ...76 .6 = ...56
Cách làm bài tập trên cũng như bài tập 21, riêng các bài toán về lũy thừa
tầng thì nhận xét phần lũy thừa trước, phần lũy thừa là chẵn hay lẻ sau đó vận
dụng các bài tập trên để chỉ ra số tận cùng.
Bài toán 27: Tìm 2 chữ số tận cùng của 22003. [1]
Giải
20
2 10
10
Ta có 2 = (2 ) = 4 = ...76
nên 22003 = 22000.23 = 22000.8 = (220)100.8 = ...76 100. 8 = ...76 .8 = ....04
Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 04.
Trong bài toán trên và các bài tập yêu cầu tìm 2 chữ số tận cùng ta cũng có thể
thay câu hỏi của bài ra bằng cách tìm chữ số hàng chục của 2 2003 thì nội dung
cách làm vẫn không thay đổi, lúc đó chữ số hàng chục là chữ số 0.
99

99

66

99

66

Trong trang này: Bài toán 24; 26; 27 dựa vào TLTK số

66

[1] ; bài toán 25 tham khảo từ TLTK số [8] .

Dạng 4.3: Tìm 3 chữ số tận cùng

14


n

n

Kiến thức cơ bản:
...376 n = ...376
...001 = ...001 ;
...625 = ...625 ;
Bài toán 28: Tìm 3 chữ số tận cùng của :
a) 52000 ;
b) 23n.47n

c) 23n+3.47n+2
d) 2001n +23n.47n +252n [1]
Giải
a) Ta có : 52000 = (54)500 = 625500 = ...625 .
b)Ta có : 23n.47n = (23)n.47n = 8n.47n = (8.47)n = 376n = ...376 .
c) Ta có : 23n+3.47n+2 = 23(n+1). 47n+2 = 8n+1.47n+2 = 8n+1.47n+1.47 = (8.47)n+1.47
= 376n+1.47 = ...376 .47 = ...672
d) Ta có 2001n = ...001 ; 23n.47n = (23)n.47n = 8n.47n = (8.47)n = 376n = ...376
252n = (252)n = 625n = ...625
Do đó 2001n +23n.47n +252n = ...001 + ...376 + ...625 = ...002
Đối với các bài toán trên ta đã sử dụng các kiến thức nêu trên.
2.3.5. Dạng 5: Vận dụng lũy thừa để chứng minh các bài toán chia hết,
không chia hết
[ 6]
Bài toán 29: Cho M = 1725 +244 -1321. Chứng tỏ rằng M 10
Giải
25
24
2 12
Ta có 17 = 17 .17 = (17 ) .17 = ....1 . 17 = ....7
244 = ...6 ; 1321 = 1320.13 = (132)10.13 = ....1 . 13 = ...3
Suy ra M = ....7 + ...6 - ...3 = ...0 . Do đó M có chữ số tận cùng là 0 nên M 10
Bài toán 30: Chứng tỏ rằng : a) 7777197 – 3333163 chia hết cho 10
b)

2 4n+ 2 + 1
là một số tự nhiên ( n ∈ N)
5

[ 6]

c) 175 + 244 – 1321 chia hết cho 5

Giải
a) Ta có 7777 =7777 .7777= (77774)49 .7777= ....1 49 .7777 = ....1 . 7777 = ....7
3333163 = 3333160.33333 = (33334)40. ....7 = ....1 40. ....7 = ....1 . ....7 = ....7
suy ra 7777197–3333163 = ....7 - ....7 = ....0 . Vậy 7777197–3333163 chia hết cho 10
197

b) Để chứng minh

196

2 4n+ 2 + 1
là một số tự nhiên, ta chứng minh tử chia hết cho
5

mẫu, nghĩa là 24n+2 +1chia hết cho 5.
Thật vậy, ta có 24n+2 +1=24n.22 +1= (24)n.4+1=16n.4+1= ....6 .4 +1= ....4 +1 = ...5 .
suy ra 24n+2 +1 chia hết cho 5. Điều này chứng tỏ

2 4n+ 2 + 1
là số tự nhiên.
5

c) Ta có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (242)2 - (134)5.13
= ...1 .17 + ...6 2 - 13. ...1 5 = ....7 + ...6 - ...3 = ....0
có tận cùng là 0 nên 175 + 244 – 1321 chia hết cho 5
Bài toán 31: Chứng tỏ rằng : a) A = 2 2 -1 chia hết cho 5 ( n ∈ N; n ≥ 2)
b) B = 2 4 +4 chia hết cho 10 ( n ∈ N; n ≥ 1)

c) C = 5 4 +375 chia hết cho 1000 ( n ∈ N*)
n

n

n

Trong trang này: Bài toán 28 dựa vào TLTK số

[1] ; bài toán 29; 30,31 tham khảo từ TLTK số [ 6] .

[ 6]

Giải

15


a) Ta có A = 2 2 -1 = ( 2 4 ) 2 - 1 = 16 2 - 1 = ....6 - 1 = ...5 . Vậy A chia hết cho 5
b) Ta có B= 2 4 +4 = ( 2 4 ) 4 +4 = 16 4 +4 = ....6 + 4 = ...0 . Vậy B chia hết cho 10
n

n−2

n−2

n −1

n

n −1

c) Ta có C = 5 4 +375 = ( 5 4 )
+ 375 = 6254n-1 +375 = ...625 +375 = ...000 .
Vậy C chia hết cho 1000.
Bài toán 32: Chứng minh rằng A= 9999931999 - 5555571997 chia hết cho 5. [ 5]
Giải
Để chứng minh A chia hết cho 5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng cách xét chữ
số tận cùng của từng số hạng.
Ta có: 31999=(34)499.33=81499.27 = ....1 .27= ....7 . Nên 31999 có chữ số tận cùng là 7.
71997 = (74)499.7 = ....1 499 . 7 = ....1 . 7 = ....7 . Nên 71997 có chữ số tận cùng là 7.
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 0. Do đó A chia hết cho 5
Trong bài toán trên đã sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa.
Đồng thời sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 5 và 10. Còn ở câu c ta phải tìm 3
chữ số tận cùng của biểu thức C từ đó chỉ ra C chia hết cho 1000 nhờ có tận
cùng là ...000
Bài toán 33: Cho biểu thức M = 405n + 2405 + m2 ( với m,n ∈ N; n ≠ 0)
Chứng tỏ rằng M không chia hết cho 10. [ 6]
Giải
n
405
4 101
101
Ta có 405 = ...5 ; 2 = (2 ) .2 = ....6 . 2 = ....6 . 2 = ....2
m2 có chữ số tận cùng khác 3. Suy ra M có chữ số tận cùng khác 0.
Vậy M không chia hết cho 10.
Đối với bài toán trên ta đã sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một lũy
thừa, nhận xét về bình phương của một số tự nhiên không có tận cùng là 3. Từ
đó chỉ ra số M không chia hết cho 10 dựa vào chữ số tận cùng.
Bài toán 34: Tìm các số tự nhiên n để n10 +1 chia hết cho 10. [ 6]

Giải
10
10
⇒
Để n +1 chia hết cho 10
n = (n5)2 có tận cùng bằng 9
⇒ n5 có tận cùng bằng 3 hoặc 7. Nên suy ra n có tận cùng bằng 3 hoặc 7.
Bài toán 35: Chứng minh rằng:
a) 76 + 75 – 74 chia hết cho 11
b) 10100 + 1099 + 1098 222
c) 2454 . 5424 . 210 chia hết cho 7263
d) 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 chia hết cho 6
(n nguyên dương) [ 9]
Giải
6
5
4
4
2
a) Ta có 7 + 7 – 7 = 7 (7 + 7 – 1) = 74 (49 + 7 – 1) = 74 . 55 = 74 . 5. 11 11
b) Ta có 10100 + 1099 + 1098 = 1098(102 +10+1) = 1098 .111
= 1097 .2.5 = 5.1097.222 222
c) Ta có 7263 = (8.9)63 = (23.32)63 = 23.63 . 32.63 = 2189 . 3126
2454 = (3.8)54 = (3. 23)54 = 354 . 23. 54 = 354 . 2162
n

4 n −1

Trong trang này: Bài toán 32 tham khảo từ TLTK số
24

24
3 24
24

[ 5] . Bài toán 33; 34 dựa vào TLTK số [ 6] ; bài toán 35 tham khảo từ TLTK số [ 9] .

54 = (2.27) = (2.3 ) = 2 . 33.24 = 224. 372
Do đó: 2454 . 5424 . 210 = 354 . 2162 . 224 . 372 . 210 = 2162 + 24 + 10 . 354 + 72 = 2196 . 3126

16


= 27 . (23)63 . (32)63 = 27 . (8.9)63 = 27 . 7263 7263. Vậy 2454 . 5424 . 210 7263
d) Ta có 3n + 3 + 2n + 3 +3n + 1 + 2n + 2 = (3n + 3 + 3n + 1) + (2n + 3 + 2n + 2 )
= 3n + 1 (32 + 1) + 2n + 2 (2 + 1) = 3n+1 . 10 + 2n + 2 . 3
= 3n.3.2.5 + 2n +1 .2.3 = 3n . 5 . 6 + 2n +1 . 6 = (3n . 5 + 2n + 1) . 6 6
Vậy (3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 ) 6
Bài toán 36: Cho M= 3 + 32 + 33 + 34 +....+ 399 + 3100 . Chứng tỏ M 40. [10]
Giải
2
3
4
99
100
Ta có: M= 3+3 +3 +3 +....3 +3
= (3 + 32 + 33 + 34) + (35+36 + 37+38)+....+ (397 + 398 + 399 + 3100)
= 3.(1+3+32 + 33) + 35.(1+3+32 + 33) + .....+397. (1+3+32 +33 )
= 3.40 + 35 . 40 + 397. 40 = (3+35+....+397) . 40 40
Trong 2 bài toán chia hết trên ta biến đổi các tích để xuất hiện các thừa số
cần chia hết. Đồng thời sử dụng các công thức về lũy thừa, sử dụng tích chất

chia hết của một tích.
2.3.6. Dạng 6: Tìm số các chữ số của một lũy thừa.
Bài toán 37: Tìm các chữ số của các số A, B, C sau:
[ 6]
a) A = 416 . 525
b) B = 163 . 155
c) C = 22017 . 143 .251008
Giải
16
25
2 16
25
32
a)Ta có A = 4 . 5 = (2 ) . 5 = 2 . 525 = 27. (225.525) = 128.1025
Số 128.1025gồm 128 và theo sau là 25 chữ số 0 nên số A có 28 chữ số.
b) Ta có B = 163 . 155 = (24)3.(3.5)5 = 212. 35. 55 = 35.27.(25.55)
= 243.128.105 = 31104.105
Số 31104.105 gồm 31104 và theo sau là 5 chữ số 0 nên B có 10 chữ số
c) Ta có C = 22017 . 251008 . 143 = 22017. (52)1008.(2.7)3
= 22017.52016.23.73 = 24.73 (22016.52016) = 16.343 (2.5)2016 = 5488.102016
Số 5488.102016 gồm 5488 và theo sau là 2016 chữ số 0 nên C có 2020 chữ số.
Bài toán trên ta đã phân tích các lũy thừa thành các thừa số nguyên tố, nhóm
để xuất hiện cơ số 10. Từ đó lập luận để chỉ ra xem số đó có bao nhiêu chữ số
căn cứ vào số đứng trước kèm theo 10n ( n thuộc số tự nhiên).
2.3.7. Dạng 7: Sử dụng lũy thừa trong bất đẳng thức và bất đẳng thức kẹp.
[ 2]
Bài toán 38: Tìm x ∈ N biết: a) 16x < 128 b) 5x. 5x+1 . 5x+2 ≤ 1018: 218
Giải
x
4 x

7 4
a) Ta có 16 =(2 ) và 128 = (2 ) suy ra 16x < 128 ⇒ 24x <228 ⇒ 4x < 28 ⇒ x < 7
Vậy x ∈ { 0;1;2;3;...6}
x
x+1
x+2
b) 5 . 5 . 5 ≤ 1018: 218. Ta có 5x. 5x+1.5x+2 = 5x. (5x. 5).(5x.52) = 53x. 53 = 53x+3
và 1018: 218 = (10:2)18 = 518
Do đó 5x. 5x+1. 5x+2 ≤ 1018: 218 ⇒ 53x+3 ≤ 518 ⇒ 3x+3 ≤ 18 ⇒ 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5
Vậy x ∈ { 0;1;2;3;4;5}
Trong trang này: Bài toán 36 dựa vào TLTK số

[10] ;bài toán 37 tham khảo từ TLTK số [ 6] .bài toán 38 tham khảo từ TLTK số [ 2] .

Bài toán 39: Tìm số nguyên dương thỏa mãn:
a) 128 < 2n < 512 b) 32 < 2n ≤ 1024
c) 9 ≤ 3n < 243
d) 25 ≤ 5n ≤ 125
Giải

[ 2]

17


a) Ta có 128 <2n < 512 ⇒ 27 < 2n < 29 ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8(vì n nguyên dương)
b) Ta có 32 < 2n ≤ 1024 ⇒ 25 < 2n ≤ 210 ⇒ 5 < n ≤ 10 ⇒ n = 6;7;8;9;10 (vì n
nguyên dương)
c) Ta có 9 ≤ 3n < 243 ⇒ 32 ≤ 3n < 35 ⇒ 2 ≤ n< 5 ⇒ n =2;3;4 (vì n nguyên dương)
d) Ta có 25 ≤ 5n ≤ 125 ⇒ 52 ≤ 5n ≤ 53 ⇒ 2 ≤ n ≤ 3 ⇒ n =2;3 (vì n nguyên dương)

[ 2]
Bài toán 40: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n100 < 7150
Giải
100
2 50
150
3 50
100
Ta có n =(n ) ; 7 =(7 ) . Để n < 7150 ⇒ (n2)50 < (73)50 ⇔ n2 < 73 ⇔ n2< 343
Vì n thuộc Z và n lớn nhất nên n = 18
Bài toán 41:Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn :
[ 2]
a) 318 < n12 ≤ 208
b) 332 < n24 < 536
Giải
12
18 ⇒
2 6
3 6 ⇔
a) Ta xét n > 3
(n ) > (3 )
(n2)6 > 276 ⇒ n2 > 27
Do n nguyên nên n > 5
(*)
12
8
3 4
2 4
⇒
⇔

Lại xét: n ≤ 20
(n ) ≤ (20 )
(n3)4 ≤ 4004 ⇒ n3 ≤ 400
Vì n nguyên nên n ≤ 7
(**)
Từ (*) và (**) suy ra 5 < n ≤ 7 . Vậy n = 6;7
b)Ta xét n24 > 332 ⇒ ( n3)8 > (34)2 ⇔ n3 > 34 ⇔ n3 > 81.
Mà n nguyên nên n > 4
(*)
24
36 ⇒
2 12
3 12 ⇔
Tiếp tục xét n < 5
(n ) < (5 )
(n2)12 < 12512 ⇔ n2 < 125
Do n nguyên nên -11 ≤ n ≤ 11 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 4< n ≤ 11. Vậy n = 5;6;7;8;9;10;11.
Trong bài toán trên đã biến đổi đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng
số mũ rồi lập luận xét từng vế để tìm n bằng bất đẳng thức kẹp.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với hoạt động giáo dục : Học sinh nắm vững được các phương pháp giải
của từng dạng bài, khi giải các em không còn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ. Nhờ
các phương pháp trên đã giúp cho các em sáng tạo khi học và giải toán. Biết
cách định hướng và giải các bài toán một cách ngắn gọn. Học sinh phát huy
được trí lực của bản thân và có những lúc các em phát triển được bài toán mới.
Đặc biệt trong số các em tôi bồi dưỡng từ chỗ các em ngại gặp dạng toán này
đến nay một số em đã ham muốn tìm tòi các bài toán này và giải được các bài
toán rất khó và vận dụng rất linh hoạt khi giải.

Với bản thân: Tôi cảm thấy tự tin hơn trong công tác giảng dạy, trong
công bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi về luỹ thừa.
Có thể mở rộng hơn sang các phần kiến thức khác trong toán học.
Trong trang này: Bài toán 39; 40; 41 tham khảo từ TLTK số

[ 2] .

Với nhà trường: Chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ngày càng được nâng
lên. Kết quả trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện đạt kết quả cao. Các bài
toán về luỹ thừa học sinh đều đạt điểm tối đa.
[1]
Ví dụ 1: Tìm số tận cùng của tổng sau: 2014 2015
2016

18


[ 2]
Ví dụ 2: So sánh 259 và 1017
2
3
Ví dụ 3: Cho S = 1+ 3+3 +3 +...+330. [10]
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương ?
Kết quả cụ thể đối với các em mà tôi bồi dưỡng sau một thời gian tôi nhận
thấy :
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL

TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
12
46.2
11
42.3
3
11.5
0
0
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.
Bài toán về lũy thừa là các dạng toán thường gặp trong chương trình toán
6,7 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo
khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu,
tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn
đề này.
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toán liên
quan đến lũy thừa thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài toán
liên quan đến lũy thừa và biết cách giải cụ thể của các dạng toán.
Tóm tắt các nội dung, giải pháp đã vận dụng để nâng cao chất lượng:
Thực hiện phép tính, tìm thành phần chưa biết, so sánh hai lũy thừa, tìm số tận
cùng, vận dụng lũy thừa để chứng minh các bài toán chia hết, không chia hết,
tìm số các chữ số của một lũy thừa, sử dụng lũy thừa trong bất đẳng thức và bất

đẳng thức kẹp.
Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức,
nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản
thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu
các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình. Đề tài này còn
giúp giáo viên và học sinh phân dạng được các bài toán về lũy thừa từ đó có kết
quả cao hơn trong giảng dạy và học tập.
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác ôn tuyển sinh và
bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu,
tìm tòi và sáng tạo.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu
tham khảo. . . tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Hy vọng nội dung
“Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh” làm một
Trong trang này ví dụ 1 tham khảo từ TLTK số

[1] .ví dụ 2 tham khảo từ TLTK số [ 2] .ví dụ 3 tham khảo từ TLTK số [10] .

kinh nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao
năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các bài toán về lũy thừa cho học
sinh.

19


Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong
được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp.
3.2. Kiến nghị.
Đối với nhà trường: Nên thường xuyên tổ chức các chuyên đề nhóm về luỹ
thừa, để trao đổi kiến thức chuyên môn, để thống nhất về phương pháp giảng

dạy, cách thức tổ chức bồi dưỡng, tìm thêm những bài toán hay về luỹ thừa.
Đối với phòng giáo dục: Trong các năm học tiếp theo thường xuyên tổ chức
các chuyên đề, hội thảo, mỗi chuyên đề, hội thảo chỉ đi sâu vào một chủ đề kiến
thức
trọng tâm của chương trình thì hiệu quả sẽ cao hơn, có thể tổ chức liên trường để
tập trung và phát huy được trí tuệ, kinh nghiệm của nhiều người.
Đối với sở giáo dục:
-Với những sáng kiến có chất lượng cao có thể đóng thành tập san gửi về các
phòng giáo dục, để triển khai tới các nhà trường.
-Với đề và đáp án thi học sinh giỏi cấp tỉnh nên gửi về các phòng giáo dục để sử
dụng làm tài liệu học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thạch Thành, ngày 6 tháng 4 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY.
Tác giả

Lê Thị Mai
.

20