SKKN rèn luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG CƠ HỌC VẬT LÝ 10

Người thực hiện: Lê Thị Hoa
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Vật ly

THANH HOÁ NĂM 2019
1


MỤC LỤC
Nội dung
1.Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2. Nội dung.
2.1. Cơ sở lý luận.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề.
2.3.1. Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin,
cosin trong tìm cực trị chuyển động.

2.3.1.1. Lý thuyết.
2.3.1.2. Bài tập vận dụng.
2.3.1.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị khi sử dụng
công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác.
2.3.2 . Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học.
2.3.2.1. Bất đẳng thức Cauchy.
2.3.2.2 Bài tập vận dụng.
2.3.2.3. Kết luậnvà các bước để giải một bài toán cực trị sử dụng
bất đẳng thức Cauchy .
2.3.3.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
2.3.3.2. Bài tập vận dụng
2.3.3.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất
đẳng thức Bunhiacopxki
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai.
2.3.4.1. Tam thức bậc hai.
2.3.4.2. Bài tập vận dụng.
2.3.4.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng tam
thức bậc hai.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm được hội đồng giáo dục xếp loại
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

Trang
1
1
1

1
1
2
2
2
3
3
3
4
10
10
10
10
11
12
12
15
15
15
15
16
16
17
19
20

2


Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của

tự nhiên và nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là
toán học. Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ
toán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơn
trong các ngành khoa học khác.Trong chương trình trung học phổ thông việc sử
dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là điều không thể thiếu. Nhưng việc
lựa chọn phương pháp nào với bài toán khó như bài toán cực trị trong cơ học
vật lí 10 luôn là vấn đề khó.
Cực trị trong cơ học là phần khó trong dạy học chương trình phổ thông
cũng như ôn luyện hoc sinh giỏi. Các em rất ngại khi làm phần bài tập này.
trong khi giải quyết bài toán về cực trị trong cơ học, học sinh thường lúng túng
khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao,
học sinh phải có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này
thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp
giải cụ thể nào.
Nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất hơn các hiện tượng vật lí, có
cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong vật lí 10 cũng như có
phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước giải cụ thể phù
hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Rèn luyện kĩ năng giải nhanh
các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài“ Rèn luyện kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học
vật lí 10” nhằm giúp các em hiểu, cũng như biết các bước làm khi sử dụng từng
phương pháp giải các bài toán cực trị trong cơ học vật lý 10: sử dụng bất đẳng
thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận
tốc kết hợp với sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác. Để từ đó các
em có nhìn tổng quát và biết cách nhận diện xử lý tốt các bài toán cực trị trong
cơ học vật lí 10.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10.
1.4. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm tôi đã sử dụng phương pháp:
PP nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; PP điều tra khảo sát thực tế, thực
nghiệm sư phạm.

2. Nội dung
2.1. Cơ sở ly luận
3


Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại
lượng vật lí nào đó, các dạng bài tập xác định khoảng cách, thời gian hay vận
tốc lớn nhất hay nhỏ nhất của các vật trong chương trình vât lí 10. Muốn có một
phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu: công thức toán
học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức
bậc hai, định lí hàm số sin, cosin trong tam giác và công thức cộng vận tốc.
1. Bất đẳng thức Cauchy:
a + b ≥ 2 ab ( a, b dương).
a + b + c ≥ 3 3 abc ( a, b, c dương).
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
2. Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a1b1 + a2b2 ) 2 ≤ (a1 + a2 ) 2 (b1 + b2 ) 2
a1 b1
Dấu bằng xảy ra khi a = b
2
2

3. Tam thức bậc hai:
y = f ( x) = ax 2 + bx + c

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol.
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol.
Tọa độ đỉnh: x = −

b
∆
; y=−
( ∆ = b 2 − 4ac ).
2a
4a

4. Định ly hàm Sin, cos trong tam giác.
+ Định ly hàm Sin:Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:

B

a
b
c
=
=
S in A SinB SinC

+ Định ly hàm Cos :
Cho ∆ABC bất kỳ ta có:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A

A

C

b 2 = c 2 + a 2 − 2ac.cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C
+ Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: Sin(90 0 − α ) = Cosβ với α + β = 90 0
(cos α ) max = 1 ⇔ α = 0
(sin α ) max = 1 ⇔ α = 900 .

5. Tính tương đối của vận tốc.
Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau.
- Công thức cộng vận tốc



v13 = v12 + v 23
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

4


Trước khi áp dụng sáng kiến với các em học sinh lớp 10, đặc biệt với các
em học sinh giỏi: hầu như các em không làm được và không định hướng cách
làm với các bài toán cực trị lớp 10. Trong thực tế chưa có một hệ thống phương
pháp nào về dạng toán cực trị trong cơ học 10, các bài toán này thường khó khi
gặp các bài tập này các em ngại làm. Và giáo viên không dạy hệ thống các
phương pháp và thường bỏ qua các dạng toán này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề
Để làm tốt các bài toán về cực trị trong cơ học 10 tôi làm sáng kiến : “Rèn

luyện kĩ năng giải nhanh các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10 ”. Trong đó
nêu lên các phương pháp sau: sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức
Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc kết hợp với sử dụng
định lí hàm số sin, cosin trong tam giác.
Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm
hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí 10, qua
đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng
phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
2.3.1. Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin trong tìm
cực trị chuyển động
2.3.1. 1. Lý thuyết
2.3.1.1.1. Tính tương đối của toạ độ
Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ khác nhau.
2.3.1.1.2. Tính tương đối của vận tốc
Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau.
- Công thức cộng vận tốc



v13 = v12 + v 23


v13 : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

v12 : vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

v 23 : vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)


v13 = −v31



v12 = −v 21


v 23 = −v32

Hệ quả:
 
- Nếu v12 , v13 cùng phương ,cùng chiều thì độ lớn:

v13 = v12 + v 23
 
- Nếu v12 , v13 cùng phương, ngược chiều thì độ lớn: v13 = v12 − v 23
 
- Nếu v12 , v13 vuông góc với nhau thì độ lớn:
v13 = v122 + v 232
 

- Nếu v12 , v13 tạo với nhau một góc α thì độ lớn: v13 = v122 + v 232 + 2v12 v23 cos α
2.3.1.1.3. Kiến thức toán học:
+ Định lí Pitago:
Cho ∆ABC vuông tại A. Ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2

B

A

C
5

(H-1)


+ Hàm số lượng giác của góc nhọn:
Theo (H-1):
AC
AB
AC
AB
; CosB =
; tgB =
; CotgB =
BC
BC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
SinC =
; CosC =
; tgC =
; CotgC =
BC
BC
AC
AB
SinB =

(1)

+ Định ly hàm Sin:
Cho ∆ ABC bất kỳ ta có:
a
b
c
=
=
S in A SinB SinC

B
(H-2)

(2)

+ Định ly hàm Cos :
Cho ∆ABC bất kỳ ta có:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A

A

C

b 2 = c 2 + a 2 − 2ac.cos B (3)
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C
+ Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: Sin(90 0 − α ) = Cosβ với α + β = 90 0
(cos α ) max = 1 ⇔ α = 0
(sin α ) max = 1 ⇔ α = 900 .

2.3.1.2 Bài tậpvận dụng
Bài 1. Hai xe chuyển động trên hai đường vuông góc với nhau, xe A đi về hướng
tây với tốc độ 50km/h, xe B đi về hướng Nam với tốc độ 30km/h. Vào một thời
điểm nào đó xe A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt 4,4km và 4km
và đang tiến về phía giao điểm. Tìm khoảng cách ngắn nhất giũa hai xe.
Giải.
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so
với vật 2, ta có:



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

Đoạn BH vuông góc với đường thẳng chứa

véc tơ vận tốc v12 chính là khoảng cách
ngắn nhất giữa hai xe → dmin= BH
v

3

2
tan α = v = 5 → α = 59 0 , β = 310
1
dmin= BH = BI. sin β = (BO - OI) sin β =
(BO - OA.tan α ).sin β = 1,166(km)
Bài 2. Từ hai bến A, B trên cùng 1 bờ sông
V2

có hai ca nô cùng khởi hành. Khi nước sông
V1
không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca A
B
nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ
A→ B có V1 = 24km/h. Còn chiếc ca nô chạy
từ B vuông góc với bờ có vận tốc 18km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi
khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu

6


nếu nước chảy từ A → B với V3 = 6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi).
[1]
Giải
Theo đề bài ta có hình vẽ.
Do dòng nước chảy từ từ A →B với
vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động
xuôi dòng vận tốc của nó là :
= 24 + 6 = 30km/h
- Canô 1 xuất phát từ B nhưng do bị nước
đẩy ta có hướng của vận tốc V2' như hình vẽ.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông B V2' V3 ta được :
V2'2 = V22 + V32 = 182 + 62 = 6 10 km/h

Ta áp dụng tính tương đối của vận tốc cho bài toán này. Canô 1 đi từ A→B
với vận tốc Vx nhưng ta tưởng tượng rằng coi như canô 1 đứng yên và điểm B
chuyển động với vận tốc V 'X với V 'X = Vx còn hướng của V 'X ngược chiều với Vx.
Do đó canô 2 mặc dù chuyển động theo hướng V2' nhưng khi chọn mốc là canô1
thì hướng chuyển động của canô lúc này là V 21 hợp với AB góc α. Từ đây dễ

dàng suy ra khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 canô có độ lớn bằng độ dài của đoạn
AH ⊥V21
Ta sẽ tính AH trong tam giác vuông AHB
Có Sinα =

AH
AB

⇒ AH = AB Sinα (1)

Mặt khác xét trong tam giácvuông BV2V21
Có :V 221 = V 22 +(VX' − V3 ) 2 = 182 + (30 – 6)2 = 900
⇒ V21 = 30km/h
V2
18
= 0,6 (2)
Và Sin α = V =
30
21

Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sinα = 1.0,6 = 0,6(km)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là
7


0,6km.
Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình chuyển động. Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau. Về bản
chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi
theo thời gian. Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1

hàm của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Còn bài 2 ta
cũng có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh
tham khảo. Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc
và hình học. Đó là vật 1 chuyển động nhưng ta coi là đứng yên do đó vật 2 sẽ
chuyển động so với vật, 1 còn khoảng cách ngắn nhất giữa hai 2 vật thì dựa vào
hình học phải là đoạn thẳng vuông góc với hướng chuyển động của vật 2.
Bài 3. Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với
tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v 1= 30km/h, v2= 20km/h. Tại thời điểm
khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s 1=500m. Hỏi lúc đó
vật 2 cách giao điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu. [2]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

-Tại A cách O đoạn s1=500m dựng véc tơ



v1 và véc tơ - v 2 , và v12 . Kẻ đường AB

vuông góc với đường thẳng chứa véc tơ v12
( Theo đề bài đây là khoảng cách ngắn nhất
dmin= AB)
v

2

1
tan α = v = 3
2

⇒ BO =

0A
= 750(m)
tan α

Bài 4. Hai vật chuyển động thẳng đều trên
hai đường thẳng tạo với nhau một
góc α =300 với tốc độ v 2 =

v1
3

và

đang hướng về phía giao điểm, tại
thời điểm khoảng cách giữa hai vật
nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm
một đoạn d1= 30 3 m. Hỏi vật 2
cách giao điểm một đoạn bao nhiêu?
[3]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so 2 ta có




 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2

BA ⊥ v12 , dmin = AB

8


Vì v 2 =

v1
3

nên chứng minh được α = β = 30 0

Hạ đường AH ⊥ BO
AH = AO.sin300 = d1.sin300 =15 3 (m)
HO = d1.cos300 = 45 (m)
BH =

AH
= 45m ⇒ BO=d2= 90(m)
tan 30 0

Bài 5. Có hai vật M1 và M2 lúc đầu cách
nhau một khoảng l =2m (Hình vẽ), cùng lúc
hai vật chuyển động thẳng đều M1 chạy về B
với tốc độ
v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ

v2=5m/s . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa
hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách
này. Biết góc tạo bởi hai đường α = 45 0 . [4]
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so vật
2, ta có:



 
v12 = v1 + ( −v 2 ) = v1 − v 2
dmin = AH = AB.sin β

v21= v12 + v 22 + 2v1v2 cos(180 0 − α ) =
v12 + v 22 + 2v1v 2 cos α

- Áp dụng định lí hàm sin, ta có:
BM
BN
BN
=
=
0
sin β sin(180 − α ) sin α
v2
v
v
= 12 ⇒ sin β = 2
sin β sin α
v12

lv 2 sin α
⇒ d min =
= 0,5( m)
2
v1 + v 22 + 2v1v 2 cos α
⇒

BH= v12 .t ⇒ t =

2
l 2 − d min
BH
=
= 0,138(s)
v12
v12

Bài 6.
Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chảy với
vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông bên
này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên kia.
Cho AC; CB = a. Tính vận tốc nhỏ nhất của
thuyền so với nước mà người này phải chèo để
có thể tới B. [5]
Giải:
  
Ta có v1 = vo + v12 . Ta biểu diễn các véc tơ vận
tốc trên hình vẽ
9





Vì vo không đổi nên v12 nhỏ nhất khi v12 ⊥ v1 ⇒
V12= vo.sin α =

v0 b
a 2 + b2

*/ Nhận xét:
Các bài toán trên hoàn toàn có thể giải theo cách thiết lập phương trình,
rồi sau đó lí luận theo hàm bậc hai về mặt toán học, tuy nhiên lời giải khá dài
hơn
Bài 7.
Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v 1 =
54km/h. Một hành khách cách ô tô đoạn a =
400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô
tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với
vận tốc nhỏ nhất là bao nhiêu để đón được ô tô?
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 2 so
vật 1, ta có:



 
v 21 = v 2 + (−v1 ) = v 2 − v1



Để 2 gặp được 1 thì v 21 phải luôn có
hướng AB.

Véc tơ vận tốc v 2 có ngọn luôn nằm trên
đường



Xy // AB. ⇒ v 2 khi v 2 ⊥ xy , tức là v 2 ⊥ AB.
Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD , ta có:
v 2 v1
d
= ⇒ v 2 = v1 = 10,8km / h
d
a
a

* Nhận xét : Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc của
người chạy để đón ô tô. Sau đó dựa vào biểu thức để tìm A
giá trị nhỏ nhất của vận tốc.
Bài 8. Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. v1
B
Chúng chuyển động cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn
H
lần lượt là v1, v2. Tàu A chuyển động theo hướng AC tạo với
AB góc α (hình vẽ).
a. Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A.
C

Sau bao lâu kể từ
b. lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
A
c. Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với v1 )
v21
thì các độ lớn vận tốc v1, v2 phải thỏa mản điều kiện gì?
v1
Giải:
β B
H
a. Tàu B chuyển động với vận tốc v2 hợp với BA góc β .
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v1.t, BM = v2.t
θ v2 v1
- Trong tam giác ABM:
M

α

AM

BM

vt

vt

+ sin β = sin α ⇔ sin1 β = sin2 α
10

⇔ sin β =

v1
sin α
v2

(1)

- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với BA một góc β thỏa mãn (1)
- Cos θ = cos[1800 – ( α + β ) ] = - cos( α + β ) = sin α . sin β − cos α . cos β
- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là v21 . Tại thời điểm ban đầu v21 cùng
phương chiều với BA . Theo công thức cộng vận tốc:
v21 = v23 − v13 = v2 − v1

=> v = v22 + v12 − 2v2v1 cos θ
=> v = v22 (sin 2 β + cos 2 β ) + v12 (sin 2 α + cos 2 α ) − 2v1v2 (sin α . sin β − cos α . cos β )
=( sin β .v 22 − 2 sin α sin β .v1v 2 + sin 2 α .v12 )+( cos 2 β .v22 + 2 cos α cos β .v1v2 + cos 2 α .v12 )
=( sin β .v2 − sin α .v1 ) 2 +( cos β .v2 + cos α .v1 ) 2
= ( cos β .v2 + cos α .v1 ) 2
( theo (1) )
=> v21 = v1. cos α + v2 cos β
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
2
21
2
21
2

AB

l

t = v = v cos α + v cos β
21
1
2
b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì:
β + α = 90 0 ⇒ β = 90 0 − α ⇒ sin β = sin(90 0 − α ) = cos α
v1
v2
Theo (1) ta có: cos α = v sin α ⇔ tan α = v
2
1

Bài 9:Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc .
Biết
AO = 20km; BO = 30km; Góc α = 600 . Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất
giữa chúng trong quá chuyển động? [7]
Giải:
O
Xét tại thời điểm t : Vật A ở A’
A’
A
Vật B ở B’
α
Khoảng cách d = A’B’
γ
d

AO − vt

BO − vt

Ta có: sin α = sin β = sin γ

β

d
BO − AO
10
=
=
sin α sin γ − sin β sin γ − sin β
B’
d
10
B
⇔
=
0
sin α 2 cos β + γ .sin β − γ với β + γ = 120
2
2
0
10sin 60
5 3
⇒d =
⇒d =
γ −β
γ −β

2 cos 600.sin
sin
2
2
γ −β
) =1
⇒ d min = 5 3(cm)
Nhận xét: dmin ⇔ (sin
2
⇒

11


2.3.1.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị khi sử dụng công thức
cộng vận tốc kết hợp các công thức lượng giác
Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức
lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán
chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường.
Phương pháp này có nét đặc trưng chính hình thành các bước giải cụ thể như
sau :
r
Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau v12 qua biểu thức vectơ
cộng vận tốc.
Bước 2 : Dựa
r vào phương chiều của các vecto vận tốc thành phần để xác định
độ lớn của v12
Bước 3. Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12 .
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy giải bài toán cực trị cơ học
2.3.2.1. lý thuyết về bất đẳng thức Cauchy

a + b ≥ 2 ab Với a,b ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi a=b
a1 + a2 + ....+ an ≥ n n a1a2...an Với a1,a2, .....,an ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an
2.3.2.2. Bài tập vận dụng
uu
r
Bài 1. Một vật khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm với vật
uu
r
m2 đang đứng yên. Sau va chạm vật m 1 chuyển động với vận tốc v1' ,vật m2
uu
r
uu
r
uu
r
v1'
'
chuyển động với vận tốc v2 . Hãy xác định tỉ số
để góc lệch α giữa v1 và v1'
v1
uu
r
đạt giá trị cực đại. [8]
P1 '
Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:
Áp dụng định luật
r bảo
uu

r toàn động lượng ta có :
ur
uur uu
r uu
r uu
α
(1)
P1
PT = PS ⇔ P1 = P1' + P2'
Động năng hệ vật bảo toàn :
r
uu
r
uu
r uu
m1v12 m1v1' 2 m2v'22
'
P2 '
(2)
Gọi α = (v1,v1) .
=
+
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có: P2'2 = P1'2 + P12 − 2P1'P1cosα
(3)
2
'2
'2

P1
P
P
m
= 1 + 2 ⇒ P12 − P1'2 = 1 P2'2 (4)
2m1 2m1 2m2
m2
 m2  P1  m2  P1'
Từ (3) và (4) suy ra:  1−
÷ ' +  1+
÷ = 2cosα.
 m1  P1  m1  P1
 m  v  m  v'
⇔  1− 2 ÷ 1' +  1+ 2 ÷ 1 = 2cosα.
 m1  v1  m1  v1
Để Max thì (cos)min .Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái (5):
12


 m2  v1  m2  v1'
m12 − m22
 1−
÷ ' +  1+
÷ ≥2
m1
 m1  v1  m1  v1
 m2  v1  m2  v1'
v1'
m1 − m2
1

−
=
1
+
=
=> (cos)min khi: 
với m1>m2
÷ ' 
÷ =>
v1
m1 + m2
 m1  v1  m1  v1
v1'
m1 − m2
=
Vậy
với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại .
v1
m1 + m2
Bài 2. Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, một chiếc xe khởi hành từ A
chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a1 =1m/s2 sau đó chuyển động chậm dần
đều với gia tốc có độ lớn a2 =2m/s2 và dừng lại ở B .Tính thời gian ngắn nhất để
xe đi từ A đến B.
Giải.
Gọi s1 ,s2 là quãng đường xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2
t1,, t2 là thời gian xe đi trong hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2
ta có

t1 =

2s1
a1

;

2s2
a2

t2 =

tổng giời gian xe đi
t= t1 + t2 =

2 s1
2 s2
+
a1
a2

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
2 s1
2 s2
2 s1s2
+
≥2
a1
a2
a1a2

Để thời gian xe đi là ngắn nhất thì
s1 s2
s
a
1
= ⇒ 1 = 2 = (1)
a1 a2
s2 a1 2

Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy ra s1= 66,67m, s2 = 33,33m
Vậy t = 15,63 s
2.3.2.3. Kết luậnvà các bước để giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng
thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ
học. Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định
hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức
Cauchy như sau:
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân
số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại
là hằng số.
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn
điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không.
Đó là điều kiện các số hạng là không âm a 1,a2, .....,an ≥ 0 và tích của chúng là
không đổi a1.a2......an = const
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán.
13


Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.

2.3.3. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
2.3.3.1. Lý thuyết vê bất đẳng thức Bunhiacopxki
(ax+by) ≤ (a +b )(x +y )
Dấu “=” xảy ra khi : =
(ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z)
Dấu “=” xảy ra khi : = =
2.3.3.2. Bài tập vận dụng
r
Bài 1. Cho cơ hệ như hình vẽ:
F
m
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2.
α
M
Hệ số ma rsát giữa M và m là k1.
Tác dụng một lực F lên M theo phương hợp với phương ngang một góc α .
Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.Tính góc α tương ứng? [8]
Giải:
r

r

r

r

+ Xét vật m: P1 + N1 + Fms 21 = ma (1).
y
r
Fms12

r
N1

r
N2
r
P1

r
Fms

r
F

r
Fms 21

α

O

x

r
P2

Chiếu lên Ox: Fms21= ma ⇒ a1 =

Fmn 21

m

Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 ⇒ N1 = P1
⇒ Fms21= k1.N1 = k1.mg
k1mg
= k1 g . Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1g.
m
r r r r
r
r
r
+ Xét vật M: F + P2 + P1 + N 2 + Fms12 + Fms = (M + m)a2 .
⇒ a1 =

F cos α − Fms12 − Fms
M +m
Chiếu lên Oy: F sin α − ( P1 + P2 ) + N 2 = 0 ⇒ N 2 = P1 + P2 − F sin α
Ta có: Fms12 = k1mg

Chiếu lên trục Ox: F cos α − Fms12 − Fms = ( M + m)a2 ⇒ a2 =

Fms = k2 N 2 = k2 ( P1 + P2 − F sin α )
F cos α − k1mg − k2 ( P1 + P2 − F sin α )
⇒ a2 =
M +m
F cos α − k1mg − k 2 ( P1 + P2 − F sin α )
Khi vật trượt a1 ≤ a2 ⇒ k1 g ≤
M
⇔ k1 gM ≤ F (cos α + k2 sin α ) − k1mg − k2 ( P1 + P2 )

14


(k1 + k 2 ) Mg + (k1 + k 2 )mg (k1 + k 2 ) Mg + (k1 + k 2 )mg
=
cos α + k2 sin α
y
Nhận xét: Fmin ⇔ ymax . Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
⇒F≥

y = (cos α + k2 sin α ) 2 ≤ (12 + k 22 )(cos 2 α + sin 2 α ) = 1 + k 2 2

⇒ ymax = 1 + k2 2 .
(k1 + k2 ) Mg + (2k1 + k2 )mg

Vậy

⇒ Fmin =

Lúc đó:

sin α k2
= ⇒ tgα = k2
cos α 1

1 + k2 2

Bài 2. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể
quanh một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực F min, dưới góc
α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ

và sàn là k.
Giải : Các lực tác dụng được biểu trên hình
y
r
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên
F
r
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
x
N
Tức là:
O•
α
Fms − F cosα = 0
Trong đó : Fms =k.N

Fsinα + N − P = 0
r
Fms
kmg
kmg
P
F
=
=
Từ hệ phương trình trên ta có :
cosα + ksinα
y
=> F đạt min khi y đạt max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

y = cosα + ksinα ≤ (1+ k2)(cos2α + sin2 α) = 1+ k2
1
k
=
⇔ tgα = k
Dấu ‘=’ xảy ra khi
cosα sinα
kmg
Vậy Fmin =
khi tgα = k
1+ k2
Bài 3. Kéo một vật lên đều trên mặt u
rphẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma
sát k. Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo F và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo là
cực tiểu.[5]
Giải:
u
r ur Ápu
r dụng
u
r định
r luật II Newton ta có :
P + N + F + F ms = 0(1)
Chiếu (1) lên Ox:
− Psinα − kN + F cosβ = 0 (2)
Chiếu (1) lên Oy: − Pcosα + N + Fsinβ = 0 (3)
x

β

y
O

α

15


Psinα + kPcosα
ksinβ + cosβ
Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi.
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
ksinβ + cosβ ≤ (k2 + 1)(sin2 β + cos2β) = (k2 + 1)
k
1
=
Dấu ‘=’ xảy ra khi
<=> tgβ = k
sinβ cosβ
Psinα + kPcosα
Khi đó Fmin =
k2 + 1
Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo
và mặt nghiêng thỏa mãn: tgβ = k
Bài 4. Hai ôtô cùng chuyển động từ A và B hướng tới điểm O trên hai đường
v1
thẳng hợp nhau một góc α=300 với vận tốc v2 =
.Hãy xác định khoảng cách
3
nhỏ nhất giữa hai ôtô. Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách

d1=60km, d2=40km.
Giải :
O
Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có:
d d1 − v1t d2 − v2t
α
=
=
.
sinα sinγ
sinβ
γ
β
A'
B'
r
v1
d d1 − v1t 3d2 − v1t
v
=
=
=
v1
Lại có: 2
=>
sinα sinγ
3
3sinβ
A •
Từ (2) và (3) ta có : F =

r
v2

B
d
3d2 − d1
=
.
sinα
3sinβ − sinγ
Theo bài ra ta có:  γ 
3
sin β= cos γ 
sinγ
2
d
3d2 − d1
3d2 − d1
3d2 − d1
=
=>
d
=
=
=> sin300
(1)
y
3
1

3cosγ + sinγ
cosγ + sinγ
2
2
Từ (1): dmin khi ymax
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: y ≤ (3+ 1) + (sin2 γ + cos2γ ) = 2.

=>

ymax = 2 <=>

sinγ 1
=
= tgγ => γ = 300 và β= 1200 .
cosγ
3
16


3d2 − d1
≈ 4,64 km.
2
2.3.3.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki rất ít được sử dụng trong các bài tập vật lí.
Ở các bài toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta
thấy bài toán được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu. Đối tượng áp dụng ở đây
chủ yếu là các bài toán cơ học. Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki không được đưa ra rõ ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta
thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x

+y ) phải bằng hằng số. Cụ thể các trường hợp trên ta thấy xuất hiện
cos2α + sin2 α = 1 .
Các bước giải bài toán loại này:
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số
trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là
hằng số.
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất
hiện cos2α + sin2 α = 1.
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài
toán.
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 2.3.4. Vận
dụng tam thức bậc hai.
2.3.4.1. Tam thức bậc hai
Cho hàm y = f (x) = ax2 + bx + c
+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol
b
−∆
+ Tọa độ đỉnh : x = - ; y =
(∆ = b2 - 4ac)
2a
4a
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm kép
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2.3.4.2. Bài tập vận dụng
Bài 1. Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A. Người đó phải tới được điểm B
trên bờ hồ trong khoảng thời gian ngắn nhất. Cho biết khoảng cách từ B tới bờ
hồ là d , khoảng cách AH=S ,vận tốc người đi trên bờ hồ là v 1 , vận tốc người
bơi trong nước là v2 (v1 > v2 ). Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A tới B:
Bơi thẳng từ A tới B hay đi một đoạn nào đó trên bờ sau đó bơi ra B?

Giải:
- Giả sử người đã đi theo đường gấp khúc ADB
như hình vẽ.
Vậy dmin= =

•B

d
A•

S•
D

H
x

17


Thời gian để đi đoạn ADB là :
d2 + x2 v1 d2 + x2 − v2x S
S− x
y
S
t=
+
=
+ =
+ (1)
v1

v2
v1v2
v1 v1v2 v1
Để t min thì y phải đạt min.
2yv2x v12d2 − y2
2
2
2
Từ (1) ta có : y = v1 d + x − v2x <=> x − 2 2 + 2 2 = 0 (2)
v1 − v2
v1 − v2
Phương trình (2) có nghiệm khi :
∆ ' ≥ 0 ⇔ y2 + d2(v22 − v12) ≥ 0 ⇔ y2 ≥ d2(v12 − v22)
v2d
Vậy ymin = d v12 − v22 khi x = 2 2
v1 − v2
Nếu x≥S thì cần phải bơi thẳng đến B
Nếu x≤S thì phải đi trên bờ một đoạn AD=S-x, sau đó mới bơi về B .
2.3.4.3. Kết luận và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng tam thức bâc
hai
Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai được dùng khá phổ biến trong cả
chương trình nên học sinh không quá khó khăn khi tiếp cận phương pháp này.
Đặc điểm của phương pháp là yêu cầu tính cẩn thận và các bước làm rõ ràng:
Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị về hàm bậc 2 của biến x
Bước 2: Dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai để suy ra cực trị ví dụ
như nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol,nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
Bước 3. Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : “Rèn luyện kĩ năng giải nhanh

các bài toán cực trị trong cơ học vật lí 10” thử nghiệm giảng dạy đối với khối
lớp 10 tại đơn vị công tác, tôi nhận thấy trong giờ học các em học sinh đã hình
thành phương pháp làm và có định hướng khi làm bài tập về cực trị trong cơ
học.
Để tiến hành kiểm chứng kết quả đạt được của đề tài, chọn lớp 10A1 làm
lớp thực nghiệm áp dụng đề tài và lớp 10A2 là lớp không được áp dụng đề tài
làm lớp đối chứng (hai lớp có trình độ tương đương). Sau khi giảng dạy xong
bài học ở hai lớp tôi đều cho các học sinh làm một bài kiểm tra 15 phút với nội
dung là các câu hỏi thực tế liên quan tới bài học (những câu hỏi này không có
trong nội dung của bài dạy tôi đã soạn). Với nội dung câu hỏi như sau(trong thời
gian là 15 phút):
18


Bài 1. Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O trên
hai đường thẳng hợp nhau một góc 60 0 . Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất
giữa hai con tàu . Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách d 1=60km,
d2=40km.
Bài 2. Một vật trượt từ đỉnh dốc, cho trước l, góc α có thể thay đổi được. Vận
tốc ban đầu bằng 0. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k. Mặt phẳng
nghiêng là đứng yên. Tính α để thời gian đi từ đỉnh dốc tới chân dốc là nhỏ nhất.
Tính t khi đó?

α
l

Và kết quả như sau
Số học sinh đạt điểm ni
Sĩ số
0 ≤ ni < 3,5 3,5 ≤ ni < 5 5 ≤ ni < 6,5 6,5 ≤ ni < 8 8 ≤ ni ≤ 10

Lớp
Thực
0
0
9
16
20
nghiệm 45
0%
0%
20,0%
35,6%
44,4%
(10A1)
Đối
0
21
15
7
3
chứng 46
0
45,7%
32,6
15,2%
6,5%
(10A2)
Qua bảng kết quả thu được tôi nhận thấy các em có sự chuyển biến về kiến thức
và cả kĩ năng. Ngoài ra tư duy của các em về hiện tượng vật lý cũng tốt hơn.
3. Kết luận, kiến nghị

3.1. Kết luận
Hệ thống các phương pháp khi làm các bài toán cực trị trong cơ học vật lí
10 trên đây đã giúp học sinh rèn luyện kĩ năng và nâng cao tư duy có cách
nhìn bao quát hơn về các dạng bài tập cực trị điển hình trong chương trình vật lí
trung học phổ thông. Đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quý
thầy cô để đề tài được mở rộng, phát triển và có hiệu quả hơn.
3.2. Kiến nghị: - Với nhà trường :Phần cực trị trong cơ học THPT là phần khó
với học sinh, cần tổ chức thêm các họp tổ chuyên môn về đề tài này để đưa ra
các phương pháp làm tốt nhất và phát triển tìm cực trị trong điện học và nhiệt
học.
Đề tài không tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự góp ý của
các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
19


Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác

Lê Thị Hoa

Danh mục tài liệu tham khảo
[1] Đề thi vào chuyên lý Hùng Vương-Vĩnh Phúc năm 2014.
[2] Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Văn Tiến - Nguyễn Thành Tương.
Giải toán Vật lí 10 (tập I,), NXB Giáo dục, 2001.

[3] Vũ Thanh Khiết. Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tậpI), NXB Hà
Nội , 2003.
20


[4] Vũ Thanh Khiết. Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tậpI), NXB Hà
Nội , 2003.
[4] Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ngệ An năm 2004-2005.
[5] Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Văn Tiến - Nguyễn Thành Tương.
Giải toán Vật lí 10 (tập I,), NXB Giáo dục, 2001.
[6] Tham khảo trên mạng internet.
[7] Vũ Thanh Khiết. Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tậpI), NXB Hà
Nội , 2003.
[8] Tham khảo trên mạng internet.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

21


Họ và tên tác giả: Lê Thị Hoa
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thọ Xuân 4
Kết quả
Cấp đánh giá
đánh giá
TT
Tên đề tài SKKN

xếp loại
xếp loại
1.

Một số kiến giải về máy biến
áp

Sở giáo dục và
đào tạo thanh
hóa

c

Năm học
đánh giá
xếp loại
2012-2013

22