Tong hop Cac bai Toan Cuc Tri trong cac Ki thi HSG MonToan 9 THCS pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.67 KB, 6 trang )

Sổ tự học tự bồi dỡng
Ngày 29/8/2011.
Các bài Toán cực trị
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
22
4
)1(
1
x
x
+
+
với
0x
.
Bài 2. Cho P
zyxyxx ++

+
=
111
2
1
. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá
trị dơng nhỏ nhất.
Bài 3. Cho A
1
)1(2
2

2
+
++
=
x
xx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá
trị tơng ứng của x.
Bài 4. Cho hàm số
9612
22
+++= xxxxy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng
ứng của x.
Bài 5. Cho M
1815143 +++= xxxx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị t-
ơng ứng của x.
Bài 6. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với
mọi số thực x:
A =
.)3()2)(1(
2
mxxx +++
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1
78
2
2
+

++
=
x
xx
.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
18216
23
++= xxx
, với
.1
2
1
x
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:
2
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+ zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của xyz.

Bài 10. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y
13
2
++= xx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
4
24
2
++ xx
x
.
Bài 11. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:

=+
=++
4343
632
zyx
zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 2x + 3y 4z.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
yx +
khi có
4
22

=+ xyyx
.
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất
Bài 14. Cho biểu thức Q
1997321
1 111 xxxx ++++=
trong đó
1
x
,
2
x
,
3
x
,,
1997
x
là
các biến số dơng và thoả mãn điều kiện
1
1997321
=++++ xxxx
. Tìm giá trị lớn nhất của Q và
giá trị tơng ứng các biến của nó.
Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
yxM
+

++=
1
.
Bài 16. Cho các số thực không âm
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
a
,
5
a
có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A
.
54433221
aaaaaaaa +++=
Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh
Sổ tự học tự bồi dỡng
17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
bxax
A
))(( ++

=
(với x > 0).
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
62
2
+= xxy
với
1

x
.
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
15 += xxA
.
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
442522
22
+++= xxxxy

Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xx
y
1
1
2
+

=
với 0 < x < 1.
Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A

404208
22
++++= xxxx
.
Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.4
21
22
xy
xy
yx
M ++
+
=
.
Bài 24. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
.
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzxzyzyx +
+
+

+
+
=
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
.1414 ++= xxxx

Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
.200542425
22
++++= yxxyyx
Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất
? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
abc
bacacbcba
M
3
))()(( +++
=
.
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x
y
2
4
=
.
Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =

5,2004232 ++ xyxyx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) =
2
21
2
xx
x
+
.
Bài 31. Cho x, y thoả mãn điều kiện
1
22
=+ yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức:
.
66
yxM +=
.
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
.200233
22
+++ yxyxyx
Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện:
1=++ zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức A =
.)1(
2

xyyzz +++
Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức:
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
.
4224
yx
y
yx
x
+
+
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
3
1
3
2
2

+
++
x
x
.
Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh
Sổ tự học tự bồi dỡng
Bài 36. Tìm giá trị của x, y để biểu thức
463211426
2222
++++++++ yyxxyyxx
. Đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
M
2005= xx
.
Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
22
22
yxyx
yxyx
+
++
=
. Với x, y > 0.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
9 xx =

. Với
33

x
.
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xx += 5413
. Với
.51

x
Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
34
2
+
+
=
x
x
y
.
Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
c
c
b
b
a

a 411
+

+

=
. Với
.51

x
Bài 42. Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình:
0
12
4612
2
22
=++
m
mmxx

)0( >m
. Tìm m
để biểu thức A
3
2
3
1

xx +=
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
A
xx += 5413
. Với
.51

x
Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
25 xx =
. Với
.55

x
Bài 44. Cho
04)(4)(3
2233
=++++++ yxyxyx
và
0. >yx
. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
M
yx
11
+=
Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
22
2

5
22
+++= xxxx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
6
44
++

=
yx
yx
Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y
54183
22
++++= xxxx
.
Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xy
yx
4
51
22
+
+
=
.
Bài 48. Cho
1

22
=+ yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)2)(2( yx
.
Bài 49. Cho hai số dơng
x
,
y
thỏa mãn điều kiện:
2011
2010
=+ yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S =
yx .2010
12010
+
.
Bài 50. a) Cho hai bộ số (a
1
; a
2
) và (b
1
; b
2
) bất kì.
Chứng minh rằng:

))(().(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa +++
Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh
Sổ tự học tự bồi dỡng
b) Cho
0, yx
và
1
22
=+ yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
33
yx +=
.
Bài 51. Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:

=+
=+++
622
36432
222
2222
dba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2222
dcba +++
.
Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A =
y
y
x
x
2
1

+

B. Hớng dẩn Giải:
Bài 1. Ta có: A =
1
1
2
1
21
2

1
21
2)21(
)1(
1
2
242
2
42
242
22
4

+
=
++
=
++
++
=
+
+

x
x
xx
x
xx
xxx
x
x
.
Mặt khác:
[ ] [ ]
222222242444
)1(
2
1
)1()1(
2
1
)21()21(
2
1
)22(
2
1
1 xxxxxxxxx +++=++++=+=+
Do đó A
2
1

.

Bài 2. Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:
Với
*
, Nba
. Chứng minh rằng:
ba
11

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
1
+=
ab
.
Chứng minh:
Ta có:
ba
11

đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
b
1
phải đạt giá trị lớn nhất nhng nhỏ hơn
a
1
.
Từ đó suy ra
b
phải nhỏ nhất nhng phải lớn hơn
a
.

Mặt khác: Vì
*
, Nba
nên chỉ có thể
1
+=
ab
(đpcm)
Giải:
Ta có: P
zyxyxxzyxyxx ++

+

=
++

+

=
111
2
1111
2
1
.
áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
zyx ++
1
phả lớn nhất
và

+

yxx
11
2

1
phải nhỏ nhất nhng lớn hơn
zyx ++
1
.

+

yxx
11
2
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
yx +
1
đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1

2
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn
yx +
1
.
Do vậy có
x
1
2
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
3=x
.
Khi đó
6
11
2
1
=
x
và
yx +

1
6
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
47 ==+ yyx
.
Khi đó
42
1
7
1
6
111
2
1
==

+

yxx
và

zyx ++

1
42
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
3643 ==++ zzyx
.
Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh
Sổ tự học tự bồi dỡng
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
1806
1
43
1
42
1
=
.
Bài 3. Ta có: A
1
1
)1(
1
1
)12()1(
1
222
1
)1(2

2
2
2
22
2
2
2
2

+
+
+=
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
.

Mặt khác: A
3
1
)1(
3
1
)12()1(3
1
222
1
)1(2
2
2
2
22
2
2
2
2

+

=
+
++
=
+
++
=
+

++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán.
Bài 4. Ta có:
31)3()1(9612
2222
+=+=+++= xxxxxxxxy

22)3()1(31 ==++= xxxx
.
Dấu = Xảy ra
310)3)(1( xxx
.
Bài 5. Ta có: M
22
)41()21(1815143 +=+++= xxxxxx

2)14()21(14214121 =++=+= xxxxxx
.
Dấu = Xảy ra
1754120)14)(21( xxxx
.

Bài 6. Ta có: A =
[ ]
22222
)2.(1)2()2)(34()3()2)(1( ++=+++=+++ xxxxxxxx

4
1
4
1
2
1
)2(
2
1
2
1
)2(
2
1
2
1
)2(
2
222

+=

++

+= xxx

Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1.
Bài 7. Ta có: y
078)1(78
1
78
222
2
2
=+++=+
+
++
= yxxyxxyyx

x
xx
(*)
+) Nếu
.101 == yy
Khi đó phơng trình (*) trở thành:
4
3
068 == xx
+) Nếu
.101 = yy
Khi đó phơng trình (*) là một phơng trình bậc hai có:

'

=
25)4(98)7)1(16)'(
222
+=++== yyyyyacb
.
Để phơng trình (*) có nghiệm thì
'
222
5)4(025)4(0 + yy

.91545 yy
Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9.
Bài 8. Giả sử
.1
2

1
21
< xx
Khi đó
++= )18216(
1
2
1
3
1
2
2
2
1
xxxyy
)18216(
2
2
2
3
2
++ xxx

[ ]
21)(6)()()(21)(6)(
21
2
221
2
12121

2
2
2
1
3
2
3
1
++++=+= xxxxxxxxxxxxxx
Vì:
[ ]
6)1212236(21)(6)(2
2
2
2
12121
2
2
2
121
2
221
2
1
++++++=++++ xxxxxxxxxxxxxx

06)6(
2
2
2

1
2
21
>++++= xxxx
(1)
Và
0
21
< xx
(vì ta giả sử
21
xx <
) (2)
Từ (1) và (2)

)(0
21
2
2
2
1
xfyyyyy =<<
là hàm số đồng biến.

3494
4
1
)1(
2

1

yfyf
.
Bài 9. Ta có:

+
+

+

+

+
+
+
+
+ zyxzyx 1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1

z
z
y
y
x +
+
+

+

111
1
(*)
Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh
Sổ tự học tự bồi dỡng
áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho hai số dơng
y
y
+1
và
z
z
+1
ta có:

)1)(1(
2
11 zy
yz
z
z
y
y
++

+
+
+
(**)