SKKN các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ

f '( x )

Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

MỤC LỤC

THANH HÓA NĂM 2019
1


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3.Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị

Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 17
Trang 18

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán.
y = f ¢( x )
f ( x)
Giữa hàm số
và đạo hàm của
có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.
2


Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài

việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồ
f '( x )

f ( x)

thị. Việc đưa vào đồ thị của
để tìm ra tính chất của hàm số
cho ta
những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của
hàm số

f ¢( x)

và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và

một số tính chất khác của hàm số

f ( x)

. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Các bài
f ¢( x)

toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số
”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.

- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến
đồ thị của đạo hàm.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5.
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.
- Dùng hình ảnh trực quan được vẽ từ phần mềm [10].
- Áp dụng trong các bài toán trong các đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học
2017-2018 [3].
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực,
sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những
phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp
dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy
học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh
chuyển từ thụ động sang chủ động.
Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích
lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính
chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Để học sinh
f ¢( x )

hiểu về các dạng bài toán đồ thị của
. Tôi đã phân dạng và các bài tập
minh họa, sau đó là bài toán thực tế trong các đề thi thử của các trường trong
năm học 2017-2018.
3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trìnhtoán
giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn
các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn
chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường
gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số

f ¢( x )

f ( x)

từ đồ thị học sinh

tìm ra các tính chất của hàm số
hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị
hàm số, hay tìm số nghiệm phương trình....
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”
đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành
thạo.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số:
Bài1:Hàm số
y = f ¢( x )

A.
C.

1.

trên

y = f ( x)

K

K

liên tục trên khoảng

, biết đồ thị của hàm số
y = f ( x)

như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số
B.

3.

D.

2.

trên

K

.

4.

Giải:

y = f ¢( x )

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
cắt trục
Ox
tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị
y = f ¢( x)

tiếp xúc với trục

Nhận xét:
a)

Xét một thực
số

a

y = f ( x + a)

Ox

. Ta chọn đáp án B.

dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm ố cực trị của hàm

hoặc

y = f ( x - a)

Chú ý số cực trị của các hàm số

trên

k

thì đáp án vẫn không thay đổi.

y = f ( x) y = f ( x + a )

,

và
x0

y = f ( x - a)

bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị
khác nhau.
b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:

4

là

Hàm số

y = g ( x)

số

y = f ( x)

K

là một nguyên hàm của hàm số

y = g ( x)

trên

trên

K

K

và có đồ thị như hình vẽ. Biết

y = f ( x)

. Tìm số cực trị của hàm

.

y = f ( x)

Bài 2:Hàm số
y = f ¢( x )

liên tục trên khoảng

liên tục trên khoảng

K

, biết đồ thị của hàm số

như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số

g ( x) = f ( x +1)

trên

K

?
A. 0.

Giải:

B. 1.

C. 2.

D. 3.

g ¢( x) = f ¢( x +1)

y = f '( x )

Ta có
có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số
theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số
g ¢( x) = f ¢( x +1)
y

vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.

x

O

Bài 3:Cho hàm số
K

trên khoảng
như hình vẽ. Khi đó trên
điểm cực trị?
A. 1.B. 4.C. 3.D. 2.

Giải:

5

K

f ( x)

, hàm số

có đồ thị

y = f ( x − 2018 )

f ′( x)

của nó

có bao nhiêu


Đồ thị hàm số

g ¢( x ) = f ¢( x +1)

là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

phương trục hoành nên đồ thị hàm số
chọn đáp án A.
Bài 4:Cho hàm số

f ( x)

f ′( x)

xác định trên

như hình vẽ . Hàm số
điểm cực trị?
A. 1.
B.2.
Giải:
Cách 1:

f ¢( x - 2018)

k

f ′( x)

theo

vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta

và có đồ thị của hàm số

y = g ( x) = f ( x) + 4 x

có bao nhiêu

C. 3.

D.4.

y ¢= g ¢( x ) = f ¢( x ) + 4

có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị
f ¢( x)
Oy
hàm số
theo phương
lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số
chọn đáp án A.
Cách 2:

g ¢( x)

Số cực trị của hàm

của phương trình

Bài 5:Cho hàm số

A.
Giải:

B.

số

g ¢( x)

2018

2017

f ¢( x )

y = f ( x)

ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.

liên tục trên

2.

2017 - 2018 x
2017

C.

3.

y ¢= g ¢( x ) = f ¢( x ) -

Ta có

bằng số nghiệm bội lẻ

¡

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y = g ( x) = f ( x ) +

1.

g ( x)

g ¢( x ) = f ¢( x ) + 4 = 0 Û f ¢( x ) =- 4

Dựa vào đồ thị của hàm
y = f '( x )

cắt trục hoành tại 1 điểm, ta

có bao nhiêu cực trị?
D.

2018
2017

4.

. Suy ra đồ thị của hàm

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

đơn
6

theo phương

Oy

xuống dưới


1<

vị.Ta có
số

g ¢( x)

2018
<2
2017

và dựa vào đồ thị của hàm số
hàm

, ta suy rađồ thị của

cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.

Bài 6:Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ. Đặt
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Giải:

Cách 1:

y = f ¢( x)

g ( x)

g ( x)
g ( x)
g ( x)

. Biết

f ( x)

có đạo hàm

g ( x ) = f ( x +1)

có hai điểm cực trị.
đồng biến trên khoảng

f ¢( x )

và hàm số

. Kết luận nào sau đây đúng?

( 1;3)

nghịch biến trên khoảng

.

( 2;4)

.

có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

éx +1 = 1
ê
g ¢( x ) = f ¢( x +1) = 0 Û êx +1 = 3 Û
ê
êx +1 = 5
ë

é
1 < x +1 < 3
g ¢( x ) = f ¢( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
x
+

1
>
5
ë

Ta chọn đáp án C.

7

y = f ¢( x)

éx = 0
ê
êx = 2
ê
êx = 4
ë

é0 < x < 2
ê
ê
ëx > 4


Cách 2:Đồ thị hàm số
y = f ¢( x)

g ¢( x) = f ¢( x +1)

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.

Ta thấy trên khoảng
hoành nên hàm số
Bài7:Cho hàm số
và hàm số

g ( x)

x = 2.

A.
Giải:

Cách 1 :

đồ thị hàm số

g ¢( x) = f ¢( x +1)

nghịch biến trên khoảng

y = f ( x)

y = f ¢( x )

g ( x ) = f ( x - 1)

( 2;4)

. Biết

f ( x)

( 2; 4)

có đạo hàm

nằm bên dưới trục

, ta chọn đáp án C.

f ¢( x)

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
x = 4.
x = 3.
x = 1.
B.
C.
D.

éx - 1 = 1
ê
g ¢( x ) = f ¢( x - 1) = 0 Û êx - 1 = 3 Û
ê
êx - 1 = 5

ë

é
1< x - 1<3
g ¢( x) = f ¢( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
x
1
>
5
ë

8

éx = 2
ê
êx = 4
ê
êx = 6
ë

é2 < x < 4
ê
ê
ëx > 6


Ta chọn đáp án B.
Cách 2 : đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

g ¢( x) = f ¢( x - 1)

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
g ¢( x) = f ¢( x - 1)

Đồ thị hàm số

x = 2; x = 4; x = 6

cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ

và giá trị hàm số

g ¢( x )

đổi dấu từ dương sang âm khi qua

điểm
x=4
. Ta chọn đáp án B.
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc so sánh các giá trị của
y = f ( x)

dựa vào đồ thị hàm số

hàm số

Bài 1:Cho hàm số
hàm số

y = f ′( x)

f ( x)

lớn nhất

của

f ( x)

m = f ( 0 ) , M = f ( 5) .

A.

f ′( x)

.

. Đồ thị của

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 )

M

có đạo hàm là

y = f ′( x)

. Tìm giá trị nhỏ nhất

trên đoạn

m = f ( 1) , M = f ( 5 ) .

C.

[ 0;5] ?

B.
D.

m

và giá trị

m = f ( 2) , M = f ( 0) .
m = f ( 2 ) , M = f ( 5) .

Giải:

min
f ( x) = f ( 2)
é ù
ê0;5û

ú
ë

và

f( 3) >

( 2) f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) ⇒

f ( 0 ) − f ( 5 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇒ f( 0) <

( 5)
9


Ta chọn đáp án D.
Bài 2: Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm là

nhất

và giá trị lớn nhất

M

m = f ( 4) , M = f ( 2) .

A.

D.

C.
Giải:

Dựa vào BBT ta có
Ta lại có:

của
B.

m = f ( 0) , M = f ( 2) .

M = f ( 2)

. Đồ thị của hàm số

f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3)

cho như hình vẽ bên. Biết rằng
m

f ′( x)

f ( x)

trên đoạn

[ 0; 4] ?

y = f ′( x)

được

. Tìm giá trị nhỏ

m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .
m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .

, GTNN chỉ có thể là

f ( 0)

hoặc

f ( 4)

f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2) Þ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2) Û 2 f ( 2) - f ( 1) - f ( 3) > 0

f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3) − f ( 1) > 0 ⇒ f ( 0 ) > f ( 4 ) .

Ta chọn đáp án A.
Bài 3:Cho hàm số
f ( a) > 0

y = f ( x)

. Phương trình

A.

2

nghiệm.

có đồ thị hàm số

f ( x) = 0

y = f ′( x)

như hình bên. Biết

có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
1

B. nghiệm.
3

4

C. nghiệm.

D. nghiệm.

10


Giải:

Từ đồ thị của hàm số

y

y = f '( x )

ta có bảng biến thiên như sau

f ′( x)

a

O

b

c

x

c

b

c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x)dx = ò f '( x ) dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a )
a

f ( a) > 0

f ( c) > 0 :

f ( c) = 0 :
f ( c) < 0 :

nên
PT
PT

f ( x) = 0

f ( x) = 0
f ( x) = 0

PT
Chọn đáp án: A

Bài 4:Cho hàm số
số
f ′( x)

a

b

. Do

vô nghiệm.
có 1 nghiệm.
có 2 nghiệm.

y = f ( x)

có đạo hàm

f ′( x)

liên tục trên

như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.

f ( a) > f ( b)
f ( a) > f ( b)
f ( a) < f ( b)
f ( a) < f ( b)

và
và
và
và

f ( c) > f ( a) .
f ( c) < f ( a) .
f ( c) > f ( a) .
f ( c) < f ( a) .

11

¡

và đồ thị của hàm


a

f ( a ) - f ( b) = ò f '( x )dx > 0 Û f ( a ) > f ( b ) .
b

Giải:
c

f ( c ) - f ( a ) = ò f '( x)dx < 0 Û f ( c ) < f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án B.

Bài 5: Cho hàm số
¡

trên

, có đồ thị của hàm số

vẽ sau. Đặt
đúng ?
A.

C.
Giải :
Ta có

y = f ( x)

g ( x) = f ( x) - x

xác định và liên tục
y = f '( x )

. Mệnh đề nào sau đây

g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) .

B.

g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) .

g ' ( x ) = f '( x ) - 1

như hình

g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) .
g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .

D.

. Ta vẽ thêm đường thẳng
1

1

- 1

- 1

y = 1.

ù
g ( 1) - g ( - 1) = ò g '( x )dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0

Ta có:
Þ g ( 1) < g ( - 1) .
Þ g ( 2) < g ( 1) .

2

2

1

1

ù
g ( 2) - g ( 1) = ò g '( x) dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0

Ta chọn đáp án B.

Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm s
Bài 1:Cho hàm số
y = g ( x ) = f (2 − x)

A.

( 1;3)
( −2;1)

C.
Giải:

y = f ( x) .

Hàm số

ố từ đồ thị hàm số

y = f '( x )

đồng biến trên khoảng
B.
D.

( 2; +∞ )

( −∞; −2 )

12

y = f ′( x)

có đồ thị như hình bên. Hàm số


é2 - x <- 1
g '( x ) =- f '( 2 - x) >Û f '( 2 - x) < 0 Û ê
Û
ê
1< 2- x < 4
ë

Ta có
Chọn đáp án C.
Bài 2:Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm trên

¡

thoả

f ( 2) = f ( - 2) = 0

y = f '( x )

của hàm số

có dạng như hình bên. Hàm số
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A.

æ 3ö
ç
- 1; ÷
÷
ç
÷.
ç
è 2ø

B.

( - 1;1) .

C.

Giải:Ta có
Ta có bảng biến thiên :

Þ f ( x ) < 0; " x ¹ ±2.

2

Xét

éf ( x) = 0
y'=0 Û ê

êf '( x) = 0 Û
ê
ë

y = ( f ( x) )

( - 2; - 1) .

éx = 1
f '( x ) = 0 Û ê
ê
ëx = ±2 Þ f ( 2) = f ( - 2) = 0

.

y = ( f ( x ) ) Þ y ' = 2 f ( x ) . f '( x )

éx = ±2
ê
ê
ëx = 1; x = ±2

Bảng xét dấu :

13

éx > 3
ê
ê
1 > x >- 2

ë

D.

và đồ thị

2

nghịch biến

( 1; 2) .


Chọn đáp án D.

y = f ( x)

Bài 3:Cho hàm số
như hình bên. Đặt
dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.

. Đồ thị của hàm số

g ( x) = 2 f ( x) + ( x + 1)2

g (1) < g (3) < g (−3)

g (1) < g ( −3) < g (3)
g (3) = g (−3) < g (1)

g (3) = g ( −3) > g (1)

y = f ′( x )

. Mệnh đề nào

.
.
.
.

Giải:
Ta có:

g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 2 ( x + 1) = 2  f ' ( x ) + ( x + 1)  ⇒ − g ' ( x ) = 2  − ( x + 1) − f ' ( x ) 

Ta vẽ đường thẳng

y =- ( x +1)

1

1

−3

−3

.

g ( −3) − g ( 1) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx > 0 ⇒ g ( −3) > g ( 1) .

14


3

3

1

1

g ( 1) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx < 0 ⇒ g ( 3 ) > g ( 1) .
3

1

3

−3

−3

1

g ( −3) − g ( 3 ) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx + 2 ∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx = 2S1 − 2 S 2 > 0
⇒ g ( −3 ) > g ( 3 )

Như vậy ta có:

g (1) < g (3) < g (−3)

Ta chọn đáp án A.

y = f ¢( x )

Dạng 4: Một số bài toán tìm cực trị liên quan đồ thị hàm số
Bài 1:Cho hàm số
Bất

x. f ( x ) > mx + 1

phương trình

A.

m ≥ f ( 1) − 1

Giải: Ta có
mọi
x ∈ ( 1; 2019 )

.B.

m ≥ f ( 2019 ) −

.C.

( 1; 2019 )
⇒ h ( x ) > h ( 1)
h ( x) > m

. Vì
nên

f ′( x) ≥ 0
h′ ( x ) > 0

với mọi
với mọi

có bảng biến thiên như hình dưới.

1
2019

nghiệm đúng với mọi

.Xét hàm số
1
x2

y = f ′( x )

nghiệm đúng với mọi

h ( x) = f ( x) −

x ∈ ( 1; 2019 )

Mà
Chọn B.

. Hàm số

m ≤ f ( 1) − 1

x. f ( x ) > mx + 1

h′ ( x ) = f ′ ( x ) +

mọi

y = f ( x)

1
x

với mọi
với mọi

x ∈ ( 1; 2019 )

x ∈ ( 1; 2019 )

với mọi

x ∈ ( 1; 2019 )

m ≤ f ( 2019 ) −

.D.

(dựa vào BBT) và

x ∈ ( 1; 2019 ) ⇒ h ( x )

với

1
>0
x2

với

đồng biến trên khoảng

m ≤ h ( 1) ⇔ m ≤ f ( 1) − 1

15

.

.Ta c

.

nên

1
2019

1
x ∈ ( 1; 2019 ) ⇔ f ( x ) − x > m

x ∈ ( 1; 2019 )

x ∈ ( 1; 2019 )

khi

.


Bài 2:Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm

nguyên dương của tham số
cực trị ?
A.

m

18.

Giải:Ta có :
kép.

f ′( x) = ( x + 1) 2 ( x 2 − 4 x )

để hàm số
B.

.Có bao nhiêu giá trị

g ( x) = f ( 2 x 2 − 12 x + m )

17.

C.

 x = −1
f ′( x ) = 0 ⇔ ( x + 1)2 ( x 2 − 4 x ) = 0 ⇔  x = 0
 x = 4

có đúng 5 điểm

16.

D.

,trong đó

x = −1

19.

là nghiệm

g ( x) = f ( 2 x 2 − 12 x + m ) ⇒ g ′ ( x ) = ( 4 x − 12 ) f ′ ( 2 x 2 − 12 x + m )

Xét

g ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 4 x − 12 ) f ′ ( 2 x 2 − 12 x + m ) = 0

(*)

x = 3
x = 3
 2
 2
2 x − 12 x + m = −1
 2 x − 12 x + m = −1 (l )

⇔
⇔
 2 x 2 − 12 x = −m
 2 x 2 − 12 x + m = 0
( 1)


2

2
 2 x − 12 x = 4 − m ( 2 )
 2 x − 12 x + m = 4

( Điểm cực trị của hàm số
phương trình

g ( x)

2 x 2 − 12 x + m = −1

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại

). Xét hàm số

y = 2 x 2 − 12 x

có đồ thị (C).

y ' = 4 x − 12

Ta có bảng biến thiên

Để

g ( x)

có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình
3

phân biệt khác .
16

( 1) ; ( 2 )

đều có hai nghiệm


Do đó mỗi đường thẳng

y = 4−m

y = −m

và

phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân

biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng
thẳng
Ta có:

y = −m

y = 4−m

luôn nằm trên đường

.

−18 < −m ⇔ m < 18

Bài3:Cho hàm số

. Vậy có

y = f ( x)

17

, hàm số

 5sin x − 1  ( 5sin x − 1)
g ( x) = 2 f 
+3
÷+
2
4



giá trị

m

y = f ′( x)

nguyên dương .

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

2

có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

( 0; 2π )

?

A.

9

.

7

6

B. .

C. .

Giải:

2

 5sin x − 1   5sin x − 1 
g ( x) = 2 f 
÷+ 

÷ +3
2
2

 


Ta có

17

8

D. .


cos x = 0

5cos x 
5sin x − 1 
5sin x − 1  



g′ ( x ) =
2 f ′
÷+ 2. 
÷ = 0 ⇔  2 f ′  5sin x − 1  + 2.  5sin x − 1  = 0
2 
2

2





÷

÷

2
2




t=

5sin x − 1
2

Đặt

x ∈ ( 0; 2π ) ⇒ t ∈ [ −3; 2]

vì

 5sin x − 1 
 5sin x − 1 
2 f ′

÷+ 2. 
÷= 0
2
2





Khi đó :
t =1⇒




Với

Với

 x = α1 ∈ ( 0; 2π )
5sin x − 1
3
= 1 ⇔ sin x = ⇔ 
2
5
 x = α 2 ∈ ( 0; 2π )

 x = α 3 ∈ ( 0; 2π )
1 5sin x − 1 1
1

t= ⇒
= ⇔ sin x = ⇔ 
3
2
3
3
 x = α 4 ∈ ( 0; 2π )
t = −1 ⇒



Với
t = −3 ⇒



thành

Với

Vì

Vậy hàm số
Chọn B

Bài 4:Cho hàm số
như hình dưới.

có

7

điểm cực trị trên khoảng

y = f ( x)

có đạo hàm

18

.

.

.

là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số
y = g ( x)

.

5sin x − 1
3π
= −3 ⇔ sin x = −1 ⇔ x =
∈ ( 0; 2π )
2
2



3π
2

.

 x = α 5 ∈ ( 0; 2π )
5sin x − 1
1
= −1 ⇔ sin x = − ⇔ 
2
5
 x = α 6 ∈ ( 0; 2π )

π

 x = 2 ∈ ( 0; 2π )
cos x = 0 ⇔ 
 x = 3π ∈ ( 0; 2π )

2
x=

 t =1

t = 1
f ′ ( t ) = −t ⇔ 
3
 t = −1

t = −3

y = f ′( x)

( 0; 2π )

y = g ( x)

.

.

liên tục trên

¡

và có đồ thị


m ∈ [ −2019; 2019]

Có bao nhiêu số nguyên
điểm cực trị nhất?
A.

2024

.

B.

2025

để hàm số

.

C.

y = f ( x + 1 − m)

2107

.

có nhiều
D.

2016

Giải:

Từ đồ thị suy ra

 x = −2
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2
 x = 5

.

′ x +1 ′

y = f ( x + 1 − m ) ⇒ y′ =  f ( x + 1 − m )  =
f ( x +1 − m)
x +1

Ta có

 x + 1 − m = −2 ( 1)

y′ = 0 ⇔  x + 1 − m = 2 ( 2 )
 x +1 − m = 5
( 3)


.
x = −1

Chú ý rằng, hàm số đạt cực trị tại
dấu.
Hơn nữa nếu các phương trình

( 1) ( 2 )
;

vì tại đó

;

( 3)

nghiệm đó luôn đôi một khác nhau và khác

;

( 2)

;

( 3)

đều có 2 nghiệm phân biệt

Kết hợp điều kiện

m ∈ [ −2019; 2019]

,

m∈¢

19

không xác định và đổi

đều có 2 nghiệm phân biệt thì các
−1

.

Hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi

⇔ ( 1)

f ′( x)

y′ = 0

có nhiều nghiệm nhất

m − 2 > 0

⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > 2
m + 5 > 0


. Suy ra

.

m ∈ { 3; 4; ....; 2018; 2019}

.

.


y = f ( x +1 − m)

Khi đó, hàm số
Chọn C

Bài 5:Cho hàm số
số
y = f ′ ( x)

y = f ( x)

có đúng 7 điểm cực trị.

xác định và có đạo hàm trên

¡

. Biết rằng đồ thị hàm

như hình vẽ dưới đây.

Hỏi hàm số

g( x) = f ( x − 4 )

có bao nhiêu điểm cực trị?
3

2

A. .

5

4

B. .

C. .

D. .

Giải:

Viết lại hàm số

 f ( x − 4 ) khi x∈ [ 4; + ∞ )
g( x) = 
 f ( 4 − x) khi x∈ ( −∞ ; 4 )

Ta tính đạo hàm

 f ′ ( x − 4 ) khi x∈ ( 4; + ∞ )
g′ ( x) = 
− f ′ ( 4 − x) khi x∈ ( −∞ ; 4 )

Giải phương trình
Tại

x= 4

thì

g′ ( x)

.

x− 4 = 1
x = 5
x− 4 = 3
x = 7

⇔
⇔
4 − x = 1
x = 3


g′ ( x) = 0
4 − x = 3
x =1

.

.

không tồn tại.
x

Dễ thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Chọn D
20

x=1 x= 3 x= 4 x= 5 x= 7

,

,

,

,

.


y = f ( x)

Bài 6:Cho hàm số
y = f ′( x)

là hàm đa thức có

g ( x) = f ( x)

3

A. .
Giải:Vì
định dựa

4

.

C.
lim y = ±∞

là hàm đa thức nên
y = f ′( x)

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số
Chọn A
Bài 7: Cho hàm số
Biết rằng
hàm số

là

B.

vào BBT). Từ đồ thị hàm số

y = f ′( x)

và đồ thị hàm số

như hình vẽ bên dưới.

Số cực trị của hàm số
y = f ( x)

f ( −2 ) < 0

y = f ( x)

x →+∞

và

g ( x) = f ( x)

xác định trên

¡

có

có

1

.

D. .

lim y = ±∞

và

f ( −2 ) < 0

2

x →−∞

(Dấu được xác

, ta có bảng biến thiên sau:

3

cực trị.

f ( −3) > 8

f ( 4) >

;

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số

y = 2 f ( x ) − ( x − 1)

2

có bao
21

9
2

f ( 2) <

;

1
2

.


nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 6.
y = f ( x)

Giải: Nhận xét: Số cực trị của hàm số
y = f ( x)

giao

cộng với số

điểm

của

đồ

thị

hàm

bằng số cực trị của hàm số

y = f ( x)

số

D. 5.

với

trục

hoành.

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈ ¡
2

h ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈ ¡
2

và

.

h ' ( x ) = 2 f ' ( x ) − 2 ( x − 1) ⇒ h ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x − 1

Ta có:
(*)
Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị

y = f ′( x)

và đường thẳng

y = x −1

Ta có bảng biến thiên của hàm số

, ta có:
h ( x)

 x = −1
x = 1
( *) ⇔ 
x=2

x = 3

như sau:

22

Đặt


h ( 2 ) = 2 f ( 2 ) − ( 2 − 1) < 0

f (2) <

2

Ta có:

h ( −3) = 2 f ( −3) − ( −3 − 1) > 0
2

h ( 4 ) = 2 f ( 4 ) − ( 4 − 1) > 0

Suy ra

f ( −3) > 8

f ( 4) >

2

h ( x) = 0

vì

vì

1
2

vì

9
2

có đúng hai nghiệm phân biệt

g ( x) = h ( x)

Suy ra
Chọn D

x1 ∈ ( −3; − 1)

và

x2 ∈ ( 3;4 )

có đúng 5 điểm cực trị.

Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số
Bài 1:Cho hàm số
y = −2 f ( 3 − x ) +

.

y = f ( x)

7 2
x − 10 x
2

y = f ′( x)

có đồ thị

y = f ¢( x ) .

được cho như hình vẽ. Hàm số

nghịch biến trên khoảng
y
6
5
4
3
2
1

−3

−2

−1

x
1

O
−1

2

3

4

5

−2
−3

A.

( 0; 2 )

.

B.

( 1;3)

.

C.

( −3; − 2 )

.

D.

Giải:
Đặt

t = 3− x

, trở thành

Từ đồ thị hàm số

11 − 7t 

h( t ) = 2 f ′( t ) +
÷
2 


y = f ′( t )

y=

và đồ thị hàm số
23

7t − 11
2

. Trên hệ trục

Oty

.

( 2;3)

.


y
6
5
4
3
2
1
−3

−2

−1

x
1

O
−1

2

4

3

5

−2
−3

h ( t ) = 0 ⇔ f ′( t ) =

Xét
.

t = 1
7t − 11
⇔
2
t = 3

h ( t ) < 0, ∀t ∈ ( 1;3 )

Suy ra

hay

f ′( t ) <

.Trên hệ tọa độ ta thấy

g ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )

7t − 11
, ∀t ∈ ( 1;3)
2

.Từ đó suy ra hàm số nghịch biến

( 0; 2 )

trên khoảng
.Chọn A.
Bài 2:Cho hàm số
y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d Î ¡ ; a ¹ 0)

có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị
hàm số
A. 24.
Giải:
Ta có
số

y = f '( x )

cho bởi hình vẽ bên. Tính
B. 28.
C. 26.

f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c

y = f '( x )

?
D. 21.

. Dựa vào đồ thị hàm số

y = f '( x )

là parabol có trục đối xứng là trục tung nên

Đồ thị hàm số

y = f '( x )

đi qua 2 điểm

( 1;5) ,( 0; 2)

f '( x ) = 3 x + 2 Þ f ( x ) = x + 2 x + C
2

Suy ra:

f ( 3) - f ( 1)

ta thấy đồ thị hàm

b = 0.

ta tìm được:

a = 1; c = 2

.

3

, đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ

C = 0 Þ f ( x) = x + 2 x Þ f ( 3) - f ( 2) = 21.
3

độ nên
Ta chọn đáp án D.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

24


Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu
f ¢( x)

“Các bài toán cực trị liên quan đến đồ thị của hàm số
” đã giúp tôi thu
được nhiều kết quả khả quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó
f ¢( x )

khăn khi gặp bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số
. Thuận lợi cho việc

tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và dạy
học. Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề này. Trong quá trình
giảng dạy, tôi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong đó sử dụng
các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A1. Kết quả kiểm tra thử như
sau:
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm 5 trở lên và < 8
Điểm dưới 5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
12A1
42
15
35,7% 27
64,3%
0
0%
12A4
42
3
7,1%
34
81%
5

11,9%
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi,
khá, trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém vẫn còn.
Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn
trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào
tiết học
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
Trên đây tôi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìm
các tính chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số
f ¢( x)

. Với các dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và các
bài tập cập nhật trong các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trường
THPT Thọ Xuân 5 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét,
mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm
tự tin và hứng thú khi học môn Toán./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊThanh Hóa,ngày 25 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan SKKN này của Tôi
không sao chép của người khác, của
chính mình những năm trước.
Người viết

25