skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lời mở đầu.
Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng
và nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch
chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2012 –
2013.
Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao
cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh
khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức
cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh
giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại
học là nhiệm vụ quan trọng số một.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai
trò quan trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và
rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm
số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm
số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi
đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải
một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một
số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết
các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình
trạng khi các em gặp phải các bài toán khoảng cách liên quan đến
đồ thị hàm số thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được. Hy
vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha

1
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán
khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng vấn đề
Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị
hàm số, một số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra
cách giải thì thường làm phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài
toán, các em chưa biết lựa chọn kiến thức hình học phù hợp với các
bài toán.
2. Hệ quả của thực trạng trên
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất
nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư
duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa hình học và các bài toán
đồ thị hàm số. Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm
ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải
sử dụng kiến thức hình học nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây
dựng phương pháp giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảng
cách liên quan đến đồ thị hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu
học sinh ôn tập các kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thức
của hàm số. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình cho
các hàm số để học sinh vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ
về các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.

Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
1. Kiến thức toán có liên quan
- Khoảng cách giữa hai điểm.
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đưòng thẳng.
- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm
phân thức bậc 2: bậc 1.
- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
( ) 1
3
y f x x mx x m
= = − − + +
có
khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bước
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ
các điểm cực trị
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng
hàm số hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất của
khoảng cách đó từ đó tìm ra m.
Bài giải:
Ta có:
2
'( ) 2 1f x x mx= − −

có
2
1 0,m m
∆ = + > ∀

'( )f x
có hai nghiệm
phân biệt
1 2
;x x
và hàm số đạt cực trị tại
1 2
;x x
khi đó gọi các các điểm
cực trị của đồ thị hàm số là
A(
1 1
;x y
), B(
2 2
;x y
).
Theo Viét ta có:
1 2
1 2
2
1
x x m
x x
+ =



= −

.
Thực hiện phép chia
( )f x
cho
'( )f x
ta có:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
3
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
2
1 2 2
( ) ( ). '( ) ( 1) ( 1).
3 3 3
f x x m f x m x m= − − + + +
Do
1
2
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x
=


=


nên
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2
( ) ( 1) ( 1)
3 3
2 2
( ) ( 1) ( 1)
3 3
y f x m x m
y f x m x m
−

= = + + +



−

= = + + +


.
Ta có:

2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2

2 1 1 2
2 2 2
4
( ) ( ) ( ) ( 1)( )
9
4
[( ) 4 ][1 ( 1) ]
9
4 4
( 1)[1 ( 1) ] 4(1 )
9 9
2 13
3
AB x x y y x x m x x
x x x x m
m m
AB
= − + − = − + + −
= + − + +
= + + + ≥ +
⇒ ≥
Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là:
2 13
3
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1y f x x x m x m= = − + + − − −
. Tìm m
để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.

Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được cực trị.
Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta được giá trị m cần
tìm.
Bài giải:
Ta có:
2 2
'( ) 3 6 3( 1).f x x x m= − + + −
Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phương trình
'( ) 0f x
=
có hai nghiệm
phân biệt.
Ta có:
2 2
'( ) 0 3 6 3( 1) 0.f x x x m= ⇔ − + + − =

Ta cần có
2 2
' 1 1 0 0.m m m
∆ = + − = > ⇔ ≠
Với điều kiện đó hàm số có cực trị là
1 2
1 ; 1x m x m= − = +
.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Gọi hai điểm cực trị là:
3 3

(1 ; 2 2 ); (1 ; 2 2 ).A m m B m m
− − − + − +
Khi đó:

2 3 2 2 3 2
3
(1 ) ( 2 2 ) (1 ) ( 2 2 )
16 4 0
0
.
1
2
OA OB m m m m
m m
m
m
= ⇔ − + − − = + + − +
⇔ − =
=


⇔

= ±

Đối chiếu điều kiện
1
2
m
= ±

.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
( )
1
x mx m
y f x
x
− +
= =
−
. Chứng minh với mọi
m khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi.
Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai
bước
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được 2 cực trị.
Bước 2: Tính khoảng cách và đưa ra điều phải chứng minh.
Bài giải:
Ta có:
2
2
2
'( )
( 1)
x x
f x
x
−
=
−

.
0
'( ) 0
2
x
f x
x
=

= ⇔

=


⇒
hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m).
Khoảng cách hai điểm cực trị là:
2 2
(2 0) [(4 ) ( )] 2 5.d m m
= − + − − − =
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
2 2
( ) .
1
x mx
y f x
x
+ +

= =
+
Tìm m để đồ thị hàm
số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến
đường thẳng (d):
2 0x y
+ + =
là bằng nhau.
Phân tích bài toán: Bài toán này ta giải theo các bước sau:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
5
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cưc tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đư ra toạ độ
hai điểm cực trị.
Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến
đường thẳng ta suy ra m.
Bài giải:
Ta có:
2
2
2 2 2
'( )
( 1)
x x m
f x
x
+ + −
=
+

. Đặt:
2
( ) 2 2 2; ' 3 2 .g x x x m m= + + − ∆ = −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
'( ) 0f x
=
có hai nghiệm phân biệt
( ) 0g x
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt khác -1
' 0 3 2 0
3
(*)
( 1) 0 3 2 0
2
m
m
g m
∆ > − >
 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− ≠ − ≠
 
.
Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có:
1 1 2 2
( ;2 2 ), ( ;2 2 ).A x x m B x x m+ +
Với

1 2
;x x
là hai nghiệm
( ) 0g x
=
, áp dụng viét ta có
1 2
1 2
2
2 2
x x
x x m
+ = −


= −

.
Ta có:
1 1 1
2 2 2 3 2 2
( ;( )) ;
2 2
x x m x m
d A d
+ + + + +
= =

2 2 2
2 2 2 3 2 2

( ;( )) .
2 2
x x m x m
d B d
+ + + + +
= =
Khi đó:
1 2
3 2 2 3 2 2
( ;( )) ( ;( ))
2 2
x m x m
d A d d B d
+ + + +
= ⇔ =
1 2
3 2 2 3 2 2x m x m⇔ + + = + +
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2
(3 2 2) (3 2 2)
(3 3 )(3 3 4 4) 0
1
3 3 4 4 0 .
2
x m x m
x x x x m
x x m m
⇔ + + = + +

⇔ − + + + =
⇔ + + + = ⇔ =
Đối chiếu (*)
1
2
m
=
thoả mãn.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
6
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ
sở hai điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung
điểm của AB thuộc (d).
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
( ) .
1
x mx
y f x
x
+
= =
−
Tìm m để hàm số có cực
trị khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10.
Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bước:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của
điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.
Bài giải:
Ta có:
2
2
2
'( )
(1 )
x x m
f x
x
− + +
=
−
.
Đặt:
2
( ) 2 ; ' 1g x x x m m
= − + + ∆ = +
.
Hàm số có cực đại, cực tiểu
( ) 0g x
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt khác
1

' 0 1 0
1(*).
(1) 0 1 0
m

m
g m
∆ > + >
 
⇔ ⇔ ⇔ > −
 
≠ + ≠
 
Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là:
1 1 2 2
( ; 2 ); ( ; 2 ).A x x m B x x m− − − −
Với
1 2
;x x⇔
là 2 nghiệm của phương trình
( ) 0g x
=
.
Theo viét:
1 2
1 2
2x x
x x m
+ =


= −

.
Ta có:

Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
7
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013

2 2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 1 2 1 2
10 100 ( ) 4( ) 100
( ) 20 ( ) 4 20
4 4 20 0.
AB AB x x x x
x x x x x x
m m
= ⇔ = ⇔ − + − =
⇔ − = ⇔ + − =
⇔ + = ⇔ =
Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn.
Ví dụ 6: Cho hàm số
3 5
( )
2
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị (H). Tìm trên (H)
điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ

nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.
Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức
côsi tìm giá trị nhỏ nhất. Từ đó tìm được điểm M.
Bài giải:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3y
=
, tiệm cận đứng
2x
=
.
Gọi toạ độ
1
( ; ) ( )
2
M a a H
a
+ ∈
−
. Khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai
đường tiệm cận là:
1 1
( ) 2 3 2 2 2 . 2
2 2
m M
d M x y m m
m m
= − + − = − + ≥ − =

− −
Dấu bằng xẩy ra khi:
2
1
1
2 ( 2) 1
3
2
m
m m
m
m
=

− = ⇔ − = ⇔

=
−

Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4).
Ví dụ 7: Cho hàm số
2
3 3
( )
2
x x
y f x
x
+ +
= =

+
có đồ thị (C). Tìm M
thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
8
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M
đến hai tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ
nhất từ đó tìm được M.
Bài giải:
Ta dễ tìm được tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
2 0x
+ =
;
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là
1 0x y
− + =
.
Gọi M(
2
3 3
;
2
a a
a
a
+ +
+

) thuộc (C). Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm
cận là :
0 0
0 0
0
1
1
( ) 2 2
2 2 2
x y
d M x x
x
− +
= + + = + +
+
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
4
0
0
1
( ) 2 2 8
2 2
d M x
x
≥ + =
+
Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là
4
8

khi
0
4
2
0 0
0
0
4
1
2
1 1
2
2 ( 2)
1
2 2 2
2
2
x
x x
x
x

= − +


+ = ⇔ + = ⇔
+

= − −



Vậy toạ độ M(
4
4 4
1 1
2 ; 1 2
2 2
− + − + +
) hay M(
4
4 4
1 1
2 ; 1 2
2 2
− − − − −
).
Ví dụ 8: Cho hàm số
2
5 15
( )
3
x x
y f x
x
+ +
= =
+
có đồ thị (C). Tìm M
thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần
khoảng cách từ M đến trục tung.

Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
9
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d
1
, khoảng
cách từ M đến trục tung d
2
. Ta có phương trình d
1
=2d
2
từ đó tìm
được M.
Bài giải:
Gọi toạ độ M(
2
5 15
;
3
a a
a
a
+ +
+
)
Khoảng cách từ M đến trục hoành là:
2

1
5 15
3
a a
d
a
+ +
=
+
.
Khoảng cách từ M đến trục tung là:
2
d a
=
.
Ta có:
2
1 2
5 15
2
3
a a
d d a
a
+ +
= ⇔ =
+
Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1:
2

2
1 61
5 15
2
15 0
3
1 61
2
a
a a
a a a
a
a

− +
=

+ +

= ⇔ + − = ⇔
+

− −
=


Khi đó toạ độ M là:
1 61 1 61
( ; 1 61);( ; 1 61)
2 2

− + − −
− + − −
.
+ Trường hợp 2:
2
2
5 15
3 11 15 0
3
a a
a a a
a
+ +
= − ⇔ + + =
+
phương trình
này vô nghiệm.
Vậy toạ độ M là:
1 61 1 61
( ; 1 61);( ; 1 61)
2 2
− + − −
− + − −
.
Ví dụ 9: Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x

x
−
= =
+
có đồ thị (H). Tìm M thuộc
(H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M
đến hai trục toạ độ.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
10
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để
thuận lợi cho việc tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài làm:
Gọi toạ độ M(
1
;
1
a
a
a
−
+
) thuộc (H).
Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là:
1
( ) .
1
a

d M a
a
−
= +
+
Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất
d(M) ta chỉ cần xét khi:
1
1 1
0 1.
1
1 1
1
1
a
a
a
a
a a
a
 <
− < <


⇔ ⇔ < <
 
−
− < +
<



+

Với
0 1a
< <
thì
1 1 1
( ) ( 1) 2
1 1 1
a a
d M a a a
a a a
− −
= + = + = + + −
+ + +
Áp dụng côsi ta có:
2
( ) 2 ( 1) 2 2 2 2
( 1)
d M a
a
≥ + − = −
+
Khi đó giá trị d(M) nhỏ nhất khi:
2
1
2 1
1
0 1

a
a
a
a

+ =

⇔ = −
+


< <

Vậy toạ độ M(
2 1;1 2
− −
).
Ví dụ 10: Cho hàm số
2
6
( )
3
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị là (C). Tìm
điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục

toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ M(
2
6
;
3
a a
a
a
+ −
−
) hay M(
6
; 4
3
a a
a
+ +
−
).
Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới
hạn miền lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
11
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bài giải:
Gọi toạ độ M(
2
6

;
3
x x
x
x
+ −
−
) hay M(
6
; 4
3
x x
x
+ +
−
).
Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
6
( ) 4
3
d M x x
x
= + + +
−
.
Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với
2x
≤
, xét hai khả năng:
*) Nếu

2 0x
− ≤ ≤
thì
6
( ) ( ) 4
3
d M g x
x
= = +
−
2
6
'( ) 0
( 3)
g x
x
−
= <
−
suy ra giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] là g(0)=2.
*) Nếu
0 2x
≤ ≤
thì
6
( ) ( ) 2 4
3
d M p x x
x
= = + +

−
2
3 3
6
'( ) 2 0
( 3)
3 3
x
p x
x
x

= −
= − = ⇔

−
= +


Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là
p(0)=p(2)=2.
Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2).
Ví dụ 11: Cho hàm số
4 9
( )
3
x
y f x
x
−

= =
−
có đồ thị (H). Tìm trên
mỗi nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai
điểm đó nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với
hoành độ lớn hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A(
3
3;4
α
α
+ +
); B(
3
3 ;4
β
β
− −
) với
,
α β
là hai số dương.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
12
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo
,
α β
sử dụng linh hoạt bất

đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(
3
3;4
α
α
+ +
); B(
3
3 ;4
β
β
− −
) với
,
α β
là hai số dương.
Ta có:
2 2 2 2 2
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
B A B A
AB x x y y
α β
α β
= − + − = + + +
áp dụng côsi.

2

2 2 2
2 2 2
9( ) 9 9
( ) ( ) [1 ] 4 [1 ]
( ) ( ) ( )
AB
α β
α β α β αβ
αβ αβ αβ
+
= + + = + + ≥ +

2
9 9
4( ) 4.2 . 24AB
αβ αβ
αβ αβ
≥ + ≥ =
Dấu bằng xẩy ra khi:
0
3
9
α β
α β
αβ
αβ
= >


⇔ = =


=


Vậy toạ độ A(
3 3;4 3
+ +
); B(
3 3;4 3
− −
).
Ví dụ 12: Cho hàm số
2
2 5
( )
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
có đồ thị là (C). Tìm
trên mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách
giữa chúng là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với
hoành độ lớn hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A(
4
1;

α α
α
+ +
); B(
4
1 ;
β β
β
− − −
) với
,
α β
là hai số dương.
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo
,
α β
sử dụng linh hoạt bất
đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
13
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Gọi toạ độ của A(
4
1;
α α
α
+ +
); B(
4

1 ;
β β
β
− − −
) với
,
α β
là hai số
dương.
Ta có:

2 2 2 2 2
2 2
4 4
( ) ( ) ( ) [( ) ( )]
4
( ) [1 (1 ) ]
B A B A
AB x x y y
α β α β
α β
α β
αβ
= − + − = + + + + +
= + + +

Áp dụng côsi ta có:
2 2
2 2
8 16 8 8

(2 ) (2 ) 8( 4) 8(2 . 4) 32( 2 1)AB
αβ αβ αβ
αβ α β αβ αβ
≥ + + = + + ≥ + = +
Dấu bằng xẩy ra:
4
0
8.
8
α β
α β
αβ
αβ
= >


⇔ = =

=


Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A(
4
4 4
1 8; 8 2 2
+ − −
); B(
4
4 4
1 8; 8 2 2

− +
).
Ví dụ 13: Cho hàm số
2
4 5
( )
2
x x
y f x
x
+ +
= =
+
có đồ thị (C). Tìm M
thuộc (C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng
∆
:
3 6 0x y
+ + =
nhỏ
nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến
∆
:
3 6 0x y
+ + =
, sau xử lý
khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số.

Bài giải:
Gọi điểm M(
2
4 5
;
2
m m
m
m
+ +
+
) hay M(
1
; 2
2
m m
m
+ +
+
) thuộc (C).
Khoảng cách từ M đến
∆
:
3 6 0x y
+ + =
là:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
14
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
2 2

1 1
3 ( 2 ) 6 4 8
2 2
( ; )
10
3 1
1
4( 2)
1 1 1 1 2 10
2
(2 2 ) .2 2 2 .
2 2 5
10 10 10
m m m
m m
d M
m
m
m m
m m
+ + + + + +
+ +
∆ = =
+
+ +
+
= = + + ≥ + =
+ +
Khoảng cách từ M đến
∆

:
3 6 0x y
+ + =
nhỏ nhất bằng
2 10
5
, xẩy ra khi
2
5
1
2
4 2 4( 2) 1
3
2
2
m
m m
m
m

= −

+ = ⇔ + = ⇔

+

= −


Vậy toạ độ M là:

5 5 3 5
( ; );( ; ).
2 2 2 2
− − −

Ví dụ 14: Cho hàm số
2
3 cos 4 sin 7
( )
1
x x
y f x
x
α α
+ +
= =
−
có đồ thị
(C). Tìm
α
để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt
giá trị lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất
đẳng thức Buanhiacopski để đư ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm được
α
.
Bài giải:
Ta có:

2
3 cos 4 sin 7 4sin 3cos 7
3 cos 4sin 3cos
1 1
x x
y x
x x
α α α α
α α α
+ + + +
= = + + +
− −
Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:
(3cos ) 4sin 3cos (3cos ) 4sin 3cos 0y x x y
α α α α α α
= + + ⇔ − + + =
.
Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên
∆
là:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
15
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
2 2 2
3
4.sin . 10 cos
4sin 3cos
10
( ; )
9cos 1 sin 10cos

d O
α α
α α
α α α
+
+
∆ = =
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:
2 2 2
2 2
9
(4 )(sin 10cos )
13 10
10
( ; )
10
sin 10cos
d O
α α
α α
+ +
∆ ≤ =
+
Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên
∆
là
13 10
10
Khi

sin 4 40 40
tan arctan( ) ,( )
3
3 3
10.cos
10
k k
α
α α π
α
= ⇔ = ⇔ = + ∈¢
Vậy
40
arctan( ) ,( )
3
k k
α π
= + ∈
¢
.
Ví dụ 15: Giả sử
∆
là tiếp tuyến tại M(0;1) của đồ thị hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+

= =
−
(C). Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1
mà khoảng cách từ điểm đó đến
∆
là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến
∆
.
Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách
nhỏ nhất trên miền
(1; )
+∞
.
Bài giải:
Ta có:
2
3
'
(1 )
y
x
=
−
.
Phương trình tiếp tuyến
∆
là:
3 1y x

= +
.
Gọi
0 0 0
( ; ) ( )( 1)N x y C x∈ >
có khoảng cách tới
∆
nhỏ nhất.
Thế thì
0
x
là nghiệm của phương trình:
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
16
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
0
0 0
2
0
0
2
3
'( ) 3 3 2
0
(1 )
x
y x x
x
x
=


= ⇔ = ⇔ ⇒ =

=
−

Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số
3 2
( ) 2 12 13y f x x mx x= = + − −
. Tìm để đồ thị hàm số
có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy.
Bài 2: Cho hàm số
2 1
( )
3
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm toạ độ M trên
(C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ
nhất.
Bài 3: Cho hàm số
4 7
( )
2 1

x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để
tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số
5 8
( )
3 2
x
y f x
x
−
= =
+
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao
cho tổng khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số
2 5
( )
3 2
x
y f x
x
− +
= =
+

có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh
của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ
nhất.
Bài 6: Cho hàm số
2
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) cách
đều hai trục toạ độ.
Bài 7: Cho hàm số
1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để
tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 8: Cho hàm số
2
( )

3
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao
cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M
đến tiệm cận ngang.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
17
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bài 9: Cho hàm số
2
2 5
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C)
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 10: Cho hàm số
2
1
( )

1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C)
sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là
nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M thuộc
(C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm
cận là nhỏ nhất.
Bài 12: Cho hàm số
2
5
( )
2
x x

y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C). Chứng minh rằng
tích khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến các tiệm cận là hằng số.
Bài 13: Cho hàm số
2
5
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi
nhánh của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là
nhỏ nhất.
Bài 14: Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
= =
−

có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh
của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 15: Cho hàm số
2
1
( )
1
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi
nhánh của (C)
Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 16: Cho hàm số
2
3 7 1
( )
2 1
x x
y f x
x
− + −
= =
+
có đồ thị (C). Tìm trên mỗi
nhánh của đồ thị (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung

nhỏ nhất.
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
18
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Bài 17: Cho hàm số
2
2 3 5
( )
1
x x
y f x
x
− −
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C)
để khoảng cách từ M đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ M
đến trục tung.
Bài 18: Cho hàm số
2
4 7 18
( )
2 5
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên

(C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ
nhất.
Bài 19: Cho hàm số
2
3 5
( )
2 2
x x
y f x
x
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm M trên (C)
để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.
Bài 20: Cho hàm số
2
2 sin 3 cos 6
( )
1
x x
y f x
x
α α
− +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm
α

để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
Bài 21: Cho hàm số
2
4 sin 5 cos 11
( )
2
x x
y f x
x
α α
+ −
= =
−
. Tìm
α
để khoảng
cách từ
A(-1;0) đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
C. KẾT QUẢ
I. Kết quả nghiên cứu
Thông qua hệ thống các bài toán về khoảng cách liên quan đến
đồ thị hàm số ở trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản
hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra
hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào
các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không
còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả
áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn. Hầu hết
các em vận dụng tốt.
II. Kiến nghị

Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
19
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực
tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục
và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy
cần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và
tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo.
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang
1.
I. Lời mở đầu Trang
1.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang
1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang
2.
I. Các giải pháp thực hiện Trang
2.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện Trang
2.
1. Kiến thức chuẩn
bị Trang 2.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp
giải Trang 2.
C. KẾT QUẢ Trang
17.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
20

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013
1. Sách giáo khoa hình học 10 Nâng cao.
2. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
3. Sách bài tập Đại số - Giait tích 12 Nâng cao.
4. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải.
5. Hàm số tập 1. Tác giả Trần Phương.
6. Báo toán học và tuổi trẻ.
7. Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2012.
8. Nguồn khác: Internet.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng
05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
Mai Văn Ngọc
Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha
21