SKKN hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH, TÌM LỜI GIẢI CHO
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP SỐ THƯỜNG GẶPNHẰM NÂNG
CAO CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, ÔN THI
THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ
THANH 2

Người thực hiện: Lê Văn Trung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

0


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
PHẦN 1. MỞ ĐẦU........................................................................................ 2
1.1. Lý do chọn đề tài...................................................................................... 2
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................ 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................... 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................... 3
PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...................... 4

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................................. 4
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm............. 5
2.3.Các giải pháp thực hiện....................................................................
5
Dạng 1:Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự
nhiên có k chữ số mà một vài chữ số có điều kiện................. ..........
Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số α
Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b
đứng cạnh nhau( hoặc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau)........
Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần........
Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng các chữ số...................
Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số hoặc so
sánh các chữ số.................................................................................
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường...............................................
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận....................................................................................................
3.2. Kiến nghị..................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................

5
8
10
11
13
14
15
20
20
20

21

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong giảng dạy phần đại số tổ hợp thì bài toán " Tìm số các số tự nhiên lập
được thỏa mãn điều kiện cho trước" (sau đây tôi gọi tắt là bài toán lập số) là một
bài toán cơ bản giúp học sinh tiếp cận với các quy tắc của đại số tổ hợp. Từ đó,
giúp các em có thể liên hệ bài toán lập số để giải quyết các bài toán tổ hợp phức
tạp hơn.

1


Tuy nhiên, khi giải bài toán lập số học sinh vẫn cảm thấy lúng túng, nhầm
lẫn cách chọn các chữ số và thường phải giải nhiều lần mới trùng được đáp án.
Với cách làm như vậy thì việc tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn toán
trong kì thi THPTQG sẽ không đạt được hiệu quả cao. Bởi lẽ, các em không có
đủ thời gian để giải một bài toán nhiều lần mới chọn được phương án.
Từ khi Bộ giáo dục công bố thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi THPTQG
nhiều học sinh đã tìm kiếm các kĩ năng sử dụng MTCT với hi vọng giải quyết
được phần nhiều nội dung của đề thi. Song thực tế cho thấy, chỉ những học sinh
có khả năng làm tự luận tốt mới có đủ tư duy để sử dụng MTCT kiểm tra, dò tìm
phương án của bài thi trắc nghiệm. Và cũng chỉ những học sinh làm bài tự luận
tốt, nắm chắc kiến thức cơ bản mới có khả năng đạt điểm cao môn toán. MTCT
chỉ hỗ trợ các em tốc độ làm bài và giải một số bài toán ở mức điểm trung bình.
Thực tế ra đề thi của Bộ giáo dục cũng cho thấy, mặc dù đề bám sát chương
trình cơ bản song vẫn hạn chế đến mức tối đa việc sử dung MTCT để chọn được
trực tiếp phương án. Rất nhiều phần kiến thức học sinh phải sử dụng kiến thức
cơ bản biến đổi bài toán một vài bước rồi mới sử dụng được MTCT để đưa ra
kết quả. Phần "đại số tổ hợp" là một trong những phần kiến thức như thế.

Với thời lượng phân phối chương trình là 6 tiết cho hai bài: Quy tắc đếm,
Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp thì giáo viên chỉ đủ thời gian giúp học sinh tiếp
cận với lí thuyết, chưa dành được nhiều thời gian để luyện tập các quy tắc, càng
không thể có thời gian trình bày một cách tường minh bài toán lập số. Vì vậy,
học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán này.
Bài toán lập số là một trong những bài toán thường xuất hiện trong các đề
thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia. Do đó, nhu cầu học của học sinh
trong phần này rất cao. Song các tài liệu tham khảo khi viết về chủ đề này lại chỉ
nêu ra các ví dụ và lời giải cho các bài tập cụ thể, chưa phân dạng bài toán, chưa
phân tích giúp học sinh tìm lời giải cho các bài toán đó.
Từ những lí do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân trong
những năm qua, tôi quyết định chọn đề tài :" Hướng dẫn học sinh phân tích,
tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp"- chương II- Đại số và giải
tích 11. Qua chuyên đề này, tôi không có tham vọng phân tích tường minh cách
giải các bài toán cơ bản của đại số tổ hợp mà chỉ giúp học sinh phân tích tìm lời
giải cho một số dạng toán lập số cơ bản. Tôi tin rằng, qua chuyên đề này các em
học sinh sẽ nắm vững hơn kiến thức cơ bản của Đại số tổ hợp, học được cách
phân tích để tìm lời giải cho các bài toán lập số, áp dụng cách suy luận đó vào
việc giải các bài toán tổ hợp khác. Từ đó, giúp các em nâng cao khả năng tự học.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ thực tế giảng dạy, tôi nghiên cứu đề tài nhằm:
 Giúp học sinh biết cách giải một số dạng toán lập số thường gặp trong
chương trình toán THPT.
 Giúp học sinh hiểu cách phân tích để tìm lời giải cho một số bài toán lập
số.
 Nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy.

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải các bài toán lập số thường gặp trong chương trình Đại
số và giải tích 11và chương trình toán học phổ thông. Từ đó, tôi tổng kết thành
một số dạng toán thường gặp về lập số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế.

PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1.Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A 1,
A2, ..., Ak
Có n1 cách thực hiện phương án A1
Có n2 cách thực hiện phương án A2

3


...
Có nk cách thực hiện phương án Ak
Trong đó, các cách thực hiện phương án A i không trùng với bất kì cách thực
hiện nào của phương án Aj. Khi đó, công việc có thể được hoàn thành bởi n 1 + n2
+ ... + nk cách.
2.1.2.Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp
Có m cách thực hiện hành động thứ nhất
Ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ 2
Khi đó, công việc có thể được hoàn thành bởi m.n cách.
Chú ý:Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp

2.1.3.Hoán vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo
một thứ tự ta được một hoán vị của A. Số các hoán vị của n phần tử là P n = n! =
n (n-1)(n-2)...2.1.
Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2.1.4.Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k (1 �k �n). Khi lấy ra k phần tử
khác nhau của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập
k của n phần tử của A( gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của A là A nk  n(n  1)...(n  k  1) 

n!
(*)
(n  k)!

Chú ý: Quy ước 0! =1 khi đó công thức(*) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0
�k �n.
2.1.5. Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A gọi là
một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
k

n!
Z, 0 k n )
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cn 
 A n ( k, nΣ�
k!(n  k)! k!
k

2.1.6. Nhận dạng các quy tắc trong giải toán

Hoán vị : Mỗi hoán vị là một sắp thứ tự hết cho n phần tử của tập hợp A.

Chỉnh hợp : Mỗi chỉnh hợp là một sắp thứ tự cho k phần tử là tập con của

tập hợp A � Pn  A nn .
Tổ hợp: Không yêu cầu sắp thứ tự, tức là khi thay đổi thứ tự các phần tử

trong một.
tổ hợp thì không tạo thành một tổ hợp mới.
Chú ý: Kí hiệu số phần tử của tập hợp A, B lần lượt là n(A), n(B).
- Nếu A �B  �thì n(A �B) = n(A) + n(B)
B
- Nếu A ǹ�
thì n(A �B) = n(A) + n(B) - n(A �B)
2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

4


Kết quả khảo sát thực tế khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này trên
lớp 11A1 trường THPT Như Thanh II năm học 2017- 2018 cho thấy:
29% học sinh chỉ áp dụng được các quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độ
nhận biết.
51 % áp dụng được quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độ thông hiểu
Chỉ khoảng 19% học sinh có thể nhận dạng được các quy tắc để giải các bài
toán ở mức độ vận dụng điểm 8 trong các bài kiểm tra.
Nguyên nhân :

Quan sát các nhóm học sinh giải bài tập và kết quả các bài kiểm tra cho thấy :
- Học sinh không nhận dạng đúng các quy tắc đếm, quy tắc hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp.
- Học sinh chưa hiểu cách phân chia trường hợp trong các bài toán phải xét
nhiều trường hợp.
- Học sinh chưa phân biệt được các phương án trùng khi lấy hợp các trường hợp
có phương án trùng nhau.
Thời gian phân phối giảng dạy cho phần này chỉ là 6 tiết. Với thời lượng đó,
sách giáo khoa chỉ trình bày lý thuyết cơ bản và lời giải một số ví dụ đơn giản
nhất, giáo viên cũng chưa đủ thời gian để lí giải cặn kẽ các quy tắc áp dụng
trong bài toán cụ thể nên hiệu quả của việc vận dụng không cao.
Từ thực trạng trên, khi giảng dạy phần này tôi đã thực hiện:
- Phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp
- Trong mỗi dạng tôi nêu cách giải, phân tích cặn kẽ các ví dụ điển hình từ dễ
đến khó để học sinh dễ tiếp cận quy tắc, hiểu bản chất bài toán.
- Cuối cùng là phần bài tập tự luyện.
Các bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm được lấy từ các đề thi học sinh giỏi, các
sách tham khảo và do tác giả tự biên soạn.


2.3.Các giải pháp thực hiện
Cụ thể, tôi phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp sau
Dạng 1: Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự nhiên có k
chữ số mà một vài chữ số có điều kiện .
Khi gặp dạng toán này học sinh phải phân tích trả lời các câu hỏi sau
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? * Nếu số tự nhiên có k chữ số, số đó có dạng
a1a2...ak ( a1 �0 ) nếu chưa có câu trả lời thì
phải xét các trường hợp thỏa mãn bài toán
* Các chữ số của tập A có chữ
* Nếu có thì a1 �0

số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác * Nếu có thì không được chọn lặp.
nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện? * Nếu có nhiều chữ số có điều kiện thì chữ
số nào có nhiều điều kiện được ưu tiên chọn

5


trước ( Có thể phải chia nhiều trường hợp)
Sau khi trả lời đủ các câu hỏi trên, học sinh giải bài toán này theo các bước
Bước 1: Gọi số cần lập có dạng a1a2...ak ( Nêu điều kiện các chữ số)

Bước 2: Tiến hành chọn các chữ số

Bước 3 : Kết quả bài toán được tính bằng quy tắc nhân

Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà trong mỗi số
lập được có các chữ số khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? *Chưa xác định nên phải xét các trường hợp
xảy ra
* Các chữ số của tập A có chữ
*Có nên chữ số đứng đầu a �0
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác * Có nên không được chọn lặp
nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện? * Chữ số đứng đầu a

Lưu ý: Từ đây ta quy ước với số cần lập có từ hai chữ số trở lên chữ số đứng
đầu là chữ số ở hàng cao nhất trong số tự nhiên đó.
Bài giải
- Trường hợp 1: Số lập được có 1 chữ số, có 4 số 0,1,2,3
- Trường hợp 2: Số lập được có hai chữ số dạng ab ( a �0, a �b)
Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b. Trường hợp này có 3.3 = 9 (số)
- Trường hợp 3: Số lập được có ba chữ số dạng abc ( a �0, a, b, c khác nhau )
Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c.
Trường hợp này có 3.3.2 = 18 (số)
- Trường hợp 4: Số lập được có bốn chữ số dạng abcd ( a �0, a, b, c, d đôi một
khác nhau). Có 3 cách chọn a, 3 cách chọn b, 2 cách chọn c, 1 cách chọn d
Trường hợp này có 3.3.2.1 = 18 (số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 4 +9 + 18 + 18 = 49 ( số)
Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp A   0;1;2;3;4;5;6 , lập được bao nhiêu số tự
nhiên lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? *Có 5 chữ số dạng a1a2...a5
* Các chữ số của tập A có chữ
*Có nên a1 �0
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác
* Có nên không được chọn lặp
nhau không?
* a1, a5 đều có 1 điều kiện
*Những chữ số nào có điều kiện?
- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 2 cách
chọn, khi a1 chẵn thì a5 có 3 cách chọn. Như
vậy bài toán phải chia 2 trường hợp

6


Bài giải

A   0;1; 2;3; 4; 5; 6

- Nếu chọn a5 trước thì a1 luôn có 5 cách
chọn nên không phải chia trường hợp

Gọi số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( a1 �0 , a5 lẻ, ai �aj)
 a5 có 3 cách chọn a5 �  1;3; 5

 a1 có 5 cách chọn a1 �A\  0; a5
 Có A 35 cách chọn bộ số a2a3a4
Vậy tất cả có 3 . 5. A 35 = 900( số)
Ví dụ 3: Từ các chữ số của tập hợp A   0;1;2;3; 4; 5 , lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau.
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? *Có 5 chữ số dạng a1a2...a5
* Các chữ số của tập A có chữ
*Có nên a1 �0
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác
* Có nên không được chọn lặp
nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?

* a1, a5 đều có 1 điều kiện a1 �0 , a5 chẵn
- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 3 cách
chọn, khi a1 chẵn thì a5 có 2 cách chọn. Do
đó, bài toán phải chia 2 trường hợp
- Nếu chọn a5 trước: khi a5 = 0 thì a1 có 5
cách chọn, khi a5 �0 thì a1 có 4 cách chọn
Tức là trong bài toán này việc chọn chữ số a1
hay a5 trước đều phải xét 2 trường hợp
Bài giải
Gọi số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( a1 �0 , a5 chẵn, ai �aj)
- Trường hợp 1: a5 = 0
a5 có 1 cách chọn

a1 có 5 cách chọn a1 �A\  0

Có A 34 cách chọn bộ số a2a3a4
Trường hợp này có 1 . 5. A 34 = 120( số)
-Trường hợp 2: a5 �0
Có 2 cách chọn a5: a5 �  2, 4

Có 4 cách chọn a1

Có A 34 cách chọn bộ số a2a3a4

Trường hợp này có 2 . 4. A 34 = 192( số)


7

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 120 + 192 = 312(số)
Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ
số đứng giữa thì giống nhau[2]
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? *Có 5 chữ số dạng a1a2a3a4a5
* Các chữ số của tập A có chữ
*Có nên a1 �0
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác
* Không nên được chọn lặp
nhau không?
a �0
*Những chữ số nào có điều kiện? * 1 ; a2 = a4; a1=a5 nên số cần lập có
dạng a1a2a3a2a1
Bài giải
Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9
Vì số cần lập có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau nên số đó có dạng a1a2a3a2a1 ( a1 �0 ; ai �A)

Có 9 cách chọn a1, a1 �A\  0
Có 10 cách chọn a2, a2 �A

Có 10 cách chọn a3 , a3 �A

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 9 .10.10 = 900( số)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có
a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau

b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
Bài 2: Có bao nhiêu biển số xe nếu mỗi biển số gồm 3 chữ số trong các chữ số
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số α
Phương pháp: Số cần lập có dạng a1a2...ak
* Nếu trong các chữ số đã cho không có chữ số 0, để lập được số thỏa mãn bài
toán ta thực hiện các bước liên tiếp:
 Bước 1: Có k vị trí đặt chữ số α
 Bước 2: Chọn chữ số cho k-1 vị trí còn lại trong số cần lập
 Bước 3: Kết quả của bài toán bằng kết quả bước 1 nhân kết quả bước 2
* Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0, ta xét hai trường hợp xảy ra
Trường hợp 1 (chỉ xét khi α �0) : a1 = α
Có 1 cách chọn a1

Chọn k-1 chữ số còn lại

� Kết quả của trường hợp 1
Trường hợp 2: a1 �ao
Chọn chữ số a1

Có k-1 vị trí đặt chữ số a0



8




Chọn k-2 chữ số còn lại

� Kết quả của trường hợp 2

Kết quả bài toán = Kết quả trường hợp 1 + kết quả trường hợp 2
Ví dụ 1: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập được các số mà mỗi số có 5 chữ số
đôi một khác nhau. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2
b) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 1 và 6
Bài giải
Đặt A   1; 2;3; 4;5;6
Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5 ( ai �A, ai �aj )
a)
 Có 5 vị trí đặt chữ số 2
 Có A 54 cách chọn và sắp thứ tự bộ 4 chữ số còn lại
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 5. A 54 = 600(số)
b)
 Có A 25 cách chọn vị trí để đăt hai chữ số 1 và 6
 Có A 34 cách chọn bộ 3 chữ số còn lại
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là A 25 . A 34 = 480(số)
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau trong đó bắt buộc có mặt
chữ số 1
* Phân tích
Câu hỏi
Trả lời
* Số cần lập có bao nhiêu chữ số? *Có 4 chữ số dạng a1a2a3a4
* Các chữ số của tập A có chữ
*Có nên a1 �0
số 0 không?
* Các chữ số có yêu cầu khác
* Có nên không được chọn lặp

nhau không?
*Những chữ số nào có điều kiện?
* a1 ; a4 và chữ số 1
Bài giải
Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9
Gọi số cần tìm có dạng a1a2a3a4 ( a1 �0 , a4 chẵn)
Trường hợp 1: a4 = 0
Có 1 cách chọn a4

 Có 3 cách chọn vị trí để đặt chữ số 1
 Có A 82 cách chọn bộ hai số còn lại
Trường hợp này có 1 . 3. A 82 = 168(số)
Trường hợp 2: a4 �0 ; a1 = 1
Có 4 cách chọn a4

 Có 1 cách chọn a1

9


 Có A 82 cách chọn bộ hai số còn lại
Trường hợp này có 1 . 4. A 82 = 224(số)
Trường hợp 3: a4 �0 ; a1 � 1Có 4 cách chọn a4
Có 2 cách chọn vị trí để đặt chữ số 1

Có 7 cách chọn a1

Có 7 cách chọn chữ số còn lại

Trường hợp này có 4.2.7.7 = 392 (số)

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 168 + 224 + 392 = 784 ( số )
Nhận xét: Để giải dạng 2 ta vẫn tiếp tục các hệ thống phân tích tìm lời giải của
dạng 1 nhưng phải xử lí thêm tính chất đặc trưng của dạng 2 là " bắt buộc có
mặt chữ số α " trong số cần lập.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6
chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 2: Từ 3 chữ số 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,
trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh
nhau( hoặc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau)
Phương Pháp:
Bước 1:
 Xem hai chữ số a, b đứng cạnh nhau là một chữ số đặc biệt X.
 Bài toán trở thành lập số tự nhiên có k-1 chữ số trong đó bắt buộc có mặt
chữ số X ( trở về bài toán ở dạng 2).
Bước 2:
 Số hoán vị của hai chữ số a, b là 2!
Do đó, kết quả bài toán bằng (Kq bước 1) x 2!
Chú ý:
Đối với bài toán: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b không
đứng cạnh nhau, ta giải theo phương pháp tìm phần bù.
 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có k chữ số bất kỳ.
B là tập hợp các số tự nhiên có k chữ số trong đó bắt buộc hai chữ số
a,b đứng cạnh nhau.
 Kết quả của bài toán bằng n(A) - n(B)
Ví dụ 1: Cho 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9. Hỏi lập được bao nhiêu số có 7 chữ số
đôi một khác nhau mà
a) Hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau
b) Hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau

Bài giải
A   1; 2;3; 4; 5; 7; 9

a)
 Xem hai chữ số 2;4 đứng cạnh nhau tạo thành một chữ số đặc biệt X

10


Khi đó từ các chữ số 1; X; 3; 5; 7; 9 ta tìm số các số có 6 chữ số khác nhau dạng
a1a2a3a4a5a6 bắt buộc có mặt chữ số X. Tất cả có 6! (số)
 Mặt khác hai chữ số 2 và 4 trong X có 2! hoán vị
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 6!.2!= 1440 (số).
b)
 Số các số có 7 chữ số khác nhau lập được từ tập hợp A là 7! (số)
 Vậy số các số có 7 chữ số khác nhau lập được từ tập A mà hai chữ số
chẵn không đứng cạnh nhau là 7! - 1440 = 3600 (số).
Chú ý : Dạng 3 có thể mở rộng cho trường hợp yêu cầu nhiều chữ số đứng cạnh
nhau.
Nhận xét: Thực chất dạng 3 là sự kết hợp của dạng 1 và dạng 2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1;2 đứng
cạnh nhau và hai chữ số 3;4 đứng cạnh nhau.
Bài 2: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5
chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau.
Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần ( k < n )
Phương pháp:
 Bước 1: Chọn k vị trí trong n vị trí để đặt k chữ số a, có Cnk cách chọn.
( lưu ý trường hợp có chữ số 0)
 Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

 Bước 3: Kết quả bài toán bằng (Kết quả bước 1) nhân (Kết quả bước 2)
Ví dụ 1: Cho tập hợp A   0;1;2;3; 4;5 . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8
chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Bài giải
Đặt A   0;1; 2;3; 4; 5
Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 (a1 �0)
Trường hợp 1: a1 = 1
Có 1 cách chọn a1

Có C27 cách chọn vị trí cho 2 chữ số 1 còn lại

Có 5! cách chọn và sắp thứ tự cho 5 chữ số của 5 vị trí còn lại

Trường hợp này có 1. C27 . 5! = 2520 (số)
Trường hợp 2: a1 �1
Có 4 cách chọn a1 : a1 � 2;3; 4; 5

Có C37 cách chọn vị trí cho 3 chữ số 1 trong 7 vị trí còn lại

Có 4! cách chọn và sắp thứ tự cho 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại

Trường hợp này có 4. C37 . 4! = 3360(số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 2520 + 3360 = 5880(số)

11


Bình luận 1: Bài toán có thể giải bằng nhiều cách, sau đây là một cách giải
tương đối ngắn gọn
Bài toán thực chất là lập số tự nhiên có 8 chữ số dạng a1a2a3a4a5a6a7a8 (a1 �0)

trong đó có mặt tất cả các chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5
; ; ; 2;3; 4; 5
Có 7 cách chọn a1: a1 � 111
Có 7! cách chọn và sắp thứ tự cho 7 chữ số 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5
Tất cả có 7.7! ( số )
Nhưng khi sắp thứ tự cho 3 chữ số 1 giống nhau ta không thu được một số mới .
Do đó, số các số lập được là

7.7!
 5880(số)
3!

Bình luận 2: Học sinh thường nhầm lẫn quy tắc tổ hợp và chỉnh hợp cho hai
tình huống:
Tình huống 1: Chọn k vị trí trong n vị trí để đặt k chữ số a giống nhau là Cnk
( Dạng 4 ) vì khi thay đổi thứ tự của k chữ số này ta không thu được số mới.
Tình huống 2: Chọn k vị trí trong n vị trí để đặt k chữ số khác nhau vào số cần
lập là A nk ( Ví dụ 1b-Dạng 2 ) vì khi thay đổi thứ tự của k chữ số khác nhau ta thu
được số mới .
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, biết rằng chữ số 1 có mặt đúng
hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một
lần.[6]
Bài giải
A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6a7 (a1 �0)
Trường hợp 1: a1 = 1
Có 1 cách chọn a1

Có 6 cách chọn vị trí để đặt chữ số 1 còn lại


Có C35 cách chọn vị trí để đặt 3 chữ số 3

Có A 82 cách chọn bộ hai chữ số còn lại

Trường hợp này có 1.6. C35 . A 82 = 3360 ( số)
Trường hợp 2 :a1 = 3
Có 1 cách chọn a1

Có C26 cách chọn vị trí để đặt 2 chữ số 3 còn lại

Có C24 cách chọn vị trí để đặt 2 chữ số 2

Có A 82 cách chọn bộ hai chữ số còn lại

Trường hợp này có C26 . C24 . A 82 = 5040( số)
Trường hợp 3: a1 �2, a1 �3
có 7 cách chọn a1

Có C26 cách chọn vị trí để đặt 2 chữ số 2


12


Có C34 cách chọn vị trí để đặt 3 chữ số 3
Có 7 cách chọn chữ số còn lại

Trường hợp này có 7. C26 . C34 .7= 2940( số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 3360 + 5040 + 2940 = 11340 (số)

Bài tập tự luyện
Bài 1: Từ 3 chữ số 1; 2; 3 lập được bao nhiêu số có 5 chữ số mà mỗi chữ số trên
có mặt ít nhất một lần.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó chữ số chẵn có mặt đúng
một lần.
Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng các chữ số
 Bước 1: Tính số các bộ số có tổng thỏa mãn yêu cầu bài toán
 Bước 2: Từ mỗi bộ đó ta tìm số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán (Chú ý
phân biệt bộ có chữ số 0 và bộ không có chữ số 0)
 Bước 3: Tính kết quả bài toán = (Kết quả bước 1) x (kết quả bước 2)
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác
nhau và số đó chia hết cho 9.[6]
Bài giải


A   0;1; 2;3; 4;5;6

Số cần lập có dạng a1a2a3 (a1 �0). Vì a1a2a3 M9 nên (a1 + a2 + a3 ) M9
Các bộ số gồm 3 chữ số khác nhau của tập hợp A có tổng chia hết cho 9 là
A   0;3; 6 , B   0; 4; 5 ,
C   1; 2; 6 , D   1;3; 5 , E   2;3; 4
* Từ mỗi bộ có chữ số 0 ( tập A và B)
 Có 2 cách chọn a1
 Có 2! cách chọn bộ hai số a2a3
 Tất cả có 2.2! = 4 (số) thỏa mãn bài toán
* Từ mỗi bộ không có chữ số 0 (tập C, D, E) lập được 3! = 6 (số) thỏa mãn bài
toán.
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 2.4 + 3.6 =26( số)
Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp A   0;1; 2;3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên lẻ, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba

chữ số cuối 1 đơn vị.[4]
Bài giải
Số cần lập có dạng a1a2a3a4a5a6 (a1 �0, a6 lẻ, ai �aj, ai �A)
Theo bài ra a1 +a2 +a3 = a4 +a5 +a6 + 1
lại có a1 +a2 +a3 + a4 +a5 +a6 = 0 +1+2+3+4+5 = 15 nên a1 +a2 +a3 = 8
a4 +a5 +a6 = 7
Có ba trường hợp thỏa mãn bài toán
Trường hợp 1: a1 ,a2 ,a3 � 1;3; 4 ,và a4 ,a5 ,a6 �  0; 2; 5
 Có 3! cách chọn bộ 3 số a1a2a3

13


 Có 1 cách chọn a6
 Có 2! cách chọn bộ 2 số a4a5
Trường hợp này có 3!. 1. 2! = 12(số)
Trường hợp 2: a1 ,a2 ,a3 � 0;3; 5 ,và a4 ,a5 ,a6 �  1; 2; 4
Có 2 cách chọn a1

Có 2! cách chọn bộ 2 số a2a3

Có 1 cách chọn a6

Có 2! cách chọn bộ 2 số a4a5

Trường hợp này có 2.2!. 1. 2! = 8(số)
Trường hợp 3: a1, a2, a3 � 1; 2; 5 ,và a4, a5, a6 �  0;3; 4
Tương tự trường hợp 1 có 12 số thỏa mãn trường hợp 3
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 12 + 8 + 12 = 32 (số)
Bài tập tự luyện

Bài 1: Từ các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có
ba chữ số khác nhau mà tổng 3 chữ số đó bằng 8 và
a) Các chữ số khác 0
b) Các chữ số không yêu cầu khác 0
Bài 2: Cho A   1; 2;3; 4;5 . Từ các chữ số thuộc tập hơp A lập được bao nhiêu số
tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi một khác nhau và có tổng các chữ số bằng 10.
[3]
Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số hoặc so sánh các
chữ số
Việc so sánh các số tự nhiên phải so sánh theo thứ tự các chữ số từ trái qua phải
và thường xảy ra nhiều trường hợp. Để không bỏ sót trường hợp, khi giảng dạy
dạng này giáo viên nên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây so sánh số.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số có dạng abcd sao cho a �0,
a < b Bài giải
Vì a �0, a < b < c � d nên a, b, c, d �X   1;2;3; 4;5;6; 7;8; 9
Trường hợp 1 : 1 � a < b < c < d
 Số tập con gồm 4 chữ số khác nhau của tập hợp X là C94
 Từ mỗi tập 4 chữ số đó chỉ có một cách sắp xếp để tạo thành số abcd
Tất cả có C94 . 1 = 126 (số) thỏa mãn trường hợp 1
Trường hợp 2 : 1 � a < b < c = d
 Số tập con gồm 3 chữ số khác nhau của tập hợp X là C39
 Từ mỗi tập 3 chữ số đó chỉ có một cách sắp xếp để tạo thành số abcd
Trường hợp này có C39 . 1 = 84 (số)
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 126 + 84 = 210 ( số)
Ví dụ 2: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

14

nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789. [4]
Phân tích
A   1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9

Gọi số cần lập là abc ( c chẵn, a, b, c đôi một khác nhau lấy từ A)
 Sau khi vẽ sơ đồ cây so sánh số cần lập với 789, ta nhận thấy: Việc giải
trực tiếp bài toán xảy ra nhiều trường hợp. Vì vậy, ta giải bài toán bằng
cách tìm phần bù.
 Số các số cần lập = Số số chẵn có 3 chữ số khác nhau - Số số chẵn có 3
chữ số khác nhau và lớn hơn 789
 Sơ đồ cây thể hiện các trường hợp số chẵn abc lớn hơn 789
abc  789

a >7
b t�
y�
c ch�
n

a =7
b >8
c ch�
n

a =7
b =8
c >9, c ch�
n (kh�
ng x�
y ra )

Trong hai trường hợp trên, trường hợp a > 7, b tùy ý, c chẵn có hai chữ số a và c
có điều kiện nên ta tiếp tục cách phân tích của dạng 1 để giải bài toán.
Bài giải
A   1; 2;3; 4; 5; 6; 7;8; 9

* Từ các chữ số của tập hợp X ta lập các số chẵn dạng abc ( c chẵn, a, b, c đôi
một khác nhau lấy từ A )
Có 4 cách chọn c
 Có A 82 cách chọn bộ hai số ab
Tất cả có 4. A 82 = 224(số)
* Từ các chữ số của tập hợp A ta lập các số chẵn dạng abc có 3 chữ số khác nhau
và lớn hơn 789
Trường hợp 1: a = 7, b > 8 , c chẵn
 Có 4 số 792; 794; 796; 798
Trường hợp 2 : a > 7, a chẵn, b bất kỳ, c chẵn
 Có 1 cách chọn a
 Có 3 cách chọn c
 Có 7 cách chọn b
Trường hợp này có 1.3.7 = 21(số)
Trường hợp 3: a > 7, a lẻ, b bất kỳ, c chẵn
 Có 1 cách chọn a
 Có 4 cách chọn c
 Có 7 cách chọn b
Trường hợp này có 1.4.7 = 28(số)

15


Do đó, số các số chẵn dạng abc có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 789 là

4 + 21 + 28 = 53
Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 224 - 53 = 171( số)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số abc a �0 sao cho 3 chữ số a,
b, c khác nhau theo thứ tự tăng dần.[3]
Bài 2: Cho tập hợp A   0;1; 2;3; 4; 5; 6; 7 . Hỏi từ tập hợp A có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó đều lớn hơn
2011.[4]
Bài 3: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn
2012[5]
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy với việc
nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo dõi đánh giá hoạt động của
cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình dạy học căn cứ vào mục
tiêu của buổi học. Kết hợp với cách đánh giá này, tôi cho học sinh làm bài kiểm
tra 45 phút trên tiết dạy thêm. Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm với đối tượng
là học sinh lớp 11. Nhìn chung, trình độ học sinh các lớp khảo sát là tương
đương nhau về tư duy, về khả năng tiếp thu kiến thức.
- Lớp đối chứng là: 11C2 năm học 2018- 2019, sĩ số 40
Giáo viên dạy bài toán lập số theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập như
SGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia không
phân dạng.
- Lớp thực nghiệm là: 11C1 năm học 2018- 2019, sĩ số 41
Giáo viên dạy theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập như sáng kiến kinh
nghiệm theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học.
Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi Đại học, đề
thi HSG các Tỉnh trong những năm vừa qua và giáo viên tự biên soạn.

Đề kiểm tra 45 phút
I. Trắc nghiệm khách quan( 3 điểm)
Câu 1: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số khác nhau?
A. 44

B. 24

C.1

D.42

Câu 2: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5
chữ số đôi một khác nhau?

16


A. 2520

B. 900

C.1080

D.21

Câu 3: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5
chữ số?
A. 3888

B. 360

C.15

D.120

Câu 4: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số khác nhau và lớn hơn 300.000
A. 5!.3!

B. 5!.2!

C. 5!

D. 5!.3

Câu 5: Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6. có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 8 chữ
số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần
A. 6720

B. 720

C. 40320

D.2520

Câu 6: Từ các chữ số 0,1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác
nhau và có tận cùng bằng 2.
A. 12

B. 3

C. 11

D.24

II.Tự luận( 7 điểm)
Câu 7: Cho tập A={0;1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau chọn trong A sao cho số đó chia hết cho 15.[6]
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ
có một chữ số lẻ ?

Hướng dẫn chấm
Câu

Đáp án

Điểm

1
2
3
4
5
6
7

1B
2B
3A

4D
5D
6C

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

A={0;1; 2; 3; 4; 5; 6}.
* Gọi số tự nhiên cần lập là X  abcde ( a �0 , a;b;c;d;e đôi một 0.25
khác nhau lấy từ tâp A).
* Vì X M15 nên X M3 và X M5. Do đó
(a + b + c + d +e ) M3 và e� 0; 5

0.25

17


* Các tập con gồm 5 phần tử của tập hợp A có tổng chia hết
cho 5 và chứa ít nhất một trong hai phần tử 0; 5là
A 1   0;1; 2;3; 6 , A 2   0; 2;3; 4; 6 , A 3   1; 2;3; 4; 5 , A 4   1; 2; 4; 5; 6

, A 5   0;1; 2; 4; 5 , A 6   0;1;3; 5; 6 , A 7   0;3; 4; 5; 6

0.5

 Có 4 tập chứa đúng một trong hai số 0 hoặc 5. Từ mỗi
tập này có 1 cách chọn e, có P4 cách lập số abcd . Do đó từ 4
tập này có 4 . 1.P4 = 96 ( số) thỏa mãn bài toán

1.0

 Có ba tập có chứa cả hai chữ số 0 và 5
Từ mỗi tập này:
- Nếu chọn e = 0 thì có P4 = 24 (số) thỏa mãn bài toán
- Nếu chọn e = 5 thì có 1 cách chọn e, 3 cách chọn a và P3
lập bộ hai số bc nên có 1.3.P3 = 18 số thỏa mãn bài toán
Do đó, từ 3 tập có chữ số 0 và 5 có 3(24 + 18) = 126 (số) thỏa 1.0
mãn bài toán
Vậy số các số chia hết cho 15 là 96 + 126 = 222(số)

0.5

A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

8

Gọi số tự nhiên cần lập là a1a2a3a4a5a6 ( a1 �0; ai �aj ), các chữ
số lấy từ tập A
 Có 5 khả năng chọn một chữ số lẻ từ tập A
 Với mỗi cách chọn một chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn có

0.5

hai trường hợp để lập được số a1a2a3a4a5a6
Trường hợp 1: a1 là chữ số lẻ

- Có 1 cách chọn a1
- Có P5 cách sắp thứ tự 5 chữ số chẵn vào các vị trí từ a2 đến a5
Trường hợp này có 1. P5 = 120 (số)
Trường hợp 2: a1 là chữ số chẵn
- Có 4 cách chọn a1
- Có P5 cách sắp thứ tự 5 chữ số còn lại vào các vị trí từ a2 đến a5

Trường hợp này có 4. P5 = 480 (số)

0.5
0.5
0.5
0.5

18


Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 5.(120 + 480) = 3000 (số)

1.0

Bảng phân bố tần số kết quả bài kiểm tra
Lớp

Số
HS

Điể

Điểm số

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m
TB

Thực
nghiệm 41 0
0
0

0
3
6
5
9
8
6
4
7,1
11C1
Đối
chứng
40 0
0
1
3
3
8
10 11 4
0
0
5,8
11C2
Sau khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm trong thực nghiệm giảng dạy, đồng
thời tiến hành kiểm tra đối chứng tôi nhận thấy:
- Học sinh không còn lúng túng khi giải các bài tập lập số và đã làm được phần
lớn các bài tập như lớp các bài tập vận dụng trong đề tài.
- Các nhóm học sinh hào hứng hơn, chủ động hơn khi giải các bài toán lập số.
Các em có tư duy rõ ràng hơn, lôgic hơn khi phân tích tìm lời giải cho các bài
toán này. Từ đó, các em tự tin hơn khi tự học ở nhà.

- Các em học sinh khá, giỏi đã có những liên tưởng thú vị từ tư duy của bài toán
lập số vào quá trình chia trường hợp, nhận dạng các quy tắc khi giải các bài toán
đại số tổ hợp khác.
- Kết quả bài kiểm tra trên lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng dù học sinh ở
hai lớp có khả năng tư duy, mức độ tiếp thu kiến thức gần như tương đương.
- Các đồng nghiệp trong trường cũng đã áp dụng hệ thống phân dạng trên vào
giảng dạy và thu được kết quả đáng khích lệ.
- Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2018 - 2019, tôi cùng tổ
chuyên môn đã vận dụng chuyên đề này ôn tập cho các em. Kết quả kì thi HSG
cấp tỉnh năm học 2018 - 2019 có 01 học sinh đạt giải Ba, đây là thành tích xuất
sắc sau nhiều năm lỗ lực hết mình của thầy và trò ở một trường thược vùng kinh
tế khó khăn. Cùng các đội tuyển khác của Nhà trường xếp thứ 52 toàn tỉnh, tăng
12 bậc so với năm học 2017 - 2018.

PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trên thực tế, mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau tùy theo cách
phân tích của mỗi người. Vì vậy, khi học theo tài liệu này học sinh không nên

19


học một cách máy móc để áp dụng vào các bài toán nguyên dạng mà cần học cái
cốt lõi của nó. Đó là hình thành cho mình cách tư duy lôgic để tìm ra lời giải.
Thực chất quá trình tìm lời giải cho một bài toán là sự huy động kiến thức,
tổng hợp và sâu chuỗi các kiến thức có liên quan tạo thành những suy luận lôgic
và đúng hướng. Từ đó, người học đưa ra được các phương án giải quyết khác
nhau cho một vấn đề và điều quan trọng là chọn được phương án tối ưu nhất.
Một khi học sinh đã có những lí giải tường minh cho những vấn đề mà bản thân
còn băn khoăn sẽ tạo hứng thú thật sự cho các em trong học tập. Điều đó thúc

đẩy các em tiếp tục nổ lực, tìm tòi, lĩnh hội thêm những tri thức mới. Đồng thời,
nó giúp các em luôn tìm thấy điều thú vị trong giải toán.
Đây là một chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 và học
sinh ôn thi ĐH, CĐ, ôn thi học sinh giỏi.
Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy
bài toán lập số.
Qua quan sát tư duy của nhóm học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy đề tài có thể
mở rộng theo hướng: Phát triển tư duy của bài toán lập số vào giải một số bài
tập đại số tổ hợp khác.
3.2.Kiến nghị
Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề:" Một số dạng toán
lập số thường gặp”. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng
nghiệp, các đồng chí trong hội đồng khoa học ngành để sáng kiến kinh nghiệm
của tôi được hoàn thiện hơn và được các bạn đồng nghiệp áp dụng rộng rãi
trong giảng dạỵ Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lê Văn Trung

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) NXB Giáo dục(2007)Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ban cơ bản và ban
nâng cao.
2) NXB Giáo dục2006).Bài tập Đại số và giải tích 11 ban cơ bản và ban nâng
cao.

20

3) NXB Giáo dục. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 440, số 443, số 451.
4) Vũ Trí và Trần Hà- NXB Hà Nội(2012).Tuyển tập 39 đề thi thử đại học môn
toán.
5) Một số đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa.
6) Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò- NXB Đại học quốc gia Hà Nội(2010). Bộ đề
thi tự luận toán học

21