SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số hợp vào giải các bài toán về hàm số

MỤC LỤC
Nội dung
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5. Nội dung điểm mới của sáng kiến.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận.
2.2.Thực trạng của vấn đề.
2.3. Giải pháp cụ thể.
2.3.1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
2.3.2. Các bài toán về cực trị của hàm số
2.3.3. Bài tập tự luyện.
2.3.4. Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Trang
2
2
2
3
3
3
3
3

5
5
5
10
16
17
19
19
19
20
21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Dạy Toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài
toán là phương tiện hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinh
nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải
toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Do đó tổ
chức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán.
Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có
chỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học
sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên
nhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc phát
hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay
trong các giờ học Toán. Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp
sai lầm.

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong
quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu
tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp
với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Ý thức được điều đó,
tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng
tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến
thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu,
cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu như
không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT việc khai thác theo hướng trắc
nghiệm là vấn đề rộng và khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,
tính chất, khả năng phát hiện nhanh kiến thức và một số kỹ năng khác. Trong
thực tế nhiều học sinh còn nặng nề, máy móc bước giải, công phu nặng tính hàn
lâm theo hướng tự luận trước kia. Vì thế trong quá trình giải quyết vấn đề học
sinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến chọn kết quả sai. Qua thực tế giảng
dạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học
sinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành
Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông”
và sự đổi mới thi và đánh giá như kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay tôi nhận thấy
rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến
kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn
điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số là bài
toán được khai thác kiến thức từ sách giáo khoa theo hướng nắm chắc kiến thức,
áp dụng đúng bản chất Toán, phát hiện nhanh vấn đề. Đây là hướng khai thác
mới. Trong đó đề thi THPT Quốc Gia và đề thi minh họa các năm trước đây khai
2

thác ở mức độ sâu, rộng có những câu ở mức độ vận dụng cao. Vì vậy đề tài
“Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số
và hướng khắc phục” là sự cần thiết để ôn tập cho học sinh.
Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có)
và rèn luyện kĩ năng phát hiện sai lầm, giải đúng, giải nhanh các bài toán trong
các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
+) Học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định 1.
+) Học sinh lớp 12A2 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng bám vào cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ
sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm
trước đây; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân
tích, nhận dạng, phát hiện nhanh và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể.
Phương pháp xác định, phân tích một số sai lầm rồi đưa hướng khắc
phục theo từng nhóm nội dung kiến thức: Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến
phân định rõ theo nhóm nội dung kiến thức. Dựa trên từng ví dụ cụ thể để chỉ ra
các sai lầm thường gặp, phân tích sai lầm, đưa ra hướng khắc phục sai lầm đó.
Phương pháp thực hành: Ra bài tập tự luyện cho từng nhóm nội dung
kiến thức; Soạn và thiết kế đề thi trắc nghiệm theo hướng rèn luyện, phát triển
năng lực học sinh tại lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 và lớp12A2 năm học
2018-2019.
1.5. Nội dung điểm mới của sáng kiến.
Chỉ ra một số sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số,
phân tích nguyên nhân sai lầm, đưa ra hướng khắc phục các sai lầm đó. Đặc biệt
trong một số dạng toán có khái quát hóa vấn đề, nêu hướng sử lý nhanh phù hợp
với kỳ thi theo hướng trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG hiện nay mà hầu như nội
dung này các tài liệu đề cập một cách có hệ thống còn hạn chế.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận
Dựa vào sự khai thác các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia các năm.
Dựa vào các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu, cực trị của hàm số trong chương
“Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” sách giáo khoa Đại số và
giải tích lớp 12 nâng cao.
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
1) Định nghĩa. Giả sử K là một khoảng và f là hàm số xác định trên K.
+) Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
x1 , x2 �K , x1 < x2  f(x1) < f(x2);
+) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
x1 , x2 �K , x1 < x2  f(x1) > f(x2).
3


2) Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc I thì hàm số đồng biến trên I.
b) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc I thì hàm số nghịch biến trên I.
c) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc I thì hàm số không đổi trên I.
3) Định lý. (mở rộng định lý trên)
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I (I có thể là khoảng, đoạn, nửa
'
'
khoảng). Nếu f ( x) �0, x �I (hoặc nếu f ( x) �0, x �I ) và f’(x) = 0 chỉ xảy
ra tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
2.1.2. Cực trị của hàm số
1) Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên tập D và x0 �D .
+) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao
�
�x0 � a; b  �D

cho: �
.
�f  x   f  x0  x � a; b  \  x0 
+) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng  a; b  sao
�
�x0 � a; b  �D
cho: �
.
�f  x   f  x0  x � a; b  \  x0 
+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
x0
f  x0 
 x0 ; f  x0  
Điểm cực đại
của f ( x)
Điểm cực tiểu
của f ( x)
Điểm cực trị của
f ( x)

Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại của đồ thị hàm
của f ( x)
số f ( x)
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm
của f ( x)
số f ( x)
Cực trị của f ( x)
Điểm cực trị của đồ thị hàm số

f ( x)

2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm f ( x) đạt cực trị tại x0 . Khi đó, nếu f ( x) có đạo hàm tại x0 thì
f '  x0   0 .
* Chú ý. Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm
số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1:
+) Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 (theo chiều tăng) thì
f ( x) đạt cực đại tại x0 ;
+) Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 (theo chiều tăng) thì
f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
b) Quy tắc 2:
4


Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) chứa x0 và

�
�f '  x0   0
thì x0 là điểm cực đại của hàm số f ( x) ;
�f "  x0   0

+) Nếu �

�
�f '  x0   0
thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f ( x) .
�f "  x0   0

+) Nếu �

* Chú ý. Mệnh đề đảo của mệnh đề trên chưa hẳn đã đúng.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với việc khai thác những bài toán về
tính đơn điệu, cực trị học sinh mắc nhiều sai lầm do không nắm vững kiến thức
cơ bản, bản chất kiến thức toán không được vận dụng nên máy móc, lúng túng
trong chọn đáp án.
Khi gặp bài toán ở mức độ đơn thuần thì học sinh có thể giải quyết được.
Khi bài toán mức độ khai thác sâu hơn, rông hơn thì học sinh lúng túng và
không có định hướng chọn đáp án, giải bài toán một cách chủ động.
Từ thực tế đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm, trong quá
trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong việc
chọn, nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. Vì vậy tôi xây dựng đề tài
này để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia.
2.3. Giải pháp cụ thể.
Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những
sai lầm, bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra cũng như đưa ra
hướng khắc phục cho một số sai lầm đó:
2.3.1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số
3x  1
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y =
.
x 1
Lời giải sai
+) Tập xác định của hàm số là D = �\  1 .
4
+) Ta có y’ =
, x �D

( x  1) 2
+) Bảng biến thiên:

+ Vậy hàm số nghịch biến trên   �; 1 � 1;  � .
Nguyên nhân sai lầm:
- Máy móc không nắm rõ khái niệm dẫn tới bước kết luận sai.

5


- Chẳng hạn nếu lấy x1 = - 2�D và x2 = 2 �D thì x1 < x2 tuy nhiên f(- 2) =

5
>
3

7
f(2) =  , mâu thuẩn với định nghĩa.
3
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là D = �\  1 .
4
+) Ta có y’ =
, x �D
( x  1) 2
+) Bảng biến thiên:

+ Vậy hàm số nghịch biến trên   �; 1 và  1;  � .
4
Ví dụ 2. Xét tính đơn điêu của hàm số y = x  .

x
Lời giải sai:
x2  4
’
+) Ta có y =
x2
2
+) y’ = 0 � x  4  0 � x  �2

Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   �;  2  và
 2;  � , nghịch biến trên khoảng   2; 2  .
Nguyên nhân sai lầm:
- Lời giải trên không chỉ ra tập xác định của hàm số dẫn tới bước kết luận sai.
- Lẽ ra phải có tập xác định của hàm số là �\  0 .
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là �\  0 .
+) Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   �;  2  và
 2;  � , nghịch biến trên mỗi khoảng   2; 0  và  0; 2  .
4
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 – 2x2 + x – 3.
3
Lời giải sai
1
+) Ta có y’ = (2x – 1)2 > 0, x � .
2
� 1 � �1
�
 �; �và � ;  ��.
+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �
� 2 � �2

�
6


Nguyên nhân sai lầm:
- Máy móc vận dụng định lý điều kiện đủ của tính đơn điệu không đúng dẫn tới
sai bước kết luận.
- Lưu ý rằng phải vận dụng định lý mở rộng:
'
Nếu f ( x ) �0, x �I và f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của I thì
hàm số đồng biến trên I.
Lời giải đúng:
1
+) Ta có y’ = (2x – 1)2 �0, y’ = 0 tại x  .
2
1
� 1� �
�
 �; �và � ;  ��
+) Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng �
.
2
� 2� �
�
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x – 1 + 4  x 2 .
Lời giải sai
+) Tập xác định của hàm số là D =  2; 2 .
x
'
+) Ta có f ( x)  1 

4  x2
x
'
 0 � 4  x2  x � x  � 2
Cho f  x   0 � 1 
2
4 x
+) Bảng biến thiên:
00

+) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng





khoảng 2;  2 và







2; 2



và nghịch biến trên các

2; 2 .

Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm trong việc xác định sai điểm tới hạn dẫn tới sai bảng biến thiên.
Chẳng hạn  2 không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác hàm số không xác định tại x  � 2 .
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là D =  2; 2 .
x
'
+) Ta có f ( x)  1 
4  x2
Đạo hàm không xác định tại x  �2

7


'
Cho f  x   0 � 1 

�x �0
 0 � 4  x2  x � �
�x 2
2
2
4 x
4

x


x
�
x

2

+) Bảng biến thiên:
x

-2

y�

+

2

2
0



2 2 1

y

-3



1

2; 2 và nghịch biến trên nửa
+) Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng �
�
khoảng 2; 2 �
�.
1
Ví dụ 5. Tìm m để hàm số y = x3 – mx2 + (m + 2)x + 1 đồng biến trên �.
3
Lời giải sai:
Hàm số đồng biến trên � � y’ > 0, x � �
� x2 – 2mx + m + 2 > 0, x � �
� '  0
� m2 – m - 2 > 0 � - 1 < m < 2.
Nguyên nhân sai lầm:
- Điều kiện f’(x) > 0, x �(a; b) là điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b),
chứ không phải điều kiện cần. Dẫn tới lập điều kiện bài toán sai.
- Lưu ý rằng phải vận dụng định lý mở rộng:
Nếu f(x) xác định trên (a; b), f’(x) �0 x �(a; b) nhưng f’(x) chỉ triệt tiêu tại
hữu hạn điểm trên (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b).
Chẳng hạn hàm số y = x3 đồng biến trên �. Tuy nhiên f’(x) �0, x � � và
đẳng thức xảy ra chỉ tại x = 0.
Lời giải đúng:
Hàm số đồng biến trên � � y’ �0, x � �
� x2 – 2mx + m + 2 �0, x � �
�  ' �0
� m2 – m - 2 �0 � - 1 � m �2.
x3
Ví dụ 6. Tìm m để hàm số y =

đồng biến trên   �; 1 .
xm
Lời giải sai
Hàm số đồng biến trên   �; 1 � y’ �0, x �  �; 1
m3
�
�0, x �  �; 1
( x  m) 2



8


� - m + 3 �0 � m �3.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm khi xác định: Hàm số đồng biến trên   �; 1
m3
�
�0, x �  �; 1
( x  m) 2
� - m + 3 �0.
- Lưu ý rằng lẽ ra phải kèm theo yêu cầu (x – m)2 �0, x 1
۹ x m, x  1
۳ m 1.
- Với m = 3 thì y’ = 0 khi đó hàm số trở thành y = 1, với x �3 không đồng biến
trên   �; 1 .
Lời giải đúng:
m  3
'

2
Ta có y 
 x  m
+) TH1. Khi y’ = 0 � m = 3 thì y = 1, với x �3 không đồng biến trên   �; 1 .
m 3  0
�
m3
�
��

+) TH2. y’ > 0, x    �; 1 � �
m �  �; 1
m �1
�
�

1 m

3.

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
y

��
tan x  2
đồng biến trên khoảng �0; �.
tan x  m
� 4�

Lời giải sai:

Đặt t  tan x
t 2
. Tập xác định: D  �\  m
t m
2 m

Xét hàm số f  t  
Ta có f '  t  

 t  m

2

.

��
Để hàm số y đồng biến trên khoảng �0; �khi và chỉ khi: f '  t   0
� 4�

�

2 m

 t  m

2

 0 � 2 m  0 � m  2

Nguyên nhân sai lầm:

- Sai lầm do không tìm điều kiện của t trên cơ sở điều kiện của x;
- Sai lầm do không chú ý tới điều kiện có nghĩa của hàm số f(t).
Lời giải đúng:
��

Đặt t  tan x , vì x ��0; �� t � 0;1
� 4�

9


t 2
t � 0;1 . Tập xác định: D  �\  m
t m
2 m

Xét hàm số f  t  
Ta có f '  t  

 t  m

 

2

.

��
Để hàm số y đồng biến trên khoảng �0; �khi và chỉ khi: f '  t   0 t � 0;1
� 4�

�
m 2
�
2

m

0
�
2 m
�
m �0 �
�
 0 t � 0;1 � �
� ��
2
m
�
0
;1
�
�m �1
t m
�
��



 



 

�
m �0
�
1 �m  2
�

* Khái quát vấn đề (Chọn nhanh đáp án theo định hướng đề thi trắc nghiệm).
1) Hàm sồ y  ax3  bx2  cx  d (a �0)
�
a0
�
Để hàm đồng biến trên �thì y ' �0, x �R , tức là: �
y ' �0
�
�
a0
�
Để hàm nghịch biến trên �thì y ' �0, x �R , tức là: �
y ' �0
�
ax  b
1) Hàm sồ y 
(ac �0).
cx  d
Nếu ad  bc  0 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Nếu ad  bc  0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

2.3.2. Các bài toán về cực trị của hàm số
Ví dụ 8. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = x3 + 1?
Lời giải sai:
+) Tập xác định D  �
+) Ta có f’(x) = 3x2
f’(x) = 0 � 3x2 = 0 � x = 0
+ Suy ra hàm số đạt cực trị tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do không nắm vững định lý. Đạo hàm có nghiệm x = 0. Tuy nhiên đạo
hàm không đổi dấu khi qua điểm x = 0.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định D  �
+) Ta có f’(x) = 3x2
f’(x) = 0 � 3x2 = 0 � x = 0
+) Bảng biến thiên
x
y'

�

0
+

�

10


�

y
�

1

+) Vậy hàm số không có cực trị.
Ví dụ 9. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = 2 x  4 ?
Lời giải sai:
+) Tập xác định D  �
2, khi x  2
�
'
+) Ta có f ( x)  �
2, khi x  2
�
+) Hàm số không có đạo hàm tại x = 2.
+) Vậy hàm số không có cực trị.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do hiểu sai chú ý sau định lý điều kiện cần: Hàm số chỉ có thể đạt cực
trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không
có đạo hàm.
- Với x = 2 thì đạo hàm không xác định. Từ đó vội vàng khẳng định hàm số
không có cực trị tại x = 2.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định D  �
2, khi x  2
�
'
+) Ta có f ( x)  �
2, khi x  2

�
+) Bảng biến thiên
�
�
x
2

y'
+
�
�
y
1
+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Ví dụ 10. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = x  6 3 x 2 .
Lời giải sai:
+) Tập xác định D  �
4
4
'
'
+) Ta có f ( x)  1  3 . Cho f ( x)  0 � 1  3  0 � x  64 .
x
x
�
x
64

y'
0

+
�
y

�
�

CT
+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 64.
Nguyên nhân sai lầm:
11


Sai lầm do: Hiểu sai quy tắc 1. Không để ý tới điều kiện xác định của đạo hàm.
Dẩn tới chỉ sai điểm tới hạn (Xét dấu sai).
Lời giải đúng:
+) Tập xác định D  �
4
'
+) Ta có f ( x)  1  3 , ( x �0)
x
4
'
Cho f ( x)  0 � 1  3  0 � x  64 .
x
+) Bảng biến thiên
�
�
x
2

64

y'
+
0
+
�
y
0
�
- 32
+) Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 64.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x 4 + mx đạt
cực tiểu tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Tập xác định D  �
+) Ta có f’(x) = 4x3 + m và f”(x) = 12x2
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi
4.0  m  0
�f ' (0)  0
�
��
, vo nghiem
� ''
12.0

0
f
(0)


0
�
�
+) Vậy hàm số trên không có cực tiểu tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x 0 khi và chỉ
�
�f '  x0   0
là đúng”
�f "  x0   0

khi �

- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu …. thì”. Tức là
mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Lời giải đúng:
+) Ta có f’(x) = 4mx3
'
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 � f (0)  0 � m = 0.
+) Với m = 0 ta có bảng biến thiên sau:

x
y'

�



0
0

�

+
12


y
0
+) Vậy với m = 0 thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Ví dụ 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = mx 4 đạt cực
đại tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Ta có f’(x) = 4mx3 và f”(x) = 12mx2
+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:
4m.0  0
�f ' (0)  0
�
��
, vo nghiem
� ''
12
m
.0

0
f
(0)

0

�
�
+) Vậy hàm số không đạt cực đại tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại tại x = x0 khi và chỉ
�
�f '  x0   0
là đúng”
f
"
x

0
�  0

khi �

- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu …. thì”. Tức là
mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Chẳng hạn với m = - 1 thì hàm số là y = f(x) = - x 4. Hàm số này đạt cực đại tại x
= 0.
Lời giải đúng:
+) Ta có f’(x) = 4mx3
+) Nếu m = 0 thì f’(x) = 0. Khi đó hàm đã cho là hàm hằng nên không có cực trị.
+) Nếu m > 0 thì f’(x) = 4mx3 = 0 � x = 0. Ta có bảng biến thiên:
�
�
x
0
y'

0
+
�
�
y
0
+) Nếu m < 0 thì f (x) = 4mx = 0 � x = 0. Ta có bảng biến thiên:
�
�
x
0

y'
+
0
y
0
’

3

�

�

+) Vậy m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Ví dụ 13. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = f(x) = x 4 + mx3 + 1 đạt cực
tiểu tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Tập xác định D  �

+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 và f”(x) = 12x2 + 6mx
13


+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:
4.03  3m.02  0
�f ' (0)  0
�
�� 2
, vo nghiem
� ''
12.0  6m.0  0
�f (0)  0
�
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x 0 khi và chỉ
�
�f '  x0   0
là đúng”
�f "  x0   0

khi �

- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu …. thì”. Tức là
mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Chẳng hạn với m = 0 thì hàm số là y = f(x) = x 4 + 1. Khi đó hàm số đạt cực tiểu
tại x = 0.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định D  �

x0
�
2
+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 . Cho f’(x) = 0 � x (4 x  3m)  0 � �
3m
�
x
�
4
Với m = 0 ta có bảng biến thiên
�
�
x
0
y'
0
+
�
�
y
1
Với m < 0 thì ta có bảng biến thên
x
�
0
y'
y

�

-

0

-

3m
4
0

�

+

�

1
CT
Với m > 0 thì ta có bảng biến thiên
x
3m
�
4
y'
0
+
�
y

�

0
0

+

�

1
CT
+) Vậy với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Ví dụ 14. Tìm các giá trị của m để hàm số y  x 4  (5  2m) x 2  1  m 2 có 1 cực trị.
Lời giải sai:
14


- Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x
x0
�
y’ = 0 � x(2x2 – 5 + 2m) = 0 � � 2
2 x  5  2m  0,(1)
�
- Nhận thấy y’ = 0 luôn có nghiệm cố định x = 0 nên hàm số có 1 cực trị khi
5
phương trình (1) vô nghiệm � 5  2m  0 � m  .
2
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do chưa hiểu rõ bản chất của quy tắc 1. Đó là hàm số có cực trị tại x 0
khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua x0.
- Từ quy tắc 1 trên suy ra để thỏa mãn yêu cầu bài toán khi phương trình 1 phải

có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
Lời giải đúng:
- Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x
x0
�
y’ = 0 � x(2x2 – 5 + 2m) = 0 � � 2
2 x  5  2m  0,(1)
�
- Nhận thấy y’ = 0 luôn có nghiệm cố định x = 0 nên hàm số có 1 cực trị khi
Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiêm.
���
5 2m
 �۳
0

5 2m

0

m

5
.
2

* Khái quát vấn đề (Chọn nhanh đáp án theo định hướng đề thi trắc nghiệm).
1) Đối với hàm số y  ax4  bx2  c (a �0) .
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là: ab
.  0.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab

. �0.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực
�
a0
�
đại và 1 cực tiểu là: �
.
b

0
�
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 1 cực
�
a0
�
đại và 2 cực tiểu là: �
.
b 0
�
�
a0
�
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: �
.
b �0
�
�
a0
�
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: �

.
b
�
0
�
2) Điều kiện để hàm số y  ax3  bx2  cx  d , (a �0) có cực trị .
Phương pháp: Chỉ ra: y '  3ax2  2bx  c  0 có 2 nghiệm phân biệt � y '  0.

15


+ Điều kiện để hàm số y  ax3  bx2  cx  d , (a �0) có cực trị thỏa mãn tính
chất K
Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: y '  3ax2  2bx  c  0 có 2 nghiệm phân
biệt � y '  0.
Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với y '  0 và kết luận.
2.3.3. Bài tập tự luyện
4 3
2
Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x  2 x  x  3 .
3
2x  1
Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y =
.
x2
25  x 2 .
3
2
Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số y = x  mx  x  1 đồng biến trên �.
mx  2

Bài 5. Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên từng khoảng xác định.
2x  m
Bài 6. Tìm m để hàm số y  x3  3x2  3mx  1 nghịch biến trên R.
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y =

Bài 7. Cho hàm số y   x3  mx 2  (4m  9) x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (�; �) ?
Bài 8. Cho hàm số y = x 3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m. Tìm m để hàm số đạt cực
tiểu tại x = 2.
Bài 9. Cho hàm số f (x)  x3  3x2  mx  1.Gọi x1;x2 là hai điểm cực trị của
hàm số. Tìm m để x12  x22  3.
Bài 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y   m  1 x 4  2  m  3 x 2  1 không có cực đại.
Bài 11. Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  1. Với giá trị nào của m thì hàm số
có 3 điểm cực trị.
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
y  x 3  3mx 2  4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng 4 với O là gốc tọa độ.
Bài 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của
hàm số y  x4  2mx2  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông
cân.
Bài 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số
y  x 4  2mx 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
Bài 15. Cho hàm số y   x 4  (m  2) x 2  5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các
giá trị của m để hàm số có 1 điểm cực trị.
16


2.3.4. Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng

Sau đây sáng kiến xin giới thiệu đề kiểm tra áp dụng nội dung sáng kiến
để rèn luyện kĩ năng dưới dạng trắc nghiệm:
3
2
Câu 1. Tập giá trị m để hàm số y  mx  mx   m  1 x  3 đồng biến trên � là:

3

3
�

� �
A. �0; �
� 2�

3

�

3
�2

� �
0;
C. �
� 2�
�

B. � ; ��
2

�
�

�
�
D.  �;0  �� ; ��
�

Câu 2. Tìm m để hàm số y  mx 3  x 2  3x  m  2 đồng biến trên khoảng  3;0  ?
1
9

A. m  0

C. m �

B. m �

1
3

D. m �0

3
2
2
Câu 3. Giá trị m để hàm số y  x  3 x  3  m  1 x đặt cực tiểu tại x  2 là:

A. m  1

B. m  �1

D. m  1

C. m ��1

Câu 4. Cho hàm số f  x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 2
B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 5
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 và đạt cực đại tại x  5
D. Hàm số có đúng một cực trị
1
2

Câu 5. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x 4  3x 2  2 là ?
�
�

5�

A. � 3;  �
2
�

B.  0; 2 

5�
�

C. � 3;  �
�

2�

D.  2;0 

4
2
2
Câu 6. Cho hàm số y  mx   m  9  x  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

m  1
�

A. �
0m2
�

m  3
�

B. �
0m3
�

m3
�

C. �

1  m  0
�

m0
�

D. �
1 m  3
�

1
3

Câu 7. Cho hàm số y  x3  mx 2  x  m  1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị
hàm số có hai điểm cực trị là A  xA ; y A  , B  xB ; yB  thỏa mãn xA2  xB2  2
A. m  �3
B. m  0
C. m  2
D. m  �1
17


Câu 8. Cho hàm số y  x 4  8 x 2  4 . Các khoảng đồng biến của hàm số là:
A.  2;0  và  0; 2 
B.  �; 2  và  2; �
C.  �; 2  và  0; 2 
D.  2;0  và  2; �
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số : y 

 m  1 x  2

xm

từng khoảng xác định:
A. 2 �m �1

B. 2  m  1

�m �1

đồng biến trên
�m  1

C. �
D. �
m �2
m  2
�
�
3
2
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y  2 x  3  m  1 x  6  m  2  x  3
nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. m  0 hoặc m  6
B. m  6
C. m  0
D. m  9
Câu 11. Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên �?
A. y  x 3  3x 2  2
B. y  2 x3  x 2  x  2
C. y   x 4  2 x 2  2

D. y 

x3
x 1

Câu 12. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2 . Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm
cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
A. m  0
B. m  1
C. m  0 �m  1
D. Đáp số khác.
Câu 13. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị:
A. y  2 x 4  4 x 2  1 B. y   x 4  2 x 2  1 C. y  x 4  2 x 2  1
D. y  x 4  2 x 2  1
Câu 14. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  a, b  , f '  x   0x � a, b  . Khẳng
định nào sau đây là khẳng định đúng ?
x2  a, b  : x1 x2
f  x1  f  x2 
A. x1 , x2 � a, b  : x1  x2 � f  x1   f  x2  B. x�
1, 
2  a, b  : x1 x2
f  x1  f  x2  D. x1 , x2 � a, b  : x1  x2 � f  x1   f  x2 
C. x�
1, x
3
Câu 15. Đồ thị hàm số y  x  3mx 2  m  1 không có cực trị khi
A. m �0
B. m>0
C. m<0

D.m=0
Câu 16. Cho hàm số y x 3  3x 2  mx  2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm
số đã cho đồng biến trên khoảng  0; là:
A. m  3
B. m  2
C. m  1
D. m 0
3
4
Câu 17. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x 2  x  1  x  2 . Số điểm
cực trị của hàm số là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3
2
Câu 18. Cho hàm số y  x  3 m  1 x  9 x  m . Giá trị nào của m sau đây thì
hàm số đã cho có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 2 :
A. m  3
B. m  1
C. m 5
D. cả A và B.
4
2
4
Câu 19. Cho hàm số y  x  2mx  2m  m . Tìm m để hàm số đã cho có ba
điểm cực trị và các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 ?
A. m 0
B. m  2

C. m  1
D. m 1
4
2 2
Câu 20. Hàm số y  x  2m x  5 đạt cực đại tại x = - 2 khi:
18


A. m  2 , m  2

B. m  2

C. m  2

D. Không có giá trị m

ĐÁP ÁN
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

C

B

C

B

B

B

D

B

A

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp án

B

B

D

A

D

A

B

D

D

D

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
- Trong năm học 2017- 2018 tôi xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương
đương nhau kiểm tra học sinh ở các lớp 12A2, 12A3.
Đề số 1: Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Đề số 2: Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Tỉ lệ điểm
Lớp
12A
2
12A
3

Sĩ
số

Trước khi áp dụng
SKKN
Giỏi Khá
TB Yếu

Sau khi áp dụng
SKKN
Giỏi
Khá
TB
Yếu

45

8%

28%

54% 10%

25%

52%

21%

2%

44

4%

20%

58% 20%

22%

40%

35%

3%

- Trong năm học 2018- 2019 tôi làm tương tự như năm học 2017- 2018
đối với lớp 12A2 cụ thể kết quả như sau:
Tỉ lệ điểm
Lớp
12A
2

Sĩ
số
43

Trước khi áp dụng
SKKN
Giỏi Khá TB
Yếu
5% 23% 60% 12%

Sau khi áp dụng
SKKN
Giỏi Khá TB
Yếu
18% 43% 37% 2%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong quá trình giảng dạy, ôn tập cho học sinh rèn luyện dạng toán và qua
thực nghiệm tôi nhận thấy: Học sinh đã tự tin hơn khi giải các bài toán vê tính
19


đơn điệu, cực trị của hàm số. Cụ thể học sinh đã có hướng đi rõ ràng, thành thạo
ít vướng các sai lầm như trước khi áp dụng sáng kiến này. Do đó các em hứng
thú học tập hơn. Trên lớp cũng như làm bài tập về nhà học sinh đã tích cực, chủ
động, sáng tạo, độc lập khi giải toán.
Qua việc nêu đề kiểm tra sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy kết quả
học tập của học sinh đã tiến bộ rõ rệt, tỉ lệ học sinh đạt yêu cầu đã được nâng
cao. Trong các lần thi kiểm tra kiến thức thi THPT Quốc Gia do trường và một
số trường THPT trên địa bàn tổ chức thì phần đề liên quan đến tính đơn điệu,
cực trị của hàm số các em làm bài rất tự tin, đạt hiệu quả cao. Điều đó thể hiện
sự thành công trong ứng dụng sáng kiến này.
3.2. Kiến nghị
Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá
trình tham khảo các đề thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018; Các đề minh họa
của các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng.
Sự khó khăn lúng túng hay vướng các sai lầm của học sinh khi giải các
bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số. Bản thân tôi suy nghĩ

và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh, khắc phục các sai
lầm thường gặp, rèn luyện nếp tư duy cho người học. Vì vậy, tôi đề xuất đề tài
“Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số
và hướng khắc phục” nhằm định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận
dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Tôi mong đề tài này được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy và
học toán ghi nhận và được giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp
giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự thay đổi căn bản và toàn diện của ngành
giáo dục.

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Thiều Thanh Hải

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 (NXBGD – 2008).
[2]. Sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (NXBGD – 2008).
[3]. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất –
NXBGD – 2003).
[4]. Chuyên đề sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số trên trang
‘

hoctoan24h.net’.
[5]. Các đề thi minh họa, đề thi chính thức của bộ giáo dục và đào tạo trong kì
thi THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018.
[6]. Đề thi khảo sát lớp 12 các năm 2018, 2019 của Sở giáo dục Đào Tạo Thanh
Hóa.
[7]. Các đề thi kiểm tra kiến thức lớp 12 của một số trường THPT.

21