SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài......................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu...............................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................3
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm...................................................3
2.2. Thực trạng..................................................................................................4
2.3. Các giải pháp thực hiện.............................................................................5
2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất phương
trình........................................................................................................................
5
2.3.2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương
trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước ..........................................9
2.4. Hiệu quả....................................................................................................14
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm.............................................................................15
2.4.2. Kết quả thực nghiệm ............................................................................15
3. KẾT LUẬN
3.1. Kết luận ...................................................................................................16
3.2. Kiến nghị..................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Ngày nay, khi mà trí tuệ đã trở thành yếu tố hàng đầu thể hiện quyền lực và
sức mạnh của một quốc gia, thì các nước trên thế giới đều ý thức được rằng giáo
dục không chỉ là phúc lợi xã hội, mà thực sự là đòn bẩy quan trọng để phát triển

kinh tế, phát triển xã hội.
Ở Việt Nam giáo dục đã và đang được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng
đầu. Chính sách giáo dục mới luôn hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân
trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề. Vì
vậy, ở các trường phổ thông nói chung và trường THPT Lam Kinh nói riêng,
bên cạnh việc quan tâm giáo dục đại trà, thì giáo dục mũi nhọn luôn được coi
trọng. Mỗi giáo viên trong trường dều có ý thức trau dồi chuyên môn, tìm cách
nâng cao hiệu qủa tập của học sinh.
Trong chương trình Toán THPT nội dung phần phương trình, bất phương
trình được phân bố xuyên suốt ở cả ba khối lớp. Tuy nhiên, sách giáo khoa chỉ
giới thiệu những dạng phương trình, bất phương trình đơn giản, và một số
phương pháp giải thường dùng. Trong khi đó, ở đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và
đề thi THPT quốc gia đây lại là một nội dung khó. Vì vậy, tôi rất mong muốn
bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi năng lực giải bài tập phần phương
trình và bất phương trình đáp ứng tốt yêu cầu về kiến thức, kỹ năng để thực hiện
tốt phần bài tập này trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia.
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình được giới thiệu trong chương trình sách giáo khoa khá muộnchương II, Giải tích 12. Nhưng đây lại là phương pháp giải đem lại hiệu quả bất
ngờ, bởi nó giúp giải quyết bài toán nhanh chóng, thuận lợi hơn, gây hứng thú
cho học sinh hơn. Và, tôi đã nghĩ đến việc cho các em tiếp cận phương pháp đó
sớm hơn- ngay từ lớp 10, tạo tiền đề nền tảng cho kỹ năng sử dụng công cụ hàm
số trong giải toán; đồng thời giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc
tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất. Từ đó các em tích lũy được
kiến thức, hình thành được kỹ năng để làm tốt bài tập phần phương trình, bất
phương trình ở cả ba khối.
Xuất phát từ những lí do đó mà tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất
phương trình”
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh hình thành phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình từ lớp 10.
- Cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng để học sinh khá giỏi có thể giải tốt
các bài tập về phương trình và bất phương trình trong các đề thi học sinh giỏi
cấp tỉnh và thi THPT quốc gia.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
2


- Phương trình và bất phương trình vô tỉ, phương trinh lượng giác, phương
trình và bất phương trình mũ, logarit.
- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương
trình và bất phương trình.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp dạy
học môn Toán, nghiên cứu các tài liệu về phương trình và bất phương trình.
- Quan sát, điều tra: Thông qua thực tế giảng dạy của bản thân và học hỏi
kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
- Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm nghiệm kết quả của đề tài được áp dụng
trong thực tiễn dạy học.
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán về phương trình
và bất phương trình học sinh cần nắm vững các kết quả sau:
1, [3] Cho hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
b 

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞ ; − ÷ và đồng biến trên
2a 

 b


khoảng  − ; + ∞ ÷
 2a

b 

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng  −∞ ; − ÷ và nghịch biến trên
2a 

 b

khoảng  − ; + ∞ ÷
 2a

+ Bảng biến thiên
Nếu a > 0
x
b
−
-∞
2a
+∞
y +∞
+∞
∆
−
4a
Nếu a < 0
x
-∞

−

+∞
y

−

b
2a

∆
4a
3


-∞
-∞
2, [5] Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng (a; b) . Nếu f '( x) ≥ 0 (hoặc
f '( x) ≤ 0 ) với ∀x ∈ ( a; b ) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng
(a; b) ( Dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm).
3, Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì
phương trình f ( x) = k , k ∈ ¡ trên khoảng (a; b) có tối đa một nghiệm.
4, Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì
phương trình f (u ) = f (v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b)
5, Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì bất
phương trình f (u ) > f (v) ⇔ u > v, ∀u, v ∈ (a; b)
( hoặc f (u ) > f (v) ⇔ u < v, ∀u, v ∈ (a; b) )
6, Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên tập D
f ( x) ≤ m ≤ max f ( x)

+ Phương trình f ( x) = m có nghiệm trên tập D ⇔ min
x∈D
x∈D
+ Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm trên tập D ⇔ m ≤ max f ( x)
x∈D

f ( x)
+ Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm trên tập D ⇔ m ≥ min
x∈D
+ Bất phương trình f ( x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≤ min f ( x)
x∈D

f ( x)
+ Bất phương trình f ( x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≥ max
x∈D
7, [5] Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2).
Khi đó số nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) chính là số giao điểm của (C1)
và (C2).
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung nền tảng của
toán học phổ thông. Xuất hiện trong chương trình sách giáo khoa ở mức độ rất
cơ bản, nhưng lại xuất hiện ở mức độ vận dụng trong các đề thi học sinh giỏi và
thi THPT quốc gia. Khi tiếp cận các phương trình và bất phương trình không
mẫu mực đa số học sinh lúng túng và không hào hứng. Các phương pháp giải
thường dùng như bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp không có hiệu
quả trong nhiều bài toán hoặc có thể áp dụng được nhưng lại thiếu tính tự nhiên.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất
phương trình
Dạng 1: Phương trình được đưa về dạng f(x) = g(x) (I), trong đó f(x) là

hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng
Các bước giải:
+ Tìm tập xác định của phương trình
+ Đưa phương trình về dạng (I)
+ Chứng minh f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng
4


+ Nhận xét phương trình có tối đa 1 nghiệm, nhẩm để tìm 1 nghiệm và kết
luận đó là nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: [7] Giải phương trình:
4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 (1)
Phân tích: Đối với phương trình (1) học sinh có thể nghĩ đến phương pháp bình
phương hai vế để giải nhưng quá trình biến đổi đại số khá phức tạp. Cũng có thể
nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp nhưng không phải học sinh nào cũng tìm ra
được biểu thức liên hợp. Trong khi đó học sinh có thể dễ dàng nhận ra khi x tăng
thì hai biểu thức trong căn cũng tăng, nghĩa là hàm số ở vế trái đồng biến, trong
khi đó hàm số ở vế phải là hàm hằng. Vì vậy, nếu dùng phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (1) sẽ rất nhanh và thuận lợi.
1

Lời giải : Tập xác định D =  ; + ∞ ÷
4

1

Xét hàm số f ( x) = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 trên tập D =  ; + ∞ ÷
4

2

8x
'
+
> 0 ∀x ∈ D nên hàm số f(x) đồng biến trên tập
Ta có f ( x) =
4x −1
4x2 − 1
1

D =  ; + ∞ ÷. Do đó phương trình f ( x) = 1 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy
4

1
nhất. Mặt khác f ( ) = 1 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1
2
Lời bình: Như vậy sau khi phân tích bài toán, định hướng được cách giải, và
thực hiện theo các bước giải đã được giáo viên nêu ở trên, học sinh có thể đưa ra
được lời giải một cách nhanh chóng và rất tự nhiên. Và các bạn đều có thể thấy
rằng đây là cách giải ưu việt nhất.
Chúng ta cũng có thể tiếp tục khẳng định được sự ngắn gọn, súc tích, sự
tự nhiên, dễ hiểu của phương pháp giải này thông qua các ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 = 2 3 + 4 − x (2)
Phân tích: Đánh giá sơ bộ từ hai vế của phương trình học sinh có thể nhận định
được rằng : nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến một phương
trình bậc cao, nếu nhân với biểu thức liên hợp thì cũng khó để xác định được
biểu thức liên hợp. Vì vậy giáo viên sẽ gợi ý giúp học sinh sử dụng tính đơn điệu
của hàm số để giải phương trình (2)
Nhận xét: Khi giá trị của x tăng giá trị của biểu thức 2 x 3 + 3x 2 + 6 x + 16 cũng
tăng, còn giá trị của biểu thức 4 − x lại giảm
Lời giải: Điều kiện xác định: D = [ −2;4]

Xét hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 ; x ∈ D
Ta có: f ( x) =
'

4 x 2 + 3x + 3
2 x + 3x + 6 x + 16
3

2

> 0 ∀x ∈ D nên f(x) là hàm đồng biến

trên tập D
5


Xét hàm số g ( x) = 2 3 + 4 − x ; x ∈ D
1
,
< 0 ∀x ∈ D nên hàm số g(x) nghịch biến trên tập D
Ta có g ( x) = −
2 4− x
Do đó phương trình (2) có tối đa một nghiệm trên tập D.
Mặc khác: f (1) = g (1) = 3 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
Ví dụ 3: Giải phương trình: x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8 (3)
Với nhận xét x 2 + 15 > x 2 + 8, ∀x ta biến đổi phương trình (3) như sau:
Phương trình (3) ⇔ x 2 + 15 − x 2 + 8 = 3 x − 2
Học sinh có thể nhận xét vế trái luôn dương, vì vậy nếu x ≤

2

thì phương trình
3

(3) vô nghiệm.
2
Khi x > thì hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình thành:
3
x 2 + 15 − x 2 + 8 − 3x + 2 = 0
Sau đó xét f ( x) = x 2 + 15 − x 2 + 8 − 3 x + 2 trên tập ¡

1
1 
'
−
Ta có f ( x) = x  2
÷− 3 < 0, ∀x ∈ ¡
2
x +8 
 x + 15
Do đó hàm sô nghịch biến trên tập ¡ . Mà f(1) = 0. Vậy x = 1 là nghiệm duy
nhất của phương trình (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình: x − 1 = − x3 − 4 x + 5 (4)
Nhận xét: nếu biến đổi phương trình (4) thành x − 1 + x 3 + 4 x = 5 thì dễ dàng
nhận thấy vế trái là một hàm đồng biến, còn vế phải là hàm hằng. Vì vậy sử
dụng chiều biến thiên của hàm số để giải phương trình (4) là lựa chọn tối ưu.
Lời giải:
Tập xác định D = [ 1; +∞ )
Xét f ( x) = x − 1 + x 3 + 4 x, ∀x ∈ D
1
'

+ 3 x 2 + 4 > 0, ∀x ∈ D
Ta có : f ( x) =
2 x −1
Do đó hàm số đồng biên trên tập D, mà f(1) = 5 nên x = 1 là nghiệm duy nhất
của phương trình.
Tiếp theo ta sẽ khẳng định tính ưu việt của công cụ hàm số trong các ví dụ
ở dạng 2.
Dạng 2: Phương trình (bất phương trình) đưa về dạng f(u) = f(v)
(hoặc dạng f(u) > f(v)) (II); trong đó u = u(x), v = v(x), f(t) là hàm đồng biến
hoặc nghịch biến
Các bước giải:
+ Tìm tập xác định của phương trình
6


+ Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng (II)
+ Xét hàm số f(t) và chứng minh f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến
+ Khi đó phương trình f (u ) = f (v) ⇔ u = v
bất phương trình f (u ) > f (v) ⇔ u > v khi f(t) là hàm đồng biến
và f (u ) > f (v) ⇔ u < v khi f(t) là hàm nghịch biến.
+ Giải phương trình u = v (hoặc bất phương trình u > v
hoặc bất phương trình u < v)
+ Kết luận nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 6 x + 5 = x3 − 5 x − 5 (5)
Phân tích: Khi giao bài tập này cho học sinh tôi đã quan sát các em giải quyết
vấn đề. Một số em lúng túng vì các cách mà các em hay sử dụng như lập phương
hai vế, đặt ẩn phụ giờ đây không khả thi. Một số khác tốt hơn đã dùng máy tính
tìm được một nghiệm của phương trình là x = -1, sau đó giải bài toán này bằng
cách nhân liên hợp. Ta hãy theo dõi tiếp cách làm này của các em:
3

6 x + 5 = x3 − 5 x − 5 ⇔ 3 6 x + 5 + 1 = x3 − 5 x − 4
6 ( x + 1)
⇔
= ( x + 1) ( x 2 − x − 4 )
2
3
( 6 x + 5) − 3 6 x + 5 + 1
 x = −1

6
⇔
= x2 − x − 4
2
 3 ( 6 x + 5) − 3 6 x + 5 + 1

Nhưng đến đây các em lại không thể giải được phương trình còn lại.
Chúng ta cũng đều thấy rằng việc giải phương trình còn lại rất phức tạp.
Vậy tại sao ta không áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số để giải phương trình (5).
Trước tiên hướng dẫn các em biến đổi phương trình (5) về dạng (II)
Ta có: 3 6 x + 5 = x3 − 5 x − 5 ⇔ 6 x + 5 + 3 6 x + 5 = x 3 + x (5.1)
3
2
Xét hàm số f ( t ) = t + t có f ' ( t ) = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ ¡ . Nên hàm số đồng biến
trên ¡ .
Do đó:
 x = −1
3
3
3

Pt ( 1) ⇔ f 6 x + 5 = f ( x ) ⇔ 6 x + 5 = x ⇔ x − 6 x − 5 = 0 ⇔ 
1 ± 21
x=

2
1 ± 21
Vậy phương trình (4) có các nghiệm: x = −1; x =
.
2
Ngạc nhiên, thích thú là những điều mà tôi nhìn thấy ở các em. Từ một
bài toán các em đang cho rằng “ khó lắm cô ơi”, một bài toán đang bị “tắc” giữa
chừng, giờ đây các em đã “ chinh phục” được chỉ bằng một vài bước giải rất
ngắn gọn.

(

)

7


x2 + x + 1
= x 2 − 3x + 2 (6)
Ví dụ 2: [8] Giải phương trình: log 3 2
2x − 2x + 3
Lời giải:
2
Đặt u = x 2 + x + 1 ; v = 2 x 2 − 2 x + 3 ( u > 0; v > 0 ) ⇒ v − u = x − 3x + 2 . Khi đó
u
phương trình (6) trở thành log 3 = v − u ⇔ u + log 3 u = v + log 3 v (6.1)

v
1
> 0, ∀t > 0 nên hàm số
Xét hàm số f ( t ) = t + log 3 t
có f ' ( t ) = 1 +
t ln 3
f ( t ) = t + log 3 t đồng biến khi t > 0 .
Do đó từ phương trình (6.1) ta có:
x =1
f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ u − v = 0 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2
Vậy nghiệm của phương trình (6) là x = 1; x = 2
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x3 − x 2 + 3 2 x 3 − 3x + 1 = 3x + 1 + 3 x 2 + 2 (7)
Lời giải:
Biến đổi Pt ( 7 ) ⇔ 2 x3 − 3 x + 1 + 3 2 x 3 − 3x + 1 = x 2 + 2 + 3 x 2 + 2 (7.1)
1
Xét hàm số f ( t ) = t + 3 t có f ' ( t ) = 1 + 3 2 > 0, ∀t ≠ 0 . Do đó hàm số đồng
3 t
biến.
3
2
3
2
Do đó Pt ( 7.1) ⇔ f ( 2 x − 3x + 1) = f ( x + 2 ) ⇔ 2 x − 3 x + 1 = x + 2
1

x
=
−


2
⇔ 2 x3 − x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔ 
1± 5

x
=

2
1
1± 5
Vậy phương trình (7) có các nghiệm là: x = − ; x =
2
2
4
4
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 15 + x − 2 − x > 1 (8)
Lời giải:
Điều kiện: −15 ≤ x ≤ 2
Xét hàm số f ( x ) = 4 15 + x − 4 2 − x trên [ −15;2]
1
1
+
> 0, ∀x ∈ [ −15;2] ,
Ta có f ' ( x ) = 4
3
3
4
4 ( 15 + x )
4 ( 2 − x)

Nên hàm số f ( x ) = 4 15 + x − 4 2 − x đồng biến trên [ −15;2]

Mà f ( 1) = 1 nên 4 15 + x − 4 2 − x > 1 ⇔ f ( x ) > f ( 1) ⇔ x > 1
Kết hợp với điều kiện −15 ≤ x ≤ 2 ta được nghiệm của bất phương trình (8) là
1< x ≤ 2
8


(

)

Ví dụ 5: [8] Giải bất phương trình: log 4 x < log 5 3 + x (9)
Lời giải:
Điều kiện: x > 0
Đặt t = log 4 x ⇔ x = 4t
Khi đó bất phương trình (9) trở thành:

(

)

t

t

1 2
t < log 5 3 + 4 ⇔ 5 < 3 + 2 ⇔ 1 < 3  ÷ +  ÷
5 5
t

t
1  2
Xét hàm f ( t ) = 3  ÷ +  ÷ . Hàm số này là tổng hai hàm đơn điệu giảm nên
5  5
là hàm đơn điệu giảm.
Mặt khác f ( 1) = 1 nên f ( t ) > 1 ⇔ t < 1
Với t < 1 ta có log 4 x < 1 ⇔ x < 4
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình (9) là: 0 < x < 4
Đến đây có lẽ ta không thể phủ nhận được sự “ hấp dẫn” của phương pháp
sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trinh và bất phương trình.
2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để
phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Một số thầy cô thường “để dành” đến khi học về ứng dụng của đạo hàm
mới hướng dẫn các em dùng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và
bất phương trình. Nhưng tôi thiết nghĩ chúng ta nên cho các em tiếp cận phương
pháp này từ lớp 10. Hãy cùng cảm nhận hiệu quả tuyệt vời của nó thông qua các
bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn
điều kiện cho trước
Các bước giải :
+ Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng : f ( x) = g (m) ( hoặc
f ( x) < g (m) hoặc f ( x) > g (m) ) ( Ta thường gọi là bước ‘cô lập’ tham số)
+ Xét hàm số f(x) và lập bảng biến thiên.
+ Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m
Chú ý : Trường hợp phương trình, bất phương trình chứa những biểu thức phức
tạp ta thường phải đặt ẩn phụ theo các bước sau :
+ Đặt ẩn phụ t = u(x)
+ Từ điều kiện của ẩn x, ta tìm điều kiện của ẩn phụ t
+ Đưa phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn x về phương trình (hoặc bất
phương trình) ẩn t, có dạng h(t) = g1(m) (hoặc dạng h(t) > g1(m) hoặc dạng
h(t) < g1(m)).

+ Xét hàm số h(t) và lập bảng biến thiên.
+ Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m
Ví dụ 1: [7] Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2;4]
t

t

t

−4 (4 − x)(2 + x) ≤ x 2 − 2 x + m − 18 (1)
9


Phân tích : Ta có thể biến đổi để phần chứa biến của biểu thức trong căn và biểu
thức ngoài căn trở nên giống nhau. Vì vậy, nên đặt ẩn phụ để đưa bất phương
trình (1) thành một bất phương trình bậc hai quen thuộc. Bước tiếp theo các em
có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai và định lí Viet để giải quyết bài
toán. Nhưng chúng ta hãy hướng dẫn các em giải tiếp bài toán bằng cách sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để xem sự hấp dẫn của phương pháp này
Lời giải:
Tập xác định: D = [ −2;4]
Đặt t = (4 − x)(2 + x) với x ∈ [ −2;4] . Khi đó t ∈ [ 0;3]
( Cách tìm điều kiện của ẩn phụ không phải là nội dung chính của sáng kiến
nên xin phép không trình bày)
Bất phương trình (1) trở thành: m ≥ t 2 − 4t + 10
(1.1)
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2;4] ⇔ Bất phương trình (1.1)
nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;3]
2
Xét hàm số f (t ) = t − 4t + 10; t ∈ [ 0;3] .

Lập BBT của hàm số:

t
f(t)

0

2

3
10

7
6
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2;4] ⇔ m ≥ 10
Lời bình: Ta có thể thấy sự ngắn gọn, súc tích của lời giải. Học sinh của tôi đều
thích thú với cách giải này. Và rất tự nhiên, sau khi biết đến phương pháp này thì
đó là lựa chọn đầu tiên của các em khi giải các bài tập tương tự. Nó lôi cuốn và
hấp dẫn các em rất nhiều so với việc dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai và
định lí Viet. Nhất là đối với học sinh lớp 10, các em thực sự thích thú khi khám
phá thêm được vẻ đẹp của toán học, của phương pháp hàm số.
Chúng ta hãy cảm nhận sự ngắn gọn, thuận lợi, vẻ đẹp của phương pháp
giải này thông qua các ví dụ tiếp theo
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình:
( m + 3) x − 2 x 2 − 1 + m − 3 = 0 (2) có nghiệm x ≥ 1
Lời giải: Phương trình (2) ⇔ m ( x + 1) + 3 ( x − 1) − 2 x 2 − 1 = 0
⇔3

x −1

x −1
−2
+ m = 0 ( x ≥ 1) )
x +1
x +1
10


x −1
, ⇒ 0 ≤ t <1
x +1
Phương trình (2) trở thành: 3t 2 − 2t + m = 0
⇔ 3t 2 − 2t = − m (2.1)
Phương trình (2) có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình (2.1) có nghiệm t ∈ [ 0;1)
Xét hàm số f (t ) = 3t 2 − 2t với t ∈ [ 0;1)
Lập bảng biến thiên
Đặt t =

t
f(t)

1
3

0
0

1
1

−

1
3

Dựa vào BBT ta suy ra:
1
1
Phương trình (2) có nghiệm x ≥ 1 khi − ≤ − m < 1 ⇔ −1 < m ≤
3
3
Ví dụ 3: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
(3)
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
Lời giải:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (3) nên
 3x 2 + 4 x − 1
1

3x + 4 x − 1 = mx
= m (3.1)
x ≥ −


x
⇔
⇔
2
( 3) ⇔ 
1

x
≥
−
 x 2 + mx + 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 
x ≥ − 1


2

2
2
 1

3x + 4 x − 1
Xét hàm số y = f ( x ) =
trên D =  − ; +∞ ÷.
x
 2

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (3.1) có hai nghiệm
 1

phân biệt x ∈  − ; +∞ ÷ ⇔ đường thẳng y = m có hai điểm chung khác nhau với
 2

 1

đồ thị hàm số y = f ( x ) trên  − ; +∞ ÷.
 2


Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên trên D .
2

11


3x2 + 1
 1

>, ∀x ∈  − ; +∞ ÷ \ { 0}
Ta có: f ' ( x ) =
2
x
 2

2
3x + 4 x − 1
= +∞
Giới hạn: lim f ( x) = lim
x →+∞
x →+∞
x
Bảng biến thiên
x

−

f '( x )
f ( x)

1
2

+∞

0
+

+
+∞

+∞

9
2

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:
9
Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ .
2
Ví dụ 4: [7] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
(4)
m x2 − 2x + 2 = x + 2
Lời giải:
Tập xác định của phương trình : D = ¡

( 4) ⇔ m =

Khi đó phương trình
Xét hàm số y = f ( x ) =

x+2

x+2

x2 − 2x + 2

trên ¡ .
x2 − 2 x + 2
Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt x ∈ ¡ ⇔ đường thẳng y = m có hai
điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số y = f ( x ) trên ¡ .
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên ¡ .
4 − 3x
Ta có: f ' ( x ) = 2
( x − 2 x + 2) x2 − 2 x + 2
f '( x ) = 0 ⇔ x =

4
3

f ( x) = lim
Giới hạn: xlim
→−∞
x →−∞
f ( x) = lim
và xlim
→+∞
x →+∞

x+2

x2 − 2x + 2
x+2
=1
x2 − 2 x + 2

= −1

Bảng biến thiên
12


x

4
3
0

−∞

f '( x )

+

+∞

10

f ( x)

−1

1

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ∈ ¡ ⇔ 1 < m < 10 .
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
2(

x −1)

2

.log 2 ( x 2 − 2 x + 3) = 4

có đúng ba nghiệm phân biệt.
(
Lời giải: Phương trình (5) ⇔ 2

x −1)

2

.log 2

x−m

.log 2 ( 2 x − m + 2 )

( ( x − 1)

2

)

+2 =2

2 x −m

(5)

.log 2 ( 2 x − m + 2 )

t
Xét hàm số f ( t ) = 2 .log 2 ( t + 2 ) với ∀t ≥ 0
1
t
t
> 0 ∀t ≥ 0 .
Ta có f ′ ( t ) = 2 .ln 2.log 2 ( t + 2 ) + 2 .
( t + 2 ) ln 2 ,

⇒ f ( t ) đồng biến trên [ 0;+∞ ) .
2
Khi đó phương trình (5) ⇔ f ( x − 1)  = f  2 x − m 
2
⇔ ( x − 1) = 2 x − m (5.1)
Phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (5.1) có 3 nghiệm phân

biệt.
Như vậy, bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta đã chuyển từ
một phương trình phức tạp về một phương trình đơn giản hơn.
Tiếp theo để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có thể hướng học sinh theo hai
cách:
Cách 1: Xét số nghiệm của phương trình (5.1) thông qua số nghiệm của
hai phương trình thành phần.
Cách 2: Xét số nghiệm của phương trình (5.1) thông qua số giao điểm của
đường thẳng y = 2m và hợp của hai đồ thị của hai hàm số y = x 2 + 1 và
y = − x2 + 4x − 1
Ta theo dõi lời giải chi tiết của cách 1
Khi x ≥ m phương trình (5.1) ⇔ x 2 − 4 x + 1 + 2m = 0 (5.2)
Khi x < m phương trình (5.1) ⇔ x 2 = 2m − 1
(5.3)
TH: phương trình (5.2) có nghiệm kép x1 và phương trình (5.3) có hai nghiệm
phân biệt khác x1 .
13


3
3
phương trình (5.2) có nghiệm x = 2 ≥ , phương trình (5.3) có hai
2
2
3
nghiệm phân biệt x = ± 2 < .(thỏa mãn)
2
TH2: phương trình (5.3) có nghiệm kép x2 và phương trình (5.2) có hai nghiệm
phân biệt khác x2 .
1

1
Khi đó m = phương trình (5.3) có nghiệm x = 0 < , phương trình (5.2) có
2
2
1
hai nghiệm x = 2 ± 2 ≥ .(thỏa mãn)
2
TH3: phương trình (5.2) và (5.3) có chung một nghiệm x0 , khi đó
x0 = m ⇒ m = 1 , thử lại m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.
1 3
Vậy m ∈  ;1;  .
2 2
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1, 3x − 2 + 3 5 x − 2 = 6 − x
Khi đó m =

2,

2x − 1 + x2 + 3 = 4 − x

3,

3x + 1 + x + 7 x + 2 = 4
s inx

sin 2 x

 1 
1

4,  ÷ −  ÷
= sin 3 x
27
81
 
 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm
x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau đây có nghiệm ∀x ∈ ¡
m.9 x − 3x − 1 ≥ 0
2.4 Hiệu quả của sáng kiến
Tuy chưa phải là nhiều nhưng thông qua một số ví dụ điển hình mà tôi đã nêu
ở trên, chúng ta một lần nữa khẳng định được rằng: công cụ hàm số quả thật rất
tuyệt vời. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải các bài tập phần phương
trình và bất phương trình đã mang lại hiệu quả trên cả mong đợi. Học sinh của
chúng ta đã tìm được nguồn cảm hứng khi giải các bài toán về phương trình và
bất phương trình. Các em cũng đã có được sự linh hoạt, sáng tạo khi giải toán,
có niềm yêu thích đối với toán học. Đặc biệt, đội tuyển Toán của nhà trường đã
đạt thành tích cao trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh trong cả hai năm học
2017-2018 và 2018-2019.
14


Để kiểm nghiệm hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành thực nghiệm tại một số
lớp trong trường THPT Lam Kinh
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm.
* Chọn đối tượng thực nghiệm
Tôi đã chọn 4 lớp để tổ chức kiểm nghiệm hiệu qủa của đề tài: 2 lớp được triển
khai sáng kiến và 2 lớp chưa được triển khai sáng kiến.
Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng
Lớp
Số học sinh
Lớp
Số học sinh
12C9
45
12C8
43
10B1
44
10B3
44
* Cách tổ chức:
Làm bài kiểm tra 15 phút
* Đề bài 1( Dành cho lớp 10): Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm:
3 + x − 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m
* Đề bài 2( Dành cho lớp 12): Tìm m để phương trình sau:
log 2 x 2 − 3 x + 2 + log 1 ( x − m) = x − m − x 2 − 3x + 2
2

có nghệm duy nhất
2.4.2. Kết quả thực nghiệm
Sau khi học sinh làm bài kiểm tra. Kết quả thu được như sau:
+ Bảng tổng hợp điểm:
Lớp
Sĩ
Điểm
số
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Thực
10B1
44 0 0 0 0 0 0 0 11 24 7 2
nghiệm
12C9
45 0 0 0 0 0 0 0 10 25 7 3
Đối
10B3
44 0 0 0 0 1 6 11 13 10 3 0
chứng
12C8
43 0 0 0 0 1 7 14 17 3 1 0
+ Bảng đánh giá, so sánh
Lớp thực nghiệm
Lớp đối chứng
Xếp loại
(10B1, 12C9)
(10B3, 12C8)
Tổng
%
Tổng
%
Giỏi (9-10 điểm)
19
21,4
4
4,6
Khá (7-8 điểm)
70
78,6

43
49,4
Trung bình (5-6 điểm) 0
0,0
38
43,7
Yếu (<5 điểm)
0
0.0
2
2,3
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
- Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một
nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực
thụ. Bản thân tôi luôn cố gắng tìm tòi những phương pháp giải toán dễ hiểu nhất,
tự nhiên nhất để gây hứng thú học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng
học tập của các em.
15


- Phương trình và bất phương trình là một dạng toán khó đối với các em học
sinh, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán đó bằng các phương
pháp giải dễ hiểu, ngắn gọn . Qua ứng dụng SKKN này vào giảng dạy cho học
sinh tôi nhận thấy đối với bài toán về phương trình, bất phương trình không mẫu
mực thì đạo hàm và hàm số là công cụ tuyệt vời và dễ hiểu, giúp các em học
sinh tự tin lên rất nhiều khi đối mặt với dạng bài tập này.
- SKKN của tôi dù ít hay nhiều cũng đã giúp ích cho cho công việc giảng
dạy của bản thân và các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, nâng cao chất lượng
học tập môn toán trong nhà trường. Đối với bản thân tôi, khi viết SKKN này

cũng đã tự học và trau dồi thêm về chuyên môn, nghiệp vụ của mình.
- Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi
giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và
tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với
từng loại toán. Có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn
toán.
3.2. Kiến nghị
Bài toán giải phương trình, hệ phương trình đại số hay mũ- logarit, kể cả
lượng giác là bài toán khó trong chương trình toán THPT, hầu hết học sinh đều
gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản về phương pháp toán, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt
các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số
giải pháp đề nghị sau:
+ Đối với tổ chuyên môn: Thường xuyên đưa các chuyên đề, các nội dung
khó trong chương trình toán phổ thông vào thảo luận, trao đổi trong các buổi
sinh hoạt chuyên môn.
+ Đối với nhà trường, với Sở Giáo dục và Đào tạo: Tiếp tục tạo điều kiện
thuận lợi để giáo viên được tham gia các lớp tập huấn, bồi dưỡng thường xuyên
về chuyên môn, nghiệp vụ.
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên
đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp
của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Xác nhận của BGH trường

Thanh Hóa ngày 23/05/2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết không sao chép nội
dung của người khác.

Lê Thị Hương
16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp giảng dạy môn toán.
Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục
2. Trọng tâm kiến thức đại số 10
Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao.
17


Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Sách bài tập đại số 10 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
5. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
6. Sách bài tập giải tích 12 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
7. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán
Tác giả: Trần Phương – Lê Hồng Đức – NXB Hà Nội
8. Phương pháp giải Toán Mũ- Logarit
Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí - NXB Hà Nội
Ngoài ra tôi còn tham khảo một số tài liệu trên mạng, trong nhóm Word toán,…

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Hương ………....................................................
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên toán THPT Lam Kinh
18


TT

1.

2.

Tên đề tài SKKN

Kinh nghiệm phát hiện và
khắc phục một số sai lầm của
học sinh khi tính giới hạn của
hàm số
Một số kinh nghiệm phát huy
năng lực tự học môn Toán
của học sinh tại trường THPT
Lam Kinh

Kết quả
Cấp đánh giá
đánh giá
xếp loại
xếp loại
(Ngành GD
(A, B, hoặc
cấp

C)
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Cấp tỉnh

C

2010-2011

Cấp tỉnh

C

2012-2013

19