SKKN PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số bài TOÁN về QUAN hệ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Thị Lam
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…………………………………………………..
3
1.1 Lý do chọn đề tài ……………………………………...
3
1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………
3
1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………..
4
1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………….
4
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm ………….
4

II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………
5
2.1 Cơ sở lí luận……………………………………………..
5
2.2 Thực trạng vấn đề………………………………………..
6
2.3 Một số giải pháp ………………………………………... 7
1. Đưa mô hình trực quan…………………………………. 7
2. Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan
Hệ song song trong không gian……………………….
8
Bài toán 1.Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng….
8
Bài toán 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng……………… 11
Bài toán 3. Xác định thiết diện cắt bởi một mặt phẳng……..
14
Bài toán 4. Bài toán tỉ số trong không gian quy về bài toán
Hình học phẳng…………………………………… 17
2.4. Kiểm nghiệm………………………………………………..
1
III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT…………………………………… 20
3.1 Kết luận………………………………………………………. 20
3.2 Đề xuất và kiến nghị………………………………………… 20

2


I. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài:
Từ đầu lớp 11 trở về trước học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn chỉ là

hình phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung
thành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các
đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Từ chương II hình học lớp 11
trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ
như quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau,... của các đối tượng. Đó là một khó
khăn rất lớn của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình
học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách
quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo
viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương
pháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn
học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến
thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh
ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh
còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung này
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng
nhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình học
không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng được
vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành
một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ
song song trong không gian’.
Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm
một số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên
quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày
bài toán đúng trình tự, đúng lôgic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề
tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số

bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình học lớp 11 một cách có
hiệu quả.
.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen
với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra
những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ
những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn
nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói
riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
3


Đối tượng nghiên cứu trong đề tài giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặt
phẳng.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp điều tra,khảo sát thực tế,thu thập thông tin.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Phát triển các bài toán về tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt
phẳng

4


II . NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để
giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định
hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học, giáo
viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập
những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động
cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm
thành công .Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song
song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện
cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện. Do đó nếu có được hệ thống phương
pháp giải các bài toán:
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( α ).
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện.
Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt
phẳng
Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gây
hứng thú trong học tập cho học sinh. Mặt khác đây lại là chương kiến thức nền
tảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết.
Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số
toán về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy
của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh.
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất
lơ mơ và ngại học môn hình học không gian. Khi gặp các bài toán thì không phân
loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó sách giáo
khoa hình học 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành

cho việc làm bài tập các dạng này là rất ít. Do đó học sinh thường bế tắc trong
việc vẽ hình , xác định yếu tố nào trước và làm như thế nào, cụ thể:
Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy:
- Khi xác định giao điểm A của đường thẳng a và mặt phẳng (P) đa số học
sinh ở mức trung bình đều không biết làm thế nào. Về mặt hình vẽ thì thể hiện
chới với không chính xác. Giáo viên phải hướng cho học sinh quy về giao điểm
của hai đường thẳng.
- Khi gặp các bài toán xét trên các mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng (ABC)
thì rất nhiều học sinh thường hiểu rằng mặt phẳng (ABC) chỉ gồm các điểm thuộc
miền trong và nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Do đó khi xác định giao điểm
của mặt phẳng này hoặc của đường thẳng nằm trong mặt này với các đối tượng
khác là rất khó khăn.
5


- Hình biểu diễn của các hình không gian không trực quan như hình phẳng
mà lâu nay các em đã học, do đó dựa vào hình vẽ nhiều học sinh nhầm lẫn giữa
những đường thẳng thực tế không cắt nhau nhưng trong hình biểu diễn các em lại
thấy như là chúng cắt nhau.
Chẳng hạn khi gặp bài toán:
Bài toán 1. Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam
giác ABC và BCD. Gỉa sử đường thẳng EF
cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J. Hãy xác định
điểm J đó.

• Với hình biểu diễn trên, nhiều học sinh ngộ
nhận rằng đường thẳng EF và AC cắt nhau và đó
chính là giao điểm J. Một số học sinh khá hơn
sẽ nhận ra điều đó là sai song chưa xác định được

đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD).

Hình 1

Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O’ là tâm của hình bình hành
A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’.
a) Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song
song với mặt phẳng (ACE).
*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đường
thẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’). Do đó đến câu b) học sinh sẽ không
nhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăn
trong việc xác định thiết diện.
Lúc này vai trò của giáo
viên là phải định hướng
cho học sinh chứng minh
được E là giao điểm của
BO’ với OB’ nằm trong mặt
phẳng (ACB’).

Hình 2

6


Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của cạnh SA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song
với SO và BC.
b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) chứa O song

song với BM và SD.

Hình 3
Hình 4
Học sinh thường rất lúng túng vì mặt phẳng cho trước song song với 2 đường
thẳng chéo nhau nên không xác định được mặt phẳng đó là mặt phẳng nào. Đến
đây giáo viên phải định hướng cho học sinh mặt phẳng mà ta đang xác định song
song với mặt phẳng nào ( ta thường chỉ ra nó song song với một mặt phẳng chứa
đường này và song song với đường còn lại ).
2.3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Qua nghiên cứu ,trao đổi đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi
mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh như sau:
1. Đưa mô hình trực quan.
Ta đã biết trong triết học: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” vì
vậy để học sinh có hình ảnh trực quan tôi sẽ cho các em chuẩn bị một số mô hình
về các hình không gian như hình tứ diện, hình hộp,…các hình này được làm
khung bằng các que, các mặt thì gắn bằng bìa. Ngoài ra còn chuẩn bị một số que
làm mô hình đường thẳng và giấy bìa làm mô hình mặt phẳng. Khi dạy đến từng
phần tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy bằng mô hình trực quan đó, sau đó yêu cầu học
sinh vẽ lại hình biểu diễn của hình
Ví dụ dạy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng
tôi sẽ lấy ví dụ
Bài toán Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng.
Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam
giác ABC và BCD. Gỉa sử đường thẳng EF
7


cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J. Hãy xác định

điểm J đó.

Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ
diện với khung được làm bằng các que các mặt
ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy
đường thẳng EF là đường nào. Sau đó cho các em
nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh
của tứ diện. Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên
bảng vẽ hình biểu diễn.
Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trên
mặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) không
phải chỉ là phần chứa tam giác BEF.
Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết
diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng. Tôi sẽ sử dụng mô hình là một
khung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy
thiết diện

2. Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong
không gian.
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng( α ).

Hình 5

Hình

6

8

* Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm
giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α ) ( hình 5)
A∈ d
thì A = d I mp (α )
 A ∈ a ⊂ mp (α )

Tóm tắt: Nếu 

* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp( β ) chứa d sao cho mp( β ) cắt mp( α ).
- Tìm giao tuyến a của hai mp( α ) và mp( β ) (hình 6)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ
của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và
chọn mp( β ) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp
đường thẳng a chưa có trên hình vẽ .
- Muốn làm được điều đó học sinh cần nắm chắc hệ thống các tiên đề của hình
học không gian.
Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tiên đề 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho
trước.
Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tiên đề 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều
đúng.
* Ví dụ:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao
2
3

cho AJ= AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a
cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học
sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm
trên một mặt phẳng và không song song.
A

A
I
J

I
J

K

B
B

D

D

C

Hình

7

C

Hình 8

Lời giải:
Từ giả thiết ⇒ IJ và BD không song song.
 K ∈ IJ
K ∈ BD ⊂ (BCD)
Kết luận: K = IJ ∩ (BCD) (hinh 7)

Gọi K = IJ ∩ BD ⇒ 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
9


b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó
mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt
được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm
là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD)
chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO. Từ
đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần
tìm. (hình 10)
S

S

I

I

J

M

J
P

M

A

A

B

D

B

O

D

C

C

Hình 9
Hình 10
Với câu b) (hình 11) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm
trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không
có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng
IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm
được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F ( hình
12).
S

S

I

I

J

J
P

M
A

P

M
A

B
F

B

O

D

D

C

O
C

E

Hình 11
Hình 12
Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải
chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với
mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như
mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm
giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên
không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình.

10

S

S

I

J

I

J

P

M
A

B
F

H
B

F
O

D

P

M
A

C

O

D

C

E

E

Hình 13

Hình 14

* Lời giải:
a) Ta có BM ⊂ (SBD)
Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có
S là điểm chung thức nhất.(1)
Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD)
Gọi P=BM ∩ SO
Kết luận: P=BM ∩ (SAC)
b) Ta có IM ⊂ (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có:
S là điểm chung thứ nhất

Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai
⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC)
Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC) ( Hình 13)
c) Ta có SC ⊂ (SBC)
Xét 2 mp( IJM) và (SBC)
Ta có JF=(IJM) ∩ (SBC)
Gọi H =JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM) (Hình 14.) .
Bài tập tự luyện . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, tâm của
đáy, M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B.
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường
thẳng SD với mp(P).
b) Xác định các giao điểm E,F các đường thẳng DA, DC với mp(P) và chứng
minh rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng.
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
* Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
 A ∈ (α ) ∩ ( β )
thì AB=(α ) ∩ ( β ) ( Hình 15)
 B ∈ (α ) ∩ (β )

Tóm tắt: Nếu 

11


Hình 15
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Dựa vào các định lý sau:
(α ) ∩ (γ ) = a


* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu ( β ) ∩ (γ )=b thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
(α ) ∩ (β )= c

 a // b

* Hệ quả: Nếu a ⊂ (α ), b ⊂ (β ) thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b
(α ) ∩ (β )= d


Hình 16

Hình 17

Hình 18

 a //(α )

* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu a ⊂ (β )
thì a//b ( hình 19)
(α ) ∩ (β )= b

(α ) // d

* Hệ quả: Nếu (β ) // d
thì a // d. ( hình 20)
(α ) ∩ (β )= a


Hình 19

Hình 20

Hình 21

(α ) // (β )
(γ ) ∩ (β ) = b
thì 
( hình 21)
(γ ) ∩ (α ) = a
 a // b

* Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu 

12


* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai
điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu
trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định
lý và hệ quả nêu trên)
* Ví dụ:
Bài 3: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( α ). Tìm giao tuyến của các mp
sau:
a) Mp (SAB) và mp(SCD)
b) Mp(SAC) và mp(SBD)
c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét:
Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm
chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 22). Tương tự đối với hai mp(SAC)

và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình
23)
S
S

B

E

A

B
A

E

F

C

C

D

D

Hình 22

Hình 23

Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung
thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 24)
S

B
A

E

M
F
C

N
D

Hình 24
* Lời giải:
a) Ta có S ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (1)

E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ ( SAB) ∩ ( SCD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SE = ( SAB) ∩ ( SCD)
b) Ta có S ∈ (SAC ) ∩ (SBD ) (*)
F = AC ∩ BD ⇒ F ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD) (**)
Từ (*) và (**) ⇒ SF = ( SAC ) ∩ ( SBD)

13


c) Gọi M = BC ∩ EF , N = AD ∩ EF

Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
S ∈ ( SAD) ∩ ( SEF)
N ∈ ( SAD ) ∩ ( SEF)
Kết luận : SN = ( SAD) ∩ ( SEF)
Tương tự: SM = ( SBC ) ∩ ( SEF)

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’
và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’
với mp(MNP) .
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên
phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với
mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những
mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?
A

B

D
x

C

C
M

Q

Q

A'

P

N

B'

C'

B

D

M
N

D'

A

A'

D'

P
B'

C'

Hình 25

Hình 26
Lời giải:
Ta có DD’ ⊂ (CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có:
N là một điểm chung (1)
MP //( mp(CC’D’D) (2)
MP ⊂ mp(MNP)
(3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ (MNP) ∩ ( CC’D’D) = Nx // MP
Gọi Q = DD’ ∩ Nx ⇒ Q = DD’ ∩ (MNP) ( hình 25)
• Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2
mp(MNP) và mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình
26).
Bài tập tự luyện.
Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC .
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
b) Cho I, J là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD).
Bài toán 3: Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) với một hình đa diện.
a) Định nghĩa. Thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần
chung của hình (H) và mp(P).
b) Phương pháp: Để tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình (H) ta đi tìm
các đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình (H)
14


c) Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm
M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Tìm

thiết diện cắt bởi mặ phẳng (MNP) với tứ diện.
Nhận xét . Với bài tập này học sinh dễ dàng xác định được
Giao tuyến của mặp phẳng (MNE) với các mặt của tứ diện
Do đó dễ dàng xác định được thiết diện.
Lời giải.
Ta có
⇒ mp( MNP) ∩ mp( ABC ) = MN
mp( MNP) ∩ mp ( BCD) = NI
NI ∩ BD = P
mp( MNP) ∩ mp ( ACD ) = MI

Hình 27
MI ∩ AD = E
mp ( MNP) ∩ mp( ABD) = PE
Ta có các đoạn giao tuyến là NP, PE, EM, MN. Do đó thiết diện là tứ giác MNPE.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N, E là 3 điểm lần lượt lấy trên 3 cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp
cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Nhận xét : Đối với bài tập này xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNE) với mặt
đáy thì dễ dàng nhưng với các mặt khác thì học sinh rất lúng túng. Lúc này vai trò
của giáo viên rất quan trọng . Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh tìm được
giao điểm Q của SB với mặt phẳng (MNE). Sau khi tìm được Q học sinh sẽ dễ
dàng tìm được giao tuyến với các mặt của hình chóp, từ đó tìm được thiết diện.
Lời giải.
Gọi K là giao của MN và BD.
Trong mặt phẳng (SBD) ta có KE cắt SB tại Q.
KE ∩ SB = Q

Trong mặt phẳng (ABCD) có
MN ∩ AB = J

MN ∩ CB = I
⇒ mp( MNE ) ∩ mp( ABCD) = IJ
mp( MNE ) ∩ mp( SAB ) = JQ
mp( MNE ) ∩ mp( SBC ) = IQ

Có JQ cắt SA tại H, IQ cắt SC tại P.
Hình 28
Mặt phẳng (MNE) cắt các mặt của hình chóp theo các đoạn giao tuyến là MN,NP,
PQ, QH, HM. Thiết diện cắt bởi mp(MNE) với hình chóp là MNPQH.
15


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với M,N là 2 điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB
và CD. Gọi (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Tìm thiết diện cắt bởi
mặt phẳng (α ) với hình chóp.
Lời giải .
Ta có M∈ (α ) , (α ) // SA

⇒ mp (α ) ∩ ( SAB ) = MQ ( MQ // SA)
⇒ mp (α ) ≡ mp ( MNQ ) // SA
mp( SAC ) ∩ mp ( MNE ) = OP // SA (O = AC ∩ MN )

Do đó thiết diện là tứ giác MNEF.
Nhận xét: Với 2 đoạn giao tuyến MN và ME thì học sinh dễ dàng xác định được.
Nhưng để xác định giao tuyến với 2 mặt phẳng (SBC) và (SDC) thì học sinh sẽ bị
bế tắc. Lúc này nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn học sinh tìm được điểm F là
giao của SC với mặt phẳng (α ) .
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’//BB’//CC’. Gọi H là trung điểm của
A’B’. Gọi (α ) là mặt phẳng đi qua trung điểm của CC’ và song song với AH và
CB’. Hãy xác định thiết diện cắt bởi (α ) với lăng trụ.

Nhận xét:
Ta thấy 2 đường thẳng AH và CB’ là chéo nhau, giáo
viên cần hướng dẫn học sinh tạo ra một mặt phẳng ( β )
chứa đường thẳng này mà song song với đường thẳng
kia. Khi đó mp (α ) //mp ( β ) .
Lời giải . Gọi D là điểm mà A’C’B’D là hình bình
hành . Khi đó ta có CB’//AD.
Vì E ∈ (α ) //CB’, Do đó qua E kẻ đường thẳng song
song với CB’ cắt C’B’ tại F.
⇒ (α ) ∩ (CC ' B ' B ) = EF . Vì (α ) //(AHD) , do đó qua F kẻ đường thẳng
song
song với DC’ cắt A’B’ tại M,
Qua M kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại N , qua N kẻ đường thẳng
song song với MF cắt AC tại K . Vậy mặt phẳng (α ) cắt lăng trụ theo thiết diện là
ngũ giác MNKEF.

16


Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt
phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC và một điểm M nằm trong ∆ABC . Các đường
thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC cắt các mặt phẳng
( SBC ) , ( SCA) , ( SAB ) tại A' , B' , C ' .
a) Gọi N là giao điểm của SA’ với BC. Chứng minh các điểm A,M, N thẳng
hàng và từ đó suy ra cách dựng điểm A’.
S MBC

b) Chứng minh rằng S

ABC

=

MA'
.
SA

c) Chứng minh rằng
Hướng dẫn.
- Để chứng minh 3 điểm A, M , N thẳng hàng thì học sinh cần chỉ ra
được nó là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt ( ABC ) , ( SA, MA') .Từ
đó suy ra N = AM ∩ BC .
- Nếu xét trong mặt phẳng (SAN) thì được kết quả nào.

Lời giải:
a) Vì A' M // SA nên có mp ( MA' , SA) .Mặt phẳng này và mp(ABC) có 3 điểm
chung là A, M , N . Do đó nó phải nằm trên giao tuyến của 2 mp nói trên .
Vậy 3 điểm đó phải thẳng hàng.
Kéo dài AM cắt BC tại N. Trong mp(SAN) kẻ MA' song song với SA cắt
SN tại A' .
S MBC MN
=
S ABC
AN
MN MA'
=
Trong mp ( SAN ) có
.
AN

SA
S MBC MA'
=
Vậy S
SA
ABC
b) Dễ thấy

c)Chứng minh tương tự như câu b) ta có.
17


S MCA MB'
S MAB MC '
=
=
và
S ABC
SB
S ABC
SC
MA' MB' MC ' S MBC + S MCA + S MAB S ABC
=
= 1.
Vậy SA + SB + SC =
S ABC
S ABC

Ví dụ
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P ) lần lượt

cắt các cạnh SA, SB, SC tại A' , B' , C ' . Gọi O là giao điểm của AC và DB , I là giao
điểm của A'C ' và SO .
a) Tìm giao điểm D' của mp ( P ) với cạnh SD.
SA SC 2SO
+
=
.
SA' SC '
SI
SA SC SB SD
+
=
+
c) Chứng minh rằng
.
SA' SC ' SB ' SD'

b) Chứng minh rằng

Nhận xét :
Với câu a) thì học sinh có thể dễ ràng làm được vì ở loại bài tập 3 học
sinh đã học và làm.
Với câu b) thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh đưa hình không gian
về xét trong một mặt phẳng, đó là mặt phẳng (SAC ) . Khi đó học sinh sẽ vẽ tam
giác SAC trong mặt phẳng như hình phẳng bình thường, từ đó tìm ra được lời giải.
Từ câu b) học sinh sẽ làm được câu c).
Lời giải:

a) Trong mp (SAC ) nối A' với C ' cắt SO tại I . Trong mp (SBD) nối B' với I cắt
SD tại D' . Khi đó D' chính là giao điểm của mp (P ) với SD .

b) Trong mp (SAC ) , kẻ AE // A' C ' cắt SO tại E ;
Kẻ CF // A' C ' cắt SO tại F .Ta có:
SA SE SO − OE
=
=
SA' SI
SI
SC SF SO + OF
=
=
SC ' SI
SI

(1)
(2)

Do O là trung điểm của AC và AE // CF ,
18


Nên OE=OF.
Vậy từ (1) và (2), suy ra

SA SC 2SO
+
=
. (3)
SA' SC '
SI

c) Chứng minh tương tự như câu b), ta có
SB SD 2 SO
+
=
(4)
SB ' SD'
SI
SA SC SB SD
+
=
+
Từ (3) và (4) suy ra
.
SA' SC ' SB' SD'

Bài tập tự luyện .
1.

Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ . Trên đường thẳng BA lấy một điểm
1
2

M sao cho A nằm giữa B và M , MA= AB .
a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M, B’
và trung điểm E của AC.
b) Tính tỉ số

BD
CD

( D = BC ∩ mp( MB' E )) .

2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung
điểm SA và J,K là các điểm trên SB, SC sao cho JS = 2 JB , KS = 2 KC .
Đường thẳng SD cắt mặt phẳng (IJK ) tại M, E là giao điểm của hai đường
thẳng IJ và KM. Tính tỉ số

EI
.
EJ

2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 11 được học
sinh đồng tình và đạt kết quả. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hướng dẫn kỹ, các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ dệt. Cụ thể ở các lớp khối
11 sau khi áp dụng kiến thức này vào giảng dạy thì kết quả qua các bài kiểm tra
thử như sau.
Năm học

2018-2019
2016-2017
2016-2017

Lớp

11I
11D
11K

Sĩ số

43
41
40

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến 7

Số Tỷ lệ
lượng

Số Tỷ lệ
lượng

10
11
9

28
24
25

23,3%
26,8%
22,5%

65,1%
58,5%

62,5%

Điểm dưới 5
Số Tỷ lệ
lượng
5
6
6

11,6%
14,7%
15%

19


III.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. KẾT LUẬN
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng
dạy . Trong quá trình kiểm nghiệm tôi thấy phương pháp đưa ra có hiệu quả tương
đối tốt.
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học
sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói
riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bật ở phương pháp
giảng dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phân tích hướng dẫn học sinh giải
quyết vấn đề.

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, song chắc chắn còn nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng
học tập.

20


TÔI XIN CAM ĐOAN ĐÂY HOÀN TOÀN LÀ SẢN PHẨM CỦA MÌNH
Xác nhận của BGH nhà trường

Thiệu Hóa ngày 25 tháng 5 năm 2019
Giáo viên

LÊ THỊ LAM

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Sách giáo khoa hình học 11
Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách hướng dẫn giảng dạy
Nhà xuất bản giáo dục

3. Sách bài tập hình học 11
Nhà xuất bản giáo dục
4. Nguyễn Cam- Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn
400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm
2007.
5. Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình
không gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997
6. Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học không gian – Trần Văn Hạo
(Chủ biên)

21


22