SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài toán
mà bạn đang giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và
buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt nếu bạn tự giải lấy bài toán đó thì bạn có thể biết
được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có một sự
tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận
và qua trình dẫn tới cách giải, mà điều này không sách vở nào trình bày cho học
sinh.
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung
và phân môn Hình học không gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn
thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh không ít khó khăn, lúng túng khi giải
chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập giáo
viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh
biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí để giải toán”. Bởi vì “Tìm ra cách giải
một bài toán là một phát minh”
Bên cạnh đó, trong đề thi THPT quốc gia và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của
các năm qua, bài toán hình học không gian liên quan đến véc tơ hầu như không thể
thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi là
một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,
các tính chất, các phương pháp giải của véc tơ.
Véc tơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định
lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học không gian được
thuận lợi để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của véc tơ giải các bài
toán hình học không gian, chính vì những lý do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài
‘‘ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc
tơ’’
1.2. Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được
kết quả cao khi giải các bài toán hình học không gian nói riêng và đạt kết quả cao
1


trong quá trình học tập và thi tuyển nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh các lớp 11A1 và 11A4 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG tỉnh
Thanh Hóa.
- Các dạng toán về hình học không gian mà sử dụng véc tơ để giải trong
chương trình hình không gian 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận;
- Điều tra thực tế;
- Thực nghiệm sư phạm.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một
số giải pháp như sau:
- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.
- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó
giúp học sinh đưa ra được lời giải của bài toán.
- Thực nghiệm sư phạm

2


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1. Nội dung chủ đề véc tơ trong chương trình toán THPT

Ở chương trình lớp 10 véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức
lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương
pháp tọa độ trên mặt phẳng.
Chương I - véc tơ: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về véc tơ (véc tơ, véc tơ
cùng phương, cùng hướng, bằng nhau) và các phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc
tơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu về tọa độ, trục và hệ
trục tọa độ trong mặt phẳng. Tọa độ của véc tơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa
độ.
Chương II – Tích vô hướng của véc tơ và ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính
chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác [1].
Ở chương trình lớp 11 – véc tơ trong không gian là mọt bài trong chương
III: Quan hệ vuông góc trong không gian. Các phép toán và tính chất của véc tơ
trong không gian được hiểu tương tự như véc tơ trong mặt phẳng, nên không trình
bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba véc tơ. Việc
đưa véc tơ vào trong chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất về
quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của
chương trình phân ban 2006 [2].
Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng của hai véc tơ,
r r

r

r

ký hiệu là a, b  hoặc a ∧ b , được xác định bởi biểu thức tọa độ để làm cơ sở viết
phương trình mặt phẳng [3].
2.1.2. Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài toán hình học [2]
Dùng véc tơ và các phép toán véc tơ chúng ta có thể giải nhanh một số bài tập hình
học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng
• Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ

3


uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur
AB, AC, AD đồng phẳng, tức là chứng minh AB = kAC + lAD .

• Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau ta
uuur

uuur

chứng minh hai véc tơ AB và CD cùng phương, tức là chứng minh
uuur
uuur
AB = kCD .

• Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong ( P ) , ta lấy trong

( P ) hai véc tơ

r
r
r
a và b không cùng phương và chứng minh cho ba véc tơ a ,

r
r
r

uuur
uuur
b và AB đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ c trong ( P ) sao cho AB và c cùng

phương.
• Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau ta chứng
uuur uuur

minh AB.CD = 0 .
uuur

• Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn véc tơ AB theo các véc
uuur

uuur

tơ đã biết và tính AB2 . Từ đó suy ra AB = AB2 .
uuur uuur
uuur uuur
OA.OB
·
·
• Để tính AOB ta tín tích vô hướng OA.OB , từ đó suy ra cos AOB =
.
OA.OB

2.2. Thực trang của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Qua thực tế trực tiếp giảng dạy ở trường THPT 4 Thọ Xuân cho thấy rằng
HS thường gặp lúng túng và không giải được các bài tập khi học chương III phần
bài tập liên quan đến “Véc tơ trong không gian - Quan hệ vuông góc” nguyên nhân

của tình trạng trên xuất phát từ nhiều phía :
* Về phía HS :
- Không nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững kỹ năng áp dụng các quy tắc véc tơ.
- Không nắm vững phương pháp và lựa chọn bài tập nào nên sử dụng véc tơ
- Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy được khả năng tư duy sáng
tạo.
4


* Về phía GV: GV không thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải bài
tập cho HS được trong thời gian ngắn trên lớp.
* Về phía phụ huynh: Sự quan tâm của một số phụ huynh đến việc học tập
của con em mình còn hạn chế.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc
tơ để xử lí một số dạng toán hình học không gian
DẠNG I. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
uuur
uuur
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB và AC
uuur
uuur
cùng phương, tức là AB = k AC .
Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song, ta chứng minh
uuur
uuur
∃k ∈ ¡ , AB = kCD .
Bài 1. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi G, G ' lần lượt là trọng tâm của các tam
giác A ' BD và CB ' D ' . Chứng minh rằng A, G, G ', C ' thẳng hàng. [3]
Hướng dẫn

Bước 1: Phân tích bài toán
uuur uuuuur uuuu
r
Để chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ AG, C ' G ', AC '
cùng phương.
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
uuur uuuuur uuuu
r
vectơ AG, C ' G ', AC ' theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba
vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả thiết G, G ' lần
lượt là trọng tâm của các tam giác A ' BD và CB ' D ' .

Bước 2: Thực hiện giải bài toán
5


uuur

r uuur

r uuur

r

Đặt AB = a , AD = b , AA ' = c
uuuu
r r r r
Ta có: AC ' = a + b + c ( 1)
Vì G là trọng tâm của tam giác A ' BD nên:
uuur 1 uuur uuur uuur

1 r r r
AG = AD + AB + AA ' = a + b + c
3
3

(

)

(

)

( 2)

Vì G ' là trọng tâm của tam giác CB ' D ' nên:

uuuuur 1 uuuur uuuuu
r uuuu
r
1 r r r
C ' G ' = C ' C + C ' B ' + C'D' = − a − b − c
( 3)
3
3
uuur 1 uuuu
r
Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra: AG = AC ' ⇒ A, G, C ' thẳng hàng.
3
uuuuur

r
1 uuuu
Từ ( 1) và ( 3) suy ra: C ' G ' = − AC ' ⇒ A, G ', C ' thẳng hàng.
3
Vậy bốn điểm A, G, G ', C ' thẳng hàng.

(

)

(

)

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
MC = mMA và ND = mNC ' . Tìm m để MN song song với BD’. [5]
Hướng dẫn

Bước 1: Phân tích bài toán
uuuu
r
uuur
Đề MN / / BD’ thì MN cùng phương với BD ' , tức là có số thực k sao cho
uuuu
r

uuur
MN = k BD ' .

6


Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các
uuuu
r uuur
vectơ MN , BD ' theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba vectơ
gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh.
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
Chú ý giả thiết MC = mMA và ND = mNC ' .
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuu
r r uuur r uuu
r r
Đặt BA = a , BB ' = b;BC = c
uuuu
r uuur uuuu
r 1+ m r
r uuu
r uuur uuur
r r r
m r r uuuu
a−

(b + c) , BD ' = BA + BC + BB ' = − a + b + c .
1− m
1− m

Ta có: MN = BN − BM =

uuuu
r
uuur
m +1
m
1
=−
⇔m=− .
Để MN / / BD’ thì MN = k BD ' ⇒
1− m
1− m
2
1
Vậy m = − thì MN song song với BD’.
2
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax , N di chuyển trên By .

Giả sử AM = BN , I là điểm chia MN theo tỉ số

IM
= k . Chứng minh I di chuyển
IN

trên một tia cố định.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tìm điểm M thuooch đoạn AC và điểm N
thuộc đoạn C ' D sao cho MN song song với BD ' .
Dạng II. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur
AB, AC , AD đồng phẳng, tức là chứng minh AB = k AC + l AD .
Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng ( α ) , hoặc nằm trên mặt
r r

phẳng ( α ) ta lấy trong ( α ) hai véc tơ a, b không cùng phương và chứng minh ba
uuur r r

r

uuur

r

véc tơ AB, a, b đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ c trong ( α ) sao cho AB và c cùng
phương.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD , I là trung điểm của AB , J là trung điểm của CD . Điểm
M chia trong AD theo tỉ số

MA
NB
= k , điểm N chia trong BC theo tỉ số
=k.

MD
NC

Chứng minh I , J , M , N đồng phẳng. [3]
Hướng dẫn
7


Bước 1: Phân tích bài toán
uu
r uuur uur
Để chứng minh I , J , M , N đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ IJ , IM , IN . Hay có
uu
r
uuur
uur
thể biểu diễn IJ = mIM + nIN .
uu
r uuur uur
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở và biểu diễn các véc tơ IJ , IM , IN theo chúng, từ đó suy ra
I , J , M , N đồng phẳng.
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AB = a , AC = b; AD = c .
Theo bài ra ta có:

uuuu
r
uuuu

r
uuuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
k uuur
k r
AM = k MD ⇔ AM = k AD − AM ⇔ AM =
AD hay AM =
c.
1+ k
1+ k
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
r
uuur
k uuur uuu
k r r
BN = k NC ⇔ BN = k BC − BN ⇔ BN =
AC − AB hay BN =
b−a .
1+ k
1+ k

uuur uu
r uuuu
r
1r
k r
c
( 1)
Do đó IM = IA + AM = − a +
2
1+ k
uur uur uuur 1 r
k r r
1− k r
k r
IN = IB + BN = a +
b−a =
a+
b ( 2)
2
1+ k
2(1+ k )
1+ k
uu
r 1 uur uur
r uuur uu
r uuur
1 uu
1r 1r 1r
IJ = IC + ID = IA + AC + IA + AD = − a + b + c
( 3)

2
2
2
2
2
uuur uur
r r r
r
k
2k uu
−a + b + c =
IJ .
Từ ( 1) , ( 2 ) và ( 3) suy ra: IM + IN =
1+ k
1+ k
Vậy I , J , M , N đồng phẳng.

(

)

(

)

(

(

(

)

)

(

)

)

(

)

(

)

8


Bài 2. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Một mặt phẳng

( P ) cắt các đoạn thẳng
rằng:

SA, SB, SC , SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’ . Chứng minh

SA SB SC

SG
+
+
= 3.
[6]
SA ' SB ' SC '
SG '

Hướng dẫn

Bước 1: Phân tích bài toán
SA
SB
SC
SG
= x;
= y;
= z;
=m
SA '
SB '
SC '
SG '
uuur uuur uuur
Chọn hệ véc tơ cơ sở với điểm đầu là S . Sau đó biểu diễn các véc tơ SA '; SB '; SC ' ;
uuur
SG ' theo các véc tơ đã chọn. từ đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ

Để chứng minh bài toán ta đặt các tỷ số

suy ra điều phải chứng minh
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uur

r uur

r uuu
r r

SA
SB
SC
SG
= x;
= y;
= z;
=m
SA '
SB '
SC '
SG '
uuur 1 r uuur 1 r uuur 1 r uuur 1 uuu
r
1 r r r
Ta có SA ' = x a; SB ' = y b; SC ' = z c; SG ' = m SG = 3m (a + b + c)

Đặt SA = a; SB = b; SC = c và

Do A’, B’, C’, G’ đồng phẳng nên ∃α, β, γ ∈ R ; α + β + γ = 1 sao cho
1 r

r

r

αr

βr γr

SG ' = αSA ' + βSB' + γSC' ⇒ 3m (a + b + c) = x a + y b + z c .
x

α = 3m

1
α β γ
y

⇒
= = = ⇒ β =
3m x y z
3m

z

γ = 3m

9

Do α + β + γ = 1 ⇒ x + y + z = 3m SA + SB + SC = 3. SG ,
SA ' SB ' SC '
SG '
Vậy, ta có

SA SB SC
SG
+
+
= 3.
.
SA ' SB ' SC '
SG '

Bài 3. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm của
các cạnh AD, BB ', C ' D ' . Chứng minh rằng đường thẳng C ' D song song với mặt
phẳng ( MNP ) . [8]
Hướng dẫn

Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng ( MNP ) , ta chứng minh
uuur uuuu
r uuur

ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng. nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại của hai số thực
uuur
uuur
uuuu
r
x, y sao cho: C'D = xMP + yMN .

Bước 2: Thực hiện giải bài toán
uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AB = a , AD = b; AA ' = c .
uuuu
r uuur

uuu
r uuur

r

1r 1r
2
2
uuur uuuu
r uuuur uuuur 1 r 1 r r
MP = MD + DD ' + D ' P = a + b + c
2
2
uuuur uuuuur uuuur
r r
C ' D = C ' D ' + D 'D = − a − c
r r
r 1r 1r
uuur
uuur
uuuu
r

Giả sử C'D = xMP + yMN ⇔ −a − c = x  a − b + c ÷+
2
2 


Ta có: MN = MA + AB + BN = a − b + c

 1 r 1 r r
y a + b + c÷
2
2

10


r r 
1 r  1
1
⇔ − a − c =  x + y ÷a +  − x +
2 
2

 2
1

 x + 2 y = −1

1
2
 1

⇔ − x + y = 0 ⇔ x = y = −
2
3
 2
1
 2 x + y = −1

uuur
r
2 uuur 2 uuuu
Vậy, C'D = − MP − MN
3
3
uuur uuuu
r uuur
Do đó ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng.

r 1
y ÷b +  x +

2

r
y ÷c


Mà C ' ∉ ( MNP ) nên suy ra C ' D / / ( MNP ) .
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho
AB AC

+
= 3 . Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
AI AJ
uuur
r
1 uuuu
Bài 2. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn MA = − MD
4
uuuu
r
2 uuur
, NA ' = − NC . Chứng minh MN song song với mặt phẳng ( BC ' D ) .
3

Dạng III. Chứng minh quan hệ vuông góc, tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng minh
uuur uuur
AB.CD = 0 .
uuur
Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta biểu diễn véc tơ AB theo các véc tơ đã biết
uuur
sau đó ta bình phương vô hướng véc tơ AB rồi sử dụng các kiến thức từ giả thiết
để suy ra AB .

uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r

OA
.
OB
Để tính góc ·AOB ta tính tích vô hướng OA.OB và dùng công thức cos ·AOB =
OA.OB

để tính ra kết quả.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AD và BB ' . Chứng minh rằng MN ⊥ A ' C . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
uuuu
r uuuur
Để chứng minh MN ⊥ A ' C , ta chỉ cần chỉ ra tích vô hướng MN . A ' C = 0 . Muốn làm
uuuu
r uuuur
được điều này ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, biểu diễn các véc tơ MN , A ' C qua
uuuu
r uuuur
hệ véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng MN . A ' C .
11


Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AB = a , AD = b; AA ' = c .
uuuu
r uuur uuu
r uuur r 1 r 1 r

MN
=
MA
+
AB
+ BN = a − b + c
Ta có
2
2
uuuur uuuur uuuur uuuur r r r
A ' C = A ' B + A 'D' + A ' A = a + b − c

rr

rr

rr

r

r

r

Vì ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lập phương nên: a.b = b.c = c.a = 0 và a = b = c = x (với
x là độ dài cạnh của hình lập phương)
uuuu
r uuuu
r r 1 r 1 r r r r
Khi đó ta có: MN . A 'C =  a − b + c ÷. a + b − c

2
2 

r 2 r r r r 1 r r 1 r2 1 r r 1 r r 1 r r 1 r2
= a + a.b − a.c − a.b − b + b.c + a.c + b.c − c
2
2
2
2
2
2
r 2 1 r2 1 r2
1
1
= a − b − c = x2 − x2 − x2 = 0 .
2
2
2
2
uuuu
r uuuu
r
Vậy, MN ⊥ A 'C ⇒ MN ⊥ A ' C .

(

)

Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh
BD và AC . Trên các đường thẳng AB, ND lần lượt lấy các điểm E và F sao cho

EF song song với CM . Tính độ dài đoạn EF theo a . [3]

Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
uuur
Để tính độ dài đoạn EF ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn véc tơ EF
uuur

uuur

theo các véc tơ cơ sở đó và tính EF 2 . Từ đó suy ra độ dài đoạn EF = EF 2 .

12


Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuu
r r uuur

u
r uuur

r

Đặt AB = x; AC = y; AD = z và

uuur
uuur
uuur
AE

= m , AF = n AN + (1 − n) AD .
AB

ru
r ru
r r r a2
Ta có x. y = z. y = z.x =
2
uuuu
r 1 r r uuur
r uuur
uuur
r uuur n u
r
r
AM
=
(
x
+
z
);
AE
=
m
.
x
;
AF
=

n
AN
+
(1
−
n
)
z
;
AF
=
y
+
(1
−
n
)
z.
Lúc đó
2
2
uuuu
r uuuu
r uuur 1 r
u
r r
CM
=
AM
−

AC
=
(
x
−
2
y
+ z)
Suy ra
2
uuur uuur uuur
r nu
r
r
EF = AF − AE = −mx + y + (1 − n ) z .
2
k

−
m
=

2
uuur
uuuu
r  n
2
Do CM / EF và CM//EF nên EF = kCM ⇒  = −k ⇒ k = −
3
2

k

1 − n = 2

u
r r
u
r r 2
uuur
1 r
1 r
a 3
2
.
EF = − ( x − 2 y + z ) ⇒ EF = ( x − 2 y + z ) ⇒ EF =
3
9
3

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A' B ' C ' . Tìm góc giữa hai đường thẳng AB ' và
BC ' , biết AA ' =

AB
5

. [3]
13


Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài toán
uuuu
r
uuuu
r
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn hai véc tơ AB ' và BC '
uuuu
r uuuu
r
theo các véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng AB '.BC ' . Từ đó áp dụng công thức
uuuu
r uuuu
r

uuuu
r uuuu
r

tính tích vô hướng AB '.BC ' = AB '.BC '.cos ( AB ', BC ' ) , suy ra góc giữa hai đường
thẳng AB ' và BC ' .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán

uuur r uuu
r r uuur r
r x 5 r r
Đặt AB = x , AA ' = a; AB = b; AC = c , với a =
, b = c = x.
5
uuuu
r

r

r uuuu
r uuur

uuuuu
r

r

r

r

Ta có AB ' = a + b , BC ' = BB ' + B ' C ' = a − b + c

uuuu
r uuuu
r
r r r r r
r 2 r r r r r r r2 r r
x2
x2
3x 2
Do đó AB '.BC ' = ( a + b ) . ( a − b + c ) = a − a.b + a.c + b.a − b + b.c = − x 2 + = −
.
5

2

10

x 30
x 30
, BC ' = B ' C '2 + BB '2 =
5
5
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuu
r
1
AB '.BC '
1
Do đó: cos AB ', BC ' =
= − ⇒ ( AB ', BC') = arccos .
4
AB '.BC '
4

Mà AB ' = AB 2 + BB '2 =

(

)

Một số bài tập tương tự:

Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
các
cạnh
uuuu
r
uuur
α
AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD ,
là góc giữa 2 vectơ MG và NP .
Tính cos α . [5]
14


·
Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD
= α với

uuuur
uuur
3
, cạnh bên AA ' = 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn DM = k .DA và N là trung
4
điểm của cạnh A ' B '. Tìm k để C ' M ⊥ D ' N . [5]
·
Bài 3. Cho lăng trụ (ABCD.A'B'C'D') có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc BAD
= 1200 .
cos α =

Hình chiếu của B′ lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của đoạn thẳng CD và
tam giác ABB’ là tam giác cân. Tính cosα với α là góc giữa hai đường thẳng BH

và AC ' . [6]

Dạng IV. Tính giá trị biểu thức và chứng minh các hệ thức hình học
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A′ , C ′
uuu
r 1 uur uuur
r
1 uuu
SC . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt
3
2019
các cạnh SB , SD lần lượt tại B′ , D′ ( B ', D ' không trùng S ) . Tính giá trị biểu thức:

thỏa mãn SA′ = SA , SC ′ =

T=

SB SD
+
. [8]
SB ' SD '

Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài toán
uuur
uur
uuur
uuu
r

Để giải bài toán ta biểu diễn véc tơ SB ' theo SB và SD ' theo SD . Từ đó áp dụng
uuur
uuur uuur
uuur
quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ SA ' theo SB ' , SD ' và SC ' . Sau đó sử dụng điều kiện
đồng phẳng của các điểm suy ra kết quả.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
15


uuur

uur uuur

1

uuu
r

1

Đặt SB′ = x.SB , SD′ = y.SD ( x, y > 0 ) , khi đó T = + .
x y
uuur

uuur

uuu
r uur

uuu
r uur

uur

uur uuu
r uuu
r

Ta có AD = BC ⇔ SD − SA = SC − SB ⇔ SA = SB + SD − SC

uuu
r 1 uuur 1 uuur
uuur
uuur 1 uuur 1 uuur 2019 uuur
⇔ 3.SA′ = SB′ + SD′ − 2019.SC ′ ⇔ SA′ = SB′ + SD′ −
.SC ′
x
y
3x
3y
3

Do 4 điểm A′ , B′ , C ′ , D′ đồng phẳng
1

1

2019

1

1

Nên ta có 1 = 3x + 3 y − 3 ⇒ T = x + y = 2022 .
Bài 2. (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC . A′B′C ′ có AB = AA′ = a . Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB′ sao cho mặt
phẳng qua M , vuông góc AB cắt đường thẳng BC ′ tại điểm N trên đoạn BC ′ . Xác
định vị trí của M để biểu thức 2AM 2 + MN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. [5]
Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài toán
uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt AM = m AB′ , BN = nBC ′ rồi biểu
uuuu
r
diễn véc tơ MN theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử dụng điều kiện vuông
góc của hai véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo m, n và đưa về hàm số bậc
hai để xét tìm giá trị nhỏ nhất.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuu
r
uuur r uuur
uuuu
r
uuur uuur

uuuu
r
Đặt AB = ar , AC = b , AA′ = cr , AM = m AB′ , BN = nBC ′ .
16


uuuu
r uuur uuu
r uuur

r

r

r

Khi đó MN = MA + AB + BN = ( 1 − m − n ) a + nb + ( n − m ) c .
Do ( P ) vuông góc AB nên MN vuông góc AB , ta được

r
uuuu
r uuu
r
r
r
r
1 2
2
MN . AB = 0 ⇔ a ( 1 − m − n ) a + nb + ( n − m ) c  = 0 ⇔ ( 1 − m − n ) a + n. a = 0
2

r
1
r
(do a.b = a 2 ). Từ đó n = 2 − 2m .
2
2
2
2
2
2
2
2
Khi đó MN = ( 12m − 18m + 7 ) a nên 2 AM + MN = ( 20m − 18m + 7 ) a
 
Do N thuộc đoạn BC ′ nên n ∈ [ 0;1] , suy ra m ∈  ;1
2 
1

b
9 1
1 
=m=
< nên f ( m ) đồng biến trên  ;1 .
2a
20 2
2 
1
1
Từ đó f ( m ) nhỏ nhất bằng f  ÷ khi m = .
2

2
2
2
Tức là 2AM + MN nhỏ nhất khi M là trung điểm AB′ .
2
Đặt f ( m ) = 20m − 18m + 7 , do −

Bài 3. (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = 1 .
Một mặt phẳng (α ) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt các cạnh
SA, SB , SC lần lượt tại các điểm A ', B ', C ' . Chứng minh rằng biểu thức
T=

1
1
1
+
+
có giá trị không đổi. [5]
SA ' SB ' SC '

Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài toán
uuu
r
Để bài toán ta sử dụng quy tắc trọng tâm rồi biểu diễn véc tơ SG theo các véc tơ
uur uur uuu
r
uur uur uuu
r

uuur uuur uuur
SA, SB, SC . Sau đó lại biểu diễn SA, SB, SC theo các véc tơ SA ', SB ', SC ' , rồi sử dụng
17


điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuuu
r

Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: MG =

r
1 uuur uuur uuur uuuu
MS + MA + MB + MC ,
4

(

)

với M là điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm M ≡ S ta có:
uuu
r 1 uur uur uur uuu
r
r
1 uur uur uuu
SG = SS + SA + SB + SC = SA + SB + SC
4

4
uur SA uuur uur SB uuur uuu
r SC uuur
SA ', SB =
SB ', SC =
SC '
Lại có SA =
SA '
SB '
SC '
uuu
r
1 uuur
1 uuur
1 uuur
SA ' +
SB ' +
SC '
Do đó SG =
4SA '
4SB '
4 SC '

(

)

(

)

1
1
1
+
+
= 1 ⇒ T = 4.
4 SA ' 4 SB ' 4 SC '
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O và AB = 3a, AD = AA′ = 4a .

Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có

Mặt phẳng ( P ) đi qua O và cắt các tia AB ', AC , AD ' tương ứng tại ba điểm phân biệt
M , N , P . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = AM . AN . AP .[7]
Hướng dẫn

Bước 1. Phân tích bài toán
uuuu
r
uuur uuur
uuur
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt AM = m AB′ , AN = n AC ,
uuur
uuuur
uuur
AN = p AD ' rồi biểu diễn véc tơ AO theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử
dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo
m, n, p và sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm.
18

Bước 2. Thực hiện giải bài toán
uuur r uuu
r r uuur ur
uuuur r r r
Đặt AA ' = a, AB = b, AD = d . Ta có AC ' = a + b + c

uuur
uuuu
r
uuur
uuu
r
 AO = x. AM + y. AN + z. AP

Vì M , N , P, O đồng phẳng nên 

x + y + z = 1
uuuu
r
uuuu
r
r r uuur
uuur
r ur uuu
r
uuuu
r
r u
r

Ta có : AM = m. AB ' = m(a + b), AN = n.AC = n(b + d ), AP = p AD ' = p (a + d ).
uuur 1 uuuu
r 1 r r ur
1
1 1 1
AO = AC ' = (a + b + d ) . Suy ra mx = ny = pz = ⇒ + + = 4
4
m n p
2
2
⇒

1
1
4 2 4
AB ' AC AD '
5a
5a 4a 2
+
+
= 4⇒
+
+
=4⇒
+
+
=
AM AN
AP
AM AN

AD '
AM AN 5 AD ' 5

BĐT Cauchy :
Vậy minT =

4
4 2
675 2
≥ 33
⇒T ≥
5
5T
16

15
675 2
. Khi AM = AN = , AD ' = 3 2
4
16

Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi G là trung điểm
của BD ' . Mặt phẳng ( P) thay đổi luôn đi qua điểm G cắt các đoạn thẳng
AD ', CD ', D ' B ' tương ứng tại H , K , I . Chứng minh:

1
1
1
+

+
= 2 2.
D'I D'K D'H

Bài 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau tại
O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ( ABC ) và P là điểm bất
PA 2 PB 2 PC 2
PH 2
+
+
=
2
+
.
OA2 OB 2 OC 2
OH 2
Bài 3. Cho hình hộp ABCD. A' B 'C ' D ' . Lấy M , N lần lượt trên đoạn CA' và C ' D sao
cho: MA' = m.MC , NC ' = nND ( M khác C , A' và N khác C ' , D ). Giả sử MN // BD ' ,
chứng minh rằng: m 2 + n 2 = 10
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P ) bất kì

kỳ trong tam giác ABC . Chứng minh rằng

không đi qua S ,cắt các cạnh SA, SB, SC , SD lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', D ' .
Chứng minh rằng

SA SB SC SD
+
=
+

SA ' SB ' SC ' SD '

2.4. Hiệu quả trong việc triển khai đề tài SKKN

19


Khi triển khai đề tài này được tiến hành trên 02 lớp thuộc trường THPT 4
Thọ Xuân, đó là: Lớp dạy 11A1 (học ban cơ bản A) và lớp dạy 11A 4 (học ban cơ
bản)
* Kết quả đạt được
- Về mặt định tính :
Khi tôi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ cơ sở vào giải
các dạng toán hình học không gian phức tạp, tôi thấy học sinh của tôi ham học hình
hơn, yêu thích các bài tập về hình không gian hơn và không còn thấy lo lắng, lúng
túng trong việc xử lí các bài toán hình không gian phức tạp.
- Về mặt định lượng :
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả
đạt được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai
lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm
bài kiểm tra như sau:
Bài 1. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có cạnh bên bằng a . Ba điểm M , N , P thay đổi
trên các cạnh AA′ , BB′ , CC ′ sao cho AM + BN + CP = a . Chứng minh rằng mặt
phẳng ( MNP) luôn đi qua một điểm cố định.
uuur
uuuu
r uuur
uuur
Bài 2. Cho tứ diện ABCD , các điểm M , N xác định bởi MA = xMC , NB = y ND

( x, y ≠ 1) . Tìm điều kiện giữa x và

y

để ba đường thẳng AB, CD, MN cùng song

song với một mặt phẳng.
Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD   có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là điểm
uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur r
thỏa mãn: GS + GA + GB + GC + GD = 0. Một mặt phẳng đi qua AG cắt các cạnh
SB, SC , SD lần lượt tại M , N , P . Chứng minh rằng:

BM CN DP
+
+
= 1.
SM SN SP

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:
Điểm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số lượng bài
Lớp
TN (11A4)
0 0 0 1 3 10 13 6 7 5
45

ĐC (11A1)
0 0 2 7 12 8 10 3 3 0
45
Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi.
Có 5 em đạt điểm tuyệt đối.
20


Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, trong đó có 35,6% điểm khá giỏi,
không có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn
lớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ định là
lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở
trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán…
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và
những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về hình học qua
đề thi THPT Quốc gia của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong
thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà
trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá
trình thực nghiệm.

3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết quả nghiên cứu
21


Hình học không gian là loại toán đa phần không có phương pháp giải cụ thể nên
khó hiểu, khó trình bày và khó trong tính toán.
Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số bài toán hình học không gian có ý nghĩa rất

lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy
được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ
đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng
cố trau rồi thêm kiến thức về giải toán hình không gian. Từ đó làm chủ được kiến
thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và thi THPT Quốc gia cũng như
thi HSG cấp tỉnh.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập và giải
toán ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn phương
pháp mà mình tâm đắc nhất cho bài toán đó. Từ đó sẽ tiết kiệm thời gian làm bài
đặc biệt tránh được sai sót đáng tiếc.
Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt các
phương pháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhất nhằm
nâng cao chất lượng dạy và học.
Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy phần hình học có
ứng dụng véc tơ để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới
Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy
cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp
dụng rộng rãi hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
22

viết, không sao chép nội dung của người
khác

Trịnh Duy Văn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa thí điểm 10 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
23


2. Sách giáo khoa thí điểm 11 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
3. Sách bài tập hình học 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục
4. Sách giáo khoa thí điểm 12 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Mạng internet.
6. Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học năm
1997-1998, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề
thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng toàn Quốc (môn Toán), Nxb Hà Nội, Hà
Nội.
8. Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, Toán học 11, Nxb ĐH Sư Phạm.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
24


Họ và tên tác giả: Trịnh Duy Văn
Chức vụ và đơn vị công tác: TTCM trường THPT 4 Thọ Xuân

TT

Tên đề tài SKKN

Kinh nghiệm dạy học toán bằng

1.
1

Sơ đồ tư duy

Cấp
đánh
giá xếp
loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá xếp
loại

Sở

B

2008 - 2009

Sở

C

2009 - 2010

Sở

B

2011 - 2012

Sở

B

2012 - 2013

Sở

C

2013 - 2014

Sở

C

2015 - 2016

Hướng dẫn học sinh giải bài toán
xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp

2.
2

hình chóp, lăng trụ bằng lược đồ
bốn bước
Rèn luyện kỹ năng giải bài toán

3.
3

hình học không gian bằng
Phương Pháp tọa độ
Giúp học sinh khắc phục một số

4.
4

sai lầm thường gặp khi tính tích
phân
Rèn luyện kỹ năng giải phương
trình, hệ phương trình bằng

5

phương pháp sử dụng tính đơn
điệu của hàm số cho học sinh lớp

12

6.

Rèn luyện cho học sinh năng lực
vận dụng kiến thức Toán học để
giải quyết một số bài toán có nội
dung thực tiễn trong chương

25