SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính khoảng cách hình học không gian 11

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình
môn toán THPT nói chung và trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng.
Trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng hằng năm luôn có mặt bài
toán hình học không gian. Đặc biệt các bài toán về quan hệ vuông góc luôn là
một chủ đề quen thuộc và không thể thiếu trong mọi bài toán hình học không
gian có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng (hiện nay là THPT
Quốc Gia) cũng như trong các kì thi chọn học sinh giỏi.
Đối với học sinh đa số các em thường gặp rất nhiều khó khăn khi giải các
bài toán hình học không gian. Các em thường chưa có kĩ năng giải hoặc chưa
hình thành được phương pháp giải các bài toán hình học không gian. Hiện nay
trong bối cảnh môn toán đang được thi bởi hình thức trắc nghiệm thì những bài
toán về tính khoảng cách lại càng xuất hiện nhiều hơn nữa.
Làm thế nào để nâng cao kĩ năng giải toán hình học không gian đặc biệt là
những bài toán tính khoảng cách cho học sinh ? Với suy nghĩ đó tôi luôn cố
gắng dạy cho các em học sinh biết và nắm vững các phương pháp chứng minh
các quan hệ vuông góc (đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc) từ đó hình thành nên các
phương pháp tìm khoảng cách (khoảng cách giữa điểm với đường thẳng, khoảng
cách giữa điểm với mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau).
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với mong muốn giúp các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các
bài toán tính khoảng cách. Tạo cho các em sự tự tin trong các bài toán tính toán
của hình học không gian. Đây cũng là một tài liệu để các đồng nghiệp có thể
tham khảo. Đặc biệt với cách kiểm tra và thi hiện nay những bài toán tính toán
xuất hiện chủ yếu trong các kì thi của các trường, các sở. Năm nay thi Trung
Học Phổ Thông Quốc Gia sẽ có thêm chương trình của lớp 11 trong đề thi. Vì
vậy tài liệu này cũng sẽ giúp ích cho các em phần nào. Tính khoảng cách tốt còn

giúp các em giải quyết tốt các bài toán tính thể tích, đây là dạng toán chủ yếu
xuất hiện trong chương trình hình học lớp 12.
1.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hình thành và rèn luyện kĩ năng tính
khoảng cách cho học sinh.
Cụ thể:
+Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng.
+Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
+Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1


1.4. Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:
+Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết.
+Phương pháp điều tra thực tế.
+Phương pháp thống kê, thu thập số liệu.
PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Trong nhà trường trung học phổ thông nhiệm vụ trọng tâm là hoạt động
dạy của thầy và hoạt động học của trò. Đối với người thầy việc giúp học sinh
nắm vững các kiến thức phổ thông nói chung và các kiến thức của bộ môn toán
nói riêng là một việc làm rất cần thiết. Người giáo viên cần phải dạy cho các em
nắm vững các phương pháp và các kĩ năng cần thiết để có thể giải tốt các bài
toán đặt ra. Đối với hoạt động học của trò muốn học tốt môn toán học sinh cần
phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, phải
biết vận dụng lí thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể
hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, suy nghĩ
linh hoạt. Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học
và biết sử dụng các kiến thức đã học vào các bài toán cụ thể. Mục đích là giúp
học sinh khi đứng trước một bài toán các em cần biết phân tích nhận dạng, biết

áp dụng các phương pháp đã được học để giải bài toán hoặc biết cách chuyển
bài toán về dạng quen thuộc để từ đó có các phương pháp giải thích hợp. Đối với
các bài toán về quan hệ vuông góc trong hình học không gian cũng vậy ngoài
việc phải cung cấp cho các em các kiến thức cần thiết và phương pháp giải các
dạng toán cụ thể cũng cần dạy cho các em cách phân tích bài toán, xét các mối
quan hệ qua lại giữa các đối tượng: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng… Để từ đó
các em đưa ra được cách giải các bài toán bằng phương pháp phù hợp nhất.
2.2. Thực trạng vấn đề
Xuất phát từ việc dạy phân môn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể là bài
toán tính khoảng cách. Đối với dạng toán này mục tiêu là học sinh biết cách tìm
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm tới
một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song. Đây là những bài toán thường gặp trong các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng (trung học phổ thông quốc gia) gần đây. Vì vậy khi dạy dạng toán này giáo
viên cần hình thành cho học sinh kĩ năng và các phương pháp tìm khoảng cách.
2.3. Giải pháp và cách thức thực hiện
Trước khi giải một bài toán tính khoảng cách các em học sinh cần phải
nắm vững các định nghĩa, các định lí, các hệ quả của các định lí, các tính chất.
Tiếp đến các em cũng cần nắm vững một số các phương pháp chứng minh các
dạng toán thường gặp. Sau đó các em phải rèn luyện các kĩ năng vận dụng các
phần lí thuyết đã nắm vững đó vào các bài toán cụ thể. Vì vậy người giáo viên
2


trong quá trình dạy học cần hệ thống lí thuyết, đưa ra một số dạng toán thường
gặp và cách giải các dạng toán đó.
2.3.1. Cơ sở lí thuyết:
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng.
Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) (hoặc đến đường

thẳng d ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu
vuông góc của M lên mặt phẳng (P ) (hoặc lên đường thẳng d)
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P ) song song
với a là khoảng cách từ một điểm nào đó từ a tới ( P ) .
Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
2.3.2. Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một
đường thẳng)
Phương pháp giải:
Xác định chân đường vuông góc của điểm đó lên trên mặt phẳng (hoặc
trên đường thẳng).
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông hoặc lượng giác để tính
các khoảng cách cần tìm.
Lưu ý:
Để tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P ) ta có thể xác
định mặt phẳng (Q ) chứa điểm A và vuông góc với (P ) sau đó đi xác định giao
tuyến của (P ) và (Q ) rồi trong (Q ) dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc
với giao tuyến cắt giao tuyến tại H . Khi đó, khoảng cách từ A đến (P ) chính
là đoạn AH .
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải:
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song ta tính
khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng, đó là khoảng

cách cần tìm
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ
một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia và đó là khoảng cách
cần tìm.
Nhận xét:

3


Thực tế của bài toán dạng 2 này là tính khoảng cách từ điểm tới mặt
phẳng vì thế việc rất quan trọng là chúng ta phải xác định điểm sao cho thuận lợi
để tính khoảng cách từ điểm đó tới mặt phẳng.
Dạng 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp giải: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b ta có thể
dùng các cách giải sau:
Cách 1: Xác định đường vuông góc chung của a và b và tính độ dài đoạn vuông
góc chung đó.
Cách 2: Dựng một mặt phẳng (P ) chứa a và song song với b, khi đó khoảng
cách giữa a và b là khoảng cách giữa (P ) và b.
Cách 3: Dựng mặt phẳng (P ) chứa a và mặt phẳng (Q ) chứa b sao cho (P )
song song với (Q ) , khi đó khoảng cách giữa a và b là khoảng cách giữa (P ) và
(Q ) .
2.3.3. Một số ví dụ
2.3.3.1 Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD ) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh
CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE .
Lời giải
Gọi F là trung điểm BC , gọi H là giao
điểm của FA và BE . Ta chứng minh

được AF ⊥ BE .
Lại có BE ⊥ SA ⇒ BE ⊥ (AFS )
a 5
⇒ BE ⊥ SH . Tính AF =
;
2
2a 5 .
AH .AF = AB 2 ⇒ AH =
5
3a 5
⇒ SH = SA 2 + HA 2 =
5
3a 5
⇒ d ( S; BE ) =
5
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O ,
SA ⊥ (ABCD ) , SA = a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của
AB . Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM .
Lời giải
Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với CM tại H , cắt BC tại N . Ta có:
NB .NC = NH .NA = (NA − HA ).NA = NA 2 − AH .AN
⇔ NB .(NB + BC ) = NA 2 − AM .AB ⇔ AM .AB + NB .BC = NA 2 − NB 2

4


 AB

AB
⇔ AB 

+ NB ÷ = AB 2 ⇔ NB =
2
 2

Vì SA ⊥ CH ⊥ AN ⇒ CH ⊥ (SAN )
⇒ CH ⊥ SH ⇒ d(S ,CM ) = SH
Tính SH
a 5
AH .AN = AM .AB ⇔ AH =
5
a 30
⇒ SH = SA 2 + AH 2 =
5
a 30
.
10
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
·
là trung điểm cạnh BC
và
A, BC = 2a, ABC
= 60° . Gọi M
SA = SC = SM = a 5 . Tính khoảng cách từ S đến cạnh AB .
Lời giải
Vì SA = SC = SM nên hình chiếu H của S lên
mặt phẳng ( ABC ) là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ACM . Từ H kẻ đường thẳng vuông
góc AB taị K .
Vì AC PHK và MH PBK nên
AC a 3

.
HK =
=
2
2
Vì SH ⊥ BK ⊥ HK ⇒ BK ⊥ ( SHK ) .
Mà SC = 2IC ⇒ d(S ,CM ) = 2d(I ,CM ) ⇒ d(I ;CM ) =

⇒ AB ⊥ SK ⇒ d ( S , AB ) = SK
BC
·
·
=a
Vì AMH
= BAM
= 60° ⇒ ∆AHM đều ⇒ AH = AM =
2
a 19
a 19
2
2
⇒ d ( S; AB ) =
⇒ SH = SA 2 − AH 2 = 2a ⇒ SK = SH + K H =
2
2
2.3.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng
·
·
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, ABC
= BAD

= 90° ,
BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H
là hình chiếu của A lên SB . Tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( SCD ) .
Lời giải

5


Gọi M là giao điểm của CD và AB .Ta có
AD = 2a, AC = CD = a 2 ⇒ AC ⊥ DC .
Laị có SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAC ) với
1
1
1
d = d ( A, ( SCD ) ) ⇒ 2 =
+
⇒d =a
2
d SA AC 2
MB BC 1
d a
=
= ⇒ d ( B , ( SCD ) ) = = .
Vì
MA AD 2
2 2
2d ( B , ( SCD ) ) a
2a 3 HS 2
;

= ⇒ d ( H , ( SCD ) ) =
=
3 BS 3
3
3
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy một
góc bằng 60° . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a .
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB và K là hình
chếu của H lên SM .
·
·
= 60°
Ta xác định ( SAB , ( ABC ) ) = SMH
Từ SH .SB = SA 2 ⇒ SH =

)

(

AC a
MH . 3 a 3
= ⇒ HK =
=
2
2
2
4

Ta có: HI PSB ⊂ ( SAB )
⇒ d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) = HK .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB = 2a, AC = 2a 3 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) là
trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng
30° . Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng ( SAC ) .
Lời giải
AB .AC
=a 3 .
Ta có: d ( A, BC ) =
2
2
AB + AC
Dựng HK ⊥ BC . Khi đó
1
a 3
.
d ( H , BC ) = HK = d ( A, BC ) =
2
2
HK ⊥ BC
⇒ BC ⊥ ( SHK )
Do 
BC
⊥
SH

· H = ·SBC , ABC = 30° .
⇒ SK
nên từ MH =

((

)(

))

6


a
. Dựng HE ⊥ SA . Khi đó: HE ⊥ ( SAC ) .
2
SH .SA
a 5
=
Do HM PAC ⇒ d ( M , ( SAC ) ) = dH = HE =
.
5
SA 2 + HA 2
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
·
BAC
= 90° . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H
thuộc đoạn BD sao cho HD = 2HB . Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng
( ABCD ) góc 60° với O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ B
đến mặt phẳng ( SCD ) theo a .
Lời giải
Dễ thấy tam giác ABC đều và H là trọng tâm
a 3

tam giác ABC . Khi đó OB =
2
a 3
·
. Mặt khác SOH
⇒ OH =
= 60°
6
a
3
⇒ SH = OH .tan 60° = . Do BD = BH
2
2
3
⇒ d ( B ; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) )
2
a 3
·
Dựng HE ⊥ CD , HF ⊥ SE . ⇒ HE = HD.sin BDC
.
= HD.sin 30° =
3
3
3
HE .SH
3 7
=
Vậy d ( B ; ( SCD ) ) = HE = .
.
2

2 HE 2 + SH 2
14
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I , có
AB = a, BC = a 3 . Gọi H là trung điểm AI . Biết SH vuông góc với mặt
phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại S . Tính khoảng cách từ C đến mặt
phẳng ( SBD ) .
Lời giải
Ta có AC = AB 2 + BC 2 = 2a . Khi đó:
a
3a
3a2
2
HA = ; HC =
⇒ SH = HA.HC =
2
2
4
a 3
. Do CI = 2HI
⇒ SH =
2
⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) . Dựng
HE ⊥ BD , HF ⊥ SE . Khi đó:
Suy ra SH = HK .tan 30° =

7


⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 2HF = 2.

SH .HE

.

SH + HE
1
1 a 3 a 3
Mặt khác HE = d ( H , BD ) = d ( A, BD ) = .
.
=
2
2 2
4
3a
Do đó: d ( C ; ( SBD ) ) =
.
15
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a ,
BC = 2a 2 . Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm H của tam
giác ABC . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Lời giải
2
2
Ta có BD = AB + BC = 3a suy ra
BD
HB =
= a . Do SH ⊥ ( ABCD )
3
· ; ( ABCD ) = SBH

·
⇒ SB
= 600

(

2

2

)

⇒ SH = HB tan 600 = a 3 .
Dựng HE ⊥ BC , HF ⊥ SE .
Do AD/ / BC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( D , ( SBC ) ) = 3d ( H , ( SBC ) ) = 3HF .
CD a
HE .SH
3a 21
= ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = 3.
=
.
3
3
14
HE 2 + SH 2
·
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC , BC = a 3 , BAC
= 1200 . Gọi
I là trung điểm cạnh AB . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
đáy là trung điểm H của CI , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy

bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Lời giải
Đặt AB = AC = x
⇒ BC = AB 2 + AC 2 − 2AB .AC cos1200 = x 3 .
Mà BC = a 3 ⇒ x = a . Dựng HE ⊥ BC ,
HF ⊥ SE . Khi đó d ( HI , ( SBC ) ) = HF . Mặt khác
Mặt khác HE =

d ( A, ( SBC ) ) = 2d ( I , ( SBC ) )

= 4d ( H , ( SBC ) ) = 4HF .
1
1
a
HE = d ( A, BC ) = AB sin 300 =
4
4
8

8


Mặt khác CI = AI 2 + AC 2 − 2AI .AC cos1200 =

a 7
.
2

AI 2 + AC 2 IC 2
a 3

3a
Do đó: AH =
.
−
⇒ AH =
⇒ SH =
2
4
4
4
HE .SH
3a 37
=
Do đó d ( A, ( SBC ) ) = 4HE = 4.
.
37
HE 2 + SH 2
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B . Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABCD ) trùng với giao điểm I của AC
và BD . Mặt bên ( SAB ) hợp với đáy một góc 600 . Biết rằng AB = BC = a ,
AD = 3a . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAB ) theo a .
Lời giải
Dựng HE ⊥ AB , HF ⊥ SE .
IC IB BC 1
=
=
= .
Theo Talet ta có:
IA ID AD 3
IE

IB 1
3a
=
= ⇒ IE =
Khi đó:
.
AD BD 4
4
3a 3
Ta có: d ( I , ( SAB ) ) = HF = IE sin E =
.
8
3a 3
Lại có d ( D , ( SAB ) ) = 4d ( I , ( SAB ) ) =
2
Bài 12:(HSG Vĩnh Phúc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi tâm O , AC = 2 3 , BD = 2a ; hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng
vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt
2

a 3
phẳng ( SAB ) bằng
. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABCD ) .
2
Lời giải
Ta có diện tích hình thoi ABCD là:
SABCD = 2 3a2 ⇒ SABC = 3a2 .
Theo giả thiết:
⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( S; ( ABCD ) ) = SO .
Trong ( ABCD ) kẻ OK ⊥ AB , trong ( SOK )

kẻ OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH )
⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) .
kẻ OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) .

9


a 3
a 3.
⇒ d ( O , ( SAB ) ) = OH =
2
4
1
1
1
4
1
1
1
4
a
=
+
=
⇒
=
−
=
⇒
SO

=
Khi đó ta có:
OK 2 OA 2 OB 2 3a2
OS 2 OH 2 OK 2 a2
2
a
⇒ d ( S; ( ABCD ) ) = .
2
Bài 13:(HSG Sơn La 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt
phẳng ( SBD ) và mặt phẳng đáy bằng 60o . Tính khoảng cách từ điểm D đến
mặt phẳng ( SBC ) .
Lời giải.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
AI ⊥ BD
·
⇒
⇒ SIA
= 60o . Suy ra
SI ⊥ BD
d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( O , ( SAB ) ) =

a 6
·
. Ta có
SA = AI .tan SIA
=
2
AD / / ( SBC ) ⇒ d ( D , ( SBC ) ) = d ( A , ( SBC ) ) .
Gọi H là hình chiếu của A lên SB

AH ⊥ SB
⇒
⇒ AH ⊥ ( SBC )
AH ⊥ BC
⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) .

1
1
1
5
3a2
2
=
+
=
Trong tam giác vuông SAB có
⇒ AH =
.
AH 2 SA 2 AB 2 3a2
5
a 15
Vậy d ( D , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =
.
5
Bài 14: (HSG Cần Thơ 2017-2018)
·
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, BAD
= 60o ,
SA = SB = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , biết SG = a 6 . Gọi E
3

2a
là điểm thuộc cạnh SD sao cho SE = . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
3
phẳng ( SCD ) .
Lời giải

10


Tam giác ABD có AB = AD = a , BAD = 60o nên
tam giác ABD là tam giác đều. Suy ra
2 a 3 a 3
. Xét tam giác SGA có
GA = GB = .
=
3 2
3
SG 2 + GA 2 = a2 = SA 2 nên tam giác SGA vuông
tại G . Tương tự tam giác SGB vuông tại G .
GA ⊥ SG
⇒ SG ⊥ ( GAB ) hay SG ⊥ ( ABCD ) . Xét hai tam giác vuông
Vậy 
GB ⊥ SG
SGA và SGD có cạnh SG chung và GA = GD nên chúng bằng nhau. Suy ra
SD = SA = a .
2a2
Trong tam giác vuông SGD , có E thuộc cạnh SD và AE .SD =
= SG 2
3
AB/ / CD

⇒ CD ⊥ GD
⇒ GE ⊥ SD (1). Mặt khác 
GD
⊥
AB

Mà CD ⊥ SG ⇒ CD ⊥ ( SGD ) ⇒ CD ⊥ GE (2). Từ (1) và (2) suy ra
GE ⊥ ( SCD )
Ta có

d ( A, ( SCD ) )

d ( G , ( SCD ) )

=

CA 3
3
= ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( G , ( SCD ) )
CE 2
2

3
3
GSGD
.
⇒ d ( A, ( SCD ) ) = .GE = .
2
2 GS 2 + GD 2
a 6 a 3

.
3
3a 2 a 2
3
3
⇒ d ( A, ( SCD ) ) = .
= .
=
2
2
2 
2
3
2 .
a 6  a 3 

÷ +
÷
3

  3 
2.3.3.3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung
điểm AB . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy ( ABCD ) , biết SD = 2a 5 , SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 600 .
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA .
Lời giải

11

Đặt AB = BC = CD = DA = 2x > 0 .
·
Ta có: SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SCM
= 600
SM
⇒ tan 600 =
= 3.
MC
Cạnh CM = BC 2 + BM 2 = x 5
⇒ SM = x 15 .
Cạnh MD = AD 2 + AM 2 = x 5 .
Từ SD 2 = SM 2 + MD 2
⇒ 15x2 + 5x2 = 20a2 ⇒ x = a .
Dựng hình bình hành ADMN như hình vẽ ⇒ DM / / ( SAN )
⇒ d ( DM , SA ) = d ( M , ( SAN ) ) = h . Tứ diện MSAN là tứ diện vuông
1
1
1
1
1
1
1
60
15
=
+
+
=
+ 2 + 2 ⇒h=a

= 2a
.
2
2
2
2
2
h MS
MA MN
15a 5a a
79
79
Bài 16: Cho lăng trụ ABC .A1B1C 1 có các mặt bên là hình vuông cạnh a . Gọi
D , E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AC
1 1 , B1C 1 . Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng DE và A1F
Lời giải
BB1 ⊥ A1B1
⇒ BB1 ⊥ ( A1B1C 1 ) . Kẻ
Ta có 
BB1 ⊥ B1C 1
EP / /A1F ( P ∈ B1C 1 ) ⇒ A1F / / ( DEP )
⇒

⇒ d ( A1F ; DE ) = d ( F ; ( DEP ) ) = h .

Mặt khác DF / /BB1 ⇒ DF / / ( A1B1C 1 )
∆PEF ⊥ P , kẻ FH ⊥ DP tại H ⇒ h = FH
1
1

a
⇒h=
1
1
1 = 2+
2
a a
17 .
+
Ta có 2 =
h DF 2 FP 2
 ÷
4
Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B
, AB = a, AA ' = 2a, A 'C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là
giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( IBC ) .
Lời giải

12


Lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' ⇒ AA ' ⊥ ( ABC ) .
Ta có:
d = d ( A; ( IBC ) ) = d ( A; ( A ' BC ) ) = AP ⇒ d = AP
⇒

1
1
1

1
1
2a
=
+
= 2 + 2 ⇒d =
.
2
2
2
d AB
A 'A a 4a
5

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB cạnh a , tam giác ABC
cân tại C . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh
AB , góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 300 . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và BC theo a .
Lời giải
Gọi H là trung điểm cạnh
·
AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SCH
= 300 và
3a
a 3
. Nên CH = SH : tan 300 = .
2
2
Vẽ hình bình hành ABCD .
Khi đó: AD / /BC ⇒ BC / / ( SAD ) .

SH =

⇒ d ( SA, BC ) = d ( BC , SAD )
= d ( B , SAD ) = 2d ( H , SAD )

HE ⊥ AD
. Vì AD ⊥ HE , AD ⊥ SH ⇒ AD ⊥ ( SHE ) ⇒ AD ⊥ HF
Kẻ 
HF ⊥ SE
⇒ d ( H , SAD ) = HF
4
4
4
52
1
1
1
1
1
1
= 2+ 2+ 2= 2
=
+
=
+
+
Ta có:
2
2
2

2
2
2
3a a 9a 9a
HF
HS
HE
HS
HA HD
3a
3a
⇒ HF =
⇒ d ( SA, BC ) =
.
2 13
13
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, hai đáy
BC và AD . Biết SA = a 2 , AD = 2a , AB = BC = CD = a . Hình chiếu vuông
góc của S lên ABCD là trung điểm H của đoạn AD . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SB và AD theo a .
Lời giải

13


Vì SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AD mà
AD / / ( SBC )
⇒ d ( SB , AD ) = d ( AD ,SBC ) = d ( H ,SBC ) .
Gọi M là trung điểm BC , suy ra HM ⊥ BC ,
mà BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SHM )

⇒ ( SBC ) ⊥ ( SHM ) .
Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ ( SBC )
⇒ d ( H , SBC ) = HK . Ta có :
2

a  a 3
HM = HB − MB = a −  ÷ =
2
2
1
1
1
4
1
7
a 21
21a
hay d ( SB , AD )
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
2
HK
HM
HS
3a a 3a
7
7

Bài 20: (HSG Bình Phước 2017-2018)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB = AD = a ,
CD = 2a . Biết rằng hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy, góc giữa ( SBC ) và mặt đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích của khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC .
Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Khi đó
SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) . Mặt khác, do hai mặt
phẳng ( SAC ) , ( SBD ) cùng vuông góc với mặt
đáy nên SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi E là trung điểm
của CD ⇒ ABED là hình vuông cạnh a .
1
Mặt khác BE ⊥ CD , BE = CD ⇒ ∆BCD
2
vuông cân tại B . Do đó, BC ⊥ OB
⇒ BC ⊥ ( SOB ) ⇒ BC ⊥ SB
·
⇒ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = ( SB ,OB ) = SBO
= 450
2

2

2

Ta có: BD = AD 2 + AB 2 = a 2 .
OB AB 1
1
a 2
2a 2 .

AB PCD ⇒
=
= ⇒ OB = BD =
;OD =
OD CD 2
3
3
3
a 2
Ta có SO = OB .tan 450 =
3
Gọi F là điểm đối xứng với B qua A ⇒ BCDF là hình bình hành
·
·
⇒ BC PDF ; FDB
= DBC
= 900 .
14


3
Do đó d ( BC , SD ) = d ( B , ( SDF ) ) = d ( O , ( SDF ) ) .
2

OH ⊥ SD
Trong mặt phẳng ( SOD ) dựng OH ⊥ SD . Khi đó ta có: 
OH ⊥ FD
1
1
1

⇒ OH ⊥ ( SDF ) ⇒ d ( O , ( SDF ) ) = OH . Ta có
=
+
2
2
OH
SO
DO 2
a 2 2a 2
.
2a 10
3
3
SO.DO
=
=
⇒ OH =
2
2
15
 a 2   2a 2 
SO 2 + DO 2

÷ +
÷
 3   3 
a 10
.
⇒ d ( BC , SD ) =
5

Chú ý: Kẻ BI ⊥ SD ⇒ BI là đoạn vuông góc chung của SD và BC .
a 2
.a 2
a 10
3
=
Xét ∆SBD ta có BI .SD = SO.BD ⇒ BI =
.
5
a 10
3
Bài 21: (HSG Đà Nẵng 2017-2018)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 4a , cạnh bên SA
vuông góc với đáy và có độ dài bằng a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AB và BC . Tìm số đo của góc và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và AN .
Lời giải
uuu
r r uuur r uuur r
Đặt AS = s , AB = b , AC = c .
rr rr
rr
Suy ra sb
. = sc
. = 0 ; bc
. = 8a2 .
Tìm góc ϕ = ( SM ; AN ) , ta có:
uuur uuur uuu
r 1 r r
SM = AM − AS = b − 2s và

2
uuur 1 uuur uuur 1 r r
AN = AB + AC = b + c .
2
2
uuur uuur
SM .AN
⇒ cos ϕ = uuur uuur
SM . AN
1 r2 r r r r r r
b + bc
. − 2sb
. − 2sc
.
1 ⇒ ϕ = 45°
4
=
=
2
2a2 + 4a2 .2a 3

(

(

) (

)

)

15


Tìm khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và AN : gọi E ∈ SM , FN thì
uur uur uuur
uuur
uuur uuu
r
EF = ES + SA + AF = xSM + yAN − AS
uuu
r
r x+yr yr
b+ c .
Suy ra EF = ( −1 − x ) s +
2
2
EF là đoạn vuông góc chung của SM và AN khi và chỉ khi
2

uuu
r uuur
x
=
−
EF .SM = 0
uuu
r

3x + 3y = −1

1r 1r 1r
3
⇔
⇒ EF = − s − b + c .
.⇔ 
r uuur
 uuu
3
6
6
EF .AN = 0 x + 2y = 0
y = 1

3
2
1r 1 r 1 r
2 2 a 6

Suy ra d = EF =  − s − b + c ÷ =
.
a =
3
6
6
3
3


Bài 22: (HSG Đồng Nai 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt
đáy ( ABCD ) là một hình chữ nhật. Mặt bên ( SAB ) là tam giác cân tại S và

mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết AB = 2a , BC = a
và góc tạo bởi cạnh bên SC và mặt đáy ( ABCD ) là 45° .Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng SA , BD .
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB
⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Trong ( ABCD ) qua
A kẻ d song song với BD
⇒ BD || ( SA,d) .
Gọi E là hình chiếu của H lên d
⇒ ( SHE ) ⊥ ( SA,d) .
Gọi F là hình chiếu của H lên SE
⇒ HF ⊥ ( SA,d ) .
Vậy d ( BD , SA ) = d ( B , ( SA,d) )
= 2d ( H , ( SA,d) ) = 2HF .

a
a 5
, OA = OB =
,
2
2
·
HC = a 2 . Do SCH
= 45° nên ∆SHC vuông cân tại H ⇒ SH = HC = a 2 .
HE HA
=
Mà ∆EAH , ∆HBO đồng dạng nên:
.
OH OB
OH .HA a

2
a
⇒ HE =
= .a.
=
. Xét ∆SHE vuông tại H ta có:
OB
2 a 5
5
1
1
1
1
5
11
a 2
2a 22
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HF =
. Vậy d ( SA, BD ) =
.
2
2
2
HF
SH
HE
2a a
2a

11
11
Gọi O là tâm hình chữ nhật ta có: HA = a , OH =

16


Bài 23: (HSG Hà nam 2016-2017)
·
Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD
= 600 ,
A 'A = A 'B = A 'D . Cạnh bên AA ' hợp với mặt phẳng (ABCD ) một góc 600
.Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng BC , AD ' .
Lời giải
Gọi G là trọng tâm ∆ABD ⇒ G là tâm
đường tròn ngoại tiếp ∆ABD (vì
∆ABD đều). Theo giả thiết
A 'A = A 'B = A 'D ⇒ A 'G ⊥ (ABCD )
.
· ',(ABCD ) = A
· 'AG = 600 .
AA

(

)

∆ABD đều cạnh a

3
2
3
⇒ AG = AO = a
2
3
3
· 'AG = a
∆A 'AG vuông tại G ⇒ A 'G = AG .tan A
BC PAD
⇒ BC P( ADD 'A ')
Ta có 
AD
⊂
ADD
'
A
'
(
)

vì AD ' ⊂ ( ADD 'A ') ⇒ d ( BC , AD ' ) = d ( BC ,(ADD 'A') ) = d ( B ,(ADD 'A') )
Gọi BG ∩ AD = N (N là trung điểm của AD)
BG ∩ ( ADD 'A ' ) = N

⇒ d ( B ,(ADD 'A ') ) = 3d ( G ,(ADD 'A ') )
Vì  BN
=
3


GN
AD ⊥ GN
⇒ AD ⊥ (A 'GN ), AD ⊂ ( ADD 'A ') ⇒ ( A 'GN ) ⊥ ( ADD 'A ' )
Ta có 
AD ⊥ A 'G
⇒ AO = a

( A 'GN ) ∩ ( ADD 'A ') = A 'N
Trong mp ( A 'GN ) dựng GH ⊥ A 'N
⇒ d ( G , ( ADD 'A ') ) = GH

suy ra GH ⊥ ( ADD 'A ' )

a 3
a 13
a 117
⇒ GH =
⇒ d ( BC , AD ' ) =
6
13
13
Bài 24: (HSG Hà Nam 2017-2018)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết
AB = SD = 3a , AD = SB = 4a , đường chéo AC vuông góc với mặt phẳng
( SBD ) . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng BD và SA .
Có A 'G = a,GN =

17

Lời giải
Ta có: AC ⊥ (SBD ) ⇒ (SBD ) ⊥ (ABCD )
(SBD ) ∩ (ABCD ) = BD
Kẻ SH ⊥ BD tại H ⇒ SH ⊥ (ABCD )
BD = AB 2 + AD 2 = 5a
Tam giác SBD vuông tại S nên:
SB .SD 12a
SH =
=
. Gọi K là giao điểm của
BD
5
AC và BD .
AB .AD 12a
=
Ta có AK .BD = AB .AD ⇔ AK =
BD
5
2
AB
15a
.
=
AK .AC = AB 2 ⇔ AC =
AK
4
Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BD . Kẻ HE / / K A , E ∈d
(SHE) ⊥ (SA,d); (SHE ) ∩ (SA,d) = SE
Kẻ HF vuông góc với SE tại F thì HF vuông góc với ( SA,d ) .

BD/ / ( SA,d ) nên d ( BD ;SA ) = d ( BD; ( SA,d ) ) = d ( H ; ( SA,d ) ) = HF .
1
1
1
25
25
25
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
HF
SH
HE
144a 144a
72a2
6 2a
6 2a
.
HF =
⇒ d(BD , SA ) =
5
5
2.3.3.4. Bài tập tự luyện

Một số bài toán trắc nghiệm về khoảng cách.
Bài 25: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
a 17
, hình chiếu vuông góc của S lên ABCD là trung điểm H của
SD =
2
đoạn AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng HK và SD theo a .
a 3
a 3
a 3
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
25
45
15
5
Đáp án đúng : đáp án D.
a 70
Bài 26: Cho hình chóp SABC có SC =
, đáy ABC vuông tại A ,
5
AB = 2a , AC = a và hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm H
của đoạn AB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA theo a .

3a
4a
a
2a
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
5
5
5
5
Đáp án đúng : đáp án B.
Trong tam giác SHF ta có

18


Bài 27: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B , với AB = BC = a , AD = 2a ( a > 0 ) . Các mặt bên ( SAC ) và ( SBD ) cùng
vuông góc với đáy. Góc giữa ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 600 . Tính khoảng cách
giữa CD và SB .
2a 3
2a 3
a 3
3a 3
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
5
15
15
5
Đáp án đúng : đáp án A
Bài 28: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
·
ABC
= 600 , SD = a 2 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD )
là điểm H thuộc đoạn BD thỏa mãn HD = 3HB . Gọi M là trung điểm cạnh
SD . Tính khoảng cách giữa CM và SB .
a 3
a 30
a 3
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

40
8
8
4
Đáp án đúng : đáp án B.
Bài 29: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .A′B ′C ′ có độ dài cạnh đáy bằng
2a ,góc giữa mặt phẳng ( A′BC ) và mặt phẳng đáy bằng 600 .Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các cạnh BC và CC ′ .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A′M và AN theo a .
6a 97
4a 95
3a 15
3a 45
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
97
95
2
4
Đáp án đúng : đáp án A
Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O ,
AB = a , BC = a 3 . Tam giác ASO cân tại S , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) , góc giữa
SD và ( ABCD ) bằng 60° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
AC .

3a
a
3a
a 3
A.
.
B. .
C. .
D. .
2
2
4
2
Đáp án đúng : đáp án D .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đối với học sinh: Trong quá trình dạy học tôi luôn nhắc nhở các em phải
luôn nắm chắc các định nghĩa, phải biết cách sử dụng có hiệu quả các định lí.
Khi giải các bài toán về khoảng cách cũng cần chú trọng đến khâu vẽ hình, cần
quan tâm đến các bài toán đặc biệt để từ đó có cái nhìn tổng thể hơn đối với bài
toán tính khoảng cách. Do đó các em đã biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt,
khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
19


nhau ở những bài toán cơ bản. Các em học sinh có học lực khá đã giải được các
bài toán khó.
Trong bài kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 20162017, lớp 11A2 có 93 % các em đạt kết quả trên trung bình trong đó có 80% đạt
kết quả khá giỏi, lớp 11A8 có 90 % các em đạt kết quả trên trung bình trong đó
có 78% đạt kết quả khá giỏi. Trong bài kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng

Cao năm học 2017-2018, lớp 11A6 có 95% các em đạt kết quả trên trung bình
trong đó có 82% đạt kết quả khá giỏi. Bên cạnh đó trong các kì thi học sinh giỏi
cấp trường cũng như các kì thi bồi dưỡng phần đa các em cũng đã tính đúng các
bài toán về khoảng cách từ đó có kết quả cao trong các kì thi.
- Đối với bản thân: Đã có sự tích lũy về kiến thức cũng như phương pháp
dạy học. Tùy các đối tượng học sinh, mỗi đối tượng có một phương pháp khác
nhau. Qua đó có phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả rõ rệt.
- Đối với đồng nghiệp: Đề tài cũng là một nguồn tham khảo hữu ích, về cả
nội dung, ý tưởng và một số ý kiến phân tích, lập luận của tác giả trong quá trình
trình bày ở mỗi ví dụ để hoàn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy của mình.
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận: Hình học không gian là vấn đề quan trọng và không thể thiếu trong
các đề thi đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp. Đặc biệt hơn nữa là trong
các đề thi luôn có phần quan hệ vuông góc hoặc ứng dụng của nó để giải các bài
toán liên quan. Vì thế giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán hình học không
gian là nhiệm vụ hết sức quan trọng. Các em học sinh muốn có kĩ năng giải tốt
các bài toán về quan hệ vuông góc các em phải nắm vững lí thuyết, các dạng
toán và phương pháp giải các dạng toán đó.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra được trong quá
trình dạy học các bài toán tính khoảng cách. Bài tập hình học không gian là
tương đối khó và phức tạp. Thông qua các dạng toán, phương pháp giải và các ví
dụ trên đây hi vọng phần nào giúp các em học sinh có kĩ năng giải các bài toán
tính khoảng cách và cũng là tiền đề để sau này các em giải quyết tốt các bài toán
tính thể tích.
2. Kiến nghị:
Nhằm giúp học sinh học tốt phần quan hệ vuông góc trong không gian tôi
kiến nghị:
-Trong phân phối chương trình lớp 11 số tiết học là hơi ít đặc biệt là số
tiết luyện tập vì thế tôi kiến nghị tăng số tiết cho chương học này.
- Trong quá trình dạy học phần này tôi đề nghị giáo viên nêu ra các dạng

toán và các phương giải các dạng toán đó, đặc biệt là phải rèn luyện kĩ năng
dựng hình cho học sinh.
Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, với năng lực có hạn của bản thân
không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chia sẻ của đồng
nghiệp và học sinh.
20


Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1,
Hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm này do
chính tôi viết từ chính kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, không sao chép từ
bất cứ tài liệu nào. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với lời cam đoan của
mình.
Trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20
2018

tháng 5

năm

Phạm Tiến Hùng

21