chuyên đề ôn thi học sinh giỏi lý lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.46 MB, 46 trang )
LUYỆN THI HSG, PHẦN CƠ – NHIỆT
Phần một:
Tóm tắt kiến thức
1. Động học chất điểm và động học vật rắn:
- Vận tốc trung bình:
- Khoảng cách giữa hai vật trong không gian: a 2 b 2 c 2 2bc cos A
v const
-Chuyển động thẳng đều:
x vt
a const
v v 0 at
- Chuyển động thẳng biến đổi đều:
1 2
x v 0 t at
2
2
2
v v 0 2ax
d
dt
- Chuyển động tròn:
2
d d
dt
dt 2
const
t
1 2
- Chuyển động tròn đều: T
f
v2
2r
a ht
r
const
.t
0
- Chuyển động tròn biến đổi đều:
1 2
0 t 2 .t
2
02 2a
v .r
dv
- Các công thức liên hệ: a t
.r
dt
a n 2 .r
- Công thức tính tương đối của chuyển động:
-
v13 v 12 v 23
a13 a 12 a 23
Quảng đường vật đi được trong
• chuyển động thẳng đều: x v t
at 2
• chuyển động thẳng biến đổi đều: x v 0 t
2
• chuyển động tròn đều: s v t .r.t
1/46
• Quảng đường vật đi được trong chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian v(t):
t
t
0
0
s v dt ds
• Quảng đường vật chuyển động tròn biến đổi đều đi dược:
s r
1
( 0 t t 2 )r
2
2. Động lực học chất điểm và động lực học Vật rắn:
a. Động lực học chất điểm:
- Công thức Định luật I, định luật II và định luật III Newton cho chất điểm:
F 0
F ma
F12 F21
dv dP
- Định luật II Newton mở rộng:
F m
dt dt
- Các lực cơ học:
- Lực đàn hồi: F kl
v
- Lực ma sát trượt: Fmst t N .
v
Về độ lớn: F t N
F ma qt
- Lực quán tính:
Chú ý: Định luật II không đúng cho hệ phi quán tính nhưng vẫn đúng khi ta xét trong hệ quy
chiếu có gia tốc a lúc đó vật chịu thêm lực quán tính Fqt .
- Lực hấp dẫn:
F G
Mm
r2
Gia tốc rơi tự do ở mặt đất:
g0
GM
R2
Gia tốc rơi tự do ở độ cao h: g g 0 .
Gia tốc rơi tự do ở độ sâu h:
1
h
1
R
h
g g 0 .1
R
2
h
- Lực do chất lỏng, khí tác dụng lên thành bình:
F dF p ds
0
T
4
3
GM
a
2
- Công thức định luật Keple III:
2
Fcn kSv
- Lực cản của môi trường khi vận tốc của vật nhỏ và lớn:
Fcl kSv.v
b. Động lực học hệ chất điểm - Động lực học Vật rắn.
- Phương trình chuyển động quay của vật rắn xung quanh trục: M I
I là mômen quán tính:
1
• Thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng m: I ml 2
12
2/46
• Đĩa tròn đồng chất, trụ tròn:
I
1
mR 2
2
• Vành tròn, trụ rỗng:
I mR 2
2
• Cầu đặc:
I mR 2
5
• Vật rắn bất kỳ: I dm.r 2
Ca vat
• Vật không quay quanh trục song song và cách trục đối xứng
một đoạn d (Nguyên lý Huy ghen) : I I 0 m d 2
- Phương trình chuyển động của khối tâm: F ma
- Điều kiện vật lăn không trượt:
Fms Fmst
- Phương trình suy rộng của chuyển động quay của vật rắn:
M
dL
dt
(L là mômen xung lượng (động lượng) L I )
3. Tĩnh học Vật rắn:
Vị trí trọng tâm của vật rắn hoặc hệ chất điểm:
n
mi x i
i 1
xG n
mi
i 1
n
mi y i
i 1
y n
mi
i 1
M 0
Điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn:
F 0
Có nghĩa là tổng đại số tất cả các mômen tác dụng vào vật bằng 0 và tổng tất cả các lực tác
dụng lên vật bằng 0.
4. Cơ học chất lưu:
- Vận tốc chất lỏng chảy qua một lổ nhỏ cách mặt thoáng của bình đựng một đoạn h:
v 2 gh
1
P gh v 2 const
- Định luật Bécnuli:
2
- Lực tác dụng lên ống dòng ở những vị trí ống bị cong: F .Sv v2 v1
5. Các định luật bảo toàn
a. Định luật bảo toàn động lượng
dP
F dt
dP
Khi:
F 0 thì dt 0
hay P const ( Bảo toàn động lượng của hệ chất điểm cô lập).
Nếu F 0 nhưng Fx 0 thì Px const
b. Định luật bảo toàn mômen động lượng:
3/46
dL
dt
- Khi tổng mômen tác dụng lên vật đối với trục quay bằng 0 thì M 0
M
dL
0 L const ,
dt
nghĩa là mômen động lượng L I của vật được bảo toàn.
c. Định luật bảo toàn cơ năng
1
- Động năng chuyển động tịnh tiến: Wđ = mv 2
2
1
- Động năng chuyển động quay: Wđ = I 2
2
- Định lý động năng:
Wđ = Anl
1
1
- Vật vừa quay vừa chuyển động tịnh tiến: Wđ = mv 2 I 2
2
2
• Định luật bảo toàn cơ năng trong hệ kín và trường lực thế: Wđ + Wt = const
d. Định luật bảo toàn năng lượng
Năng lượng không tự nhiên sinh ra cũng không tự nhiên mất đi nó chỉ chuyển hóa từ dạng
này sang dạng khác và từ vật này sang vật khác và tổng của chúng trong một hệ cô lập được
bảo toàn.
e. Định luật bảo toàn công
Trong một hệ cơ học khi ta thực hiện công được lợi bao nhiêu lần về lực thì sẽ thiệt bấy
nhiêu lần về đường đi và ngược lại.
6. Năng lượng và các loại va chạm trực diện xuyên tâm:
(m1 m2 )v1 2m2 v 2
v1
m1 m2
+ Va chạm đàn hồi xuyên tâm:
v (m2 m1 )v 2 2m1v1`
2
m1 m2
Động lượng, động năng được bảo toàn.
+ Va chạm mềm: chỉ có động lượng được bảo toàn.
hay
P1 P 2
hay m1 v1 m 2 v 2 m1 v1 m 2 v 2
▪ Chú ý: Dấu của v1 , v2 , v1’, v2 phụ thuộc vào chiều trục tọa độ.
- Công của lực không đổi: A F S F S . cos
- Công của lực luôn luôn đổi: A dA F dS
- Công trong chuyển động tròn của vật: A F dS Md
7. Dao động
- Phương pháp chứng minh vật dao động điều hòa:
x 2 x
• Phương pháp động lực học:
s 2 s
• Phương pháp năng lượng.
• Phương pháp mômen:
Từ công thức: M I .
Với
4/46
M
2
I
- Thời gian vật dao động điều hòa: t n.T t
• n là số giao động chẳng thực hiện được mất thời gian nT
• t là khoảng thời gian nhỏ hơn T còn thừa sau n dao động.
- Quãng đường vật đi được trong thời gian t: S n.4 A s
s là quảng đường vật đi được trong thời gian t .
8. Nhiệt học
a. Thuyết động học chất khí.
- Bậc tự do của chất khí (i):
i = 3: chất khí đơn nguyên tử
i = 5: chất khí lưỡng nguyên tử
i = 6: chất khí đa nguyên tử.
1
i
- Động năng trung bình của một phân tử khí: Wđ = mv 2 kT
2
2
2
- Áp suất của phân tử khí lên thành bình: P nWd
3
R
J
Hằng số Bônxơman: k
1,38.1023
NA
K
i
- Liên hệ giữa áp suất và mật độ khí: P nkT
3
8RT
v
- Vân tốc trung bình và vận tốc toàn phương trung bình:
v 2 3RT
- Số hạt chất khí đi qua một lổ nhỏ từ một môi trường có áp xuất P và nhiệt độ T sang một
1
môi trường khác: N nS v
6
1 P
3RT
N
S
6 kT
Ta chứng minh:
n
- Định luật Đantôn: P P1 P2 ... Pn Pi
i 1
b. Nguyên lý I và các định luật về chất khí
- Nguyên lý I của nhiệt động lực học: Q U A
Nhiệt dung mol đẳng tích và nhiệt dung mol đẳng áp:
i
R
Cv 2 R 1
C C R i 2 R R
v
p
2
1
-
Nội năng của khối khí lý tưởng có khối lượng m:
Độ biến thiên nội năng: U
-
m
Cv T
Công của chất khí: A dA p dV
c. Các quá trình đặc biệt của chất khí
5/46
U
m
CvT
mi
RT
2
• Quá trình đẳng nhiệt (T = const):
- Định luật Bôilơ-Mariôt: PV const
A
-
Công trong quá trình đẳng nhiệt:
-
Độ biến thiên nội năng:
-
Nhiệt lượng trong quá trình đẳng nhiệt:
m
RT ln
V2 m
P
RT ln 1
V1
P2
U 0
Q A
m
RT ln
Q U
m
Cv T
V2 m
P
RT ln 1
V1
P2
• Quá trình đẳng tích (V = const):
P
T const
Định luật Sác lơ:
P=P0 1 1 t
273
- Công trong quá trình đẳng tích: A 0
m
- Độ biến thiên nội năng: U Cv T
-
Nhiệt lượng trong quá trình đẳng tích:
• Quá trình đẳng áp (P = const):
-
V
T const
Định luật Gay luy-xắc:
V=V0 1 1 t
273
Công trong quá trình đẳng áp: A P V2 V1
-
Độ biến thiên nội năng:
-
Nhiệt lượng trong quá trình đẳng tích:
-
Phương trình trạng thái của khí lý tưởng và phương trình Clapêrôn – Menđêlêép:
PV
T const
PV= m RT
-
- Liên hệ giữa 0 C và 0 K :
• Quá trình đoạn nhiệt (Q = 0)
U
m
Cv T
Q P V2 V1
T t 273
- Các phương trình của quá trình đoạn nhiệt:
PV const
-1
TV const
1-
TP const
i2
là hệ số đoạn nhiệt.
Cv
i
- Công của quá trình đoạn nhiệt:
m
1
A U Cv T2 T1
PV PV
1 1 1 2 2
• Quá trình đa biến (C = const) – Quá trình Pôlitropic:
Trong đó
Cp
6/46
m
Cv T
- Các phương trình của quá trình đa biến:
n
P V const
n 1
T V const
1- n
T P n const
- Công của quá trình đa biến:
Với n =
A
CP C
CV C
1
PV
1 1 PV
2 2
n 1
d. Nguyên lý II của nhiệt động lực học
- Hiệu suất của chu trình thuận (động cơ nhiệt) :
A
Q
1 2
Q
Q1
A là công mà khí nhận được trong một chu trình
Q1 là nhiệt lượng mà khối khí nhận được từ nguồn nóng
Q2 là nhiệt lượng mà khối khí toả ra môi trường.
- Hiệu suất của chu trình Carno:
T T
T
1 2 1 2
T1
T1
Trong đó: T1 là nhiệt độ của nguồn nóng
T2 là nhiệt độ của nguồn lạnh.
- Nhiệt lượng trong quá trình bÊt kú:
Q dQ T .dS
( S là Entropy).
7/46
Phn hai: Bi tp
A. C hc
1. ng hc
Bài 1: Cho cơ hệ nh- hình vẽ. B chuyển động sang phải với gia tốc a , còn vật nhỏ A đ-ợc
nối với điểm C bằng một sợi dây không dãn đ-ợc nâng lên theo đ-ờng dốc chính của một mặt
trụ của vật B. Mặt này có bán kính R.
Giả sử tại thời điểm ban đầu vật A nằm trên sàn và đang đứng
yên, sợi dây luôn căng.
Hãy tính vận tốc trung bình của vật A trong quá trình A đi từ
sàn lên đến điểm cao nhất của trụ B (điểm D).
Giải:
Khi A đi từ sàn lên đến điểm cao nhất của trụ thì độ dời của nó sẽ là IA :
IA IA
AD 2 DI 2 2 AD.DI . cos (
4
)
2
2
IA IA R R 2 2.R .R 2 .
2
2
2
R
IA
2 4 8
2
Ta có thời gian để trụ dịch chuyển từ E đến F là:
1
EF at 2
2
Thời gian để trụ đi từ E đến F cũng chính là thời gian chuyển dời của vật nhỏ khi đi từ I đến A
:
Suy ra:
2
t
2.EF
a
2. AD
a
Vận tốc trung bình của vật nhỏ A:
v
v
2.
2
a
R
R
a
IA
t
1 ( 2 4 8)aR
2
Bài 2: Môt chiếc ca nô xuất phát từ điểm A trên đ-ờng cái, ô tô này
cần đến điểm D (trên đồng cỏ) trong thời
gian ngắn nhất. Biết AC d ; CD l .
Vận tốc ô tô chạy trên đ-ờng cái (v1)lớn hơn vận tốc ô tô trên
đồng cỏ (v2) n lần.
Hỏi ô tô phải rời đ-ờng cái tại một điểm B cách C một đoạn
x là bao nhiêu?
Giải:
8/46
dx
v1
t1
Thời gian ô tô chạy trên đ-ờng cái từ A đến B:
Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D: t 2
x2 l 2
.
v2
Tổng thời gian chạy từ A đến D của ô tô : t t1 t 2 =
Đặt:
f x
dx
v1
x2 l 2
.
v2
dx
x2 l 2
.
n.
v1
v1
d x n x2 l 2
v1
nx x 2 l 2
nx
1
.
v1 v1 x 2 l 2
v1 . x 2 l 2
l
f(x) = 0 x=
.
n2 1
Bảng biến thiên:
f ' x
Vậy ô tô phải rời đ-ờng cái tại B cách C một đoạn x
l
n 1
2
, lúc đó thời gian ngắn nhất cần
d l n2 1
.
v1
Bài 3: Trên mặt phẳng nằm ngang có một cột trụ bán kính R thẳng đứng, ng-ời ta dùng một sợi
dây chỉ mảnh không dãn, khối l-ợng không đáng kể để nối một vật nhỏ với một điểm trên vành
trụ, điểm này sát mặt phẳng ngang.
Ban đầu vật nhỏ nằm yên trên mặt phẳng và dây
ở t- thế căng, lúc này chiều dài dây là L. Truyền cho
vật vận tốc v0 h-ớng vuông góc với dây và vật chuyển
động trên mặt phẳng ngang cuốn dây vào trụ.
Hỏi sau bao lâu dây cuốn hết trụ? Giả thiết
trong khi chuyển động dây luôn nằm ngang.
Bỏ qua ma sát và bề dày của dây.
thiết của ô tô sẽ là: t min
Giải:
Ta nhận thấy ngay không có lực nào tác dụng vào vật sinh công, do vậy động năng của vật
đ-ợc bảo toàn do vậy nó có vận tốc không đổi v0.
Tại một thời điểm nào đó dây có chiều dài l, xét một thời gian vô cùng bé dt vật đi đ-ợc cung
AB:
9/46
=ld=v0dt.
dl
Do dl R d =
thế vào ph-ơng trình trên ta đ-ợc:
R
dl
l = v0 dt
R
L
t
1 l2 L
ldl
t
Lấy tích phân hai vế:
= v0 dt .
0 v0 t
0
R 2
R 0
0
L2
L2
.
v0 t t
2v 0 R
2R
Vậy thời gian để dây cuốn hết trụ sẽ là: t
L2
.
2v 0 R
Bài 4: Có hai vật m1 và m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc lần l-ợt là v1 và v 2 . Vật m2 xuất
phát từ B.
Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình
chuyển động và thời gian đạt đ-ợc khoảng cách đó? Biết
khoảng cách ban đầu giữa chúng là l và góc giữa hai đ-ờng
thẳng là .
Giải:
Giả sử sau thời gian t khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất.
Khoảng cách đó sẽ là:
d
A' B 2 BB' 2 2 A' B.BB'. cos
d (l v1t ) 2 (v 2 t ) 2 2(l v1t )v 2 t cos
= (v1 2v1v2 cos v2 )t 2 2l (v1 v2 cos )t l 2
2
2
Ta xem biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai ẩn số t , với 4l 2 v22 sin 2 , d sẽ đạt
giá trị nhỏ nhất khi tam thức đó nhận giá trị nhỏ nhất,
l (v v 2 cos )
hay d d min t 2 1
2
v1 2v1v 2 cos v 2
Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là: d min
d min
4a
lv2 sin
v1 2v1v 2 cos v 2
2
2
Bài 5: Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động với vận tốc
không đổi lần l-ợt là v và u v u . Tàu B chuyển động trên một đ-ờng thẳng (đ-ờng thẳng này
vuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu, còn tàu A luôn h-ớng về tầu B.
Hỏi sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B ?
Giải:
10/46
Ta gắn hệ trục 0 xy trùng với mặt phẳng n-ớc và trục 0x cùng
ph-ơng chiều với chuyển động của tàu B , còn tàu A nằm trên
phần d-ơng của trục 0y ở vị trí ban đầu có toạ độ là 0, a .
Tàu A chuyển động với vận tốc v luôn h-ớng về phía tàu B
với vận tốc gồm hai thành phần:
dx
v x dt v cos
v dy v sin
y dt
Lấy vế chia vế hai ph-ơng trình trên và ta rút ra:
dx
1 dy
dy
cot
dt
tan dt
dt
y
Ta lại có: tan
ut x y cot
ut x
Đạo hàm 2 vế của (2) ta đ-ợc:
dx
dy
y d
u
cot
dt
dt sin 2 dt
Thay (1) vào (3) ta suy ra:
y d
u 2
sin dt
dy
dy
v sin dt
Mặt khác:
dt
v sin
y d
uv
Thay dt từ (5) vào (4):
dy sin
u dy
d
hay
v y sin
Lấy tích phân 2 vế:
y
u dy
d
v a y sin
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
u y
ln ln tan
v a
2
u
y v
tan
2 a
Suy ra
Mặt khác ta lại có:
sin
2 tan
2
1 tan 2
2
2
1
tan tan
2
2
dy
v sin
u
u
a y v y v y
nên
dt
d
2v a
a a
Lấy tích phân 2 vế ph-ơng trình (*):
và
dt
11/46
2
(*)
y
a
u
v
u
y v
a
u
u
0
a y v y v y
0 dt 2v a a a d a
a 1
1
t
u
2v u
1
1
v
v
t
hay
av
v u2
av
Vậy sau thời gian 2
tàu A sẽ đuổi kịp tầu B.
v u2
Bài toán đuổi bắt có nhiều dạng khác nhau, ph-ơng pháp đa năng để giải các loại bài toán này
chính là phương pháp vi phân . Tuy nhiên còn có những phương pháp đặc biệt để giải chúng,
các bạn có thể tham khảo cuốn Lãng mạn toán học của giáo sư Hoàng Quý có nêu ra một trong
những ph-ơng pháp đặc biệt đó để giải bài toán sau:
t
2
Có hai tàu A và B cách nhau một khoảng a đồng thời tàu A và B chuyển động cùng vận tốc. Tàu B chuyển
động trên một đ-ờng thẳng (đ-ờng thẳng này vuông góc với đoạn thẳng nối các vị trí ban đầu của hai tàu),
còn tàu A luôn h-ớng về tầu B.
Hỏi sau một thời gian đủ lâu thì hai tàu chuyển động trên cùng một đ-ờng thẳng và khoảng cách giữa
chúng không đổi. Tính khoảng cách này ?
a
Đáp số:
.
2
Bài 6: Vật m2 đang đứng yên trên mặt sàn nằm ngang nhẳn cách bờ t-ờng một khoảng d. Vật
m1 chuyển động tới va chạm hoàn toàn đàn hồi với vật m2 (m1 > m2), vật m2 lại va chạm đàn hồi
với bờ t-ờng và gặp m1 lần 2. Va chạm
lần 2 xảy ra cách bờ t-ờng một khoảng
là bao nhiêu?
Tìm điều kiện để điểm va chạm lần 2 cách điểm va chạm lần 1 một khoảng là d/2 ?
Giải :
Chọn trục toạ độ nh- hình vẽ.
Gọi v1,v1lần lượt là vận tốc của vật 1 trước và sau khi va chạm.
Gọi v2và v2 là vận tốc của vật 2 trước và sau khi va chạm (các vận
tốc v1,v2,v1,v2 mang giá trị đại số).
Sau va chạm :
v1'
12/46
m1 m2 v1 2m2 v2 = m1 m2 v
m1 m2
m1 m2
1
m2 m1 v2 2m1v1
v2'
m1 m2
2m1
v1
m1 m2
(do v2 = 0)
Nhận thấy v1,v2 đều dương, chứng tỏ sau va cham chúng chuyển động cùng chiều ox.
Gọi điểm va chạm lần 2 cách t-ờng một đoạn x, thời gian giữa 2 lần va cham là :
t
dx dx
v2 '
v1 '
(1)
(do sau va chạm vào t-ờng của m2 thì nó vẫn có vận tốc nh- cũ nh-ng đã đổi h-ớng v 2'' v1' .
Thế v1 và v2 từ trên vào (1) ta suy ra :
x
Để va chạm lần 2 cách lần 1 một đoạn
m1 m2
d
3m1 m2
d d
d
thì: x d
2 2
2
m1 m2
d
d
3m1 m2
2
hay
m1 3m 2 .
Bài 7: Một hạt chuyển động theo chiều d-ơng của trục ox với vận tốc sao cho v a x (a là
hằng số d-ơng). Biết lúc t = 0 hạt ở vị trí x=0.
Hãy xác định :
a. Vận tốc và gia tốc của hạt theo thời gian.
b. Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ vị trí x = 0 đến vị trí x.
Giải:
a.
va x
Theo đề bài :
hay
dx
a x
dt
dx
adt
x
Nguyên hàm hai vế :
dx
x
a dt 2 x at c
Do t 0 thì x 0 c 0
Do vậy
a2 2
2 x at x
t
4
13/46
Vận tốc của vật
v
dx
x'
dt
v
a2
t
2
Gia tốc của vật :
b. Vận tốc trung bình
Bài 8:
w
d 2x
x' '
dt 2
w
a2
2
v
x a2
t
t
4
v
a x
2
Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc v0 hợp với mặt phẳng
ngang một góc =600, biết 30 0 . Bỏ qua sức cản của không khí.
a. Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi.
b. Tìm góc hợp bởi ph-ơng véc tơ vận tốc và ph-ơng ngang ngay sau viên
mặt phăng nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B.
đá chạm
Giải:
a. Chọn hệ trục oxy gắn o vào điểm A và trục ox song song với ph-ơng ngang Trong quá trình
chuyển động lực tác dụng duy nhất là trọng lực P .
Theo định luật II Newton:
P ma
Chiếu lên:
0x: 0 max a x 0
0y: P may a y g
Ph-ơng trình chuyển động của vật theo hai trục ox và oy:
x v0 cos .t
1 2
y v0 sin .t 2 gt
Khi viên đá rơi xuống mặt phẳng nghiêng:
14/46
(1)
( 2)
x l cos
y l sin
(3)
(4)
T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :
2
2v0 cos .(sin . cos sin . cos )
l
g. cos 2
2v0 cos . sin( )
l
g cos 2
2
2
2v
l 0
3g
b. Tại B vận tốc của vật theo ph-ơng ox là:
v x v0 cos
v0
2
Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :
2
2v
x l cos 0 cos
3g
2
2v
v0 cos .t 0 cos ;
hay
3g
Suy ra thời gian chuyển động trên không của viên đá:
2v cos 2v0
t 0
=
3g cos g 3
Vận tốc theo ph-ơng oy tại B:
v y v0 sin gt
v y v0 sin
vy
2v0
3
v0
2 3
v0
1
2 3
300
v0
vx
3
2
0 nên lúc chạm mặt phẳng nghiêng v h-ớng xuống.
tan =
V0
2 3
Lực h-ớng tâm tại B:
do v y
Với:
v2
Fht mg cos m
R
2
v
R
g cos
v 2 v 2 v02
2
2
2
v vx v y
4 12 3
2
2v0
R
3 3. g
Bài 9: Một ng-ời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển
động nhanh dần đều. Toa thứ nhất v-ợt qua ng-ời ấy sau thời gian t1 .
15/46
Hỏi toa thứ n đi qua ng-ời ấy trong thời gian bao lâu?
Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa.
Giải:
Toa thứ nhất v-ợt qua ng-ời ấy sau thời gian t1:
2
2S
at1
t1
s
a
2
n toa đầu tiên v-ợt qua ng-ời ấy mất thời gian t n :
2
a.t
ns n t n
2
n 1 toa đầu tiên v-ợt qua ng-ời ấy mất thời gian t n1 :
n 1s at n1
2nS
;
a
2
2
Toa thứ n v-ợt qua ng-ời ấy trong thời gian t :
t n 1
t t n t n 1
2(n 1) S
a
2S
( n n 1) .
a
t ( n n 1)t1
Bài 10: Một chất điểm chuyển động từ A đến B cách A một đoạn s. Cứ chuyển động đ-ợc 3
m
giây thì chất điểm lại nghỉ 1 giây. Trong 3 giây đầu chất điểm chuyển động với vận tốc v 0 5
s
. Trong các khoảng 3 giây tiếp theo chất điểm chuyển động với vận tốc 2vo, 3v0, , nv0.
Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trên quảng đ-ờng AB trong các tr-ờng hợp :
a. s = 315 m ;
b. s = 325 m .
Giải:
Đặt: t1 3( s )
Gọi quảng đ-ờng mà chất điểm đi đ-ợc sau nt1 giây là s:
s s1 s2 ... sn
Trong đó s1 là quảng đ-ờng đi đ-ợc của chất điểm trong 3 giây đầu tiên. s2,s3,,sn là các quảng
đ-ờng mà chất điểm đi đ-ợc trong các khoảng 3 giây kế tiếp.
Suy ra:
S v0.t1 2v0t1 ... nv0t1 v0t1 (1 2 ... n)
n(n 1)
S
v0 t1 7,5n(n 1) (m)
2
n 6
a. Khi s 315 m 7,5n(n+1) = 315
(loại giá trị n=-7)
n 7
Thời gian chuyển động:
t nt1 n 1 23( s)
s 315
Vận tốc trung bình: v
t
23
v 13,7(m / s) .
b. Khi s 325 m :
Thời gian đi 315 mét đầu là 23 giây
Thời gian đi 10 mét cuối là :
16/46
t
10
10
0.29( s)
vn1 7.5
Vận tốc trung bình:
325
23 0,29 1
v 13,38(m / s)
v
Bài 11: Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên hai đ-ờng thẳng vuông góc với nhau
cho v1 = 30m/s , v2 = 20m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật một giao
điểm của quỹ đạo đoạn S1 = 500m, hỏi lúc đó vật hai cách giao điểm trên một đoạn S2 là bao
nhiêu?
Giải:
Gọi khoảng cách trên đầu của vật (1) và (2) tới vị trí giao nhau của hai quỹ đạo là d1 và d2.
Sau thời gian t chuyển động khoảng cách giữa chúng là:
d (d 1 v1t ) (d 2 v 2 t ) 2
= (v12 v 22 )t 2 2(v1 d 1 v 2 d 2 )t d 12 d 22
v d v2 d 2
d d min t 1 12
v1 v 22
Khi đạt đ-ợc khoảng cách ngắn nhất giữa hai vật thì :
v d v d
v (v d v d )
S1 d1 v1 1 12 22 2 2 2 2 1 21 2
v1 v2
v1 v2
S 2 d 2 v2t
Lúc đó:
v1 d 1 v 2 d 2 v1 (v1 d 2 v 2 d 1 )
v12 v 22
v12 v 22
v S
30 500
S2 1 1
750(m)
v2
20
Vậy lúc hai vật có khoảng cách ngắn nhất thì vật thứ hai cách giao điểm trên một
đoạn S 2 750m .
S 2 d 2 v2
Bài 12: Một chiếc côngtenơ đặt sao cho mặt trên nằm ngang đ-ợc cần cẩu cẩu lên thẳng đứng
lên cao với gia tốc a = 0,5m/s2. Bốn giây sau khi rời mặt đất ng-ời ngồi trên mặt côngtenơ ném
một hòn đá với vận tốc v0 = 5,4m/s theo ph-ơng làm với mặt phẳng ngang côngtenơ góc 30 0
.
a. Tính thời gian từ lúc ném đá đến lúc nó rơi xuống mặt đất. Biết côngtenơ
cao h = 6(m)
b. Tính khoảng cách từ nơi đá chạm đất đến vị trí ban đầu của tấm bê tông
(coi nh- một điểm) lấy g = 10m/s2.
Giải:
a. Sau 4s độ cao của ng-ời đứng trên mật côngtenơ là:
17/46
a t2
5 42
6
10(m)
2
2
Vận tốc của ng-ời lúc đó:
m
v1 a.t 0,5.4 2 .
s
H
Gọi v 0 là vận tốc của viên đá đối với ng-ời thì vận tốc viên
đá đối với đất :
v v 0 v1
Chiếu lên:
0x:
0y:
v x v0 cos 5,4 0.86 4,7(m / s)
5,4
v y v1 v 0 sin 2
4,7(m / s)
2
vy
tg
1
vx
vậy 450
Chọn trục oxy nh- hình vẽ gắn vào mặt đất. Ph-ơng trìn chuyển động của viên đá theo
gt 2
ph-ơng oy:
y 10 v sin t
2
với
v v x2 v y2 6,65(m / s)
vậy:
y 10 4,7 t 5t 2
Lúc đá rơi xuống đất: y = 0 10 4,7 t 5t 2 0
t 2s
b. Khoảng cách từ nơi đá rơi đến vị trí ban đầu của côngtenơ:
L v x t 4,7.2 9,4 m .
Bài 13: Ng-ời ta đặt một súng cối d-ới một căn hầm có độ sâu h. Hỏi phải đặt súng cách
vách hầm một khoảng l bao nhiêu so với ph-ơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là
lớn nhất? Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là v0 .
Giải:
Ph-ơng trình vận tốc của vật theo ph-ơng ox :
v x v0 cos
Ph-ơng trình vận tốc của vật theo ph-ơng oy:
v y v0 sin gt
Ph-ơng trình chuyển động:
x v0 cos t ;
gt 2
y v 0 sin t
2
Ph-ơng trình vận tốc:
v x v0 cos ;
v y v0 sin gt
Để tầm xa x là lớn nhất thì tại A vận tốc của vật phải hợp với mặt ngang một góc 450 có
nghĩa là tại A:
18/46
sin cos
(1)
v0
g
Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:
(2)
v 0 cos t l
x l
2
gt
h
(3)
y h
v 0 sin t
2
v2
l
Từ (2) t
(3) kết hợp với (1) l 0 cos .(sin cos )
g
v 0 cos
Thay t từ (1) vào (3) ta đ-ợc:
gh 1
1 gh
;
sin 2 2
cos 2 2
2 v0
v0 2
Thế vào (4):
v2
l 0 (sin cos cos 2 )
g
vx v y t
(4)
v02 1 g 2 h 2 1 gh
(
4 2)
l
g
4
2 v0
v0
Từ (1) :
t
vy
1 gh
1 gh
2
2 v0
2 v 02
g
v0 v y v0
1 gh 1 gh
1 gh
2
2
2 v0 2 v0
2 v 02
1 gh
1 gh
1 gh
1 gh
2 v A v02 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (v02 1)
2 v0
2 v0
2 v0
2 v0
1 gh 2
2 . v0 1
2 v0
v
S max
g
g
Vậy phải đặt súng cách vách hầm một khoảng:
2
A
v 02 1 g 2 h 2 1 gh
l (
4 2 ) thì tầm xa của đạn trên mặt đất là lớn nhất và
g
4
2 v0
v0
1 gh 2
2 . v 0 1
2 v
0
tầm xa này bằng
.
g
Bài 14: Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đ-ờng thẳng với một gia tốc mà độ lớn
w phụ thuộc vận tốc theo định luật w a v trong đó a là một hằng số d-ợng. Tại thời điểm ban
đầu vận tốc của hạt bằng v0.
Hỏi quảng đ-ờng mà hạt đi đ-ợc cho đến khi dừng lại và thời gian đi quảng đ-ờng ấy ?
Giải:
Về độ lớn: w a v
a. Về dấu ta có:
19/46
dv
dv
a v
adt
dt
dt
2 v at C
Lúc t 0 , v 0 C 2 v0 2 v at 2 v0
w a v
a2 2
v v0 a v0 .t t
4
Khi chất điểm dừng lại thì v = 0:
2
(*)
t
v0
a
Quảng đ-ờng vật đi đ-ợc cho đến lúc dừng lại:
S
a
v)
2
a
v0
2
0
0
vdt
(v0 a v0 .t
a2 2
t )dt
4
3
S S
b.
2 2
v0
3a
Từ (*) ta có thời gian đi quảng đ-ờng ấy: t
2
v0 .
a
Bài 15: ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả
cầu đồng chất bán kính R = 1(cm) ( R h) . Đẩy cho tâm 0
của quả cầu lệch khỏi đ-ờng thẳng đứng đi qua A, quả cầu
rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0. Tính thời gian rơi và
tầm xa của quả cầu(g = 10m/s2).
Giải:
Ban đầu quả cầu xoay quanh trục quay tức thời A. Lúc bắt đầu rơi khỏi bàn vận tốc của nó là
v, phản lực N bằng 0, lực làm cho quả cầu quay tròn quanh A là trọng lực p cos :
v2
(1)
v 2 9 R cos
R
Theo định luật bảo toàn năng l-ợng:
1
mgR mgR cos mv 2
(2)
2
Từ (1) và (2) suy ra:
2
5
cos sin
3
3
2
Thay cos vào ph-ơng trình (1) ta đ-ợc vận tốc của vật lúc đó:
3
2
v
gR
3
Giai đoạn tiếp theo vật nh- một vật bị ném xiên với góc và với vận tốc ban đầu:
2
v
gR
3
Theo đề bài R h do vậy ban đầu ta xem 0 A .
Chọn trục 0' xy nh- hình vẽ 0' A .
p cos m
20/46
x v cos .t
1 2
y v sin .t 2 gt
Khi chạm đất y h , nên:
v sin .t
1 2
gt h
2
2
gR
v
3
Thay
vào ph-ơng trình trên ta tìm đ-ợc:
5
sin 3
10 gR 10 gR 54 gh
t1
3 3. g
10 gR 10 gR 54 gh
0
(loai)
t 2
3
3
.
g
Vậy sau t
10 gR 10 gR 54 gh
3 3.g
thì vật sẽ rơi xuống đất.
Tầm bay xa của vật:
S x v cos .t
S
2
2 10 gR 10 gR 54 gh
gR . .
3
3
3 3.g
2 2R
10 gR 10 gR 54 gh .
27 g
Bi 16: Mt cht im chuyn ng chm dn trờn bỏn kớnh R. sao cho ti mi im gia tc tiộp
tuyn v gia tc phỏp tuyn luụn cú ln bng nhau. Ti thi im ban u t=o, vn tc ca cht im
ú l v0 .
Hóy xỏc nh:
a. Vn tc ca cht im theo thi gian v theo quóng ng i c.
b. Gia tc ton phn theo vn tc v quóng ng i c.
Gii:
a. Theo bi ta cú:
dv v 2
at a n
dt R
dv dt
2
(1)
R
v
Ly tớch phõn 2 v ta cú:
v
t
dv
dt
1 1
t
v v 2 0 R v v0 R
0
v
v0
v
1 0 t
R
21/46
dv ds
(2)
(ds = vdt )
v
R
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2):
v
S
dv
ds
v
s
ln
v 0 R
v0 R
v0
từ (1)
S
v v0 . e R .
Gia tốc toàn phần:
b.
a at a n at 2 a n 2
Gia tốc toàn phần theo vận tốc:
2
2
v2
2
R
Gia tốc toàn phần theo quãng đường đi được:
a
2
v .e
a 0
R
2s
R
2.
Bài 17: Hai vòng tròn bán kính R, một vòng đứng yên, vòng còn lại chuyển động tịnh tiến sát vòng
kia với vận tốc v0 . Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vòng tròn khi khoảng cách giữa hai tâm
01 0 2 d .
Giải:
Chọn gốc thời gian t = 0 lúc 2 vòng tròn bắt đầu tiếp xúc ngoài.
Tại một thời điểm nào đó sau gốc thời gian thì ta có phương
trình chuyển động của điểm C :
v0 t d
x 01 D AD R 2 2
2
y AC R sin R 1 cos 2 R 1 d
2R
Ta có:
d ' v0
Ta suy ra:
d
x 2
2
2
y 4R d
4
v0
1
vCx 2 d ' 2
d .v0
2dd '
vCy
2.2 4 R 2 d 2 2 4 R 2 d 2
2
v v
2
Cx
v
2
Cy
dv0
v
2
0 .
.
2
2 4R 2 d 2
22/46
v0 R
v
4R 2 d 2
Bi 18: Hai vt cỏch nhau 100m chuyn ng trờn mt ng thng n gp nhau vi vn
tc ln lt l v1 5m / s; v 2 5m / s , trong khong 2 vt trờn on thng m chỳng chuyn
ng cú mt vt nh luụn chuyn ng thng u vi vn tc v = 30 m/s cựng chuyn ng
trờn ng thng m 2 vt (1) v (2) chuyn ng. Mi khi vt trờn n gp vt (1) hoc vt
(2) thỡ vn tc ca nú s i hng ngc tr li v coi nh vn gi nguyờn ln vn tc
ca nú. Hi khi vt (1) v võt (2) gp nhau thỡ quóng ng vt nh i c cú tng chiu
di l bao nhiờu?
Gii:
Vn tc ca vt (1) i vi mc vt (2) l:
v12 v1 v 2
v12 v1 v 2 10 (m/s).
Thi gian t ban u n lỳc vt (1) v vt (2)
AB 100
gp nhau l:
t
10 (s)
v12
10
Quóng ng vt nh i c tng cng cho n lỳc vt (1) v vt (2) gp nhau l:
s v.t 30.10 300 (m).
2. Động lực học chất điểm:
Bài 19: ở mép đĩa nằm ngang bán kinh R có đặt một đồng tiền. Đĩa quay với vận tốc t
( là gia tốc góc không đổi). Tại thời điểm nào đồng tiền sẽ văng ra khỏi đĩa. Nếu hệ số ma
sát tr-ợt giữa đồng tiền và đĩa là .
Giải:
Tại thời điểm t gia tốc pháp tuyến của vật:
an 2 R = 2t 2 R .
Gia tốc tiếp tuyến:
dv Rdt
at
R
dt
dt
Gia tốc toàn phần:
a a n at = 4 R 2 t 4 2 R 2
Lực làm đồng tiền chuyển động tròn chính là lực ma sát nghỉ.
Ta có:
2
2
Fmsn ma m 4 R 2 t 4 2 R 2 = mR 2 t 4 1
Vật có thể nằm trên đĩa nếu lực ma sát nghỉ tối đa bằng lực ma sát tr-ợt:
Fmsn Fmst
hay
mR
2 t 4 1 mg
2g2
1)
(1)
R2 2
Lúc vật bắt đầu văng ra thì : Fmsn Fmst
t4
1
.(
2
hay:
23/46
t4
t
1
.(
2
1
2g2
1)
R2 2
.
2g2
1
R2 2
2g2
R
1 0
2 2
g
R
Vì t 0 nên
Vậy sau
1
R
2g2
) vật sẽ văng ra khỏi đĩa.
1 ( với
2 2
g
R
.
Bài 20:
Một ng-ời đi xe đạp l-ợn tròn trên một sân nằm ngang có bán kính R. Hệ số ma sát
r
chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm của sân theo quy luật 0 1 Với 0 là một hằng
R
số (hệ số ma sát ở tâm của sân)
Xác định bán kính của đ-ờng tròn tâm 0 mà ng-ời đi xe đạp có thể l-ợn với vận tốc cực đại?
Tính vận tốc đó ?
Giải:
Giả sử ng-ời đó đang đi trên quỹ đạo tròn với bán kính r với vận tốc v . Ta phải xác định vmax
và giá trị này đạt đ-ợc khi r bằng bao nhiêu.
Đối với hệ quy chiếu cố định gắn ở tâm 0 lực tác dụng lên vật là lực ma sát đóng vai trò lực
h-ớng tâm và từ đó ta có:
N maht
r
v2
.
mg
m
R
r
g
v 2 0 gr 0 r 2
R
0 1
hay
Suy ra
Đây là một tam thức bậc hai ẩn r với hệ số a
đạt lớn nhất khi:
r
0 g
R
0 . Giá trị của v 2
0 g
R
2
0 g
2.
R
gR
R g R
v 0 g 0 0
2
R 2
4
2
Lúc đó:
v
2
max
2
Vậy:
vmax
0 gR
2
Vậy ng-ời đi xe đạp có thể đi với vận tốc lớn nhất bằng
nhất bằng
0 gR
2
trên quỹ đạo có bán kính lớn
R
.
2
Bài 21: Một vật có khối l-ợng m = 1 kg có vận tốc đầu v0 = 10
(với k =1 kg/s ).
24/46
m
và chịu lực cản F kv
s
a. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đ-ờng đi.
b. Tính quảng đ-ờng mà vật đi đ-ợc cho tới lúc dừng.
Giải:
a. Vật chịu tác dụng của lực cản F kv . Theo định luật II Newton ta có:
kv ma
dv
kv m
dt
dv
k
hay
dt
v
m
k
dv
k
Nguyên hàm hai vế:
dt c ln v dt C
v
m
m
Lúc t 0 thì v v0 C ln v0
k
Từ đó suy ra:
t
k
v
= - t v v0 .e m
ln
m
v0
Quảng đ-ờng vật đi đ-ợc trong khoảng thời gian từ 0 t :
t
S ds vdt
0
t
S = v0. e
k
t
m
k
dt =
0
S
mv0 mv
k
k
v v0
b.
mv 0 mv0 m t
.e
k
k
k
.S
m
(*)
Quảng đ-ờng vật đi đ-ợc cho tới lúc dừng:
S ds
Từ (*) vi phân hai vế ta có:
0
m
m
dS dv nên S dv
k
k v0
s
mv 0
.
k
Bài 22: Cho cơ hệ nh- hình vẽ. Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận đ-ợc
gia tốc a theo ph-ơng ngang nh- hình vẽ. Tính gia tốc
của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát tr-ợt giữa M và sàn là .
25/46
