Bài tập đàn hồi ứng dụng dùng cho các trường đại học, cao đẳng khối kỹ thuật và học viên cao học

PGS. TS. NHỮ PHƯƠNG MAI ( C h ủ b i ê n )
PGS.TS. NGUYỄN NHẬT THĂNG

BÀI TẬP

DÀN HỐI ỨNG DỤNG
■

DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐAI HỌC KỸ THUẬT VÀ HỌC VIÊN CAO HỌC

( T á i b ả n l ầ n t h ứ ba - cỏ c h í n h l ý v à b ổ s u n g )

N H À X U ẤT BẢN GIÁO DỤC
VIỆT
NAM
■
■


Công ty cổ phần sách Đại học - Dạy nghề - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
giữ quyển công bố tác phẩm.
0 4 - 2 0 0 9 /C X B /4 0 4 - 2 1 17/G D

M ã số : 7 K 5 8 5 y 9 - DA I


Bạn đọc có thể tham khảo thêm cuốn “ L ý thuyết Đàn h ồ r của N hà xuất
bản Giáo dục Việt Nam (tác giả P G S .TS Nhữ Phương M ai) để bổ s ung và h oàn
thiện thêm kiến thức về mồn học này.

N hóm tác giả xin chân thành cảm ơn Nhà xuất bản G iá o dục V iệ t N a m đã
tạo điều kiện thuận lợi để cuốn sách được tiếp tục ra m ắ t bạn đọc. Đ ồ n g th ờ i xin
chân thành cảm ơn các bạn đổng nghiệp đã động viên và g iúp đỡ cho việc
hoàn thiện cuốn sách này.
Mọi ý kiến góp ý xin gửi về địa chỉ: Cồng ty cổ phần S á ch Đ ại học - Dạy
nghề, 25 Hàn Thuyê n, Hà Nội, hoặc Bộ môn Sức bền v ậ t liệu, V iệ n C ơ khí,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, s ố 1 Đại c ổ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội.

Hà Nội, th á n g 7 /2 0 0 9
C Á C T Á C G IẢ

4


Chưong 1

TR Ạ■ N G TH Á I ỨNG SU ẤT - TRẠNG
TH Á I BIÊN DẠNG
■
■
1.1. TENXƠ ÚNG SUẤT

1.1.1. ứng suất trên mặt nghiêng bất kì trong hệ tọa độ Đềcác
ứ n g suất tại m ột điểm bất kì trong vật rắn biến dạn g được xác định bởi
còng thức:

—
AP
p = lim ——
ÁI " o a f

(1.1)

(A P : véctơ nội lực tác dụng lên phân tố diện tích AF).

(1.2)

P * = ở + T

a) ÁP

(1.3)

T rong c ô n g thức (1.3), ơ là
thành phần ứng suất pháp theo
phương p háp tuyến đơn vị

V

của mặt pháng đ a n g xét; X là
ứng suất tiếp nằm trong m ặt
phang đó; a là góc giữa p v và

V

A

H ìn h 1. ứng suất trên măt phẳng nghiêng bất kì.

(hình la). Trong hệ tọa độ Đềcác,

ứng suất trên m ặt ngh iêng bất kì có thể biểu diễn q ua các th àn h p h ầ n hình

(1.4)
hoặc:

p v = PIc

( i = 1 . 2 , 3. Lấy tổng th eo i)

(1.4')

5


tis nẨ Â y đầA Ầ /

Lý thuyết đàn hồi đóng một vai trò quan trọng trong Cơ học vật rắn biến
dạng nói riêng và tro n g Cơ học môi trường liên tục nói chung. Lý thuyết đàn hồi
được xây dựng dựa trên các giả th u yế t về biến dạng phù hợp với thực tế kỹ
thuật, n h ằm đơn giản hoá và xây dựng các phương pháp gần đúng để giải các
bài toán kỹ th u ậ t với mức độ chính xác theo yêu cầu thiết kế. Trên cơ sở các
quy luật và phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi có thể giải một loạt các
bài toán tro n g thực tiễn: tính toán ứng suất, biến dạng, ch u yển vị của các kết
cấu dạng th a n h , tấm mỏng, ống dày, đĩa quay, nêm, vỏ m ỏng, vật thể tiếp
xúc... dưới tá c dụng của các dạng tải trọng khác nhau. Chính vì vậ y Lý thuyết

đàn hồi có tính ứng dụng cao và được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường
Đại học Kỹ th uật, là m ôn cơ sở ch uyên ngành cho khối Cơ khí, Cơ học kỹ thuật
và bổ s ung kiến thức ch o m ột số chuyên ngành khác (Lý thuyết tấm vỏ, Kết cấu

hàng không, Kết cấu tàu thủy...).

Cuốn sách “Bài tập Đàn hồi ứng dụng” được xuất bản lần đầu năm 2003,
do nhóm tá c giả là giảng viên lâu năm của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

biên soạn, dựa trên những kiến thức cơ bản nhất của Lý thuyết đàn hồi. Nội
dung gồm 6 ch ư ơ n g (tương ứng với thời lượng 3 tín chỉ theo chương trình khung
của Bộ G iá o d ụ c và Đ ào tạo), trong đó trình bày tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài
tập tự giải và được chọn lọc từ các vấn đề đặc trưng nhất và có tính ứng dụng
rộng rãi trong thực tế.

- Các chương 1, 2, 3 (bao gồm cả bài tập), mục 4.3 và 4.4 của chương 4;
bảng 5.4 và cá c biểu đồ chuyển vị và nội lực của tấm tròn; các bài tập từ số

4.15 đến 4.20; từ 5.11đến 5.20 và từ 6.6 đến 6.12 do PGS.TS. Nhữ Phương Mai
thực hiện.
- C ác phần còn lại do PGS.TS. N gu yễ n Nhật T h ă n g thực hiện.
Tro n g lần tái bản thứ ba, cuốn sách đã được chỉnh lý và bổ sung th ê m một
số phần trong chư ơ n g 4, 5, nhằm giúp người đọc có th ể ứng dụng dễ dàng các
kết quả về c h u y ể n vị, nội lực của tấm tròn với điều kiện biên và tải trọng khác
nhau để tính toán độ bền và thiết kế kết cấu một cách hợp lý.
C uốn sách có thể dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên các trường Đại
học kỹ thuật, cá c học viên Cao học, nghiên cứu sinh ngành Cơ học V ật rắn biến
dạng, và là tài liệu th a m khảo cho các kỹ sư Cơ khí.

3


Công thức (1.4') viết theo quy ước "chỉ số câm" của A nhxtanh. Gọi 1, m,
n là côsin chỉ phương của véctơ V, ta có:

x

v

Y v

=

=

Ơ

X1 +

T yxm

T * y 1 +

ơ

y m

+

+

T zxn

V

(1.5)

1

z v = T y/I + Ty/m + ơ / n
hoặc:

P j

= ơ

jjV j

(i, j = 1 ,2 , 3. Lấy tổng theo i).

( 1.5')

Các thành phần ơ x, ơ y, ơ,, T ... hay ơ lập thành m ộ t tenxơ ứng suất:
" ơ x

T yx

T xy

ơ y

Tơ =

' Ơ I1

T /.y

hoặc

T >v

Ơ 21

Ơ I2

ơ 22

^32

^ ơ 13

ơ 23

^33

J

Các thành phđn nằm trên đường chéo chính là các ứng suất pháp, các
thành phần còn lại là ứng suất tiếp, chúng đối xứng nhau qua dường chéo
chính (định luật đối ứng của ứng suất tiếp):
ơ ij = ơ ji

1.1.2. ứng suất chính, phương chính của tenxơ ứng suất
Mặt phảng trên đó chỉ có thành phần ứng suất pháp, không có ứng suất
tiếp, gọi là mặt chính, ú n g suất pháp của mặt chính gọi là ứng suất chính.

Phương pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính. Khi đó tcnxơ ứng
suất sẽ trở thành dạng:

Tơ =

ơ,

0

0 N

0

ơ2

0

0

0

ơ,

ứng suất chính ơị, ơ 2, ơ , xác định từ phương trình:
ơ x- ơ
xy

yx

ơy- ơ

yz

hoặc:

/•y

=0

ơ ,-ơ

ơ 3 - J | ơ 2 - J2Ơ - J, = 0

Các hệ số J|, J 2, J. là các đại lượng bất biến của tenxơ ứng suất:

6

( 1-6 )

( 1 . 6 ’)


ơ

x

+

ơ

y

+

ơ

T y*

J, =
X xy

,

+

ơ >

ơX

Ty x

Tz x

I xy

ơy

T/y

TX /

Ty z

ơz

ơ y

(1.7)

+
T ,x

T >v

ơ x

Phương trình (1.6') có 3 nghiệm thực và quy ước viết ƠJ > ơ 2 > ơ 3 về trị
số đại số.
Phương chính xác định từ hệ phương trình:

'( ơ x - ơ)l + Xyxm + Tzxn = 0
Txy1 + ( ơ y

- ơ ) m + Tzyn = 0

(1.8)

I x/l + xy/m + ( ơ / - ơ ) n = 0
Tliay lần lượt a ị, ơ 2, ơ_, vào (1.8) ta sẽ tìm được các côsin chỉ phương
tương ứng với từng phương chính.
Các phương chính vuông góc với nhau từng đói một và:

l2 + m 2 + n2 = 1

(1.9)

1.2. TENXƠ BIẾN DẠNG
1.2.1. Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyên vị
V éctơ P P ' Ịx' - x; y' - y; z' - z} hay PP' {u ;
; wỊ gọi là vectơ
:n vị của đ iểm p trong hệ tọa độ Đềcác. u,
w g ọ i là các thành phần
chuyển vị theo phương X, y, z tương ứng (hình 1.2a).
V

V ,

Biến dạng dài tỉ đối theo các phương X, y, z xác định theo hệ thức Côsi
(hình 1.2b):
'

ổu
^
u + “ dx - u
V
ỡx

ổu

dx

ãx

Ex =
w+
Tương tự:

e. =

ổ\v

dz - w

õz

dz

ỡv
V + ^ dy - V
ỡy
dy

ổv
dy

ổw
ổz
7


a)

b)
Hình 1.2

Biến dạng .góc tương đối:
ổv
+ -- dx v__dx_
V

Yxy

=

^

-

a

p

=

+

Y

V

+

=

ỡu
ƯH-----dy - u
ổy

dx

dy

õv du
y — —I—7—
xy

_
Tương tự:

y

Y =

ổx

ổy

ổw

+

Ỡv

ỡy

ỡz

ổw

ổu

Ỡx

Ỡz

( 1. 10)

1 ổu
c ỏ n g thức (1.10) có thế viết gọn dưới dạng: 8jj = —
ổx.
J

ỡu
.

J

ổx

với 8:,

là thành phần của tcnxơ biến dạng:

2

Y y /

- ĩ
^ ,1

1
t e = ịy * y

V2

Yxv
c.v

2

2^'

hoặc

8 21

S 12

e !3

e 22

e 23

e 32

e 33

Y y '

Trong đó: U; (i = 1, 2, 3) là các thành phần của véctơ chuyển vị P P ' .


Nếu gọi véctơ chỉ phương của đoạn AB ở trạng thái trước khi biến dạng
là V ; véctơ chỉ phương của BC là Ị.I, thì sự thay đổi góc giữa 2 véctơ đó sau
khi biến dạng được xác định theo công thức:
Ỵ = 2s,jVjfj.l (i, j = 1,3 lấy tổng theo i và j)

(1.11)

hoặc:
Y = 2 (e,v ,m + EyVjfij + e,v,n,) + yxv(v lti 2 + V2H,) +
+ Yy/(v2R, + v 3fi2) + y j v , m + v 3|i,)
Công thức
véctơ

V

(1.11')

trên có thể thu được bằng cách nhân ma trận 2s,j với các

và jl (nhân thứ tự theo

quy tắc nhân ma trận).

1.2.2. Biến dạng chính - Phương chính của tenxư biến dạng
Các phương của mặt cắt trên đó chí có biến dạng dài, không có biến
d ạng góc gọi là phương chính biến dạng; tenxơ biến dạng trở thành:

T .=

e,

0

0

0

s2

0

0

0

6,

Phương trình xác định

; 8|, e2, e, gọi là biến dạng chính.

e2, E, có dạng tương tự (1.6'):

eĩ - I,s2 - U - I, = 0

(1.12)

Với: I, = í;( + cy + z, (còn kí hiệu là 0 và là biến dạng thể tích ti đối).
1
—
2Y

8X

<

I,

1
“ 7 XV

£

1
—Ỵ
2

c

1
2
1

Ey

1
+

1
—7
2 y/

ey

1
1
ịy * ,

1
—y
2 1yy

+

1
—
9 71xy

£x

c>

2

Y

(1.13)

1
ọ

Các phương chính biến dạng xác định từ hệ phương trình tương tự (1.8):

9


( £x - £) 1+ ^Yxym + 2 ^ n = 0
(1.14)

2Yxy1+ ( Sy “ 8) m + 2 y>-n = 0
| Y xzl + ^ Y yzm + (Ez - E ) n = 0

Các phương ch ín h biến dạng cũng vuông góc với nhau từng đ ô i m ột.
T h í dụ 1. Các th àn h phần tenx ơ ứng suất tại điểm p của vật thể đàn hồi
được cho n h ư sau:

r 7
Tơ =

0 -2 "

0

5

0

1-2

0

4 y

a) X ác định véctơ ứng suất trên m ặt n g h iên g có p h á p tuyến:

2- 2- 1v = — i - —j + —k đi q ua p.

3

3

3

h) X ác đ ịnh thành phần ứng suất pháp, ứng suất tiếp của p .
c) X á c đ ịnh góc giữa p

và V .

G iải, a) Á p d ụ n g cô ng thức (1.5) ta có:

=4
3

l

3)

7

í

2)

3

l

Y = 0x —+ 5x - 2

(

3

I

l

10

+0x- =

3)
3

3

1

z v = - 2 x - + 0 - - + 4x —= 0
3J

3

V ậy véctơ ứng suất trên m ặt ngh iêng đã c h o là:

T h àn h phần ứng suất tiếp là:
p v - ơ 2 * 1 , 7 9 ; với p v

1 0

= 42+

(

10V

244

V

3 )

9


Góc giữa p

và

xác định

V

công thức:

theo

cos a = P v v

0,94. Do đó a

ss

20°.

Pv

T h í d ụ 2. Trạng thái
ứng suất tại một điểm bất
kì của vật thê đàn hồi
được biểu diễn bới tenxơ

ứng suất:
r 3xy
T_ = 5 y 2
V

0

5y2 0 N
0

2z

2z

0

/

Xác định véctơ úng suất
tại điểm P (2 ,l,-s/3 ) trên
mặt tiếp tuyến với m ặt trự

Hình 1.3

(hình 1.3):
y2 + z2 = 4.
Giải. Trạng thái ứng suất tại p xác định bởi:
'6

5

0 x

''p(P) __ 5
ơ

0

2 V3

2 V3

0

0

Pháp tuyến của mặt tiếp tuyến với mặt trụ xác định bời
, • dí 7 r í : d ĩ grad f = —- 1 + -7 — + — k ;
ỡx
ỡy
õz

với f(x, y, z) = 0 là phương Irình của mặt cong bất kì.
Thay f(x, y, z) = y2 + z2 - 4 = 0, ta có:
(2.1.V3)

= 2} + 2 \Ỉ3 k

Véctơ pháp tuyến đơn vị tại p là:

Véctư ứng suất tại điểm p xác định theo (1.5) có dạng:
Pv = | ỉ + 3 j + V 3k
T h í dụ 3. Tenxơ ứng suất tại điểm p có các thành phần sau:

T.
\ 1 2

0

a) Xác định ứng suất chính và phương chính của ten x ơ ứng suất;
b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất.
Giải, a) ứng suất chính được xác định bởi phương trình (1.6) hoặc (1.6'):
ơ 3 - J ị ơ 2 - J2Ơ - J3 = 0

(*)

J, = 3
J2 =

3

1

1

0

3

+

0

2

2

0

+

0

1

1

3

>= 6

1 1

J .,= 1

1

0 2 = -8
2 0

Vậy (*) có dạng:
ơ'
hay:

3ơ2- 6ơ + 8 = 0

(ơ - l ) ( ơ - 4 ) ( ơ + 2) = 0.

Vậy các ứng suất chính là: ơị = 4; ơ 2 = 1; ơ , = - 2 .
(Trạng thái ứng suất có 3 ứng suất chính * 0 nên là trạng thái ứng suất khối).
Phương chính tương ứng với ơ | = 4 xác định từ hệ phương trình:
(3 -4 )l + m + n = 0
l + ( 0 - 4 ) m + 2n = 0
1+ 2m + (0 - 4 ) n = 0

f-l + m + n = 0
hay

• 1- 4 m + 2n = 0
[l + 2 m - 4 n = 0

Giải (**) kết hợp điều kiện l2 + m 2 + n2 = 1 ta được:
_t___ Ị_
v, =

Vổ '

' Vổ

Tương tự, thay ơ 2 = 1 vào hệ (1.8):

12


21'+ m '+ n' = 0
<Ị l ' - m ' + 2 n ' = 0

r + 2 m '- n ' = 0
l'2 + m,: + n ’2 = ]

và:

ta thu được phương chính thứ 2:

- J_ _ L ._ L ._ L l
1

\ ~ s

s

S Ì

Phương chính thứ 3 xác định từ điều kiện trực giao:
2

1

- 7 = r 1 " +

V6

v ,.v 3 = 0

—

S
và 1 2 + m " 2 + n"2 = 1

1
+s

7=

—

n

"

=

0

V6
„ 1

n" = 0

m + /3

l" 2+ m " 2+ n " 2 =1

Ta thu được phương chính thứ ba: v 3 =

|o;-j=;

a, - ơ

b) ứng suất tiếp lớn nhất là: Tma

" +

V6
1 ...

v“ .v , = 0

1
m

=

=3

T h í dụ 4. Cho trường chuyển vị của vật thể đàn hồi có dạng:
X' = X + A y

y ' = y + Az với A = const ^ 0.

z ' = z + Ax
a) Tim tenxơ biến dạng.

b) Tính độ dài của các cạnh OA, OB. o c của hình chữ nhật OABC sau
khi biến dạng (hình 1.4).
G iải
a) Theo hệ thức Côsi:
ổu _ ỡ(A y ) _
Sx

ỡx

ổx

õv _ ổ(Az)
'

õy

ÕỴ

0 ;

= 0;

ôv ổu
Y =
+— = A
xy ổx õỵ
Y„

>z

ỡw

ỡv

õy

ôz

=A

13


— +— =A
dx
õz
Vậy:
0

-A

2

-A

2

c

-A

2

0

-A
2

-A

0

2

A

0
hay:

S ị .

=— A

B

A
0

A

A

Hình 1.4

Vị trí mới của các điểm o . A, B, c là:
O' (0, 0, 0); A' (0 + A.dy ; dy + A.o ; 0 + A.0) = (Ady ; dy; 0)
Độ dài O ’ A ' = -J(A d y )2 + ( d y ) 2 = dyV l + A 2
Tương tự: B(0, dy, dz); B'(0 + A.dy ; dy + Adz ; dz + A.O) = (Ady ; dy +
Adz ; dz).
Vậy:

O ' B' = ^ ( A d y ) 2 + ( d y + A d z)2 + dz2 =
= ^ ( l + A 2 ) d y 2 + ( l + A 2 ) d z 2 + 2A đydz

C(0, 0, d z ) ; C ( 0 + A.o ; 0 + A.dz ; dz + A.O) = (0 ; Adz ; dz)
Vậy:

C T C = ,J(A d z )2 + d z 2 = d z .v l + A 2 .

T h í dụ 5. Chọ tenxơ biến dạng tại điểm p của vật thể đàn hồi:
' l
Tc =
V

-3

N

-3

1

-yỊĨ

y íĩ

-yỊĨ

4

7
b) Tim sự thay đối góc giữa hướng

14

J

V

—
—
1
và hướng (I = - —e, + —e 2 + —p r e , ?

--------


Giải, a) Các th àn h phần của biến dạng dài tương đối theo hướng V được

xác định iương tự theo công thức (1.5):
( £v) = e xv, + e xyv 2 + e „ v ,
( ev)

= e , y v i + £ y v 2 + 8 yZv 3

( ev) = e xzv, + Sy/V2 + S zV,

T h ay các thành phần T E và V

! _I J_
/

R

,

J=

-

ta có:

2 'ự ĩ

2'

1N
+ \ Ị Ĩ . —ị= = 3
V2

yfĩ.-]= = - 3
V2

3 I ẩL + 1 -

1

+ 4.

_ 6

\Í2 ~~ \ f ĩ
Vậy

Ev - \ l Elx + e ỉy + E W - V9 + 9 + 18 - 6.

b) Trước khi biến dạng, góc giữa hướng V và |J. bằng:
ííu lr ) "

v.ịl

1

V ■í ” 2

r

1r r

2,

2 <2,

Vậy: V _L JJ.. Sự thay đổi góc giữa chúng xác định theo công thức (1.11):
y = 2 1,2

+ ( - 2 V2 )

+1

+4

1

1

42'

V

11

11

2 4 ĩ + sT l2 ,

M

I I
2 2

ỉ

+ 2 V2
VVZV

11" +
2 2
1

=0.

y Ị Ĩ '1

1

V ậ y sau khi biến dạng v f vẫn vuông góc với 1 .

*
*

*

15


BÀI TẬP Tự GIẢI
1.1. H ãy chứng m inh rằng các véctơ ứng suất Pv. và Pv

tại đ iểm p

tương ứng trên hai m ặt phẳng có ph áp tuyến V và V có tín h chất: hình
chiếu của Pv trên phương V bằng hình chiếu của p v. trên phương V .
1.2. C ho các thành phần ứng suất

P|,

p 2, p 3 trên các m ặt tọa đ ộ vuông

góc. H ãy chứng m inh rằng tổng bình phương m ô đ u n của c ác v éctơ đ ó không
phụ thuộc vào hệ tọa độ.
1.3. T rạng thái ứng suất tại đ iểm p được biểu diễn bởi:

í 1

-5

-5

3

Tơ =

0'

1

0
H ãy xác định véctơ ứng suất trên m ặt ngh iêng đi qua p và song song với
m ặt phảng:

3x + 6y + 2z = 12.
1.4. Tại điểm p

z

cho ten xơ ứng suất:

14

7

-7 n

7

21

0

v-7

0

35

r

H ãy

xác

véctơ ứng

B *4

c

X

D

/
6

o X—

y

/ E

định

suất tại

điểm p trên tiết diện
Hình 1.5

song song với m ặt
phẳng (hình 1.5).
a) BGE

b) B G F C trong hình hộp.

1.5. T rạng thái úng suất tại một điểm được biểu diễn bằng ten x ơ ứng suất:

16

T_ = a ơ

ơ

ccơ
ơ

bơ

cơ

ơ

; với a, b, c là các hằng số, ơ là trị số ứng suất.


Hãy .xúc định a, b. c sao cho ứng suất bằng không trên mặt phắng nghiêng
đều một g ó c với các trục tọa độ?
1.6. C h o tenxơ ứng suất tại một điểm nào đó của vật thể:

T„ =

0

1

2

1

ơ 22

1

2

1

0

với ơ 22 là giá trị chưa biết. Hãy xác định ơ 22 sao cho ứng suất trên tiết
diện nào đó đi qua điểm này bằng không. Tìm pháp tuyến đơn vị của tiết
diện đó?
1.7. T rang thái ứng suất tại điểm bất kì cho bởi tenxơ ứng suất
' 0

Cx,

0

0

-C x ,

T = Cx,
,

0

>
với

c = const

& 0.

0 J

-C x ,

a) Tính véctơ ứng suất tại điểm P(4, - 4 , 7) trên m ặt phẳng:
2 x , + 2 x 2 - X, = - 7

b) Cũng câu hỏi trên nhưng dối với mặt cầu:
X I + X 2 + X^

—

81

c) X ác định các ứng suất chính, ứng suất tiếp cực đại?
1.8. Xác định ứng suất chính, phương chính của tenxơ ứng suất:
I

3

-2 n

3

I

-2

V- 2

-2

/6

T„ =

Trạng thái ứng suất đó là gì?
1.9. Xác định ứng suất chính, phương chính của tcnxơ ứng suất:
/T I
với X = const * 0.
V

T X T

V

Trạng thái ứng suất đó là gì?
1.10.

ứ n g suất chính, tại điểm p có giá trị như nhau: ƠJ = 12; ơ 2 = 3;

ơ 3 = - 6 . Hãy xác định véctơ ứng suất và thành phần ứng suất pháp tại tiết
diện có pháp tuyến đơn vị cách đều các phương chính đi qua điểm đó?
Ị

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C

GIA HÀ N Ộ !

1 R U N G ỈAỈVi T H O N G Ĩ Ỉ N Ĩ HLÍ V l c N

G í

ỉ 005,75

I

17


1.11. Cho trường ch u yển dịch tại điểm bất kì xác định bởi véctơ:
u = ( x - z ) 2i + (y + z )2j - x y k

H ãy tìm tenxơ biến dạng tại điểm P(0; 2; - 1 ) ?
1.12. Cho tenxơ biến dạng tại điểm M của vật thể đàn hồi:

T .=
1

2

1

1

2

a) Xác định biến dạng chính và phương chính biến dạng?
b) Tràng thái biến dạng tại M là gì?
1.13.

Cho trường biến

dạng xác định bởi tenxơ:
1

-5

T = -5

2

0

0
1
2

1

-3

Góc A DC sẽ thay đổi
thế nào sau khi biến dạng?
Cho biết OA = OB = o c = a;
AD = BD (hình 1.6).
1.14. Trường di chuyển của vật thể đàn hồi theo quy luật:
u = 4 x ,e j + x 2x 3 e 2 + x , x 3 e 1
Tìm vị trí mới của phần tử ban đầu ở các điểm A ( l , 0, 2) và B ( - l , 2, 1).
Xác định độ dài của AB sau khi biến dạng.
1.15. Trường di chuyển của vật thể cho bởi phương trình:
u = (3 x 2 - 4 x 3)e, +(2Xj - x 3)e2 + ( 4 x 2 - X , )e,
Tìm vị trí mới của véctơ nối hai phần tử A ( l, 0, 3) và B(3, 6, 6).
1.16. Trường di chuyển của môi trường cho bời quy luật:
x', = x ,
X \ = x 2 +
H i n h 6.26

6.10. Xác định độ lún và góc xoay tại mặt biên của bán không gian đàn
hồi z > 0 dưới tác dung của nôm hình chữ nhát — = 5 (hình 6.27).
h

172


p

/ ^ \ My

X
'

'V7//7/Ày/7777/// '///////////////.
l a

Uz(O.y.O)

Ị
1 ^ __ ____

V E. ơ

1
-1

b

X

b
a

a

y
H ìn h 6.27

6.11.

Xác định áp lực của nửa mặt phẳng y > 0 dưới tác dụng của nêm

có chiều rộng 2a chịu nén bới lực p (hình 6.28).
6.12. Xác định áp lực của nửa mặt phảng y > 0 dưới tác dụng của nôm
có chiều rộng 2a, chịu môm en ngẫu lực M = Pe (hình 6.29).

Hình 6.29

173


Đ Á P S Ố V Ò CHỈ DẦN
CHƯƠNG 1
1.2. s = JI + 2 J 2 = const, với Jị, J2 là các bất biến thứ nhất và thứ hai của
tenxơ ứng suất.
11
9 - 5 - 101-3. p v = - - i + ^-j + y k
1.4. a) p v = 1 l ĩ + 12j + 9k
__

Í 2 lĩ+ 1 4 j + 2Jk)

ơ
1.5. a = b = c = — - . Tenxơ ứng suất T =

ơ

2
ơ
2

IV ó’

ơ

2
a

----

ơ

2

- I

V 6 ’V6j

1.7. a) p7 = —c ( l 4 Ĩ + 1 8 j - 8 k )

b) p^ = - c ( - 28i + 16k)

c) ơ, =|c|V65; ơ2 = 0; ơ, = -|c|Vó5; Tmax =|c|Vó5
1.8. C7Ị = 8; ơ 2 = 2; ơ , = - 2 (trạng thái ứng suất khối);
-1

12 1 —J 11 1
,0

V

Vó’

Vĩ

1.9. ơ[ = 3x; ơ 2 = ơ , = 0 (Trạng thái ứng suất đơn);
- í 1
V,1

174

1

l ì

J e ’Vel

1

—


1.10. p v = - ^ ( l 2 i + 3 j - 6 k )
a =^

= 3 .v 6 iv = ^ i + ^ ] + - ^ k
' 2

0

-2A

0

2

1

1.11. T

\ 2

1

0/

1.12. £| = 4; e 2 = 83 = 1 (trạng thái biến dạng khối);
1

V

1

; v 2 0.

\ / 3 ' V 3 ' \/3 j

V ỉ’

1

_2____1____ l ì

V2

Vổ ’ V ỏ ' V ó i

1.13. Góc ADC = — không thay đổi sau khi biến dạng.

V=
f

V T V T ° 1 ; r‘ = ỉ V ? ■ V T ' ẩ

l là véc,ơ chỉ phưong của AD

và CD.
1.14.■ •A- ’(\ -51 , 0~ 1, 6'-'/ì
) ; B’ ( 3 , 4 , 0w) /

à l v = ự(-2)2+42+(-6)T = n/56
1.15. A ’B' = {8 , 7, 25}
ío

0

0)

1.16. a) Tr = 0

0

A

0

A

0

(trạng thái biến dạng pháng)

b) Trên cạnh OA: u = V = w = 0
Trôn cạnh OB: u = 0; V = A x 3; w = 0
Trên cạnh OC: u = 0; V = 0; w = A x2.
1.17. UA - U C = { 1 2 , 8 , 0 } ; UB - u c = {5 , 0 , - 9 }

1.18. a) T =

"a

0

0

B

A

0

A

0

b) A = -B ;
( - A + AV5 )
(-A -A V 5 )
c) 8 , = A; s 2 = ----------------- ; E, =
Trạng thái biến dạng khối.

175


CHƯƠNG 2
2.1. a) Có
b) Không
2.2. Aị + Bị - 2C2 = 0; c , = 4; A,„ B,„ c„ là hằng số tùy

ý.

, ổ 4(p
a 4cp 1 ổ 4(p
, LA__i u . 1
2 -3 - 7 T + 2
f 2 + Ĩ H r = 0 ; E và Ị.I không ảnh hưởng gì.
dx
õx õy
õy

V

2.4. a) X = 0; Y = 0; z = - 4 x 3;
b) ơ | = 8a; ơ 2 = a; ơ , = - a . Trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng
là trạng thái khối.

c) c

=4,5a.
c

2.5. B = 0; F = - v A ; A =

1+ v

; D - const lùy ý (v là hệ số Poát-xông).

2.6. X = 0; Y = x ỉ ; z = - 1 6 x ,

(xj - 3 x2)
8. =

3
1

,

8 X3 - V

Z/ ~ E <

M
Yxy

ỡơ

8x,

X|X 2 - V

x;x2 4

G.x
ỠT

( x ^ - 3 x2)
3

10x, +3

) .

;Ỵw " ( I
ỔT

1 íx ’ -3 x ,ì
,
ỉ’; £ y _ E^

4x2
' 71

k 2M /

;G

G

2 ( l + v)

X

——+ — —+ —^ + p - 4 —( £ - x ) = 0
õx
õy
Õz
r v
7
ỠT
ổơ
ỔT
k 2M ,
V „
~ + - ^ L + ^ i + p iL F i - y ) = o
0X
0y
õz
r
ỔT,X ỠT/y
ổơ/
k 2M /

S
— ^ + — ^ + — ^ + p —4—( C - z ) = 0
ổx
ỡy
ỡz
r
Với p: khối lượng riêng của vật thể đang xét
k 2: hằng số hấp dẫn
r = ^ - x ) ; + ( n - y )'+(C,-zf
176

r

- ^ [ x?x2+ 8 x ỉ ]


ggx , fr«y , < K _ Q
ỡx ổy • õz

2.8.

% +% +%
ỡx
ôy
õz

=0

ÔT/X ỔT/V ổ ơ
—— H — + ———+ pg = 0

ỡx
5y
ỡz
l ỡ 2 ,
2G ỡx2

_

. \

_ 1 Ổ2 / .
2G ỡy'

.

. \

2.9. a) 8V=-r17 T - r ( X 2 - X , - x , ) ; e y = ^TTTj U s -X. ~ x 2);
1 a2
2G ổz2
1
Yy* =

ơ, =

x 2;

G õyõx

Yx/ =

, d2X, . „

G 5xỡz

_

d2X2 .

5z'; + dx'2' ; T>/ =

ỡyỡz ’

ỡx2

ỡy

b) s. = j r -

2.
;

X?’

gx, .
ỡxỡy ’

xy

ổz

ỡ2X2

Yxy = - 7 7 ^ ~ x , ;
G ỡxổy

l ĩ ) '

a2

ỡy

ơy

(x,- % 2-

=

Ỡ2X,
õxôz

- [cPi -v ((p 2+
E õxõyôx

E õ xõyõz

V (
+% )];

[(p3 - v ( c p , +(p2ỵ
E ỡxỡyỡz
~ [ ọ , - v ( < p 1 +
õ2
[cp3 - v ( c p l + (p2) ] + ^ r [ c p 2 - v ( c p 3 +cp1)]
ổz‘
Ỵyz _ E ỡx ‘[õy2

y

XV.

ơ =

1 ô

õ2

1 a

õ2

c

-3

E ỡy

a3(p,

õx2

1 ;a
õxõyõx

[a>2
ỡxổyỡz

;ơ , =

ỠỊ_
+

[ ( p , - v ( ( p 2 + (p ,)]

ổz2

ay,
õxõyôz

177