Giải tích vectơ giáo trình lí thuyết và bài tập có hướng dẫn

/

\

NGUYỄN XUÂN LIÊM

01030
L ^ J NHÀ XUẮT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


N G U Y Ề N X U Â N LIÊM

(GIÁO TRÌNH LÍ THUYẾT
VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DAN)
(Tái bản lân thứnhất)

NHÀ XUẮT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM


à in ả iđ ẩ M s

Giải tích vectơ là phần tiếp theo của Giải tích tập 1 và Giải tích tập 2 của
cùng tác giả. Nội dung chủ yếu của cuốn sách, như tên gọi của nó là giải tích
vectơ, bao gồm tnCờng vectơy tích phân đường và tích phân mặt (theo cách hiểu
thông thường). Sách cũng đề cập đến phép tính vi phân của hàm vectơ nhiều biến
số và các dạng vi phân. Một vài giáo trình giải tích nước ngoài gọi đó là phần
nghiên cứu nâng cao. Sách gồm bảy chương :

Chương I. HÀM VECTƠ, ĐƯỜNG THAM s ố VÀ MẬT THAM s ố
Chương này giới thiệu một cách đơn giản song có hệ thống lí thuyết đường
tham sô" và mặt tham sô". Chúng tôi cô" gắng trình bày vấn đề một cách trực

quan và sử dụng các kí hiệu hợp lí, dễ nhớ nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho
bạn đọc trong việc nghiên cứu hai chương tích phân đường và tích phân mặt.
Một sô" ứng dụng vật lí của lí thuyết đường tham số cũng đã được đề cập đến
trong chương này. Đó là những ứng dụng hay và lí thú. Ta chưa nghiên cứu
nhiều và sâu về đường tham sô' song bạn đọc có thể thây với một lí thuyết
đơn giản và ngắn gọn về đường tham sô', ta đã có một công cụ hữu hiệu để đi
tìm những ứng dụng có ý nghĩa. Bạn đọc nên dành thời gian đọc những ứng
dụng này, qua đó bạn sẽ hiểu các vấn đề đã học một cách sâu sắc hơn và bồi
dưỡng cho mình thêm một bước kĩ năng sử dụng các phép tính đạo hàm và
nguyố n hàm của hàm vectơ.

Chương II. TRƯỜNG VECTƠ
Trường vectơ là trường hợp đặc biệt của hàm vectơ và là hàm vectơ quan
trọng. Vì lẽ đó, giáo trình này đã dành một chương chỉ để nói về trường vectơ.
Bạn đọc cần nắm được khái niệm trường vectơ và làm quen với một số trường
vectơ hay gặp như trường vận tốc, trường hấp dẫn, điện trường, ... Từ các trường
vô hướng và trường vectơ cho trước, người ta xây dựng được các trường vectơ
građian (gradient), rôta (rotationnel) và trường vô hướng đivecgiăng
(divergence). Đó là các trường vectơ và trường vô hướng quan trọng được nhắc
nhiều và được sử dụng rộng rãi trong các chương tiếp theo.

3


Dễ nghĩ rằng các khái niệm građian, rôta và đivecgiăng phụ thuộc vào hệ toạ độ
được chọn. Tuy nhiên không phải như vậy. Bạn đọc sẽ được hướng dẫn chứng
minh sự độc lập của các khái niệm này đối với hệ toạ độ trong các bài tập.
Với các kiến thức về hàm vectơ, đường tham sô", mặt tham số và trường vectơ được
trang bị trong hai chương I và II, việc nghiên cứu hai chương tiếp theo Tích phân
đường và Tích phân mặt của bạn đọc sẽ thuận tiện và dễ dàng hơn nhiều.

Chương III. TÍCH PHẢN ĐƯỜNG
Chương này giới thiệu hai loại tích phân đường : Tích phân đường của một
hàm sô" (trường vô hướng) và tích phân đường của một trường vectơ. Trong
nhiều giáo trình giải tích, người ta gọi đó là tích phân đường loại 1 và tích phân
đường loại 2.
Trong định nghĩa, tích phân đường của một hàm số và tích phân đường của
một trường vectơ đều được đưa về tích phân một lớp nhờ những công thức
đơn giản, dễ nhớ và tiện dụng trong thực hành.
Trong nhiều giáo trình giải tích, sau định lí Grin (Green), người ta thường giới
thiệu định lí về bổn mệnh đề tương đương đối với một trường vectơ trên một
miền đơn liên trong R2.
Trong giáo trình này, cách trình bày vấn đề có hơi khác.
• Đầu tiên, ta giới thiệu định lí cơ bản của tích phân đường (định lí 6.1). Đây
là sự mở rộng của định lí Niutơn^Laibnít (Newton-Leibniz) trong tích phân
một lớp.
• Tiếp theo là “định lí về ba mệnh đề tương đương” (định lí 7.2) đối với một
trường vectơ trên một miền (tức là tập hợp mở đơn liên) trong R ?’ hoặc R 2.
• Cuối cùng, áp dụng công thức Grin, ta xây dựng được điều kiện để một
trường vectơ trên một miền đơn liên trong R 2 là một trường thế.
Từ đó dễ dàng suy ra định lí về bốn mệnh đề tương đương đối với một
trường vectơ hai chiều.
• Trong chương IV, áp đụng công thức Xtốc (Stokes), ta xây dựng điều kiện để
một trường vectơ trên một miền đơn liên trong R 3 là một trường thế.
Từ đó suy ra định lí về bốn mệnh đề tương đương đối với một trường
vectơ ba chiều.

4

Chương IV. TÍCH PHÂN MẶT
Chương này giới thiệu hai loại tích phân mặt : tích phân mặt của một hàm số*
(trường vô hướng) và tích phân mặt của một trường vectơ, định lí Xtốc và định
lí Gaoxơ - Ôxtrôgrátxki (Gauss - Ostrogradski). Trong nhiều giáo trình giải tích
người ta gọi đó là tích phân mặt loại 1 và tích phân mặt loại 2.
Tích phân mặt của một trường vectơ là một khái niệm khó. Để nắm được
khái niệm này, cần hiểu một số khái niệm khá trừu tượng : phía của mặt, mặt
một phía, mặt hai phía (mặt định hướng được) và mặt định hướng. Phía cua
một mặt là một khái niệm thông thường, dễ nhận biết. Song phía của mát
được xác định bởi một trường vectơ pháp tuyến đơn vị liên tục của mặt íà
điều không hề dễ tiếp nhận. Chúng tôi đã cố gắng trình bày vấn đề một cách
sáng sủa, mạch lạc và đưa ra các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp
bạn đọc từng bước hiểu được các khái niệm đã nêu.
Cả hai tích phân mặt đều được đưa ra sau khi xét một bài toán Vật lí. Nên
đọc bài toán đó vì nhờ vậy, bạn sẽ thấy khái niệm được xét là tự nhiên, từ đó
dễ nhớ và khắc sâu nó.
Một vài giáo trình giải tích ngay từ đầu đã đề cập đến mặt định hướng xem
như một lớp tương đương của những mặt tham sô" và định nghĩa tích phân mặt
của một trường vectơ trên một mặt định hướng. Trong chương này, chúng tôi
sẽ không làm như vậy, đơn giản chỉ vì lí do SƯ phạm. Theo chúng tôi, việc
trình bày vấn đề theo cách đó ngay từ đầu nếu không gây hoang mang thì
cũng khiến cho người đọc phân tâm và lúng túng.

Chương V. PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN Mp
Trong Giải tích tập 1, ta chỉ mới đề cập đến vi phân của hàm sô' nhiều biến sô"
thuộc lớp c 1, một trường hợp đặc biệt của hàm số khả vi. Trong chương này
ta sẽ đưa ra định nghĩa vi phân của hàm vectơ nhiều biến sô" và nghiên cứu
một cách có hệ thống các tính chất của hàm khả vi. Từ đó ta có điều kiện
xét cực trị của hàm sô' nhiều biến s<ấ một cách đầy đủ và sâu sắc hơn. Ta cũng
sẽ nghiên cứu cực trị có điều kiện với một hoặc nhiều ràng buộc của hàm số

nhiều biến sô'.
Nhờ áp dụng một sô' kiến thức của Đại số tuyến tính, người ta đã xây dựng
được lí thuyết hàm khả vi một cách có hệ thống, chặt chẽ, ngắn gọn và đẹp.
Với lí thuyết này, bạn đọc sẽ có một cái nhìn bao quát, toàn cục và tinh tế về

5


hàm khả vi. Các tính chất của hàm khả vi được diễn đạt bởi một loạt định lí
trong đó có nhiều định lí hay. Ta kể ra đây một số định lí : định lí về vi phân
của hàm hợp, các định lí về giá trị trung bình, định lí về hàm ngược, định lí
về hàm ẩn, các định lí về cực trị của hàm sô" nhiều biến số* và định lí Lagrăng
(Lagrange) về cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số. Đặc biệt, định lí
về đơn ánh địa phương và bổ đề của định lí về ánh xạ mỏ có thể được xem là
những phát hiện độc đáo. Chúng nêu lên mốì quan hệ mang tính tôpô giữa
hàm khả vi và vi phân của nó.
Đây là chương khó nhất của giáo trình này. Tuy nhiên đây là một chương hay,
quan trọng và có nhiều ứng dụng, đáng được bạn đọc quan tâm một cách
thích đáng, đầu tư nhiều thời gian và công sức.

Chương VI. DẠNG VI PHẢN
Chương này gồm hai phần. Trong phần A, ta nhắc lại định nghĩa và một sô"
tính chất cơ bản của dạng đa tuyến tính thay phiên, thường được giới thiệu
trong các giáo trình đại sô" tuyến tính. Lí thuyết dạng vi phân được giới thiệu
trong phần B. Bạn đọc nên quan tâm đến mối quan hệ giữa trường vectơ và
dạng vi phân. Qua đó, ta sẽ hiểu trường vectơ sâu hơn và nghiên cứu dạng vi
phân một cách thuận lợi và dễ dàng hơn. Chẳng hạn, nếu để ý rằng nguyên
hàm f của dạng vi phân co trong chứng minh định lí Poăngcarê (Poincaré)
(định lí VI.3.7) được xây dựng tương tự như hàm sô' thế vị f của trường vectơ F
trong chứng minh định lí III.7.2 thì bạn đọc sẽ tiếp nhận định lí Poăngcarê

cùng với chứng minh của nó một cách thoải mái và sâu sắc hơn, bạn sẽ hiểu
vì sao tập hợp Q trong định lí được giả thiết là “có sao”, bạn sẽ tự hỏi liệu có
thể nới lỏng điều kiện cho tập hợp này được nữa không, bạn sẽ thấy chứng
minh định lí này là tự nhiên, không còn cảm thây mình bị áp đặt khi theo
dõi chứng minh này nữa. Trong phần bài tập, bạn đọc sẽ thấy một số hệ thức
phức tạp giữa građian, rôta và đivecgiăng được chứng minh một cách dễ dàng
nhờ sử dụng sự tương ứng giữa trường vectơ và dạng vi phân.

Chương VII. TÍCH PHÂN CỦA DẠNG VI PHÂN
Chương này giới thiệu một cách ngắn gọn tích phân đường của một dạng vi
phân bậc 1 dọc theo một cung định hướng và tích phân mặt của một dạng vi
phân bậc 2 trên một mặt định hướng. Các định nghĩa này đơn giản và dễ

6


nhớ. Đó là tích phân một lớp và hai lớp của ảnh chuyển dịch của dạng vi
phân đã cho qua hàm vectơ, biểu diễn tham sô" của cung định hướng và mặt
định hướng tương ứng.
Quan hệ giữa tích phân của dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 với tích phân đường
và rích phân mặt của trường vectơ rất đơn giản : Tích phân của dạng vi phân
bậc 1 và bậc 2 cũng là tích phân đường và tích phân mặt của trường vectơ
tương ứng. Tuy nhiên quan hệ này được xem là một phát hiện quan trọng và
đặc sắc của lí thuyết dạng vi phân. Từ nay ta có thêm một công cụ để tính
tích phân đường và tích phân mặt. Có thể chuyển việc tính tích phân của một
dạng vi phân về việc tính tích phân đường và tích phân mặt của một trường
vectơ và ngược lại. Nhờ mốì quan hệ này, dễ dàng thiết lập được các định lí
Grin, Xtôc và Gaoxơ - Oxtrôgrátxki cho tích phân của dạng vi phân. Các định
lí này được diễn đạt bởi một công thức gọn, đẹp và dễ nhớ. Chúng đều nêu
len mốì quan hệ giữa tích phân của một dạng vi phân với tích phân của vi

phân ngoài của nó.
Ta biết rằng một cung hình học và một mặt hình học có những biểu diễn
tham sô" khác nhau. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là : Tích phân đường và
tích phân mặt có phụ thuộc vào biểu diễn tham sô" của đường và mặt được xét
hay không ? Câu hỏi này được giải đáp trong các định lí 1.4 và 2.5 của chương
này : trong một mức độ nào đó, tích phân đường và tích phân mặt không phụ
thuộc vào biểu diễn tham số của đường và mặt đưực xét. Qua kinh nghiệm
giảng dạy, chúng tôi thấy rằng việc giải đáp câu hỏi này ở đây chứ không
phải trong các chương III và IV là thoả đáng và đúng lúc hơn.
Để học cuốn sách này, bạn đọc cần có một sô" kiến thức về Đại số tuyến tính
như : không gian đổì ngẫu của một không gian tuyến tính, dạng toàn phương,
các dạng đa tuyến tính thay phiên, ... Các vấn đề này đều được nhắc lại trong
giáo trình để bạn đọc dễ theo dõi. Chúng tôi quy ước việc kết thúc một phép
chứng minh bằng kí hiệu □.
Sau mỗi chương đều có một sô" bài tập. Các bài tập này nhìn chung không
khó, nhằm giúp bạn đọc củng cô" lí thuyết và rèn luyện một sô" kĩ năng cần
thiết. Các bài tập đều có đáp sô", hướng dẫn hoặc lời giải. Để nắm vững giáo
trình, bạn đọc nên cô" gắng giải tất cả các bài tập đã cho trong cuốn sách này
và để hiểu và vận dụng sâu sắc hơn Giải tích vectơ bạn đọc nên tham khảo
thêm cuốn Bài tập Giải tích vectơ của cùng tác giả.

7


Có thể sử dụng cuốn sách này như một giáo trình một cách rộng rãi cho
nhiều đổi tượng : sinh viên các khoa Toán và Lí các trường Đại học Sư
phạm và các trường Đại học Khoa học tự nhiên, sinh viên các trường Đại
học Bách khoa và các trường Đại học Kĩ thuật, giáo viên Toán các trường
Trung học phổ thông.
Giáo trình được biên soạn cẩn thận với mong muôn của tác giả là nhiều bạn

đọc có thể dùng nó làm tài liệu tự học. Hi vọng rằng Giải tích vectơ sẽ giúp
bạn đọc học tập một cách hào hứng và có kết quả một phần quan trọng và có
nhiều ứng dụng của bộ môn Giải tích.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư Đoàn Quỳnh đã đóng góp ý kiến
trao đổi về tên gọi của cuốn sách, về một vài thuật ngữ và về mức độ yêu cầu
của một sô" phần trong sách.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo SƯ Phạm Quý Tư đã đọc kĩ bản thảo,
đã giúp chúng tôi kiểm tra các vấn đề trong bản thảo có liên quan đến Vật lí
và sử dụng đúng các thuật ngữ Vật lí.
Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS. Trần Diên Hiển
đã chú ý đến cách trình bày cũng như cách tiếp cận các vấn đề trong giáo
trình (đây cũng là mối quan tâm lớn của tác giả) và đã góp nhiều ý kiến xác
đáng và bổ ích.
Lời cảm ơn đặc biệt của tác giả xin được dành cho Thạc sĩ Trần Lưu Thịnh,
Trưởng ban biên tập Toán - Tin, Công ty CPDV xuất bản Giáo dục Gia Định
- Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, đã giúp đỡ nhiệt tình, tạo điều kiện để
cuốn sách này đến tay bạn đọc.
Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn Thạc sĩ Trần Thanh Hà đã biên tập nghiêm
túc, khẩn trương và có chất lượng bản thảo cuốn sách.
TÁC GIẢ

8


Chương I
sn m

HÀM V E C T tí, ĐƯỔNG THAM s ố
V À M ẶT TH AM s ố
Trong chương này, ta sè đề cộp đến các ánh xạ (cũng gọi là các hàm) xác

định trên một tộp hợp con của R hoộc E và lấy các ânh (giá trị) trong
không gian các vectơ hai chiều hoộc ba chiều. Ta gọi đó là các hàm vectơ.
Hàm vectơ giúp ta khảo sát các đường và một trong khồng gian một cách
thuộn tiện hơn. Nội dung của chương bao gồm :

s Hàm vectơ và đường tham s ố ;
v' Đạo hàm và tích phân của các hàm v e c tơ ;
^ Tiếp tuyến, pháp tuyến và một phổng một tiếp của đường cong ;

s Độ dài cung và độ cong của một đường trong không gian ;
^ ứng dụng Vột lí: chuyển động của một chốt điểm trong không gian ;
^ Một tham s ố ;

s Tiếp diện và pháp tuyến của một m ộ t;
s Diện tích một cong.

. HÀM V E C T Ơ V À ĐƯỜNG T H A M s ố
HÀM VECTƠ

1.1. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử T là một tập hợp số thực (T c R).
Hàm (ánh xạ) r : t h-> r(t) từ tập hợp T vào không gian các vectơ hai
chiều hoặc ba chiều gọi là một hàm vectơ.
Giả sử r(T) là một tập hợp trong không gian các vectơ ba chiều và với
mỗi t 6 T, vectơ r(t) có các thành phần là x(t), y(t), z(t). Khi đó
X = x(t), y = y(t), z = z(t) là những hàm số thực xác định trên T. Ta gọi
chúng là các hàm số thành phần của hàm vectơ r và viết


r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)ĩ + y(t)j + z(t)k, t

G

T,

hoặc viết gọn r = x ĩ + yj + zk.

Q/l ẩụ 1. Cho hàm vectơ r(t) = t ĩ + Vt + 1 j + ln(2 - t)k. Tìm tập hợp xác
định của hàm vectơ r.

iẩi. Các hàm số thành phần của hàm vectơ r là
x(t) = t, y(t) = V t+ Ĩ , z(t) = ln(2 - t).
Tập hợp xác định của hàm vectơ r là tập hợp tất cả các t e R sao cho
r(t) xác định. Các biểu thức x(t), y(t), z(t) đồng thời xác định khi

Vậy tập hợp xác định của hàm vectơ r là khoảng [-1 ,2 ).

1 .2 . Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử hàm vectơ r = xi + yj + zk xác định trên một lân
cận của điểm t Q e E (có thể trừ điểm t 0) và ĩ = lịĩ + /2 J + /3^ là một
vectơ không đổi. Ta nói rằng hàm r có giới hạn tại điểm tQ là ĩ và
viết lim r(t) = ĩ nếu
t->t0
lim x(t) = /.,
0
. lim y(t) = L,
0
lim z(t) = L.
t^ t 0
Nếu hàm vectơ r xác định trên khoảng ( a , t fJ) (hoặc trên khoảng
(t0 ,P)) thì
lim

x(t) = /
t—
>tQ(t—
>Íq)
lim
y(t) = /
lim
r(t) = / <=>
t—
>ÍQ(t-> tg )
t—
>tg )

lim

z(t) = /

t—
»t.Q(t—
>Íq)

10


n/c dụ 2. Cho hàm vectơ r(t) = Vl - t 1 + t 2 j + sin k.
t
Tìm lim r(t) và

lim r(t).
t-> r

Lải. Tập hợp xác định của r là ( - 00, 0) u (0,1].
lim r(t) = lim v ĩ - t
t-> 0
t-> 0

lim t'
t—
>0

j + lim
t-» 0

sin t
t

= i + k.
lim r(t) = lim Vl - 1 1 +
t-> 1"
t -> r

lim t'

j+

lim
t-> 1”

sin t
t

= j + (sin l)k.
Dễ dàng chứng minh được định lí sau :

1.3. Đ ịn h lí. Nếu hai hàm vectơ ũ và V có giới hạn tại điểm tg G R thì
a) lim [u(t) + v (t)]= lim u(t) + lim v(t),
1—>tg
t—
>tg
t—
>tQ
b) lim cũ(t) = c lim ũ(t) (ce R),
t-> t,
c) lim [u(t).v(t)] t_>t0

lim u(t)
t-»t0

J

lim v(t)
vt->t0

J

d) lim [u(t) A v(t)] = lim u(t) A lim v(t)
t-» t0
vt->t0
vt-»t0
)

J

1.4 Đ ịn h n g h ĩa .
a) Giả sử hàm vectơ r xác định trên một lân cận của điểm tQ e R . Ta
nói rằng r liên tục tại điểm tn nếu lim r(t) = r(tn).
t-»t,
b) Hàm vectơ r xác định trên khoảng ( a , t Q] (hoặc trên khoảng [t0 , P))
được gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm t Q nếu

11


(
lim r(t) = r(tQ)

t_>tõ

\
lim r(t) = ?(tQ) .

l t_>t0

y

c) Hàm vectơ r liên tục tại mỗi điểm của tập hợp mở T c l gọi là liên
tục trên T. Hàm vectơ r xác định trên đoạn [a , b] gọi là liên tục trên
đoạn này nếu nó liên tục trên (a , b), liên tục phải tại a và liên tục trái
tại b.
H iển nhiên hàm vectơ r = XI + yj + zk liên tục (liên tục phải, liên tục
trái) khi và chỉ khi các hàm số thành phần X, y, z của nó đều liên tục

(liên tục phải, liên tục trái).
ĐƯỜNG THAM s ố

1.5. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử I là một khoảng trong R (I có thể là một khoảng
mở hoặc đóng hoặc nửa mở, bị chặn hoặc không bị chặn) và
r(t) = x (t)ĩ + y(t)j + z(t)k

(1)

là một hàm vectơ liên tục trên I.
Tập hợp các điểm
c = { ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) : t € 1}

trong R3 được gọi là một đường tham số trong không gian.
Các phương trình
X = x(t), y = y(t), z = z(t), t e I

được gọi là một biểu diễn tham số của đường c , t được gọi là tham số.
(1) được gọi là m ột phương trình vectơ của đường c . Người ta cũng gọi
(1) là một biểu diễn tham số của c.
Nếu I là đoạn [a,b] thì đường c được gọi là một cung trong không gian.
Đ iểm (x(a), y(a), z(a)) được gọi là điểm đầu và điểm (x(b), y(b), z(b))
được gọi là điểm cuối của cung c . Nếu điểm đầu và điểm cuối trùng với
nhau thì c được gọi là một cung kín.
Có thể xem đường c được vạch nên bởi điểm cuối M (x(t), y(t), z(t)) của
vectơ r(t) = OM khi t biến thiên trên khoảng I.

12

Q/í dụ 3 . Các phương trình
X = Xq + /t, y = y 0 + mt, z = Zq + nt, t e R,
trong

đó

(/, m, n)

x0, y 0, ZQ, /, m, n

*

là

những

số

thực

cho

trước,

với

(0, 0, 0) lẩ biểu diễn tham số của đường thẳng đi qua điểm

(x0, y0, z0 ) với vectơ chỉ phương (/, m, n).

n/í dụ 4 . Các phương trình
X = cos t, y = sin t, z = t, t € [ 0 ,271]
là biểu diễn tham sô' của cung của
đường xoắn ốc (trên mặt trụ tròn xoay).
VI

2
2
21 • 21 H
X + y = cos t + sin t = 1

s,•
với

mọi t € R nên đường xoắn ốc c nằm
trê n m ặ t trụ trò n xoay

Với

mọi

X

2

+ y

2

=1.

t e [ 0 ,2 7 ĩ] ,

điểm

M (cos t, sin t, t) nằm trên m ặt trụ
vừa nêu và có độ cao t. Khi t tăng từ
0 đến 27Ĩ, điểm M chạy từ điểm
A (l, 0, 0) đến điểm B (l, 0, 2n) vạch
nên cung AB của đường xoắn ốc.

n/c dụ ỹ. V iết một biểu diễn tham sô" của đường cong
2

m ặ t trụ X + 4 y

2

•>

= 4 và m ặ t p h ă n g X + y + z = 2.

Hình 2

c,

giao tuyến của


<^L&L Đường cong c nằm trên mặt trụ đứng có đường chuẩn k elip

X2

2

— + y = 1 trong m ăt phẳng Oxy. Ta biết rằng elip đó có mội biểu
4
diễn tham số là
X = 2 cos t, y = sin t, z = 0, 0 < t < 271.
Vì c nằm trên m ặt phảng X + y + z = 2 nên z = 2 - 2 cos t - sin t.
Do đó các phương trình
X = 2 cos t, y = sin t, z = 2 - 2 cos t - sin t, 0 < t < 2 tc
là một biểu diễn tham số của đường cong giao tuyến c .
Phương trình vectơ tương ứng của đường cong c là
r(t) = 2 cos t ĩ + sin t j + (2 - 2 cos t - sin t)k, 0 < t < 271.

^

§2. ĐẠO HÀM V Ả T ÍC H PH ÂN C Ủ A HÀM VEC TƠ

ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ

2.1. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử hàm vectơ r xác định trên một lân cận củađiểm
t Q e M. Đạo hàm của hàm vectơ r tại điểm t0 , kí hiệu là ?'(t0) hoặc
dr

) đươc cho bởi công thức r'(tn) = lim
h—>0
dt t = 0

h

hạn này tồn tại.
Đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm vectơ được định nghĩa tươ;g tự.
Từ định nghĩa 2.1 và định nghĩa giới hạn của hàm vectơ suy ra

2.2. Hàm vectơ r(t) = x(t)T + y (t)j + z(t)k có đạo hàm tại điểm t0 lai và
chỉ khi các hàm sô' thành phần X, y, z của nó có đạo hàm tại t Q.
Nếu hàm vectơ r có đạo hàm tại điểm t Q thì
?'(t0) = (x'(t0), y'(t0), z'(t0)) = x'(t0 )I + y'(t0)j + z'(t0)k.

14


2.3. T iếp tu yến c ủ a đ ư ờ n g
Giả sử đường c với phương trình vectơ
r(t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k
có đạo hàm tại điểm t Q. Khi đó
ZÍI/ \ n, r(t0 + h ) - r ( t n)
r'(tn) = lim — 2— ^------- 2- .
u
h-To
h
Gọi M và N là các điểm cuối của hai vectơ r(tQ) và ?(tQ + h) :
M (x(t0), y (t0), z(t0)), N (x (t0 + h), y (t0 + h), z(tQ+ h)).
Ta có ?(t0 + h) - r(t0) = ÕN - ÕM = MN.
Vectơ —[?(tQ + h) - r(tQ)" = —MN có cùng phương với vectơ MN.
Nếu r'(tQ)

õ thì khi t —>0 , đường thẳng MN quay quanh điểm M và

dần đến đường thẳng MT đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ?'(tQ) .
Vectơ ?'(t0) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường c tại điểm M.
Đường thẳng MT đi qua điểm M và nhận r'(tQ) làm vectơ chỉ phương
được gọi là tiếp tuyến của dường c tại điểm M.


Như vậy, có thế xem tiếp tuyến của đường c tại điếm M là vị trí giới
hạn của cát tuyến MN khi điểm N theo đường c dần đến điểm M.
Phương trình vectơ của tiếp tuyến của đường
R (\) =

tU q

) + Ằ,r'(tQ),

à g

c

tại điểm M là

R.

-»
—
♦
r'(t)
Nếu r'(t) * 0 thì vectơ T(t) =
?'(t)

trong đó

||r'(t)|| = \/x'2(t) + y'2(t) + z'2(t) là độ dài của vectơ r'(t), được gọi là vectơ
tiếp

tuyến

đơn vị tại điểm (x(t), y(t), z(t)) của đường

(]/i dụ 1. Cho đường cong

c

c.

với

phương trình vectơ
r(t) = t ĩ + t 2 J + t 3 k.

Tìm vectơ tiếp tuyến đơn vị của
đường cong tại điểm M(l, 1,1).

giải. Biểu diễn tham số của đường
cong

c

là
X

= t,

y

= t2, z = t 3, t e R.

Khử t từ hai phương trình đầu, ta
được y = X2. Vậy đường cong c nằm
trên mặt trụ đứng có đường chuẩn là
parabol y = X2 trong mặt phẳng Oxy.
Một phần của mặt trụ này và cung của đường cong c từ t = 0 đến t = 2,
được cho trong hình 4.
Đạo hàm của hàm vectơ r là

r'(t) = 1 + 2t J + 3t2k. Độ dài của vectơ

?'(t) là Ị|?'(t)|| = Vl + 4 t2 + 9t4 .
Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong c
T (t) =

■
—

1

'Ị l + 4 t 2 + 9 t 4

16

(T + 2 t J + 3 t 2

tại điếm Ịt, t 2, t 3 j là
k


Vectơ tiếp tuyến dơn vị của

c

tại điểm M (l,l,l) là

1 T
2 1
3
T(l) = - 7= = ĩ + n = = j + - 7==k.
VŨ
VĨ4
VĨ4
Q/í í/ạ 2. V iết một biểu diễn tham số của tiếp tuyến của đường xoắn ốc
r(t) = a cos 1 1 + b sin t J + tk, t 6 R
71
tại điểm M 0, b, —
2/

é?LảL. Ta có
r'(t) = - a sin 1 1 + b cos t j + k.
\
Điểm M ( 0, b, - 1 là ảnh của t = ^ OM = ? <7lì . Vectơ tiếp tuyến của
2 V

, 2, /
l
2j
- đường xoắn ốc tai điểm M là r' — = - a i + k. Tiếp tuyến của đường
xoắn ốc tại điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ chỉ
ín )
phương là r' — . Biểu diễn tham số của tiếp tuyến đó là
X = -a t, y = b, z = — + t, t e R.
2

2.4. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử c là m ột đường với phương trình vectơ
r(t) = x(t)I + y(t)j + z(t)k, t e I,

trong đó I là một khoảng. Ta nói rằng

c

thuộc lớp

c1

trên I nếu hàm

vectơ r có đạo hàm ?' liên tục trên I. Ngoài ra, nếu r'(t) * õ với mọi
t e I (có th ể trừ điểm đầu hoặc điểm cuối của I nếu I là một khoảng
nửa mở hoặc một khoảng đóng) thì c được gọi là m ột đường trơn.

Ọ/í dụ 3 . X ét đường cong phẳng với phương trình vectơ
r(t) = (l + t3 )T + t 2 J, t e R .

Ta có r'(t) = 3t2ĩ + 2tj và r'(0) = õ.
c là một đường thuộc lớp c 1 nhưng không phải là m ột đường trơn.
ị

ĐAI HỌC QUOC GIA HÀ n ỘĨ ’
TRUNG TAM THONG TIN THƯ VIÊN

17


Tại điểm

(1 ,0 ), ảnh của

t = 0, đường cong không có
tiếp tuyến. Điểm 1(1,0)
gọi là điểm lùi của c.
Đường c gồm hai phần,
mỗi phần là một đường
trơn. Người ta gọi c lả trơn
từng khúc.
Hình 5

Một cách tổng quát, ta có

2.5. Đ ịn h n g h ĩa . Đường c gồm một số hữu hạn đường trơn gọi là trơn
từng khúc.
CÁC QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM
Có thể mở rộng các quy tắc tìm đạo hàm của hàm số thực cho hàm
vectơ.

2.6. Đ ịn h lí. Giả sử u và V là hai hàm vectơ có đạo hàm,ọ là một hàm
số thực có đạo hàm và c là một số thực không đổi. Khi đó
a) [u(t) + v(t)J = ũ'(t) + V (t),
b) [cu (t)J = cu'(t),
c) [d) [ u (t).v (t)j

= ũ '(t).v (t) + u (t).v '(t),

e) [u ( t) A v ( t ) J =s ũ'(t) A v(t) + ũ(t) A v'(t),

f) [ G(cp(t))J = cp'(t)u' (cp(t)).
C h ứ n g m inh . Ta chứng minh hai công thức c) và
lại được chứng minh một cách tương tự.

e). Cáccông thức còn

c) Giả sử ũ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Khi đó
cp(t)u(t) = (cp(t)x(t), (p(t)y(t), cp(t) z(t>).

18


Do đó

[= (cp'(t)x(t) + cp(t)x'(t), cp'(t)y(t) + cp(t)y'(t), cp'(t)z(t) + cp(t)z'(t))
= cp'(t)(x(t), y(t), z(t)) + cp(t)(x'(t), y'(t), z'(t))
= cp'(t)u(t) + cp(t)u'(t).

e) Với |h| > 0 đủ nhỏ, ta có
ũ(t + h) A v (t + h) - u(t) A v(t)

h
= ---------------------------------------------u ( t + h ) A v ( t + h ) - u ( t ) A v ( t + h ) + -------------ũ(t) A v (t +
---------------------h ) - u(t) A v(t)

u(t + h) - u(t)
h

_

„

v(t + h) - v(t)
h

= --------—---------A v (t + h ) + u(t) A --------- —----------

Dễ

thấy

khi

h -> 0

thì

v ế phải

của đẳng thức

trên

dần

đến

u ( t ) A v ( t ) + u (t) A v '(t).

Do đó hàm vectơ u A V có đạo hàm tại điểm t, và
[u (t) A v ( t)J

= u '(t) A v ( t) + u ( t) A v '(t). □

2.7. Giả sử hàm vectơ r có đạo hàm trên khoảng I. Nếu ||r(t)|| = c với mọi
t £ I , trong đó c là một hằng số thì vectơ r'(t) vuông góc với vectơ r(t)
với mọi t g I .

C hứ n g m in h . Vì ||r(t)||2 = r(t).r(t) nên r(t).r(t) = c2 với mọi t 6 I.
Lấy đạo hàm hai v ế của đồng nhất thức trên, ta được
0 = [r(t).r(t)J

do đó r'(t).r(t) = 0 với mọi

= r ' ( t ) . r ( t ) + r ( t ) . r ' ( t ) =2 r '( t ) . ? ( t ) ,

t 6 I. Vậy r'(t) vuông góc vớir(t) .□

Từ định lí trên suy ra rằng nếu đường cong c nằm trên một mặt cầu thì
tiếp tuyến của c tại mỗi điểm vuông góc với bán kính của mặt cầu đi
qua điểm đó.

19


TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ
Tích phân của một hàm vectơ được định nghĩa qua các hàm số thành
phần của nó.

2.8. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử hàm vectơ r = x ĩ + y j + z k

liên tục trên đoạn

[a, b]. Tích phân của hàm r trên [a , b] được cho bởi công thức
r(t)dt =

x(t)dt i + £ y(t)dt j +

x(t)dt k.

<^iải. Theo định nghĩa, ta có
1-

V ĩ + tdt

J + Jq e2tdt

= ỉ i _ | ( 2 V 2 - l) j + ỉ( e 2 -l)k .

2.9. Nếu r là m ột hàm vectơ liên tục trên đoạn [a, b] và hàm vectơ R
là một nguyên hàm của r trên đoạn [a, b] (tức là R (t) = r(t) với mọi
t G [a, b ]) thì
f r(t)dt = R(t) = R(b) - R(a).
Ja
a
Kí hiệu

Jr(t)dt

chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm vectơ r.

fị/í ắụ 5 . Tìm nguyên hàm của hàm vectơ
r(t) = 2 c o s t ĩ - t s i n t 2 j + 2t k trên R.

^ iả i. Ta có
j r ( t ) d t = 2^ j c o s t d t j ĩ - Ị j t s i n t 2d tj j + Ị Ị 2 t d t ) k
= (2 sin t + Cj Ị 1 + ^—cos t 2 + C2 j I + Ịt2 + Cg Ị k
= 2 sin t ĩ + —cos t 2 J + 12 k + c ,
2
J
trong đó

20

c

là một vectơ không đổi tuỳ ý.


2.10. Đ ịn h lí. Giả sử ũ , V là hai vectơ liên tục trên đoạn [a ; b], c là một
hằng số và c là một vectơ không đổi. Khi đó
a)

[u(t)

b)

c u(t)dt = c

c)

+ v(t)] dt = ^

+

v(t)dt,

u(t)dt,

£[c.u(t) dt = c.

d) I I u ( t ) d t <

u (t)d t

u(t)dt,

u(t) dt.

C hứ ng m inh . Áp dụng định nghĩa tích phân của hàm vectơ, dễ dàng
chứng minh được các công thức a), b), c). Ta chứng minh d).
Đặt c =

u(t)dt; theo c), ta có c

= ^ Ị^c. u(t)J dt.

Vì c.u(t) < ||c ||u(t)|| với mọi t e [a; b] nên từ đảng thức trên suy ra
< J[ | | c | ||u(t)|| d t = ||c||

Nếu

c

* õ thì c|| > 0. Chia hai v ế của bất đẳng

được bất đẳng
Nếu

|| u(t)|| d t .

c=

õ

thức trên cho

, ta

thức cần chứng minh.

thìhiển

nhiên ta

có bất đẳng thức

cần chứng minh.D

t>\ §3. Đ ộ D ÀI CU N G V À Đ ộ CONG C ỦA ĐƯỜNG
ĐỘ DÀI CUNG
Ta biết rằng cung phẳng

c

thuộc lớp

c 1 với biểu

diễn tham số

X = x (t), y = y ( t) , t 6 [a, b],
có độ d à i là
/=

£ V x ' 2 (t) + y '2 ( t ) d t

(1)

21


và cung

c

trong không gian thuộc lớp

c 1 với

biểu diễn tham số

X = x(t), y = y(t), z = z(t), t e [a, b],
có độ dài là
/= j£Vx'2(t) + y'2(t) + z'2(t)d t

(2 )

Có th ể viết gọn hai công thức (1) và (2) dưới dạng sau đây.

3.1. Cung

c

thuộc lớp

c1

biểu diễn bởi hàm vectơ ĩ? trên đoạn [a, b] có độ

dài là

r ( t ) = x ( t ) I + y ( t ) j , t e [a, b] v à ||r'(t)|| = ^/x'2 (t) + y ' 2(t).

Với cung

c

trong không gian, ?(t) = x (t)ĩ + y(t)J + z(t)k, t e [a, b] và
||r'(t)|| = Vx'2(t) + y'2(t) + z'2(t).

3.2. Giả sử

c

là một cung thuộc lớp

c 1 với

phương trình vectơ

r ( t ) = x ( t ) I + y ( t ) j + z(t)k, t G [a, b].

Khi đó, độ dài của cung có điểm đầu A (x(a), y(a), z(a)) và điểm cuối
M (x(t), y(t), z(t)) là
(3)

Vì hàm số |r' I liên tục trên [a, b] nên
s'(t) = Ị|r'(t)Ị| v à ds(t) = ||r'(t)||dt, t e [a, b].

3.3. Nếu c là một cung trơn thì có thể lấy độ dài cung s làm tham số trong
biểu diễn tham số của c.
Thật vậy, ta giữ nguyên các kí hiệu trong 3.2. Vì ||?'(t)|| > 0 với mọi
t e [a, b] nên hàm số 1 1—> s(t) tăng nghiêm ngặt trên đoạn [a, b]. Do
đó nó có hàm số ngược s h - t ( s ) tăng nghiêm ngặt và thuộc lớp
đoạn [0, /]. Phương trình vectơ của cung

c

theo tham số s là

c1

trên


R(s) = r (t(s)) = x(t(s))T + y (t(s ))j + z(t(s))k , s e [0, /].
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp và hàm số ngược, ta có
R (s) = r'(t(s))t'(s) =
?'(t)|Ị _ s'(t)

Do đó R (s)

s'(t)

s'(t)

r'(t)
s (t)
= 1 với mọi s e [0, /].

Từ đó ta có định nghĩa sau đây :

Đ ịn h n g h ĩa . Ta nói rằng cung

c

có biểu diễn tham sô"

X = x(t), y = y(t), z = z(t), t G [a, b]

theo

độ

dài

cung

nếu

||r'(t)|| = vx'2(t) + y'2(t) + z'2(t) = 1

với

mọi

t Vì ||r'(t)|| = 1 nên độ dài cung AM có điểm đầu A (x(a), y(a), z(a)) và
điểm cuối M (x(t), y(t), z(t)) là

||r'(u)||du = £ du = t - a.

H iển nhiên mọi cung trơn đều có biểu diễn tham số theo độ dài cung.

*Vl ắụ 1. Cho cung

c

với biểu diễn tham số

X= —
—, t, y =_cos —,t z =_sin• —,t t+ G Lm
O, oZnị1

2

2

( 1)

2

Chứng tỏ rằng (1) là biểu diễn tham số theo độ dài cung của

^iẴL Phương trình vectơ của cung
r(t) =

Ta có

r'(t) =

c

c,

là

V3
1 ĩ + cos —J + sin —k, t 6 [0, 2n].
2
2
2

2

1 - —sin —J + —cos —k, do đó
2
2
2
2

3 1( . 2 t
2
sin —+ cos t ^ = 1, t 6 [0 ; 27t].
- +
2

4 4V
2 J
—

—

Vậy (1) là biểu diễn tham số theo độ dài cung của

c.
23


Q/í dụ 2. Cho đường xoắn ốc tròn

c

với phương trình vectơ

r(t) = a cos t T + a sin t j + bt k, a > 0, b > 0 .
Hãy viết một biểu diễn tham số của c theo độ dàicung
A(a, 0, 0) theo hướng xác định bởi các giá trị tăng của t.

từđiểm

^ iả i. Điểm đầu của cung tương ứng với t = 0.
Ta có
r'(t) = - a sin t ỉ + a cos t j + b k.
Do dó ||r'(t)|Ị = yỊa2 + b2 .1 Độ dài cung AM từ điểm đầuA(a,

0,0) = r(0)

đến điểm M(a cos t, a sin t, bt) = r(t), t > 0 là

s = s(t) = J^||r'(u)||du =

Va2 + b 2 du =yỊa 2 + b 2 t.

và biểu diễn tham số theo độ dài cung của

Do đó t =

c

là

Va2 + b:
\

/

Va2 + b;

bs

1 + a sin

= acos

R(s) = ĩ

r

N

Vv a 2 + b:

j+
\ Va 2 + b 2 ì

ĐỘ CONG CỦA MỘT ĐƯỜNG
Ta biết rằng nếu c là một
đường trơn thì tại mỗi điểm
của nó, c đều có tiếp tuyến.
Gọi T là vectơ tiếp tuyến
đơn vị của c tại điểm M.
Trên hình 6, ta thấy khi
điểm M di chuyển trên c thì
hướng của vectơ T biến đổi
ít ở những nơi ít “cong” và
hướng của vectơ này biến
đổi nhiều ở những nơi mà c
“cong” nhiều. Điều này được
thể hiện trong định nghĩa
độ cong dưới đây.

24

Hình 6

Va2 + b 2

k.


3.4. Đ ịn h n g h ĩa . Giả sử

c

là một đường trơn với phương trình vectơ

r(s) = x(s)T + y(s) j + z(s)k,
trong đó tham số s là độ dài cung. Kí hiệu T(s) là vectơ tiếp tuyến đơn
vị của

c

tại điểm M (x(s), y(s), z(s)). Nếu hàm vectơ T có đạohàm

T (s) tại điểm s thì độ dài của vectơ T (s) được gọi là độ cong
đường

c

của

tại điểm M, kí hiệu là ó%(s) :

á?T(s) = T'(s)
3.5. N h ậ n xét.
a) Vì

T te) = h
AS—
^0

As

nên độ cong của c tại điểm M biểu thị tỉ suất biến thiên của vectơ tiếp
tuyến đơn vị đối với độ dài cung tại điểm M.
b) Vì ||r'(s)|| = 1 nên

T(s) = - I H = r'(s).
I? (s)|

Do đó
ĩ ' (8) = ?'(s).

3.6. Đ ịn h lí. Cho đường trơn c với phương trình vectơ
r(t) = x(t)T + y(t)j + z(t)k.
Giả sử hàm vectơ r có đạo hàm cấp hai. Khi đó, độ cong của c tại điểm
M (x(t), y(t), z(t)) là
|T'(t)||
ó?T(t) =
N

ỉ

C hứ ng m in h . Ta biết rằng độ dài cung có
M0 Ịx(t0), y (t0), z(t0)j và điểm cuối M (x(t), y(t), z(t)) là

điểm

đầu

25