Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác

Phân tích, định hướng tư duy giúp học sinh giải
quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân
hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong đề tham khảo, đề minh họa, đề thử nghiệm và đề thi THPT quốc gia
mơn tốn các năm gần đây của Bộ GD&ĐT ln có bài tốn về ngun hàm,
tích phân. Trong đó ngun hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ, hàm số
lượng giác xuất hiện nhiều, với các mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận
dụng, đặc biệt, các bài ở mức độ vận dụng thì MTCT chỉ giúp học sinh kiểm tra
lại kết quả và thực hiện các phép tính thơng thường.
Với mục đích giúp học sinh phân loại được mức độ câu hỏi để phân bố thời
gian, định hướng tư duy tìm phương án tối ưu, kết hợp với việc sử dụng hợp lý
công cụ MTCT để giải quyết các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm
phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác, tơi lựa chọn chun đề "Phân tích, định
hướng tư duy giúp học sinh giải quyết các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
về nguyên hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ và hàm lượng giác" làm đề
tài đóng góp trong buổi hội thảo cụm trường khu vực Phúc n
Trong khn khổ của chun đề, tơi phân tích, định hướng tư duy giúp học
sinh giải quyết được các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm phân
thức hữu tỷ và hàm lượng giác, đồng thời hướng dẫn học sinh sử dụng công cụ
MTCT một cách hợp lý để giúp giải nhanh các bài tập TNKQ.


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Nội dung chuyên đề như sau:
I. Các kiến thức cơ bản
Để giải quyết được bài toán về tìm ngun hàm, tính tích phân, chúng ta
cần đến những kiến thức cơ bản sau:
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K . hàm số F ( x) được gọi là
( x)  f ( x) với mọi x �K .

nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F �
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K ký hiệu là

f ( x)dx .
�

f ( x )dx  F ( x )  C � F �
( x)  f ( x) x �K .
�

2. Tính chất của nguyên hàm: Với các điều kiện tồn tại nguyên hàm thì:
1)

 �f ( x)dx  � f ( x).

2)

f�
( x)dx  f ( x)  C.
�

kf ( x)dx  k �
f ( x)dx ( k là hằng số khác 0).
3) �

4)

f ( x )dx  �
g ( x)dx.
 f ( x) �g ( x ) dx  �

�

3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên khoảng K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số thường gặp

Nguyên hàm mở rộng ( k �0 )

1)

0dx  C ; �
dx  x  C
�

2)

x 1
x
d
x

�   1  C (với mọi  �1 )

3)

dx  �  ln x  C
�
x
x

 ln kx  b  C
�
kx  b k

4)

e x dx  e x  C
�

e kx b dx 
�



1

a x dx 
�

dx

ax
C
ln a

 kx  b 
 kx  b  dx 
�
k    1

 1



dx

1

e kx b
C
k
a kx b
kx  b
a
d
x

C
�
k .ln a

C


Nguyên hàm mở rộng ( k �0 )

Nguyên hàm các hàm số thường gặp
5)

cos(kx  b)
C
k
sin(kx  b)
cos(
kx

b
)d
x

C
�
k
dx
tan(kx  b)

C
2
�
cos (kx  b )
k
dx
cot(kx  b)

C
2
�
sin (kx  b)
k

1
tan(kx  b)dx   ln cos(kx  b)  C
�
k
1
cot( kx  b)dx  ln sin(kx  b)  C
�
k
dx
1
xa

ln
C
�
( x  a )( x  b) b  a x  b

sin xdx   cos x  C
�

sin(kx  b)dx  
�

cos xdx  sin x  C
�
dx

�
cos

2

 tan x  C

x

dx
  cot x  C
�
sin 2 x
tan xdx   ln cos x  C
�
cot xdx  ln sin x  C
�
6)

dx

�
x a
2

2



1
xa
ln
C

2a x  a

5. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số: Nếu
số có đạo hàm liên tục thì

f (u )du  F (u )  C
�

và u  u ( x) là hàm

f  u ( x)  u �
( x)dx  F  u ( x)   C.
�

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u  u ( x) và
u ( x)v�
( x)dx  u ( x)v( x)  �
u�
( x)v( x)dx
�

v  v( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì
udv  uv  �
vdu .
hay �

6. Định nghĩa tích phân
- Cho hàm số f ( x) liên tục trên khoảng K chứa a, b. Giả sử f ( x) là một
nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Hiệu số F (b)  F ( a) được gọi là tích phân

b

từ a đến b (hay tích phân xác định) của hàm số f ( x), kí hiệu là

f ( x)dx.
�
a

b

f ( x )dx  F ( x)
�

b
a

 F (b)  F ( a).

a

b

* Với tích phân

f ( x)dx thì:
�
a

x gọi là biến số.
a, b gọi là cận của tích phân, a là cận dưới, b là cận trên.

f ( x) là hàm số dưới dấu tích phân.
f ( x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.


b

Nếu a  b thì

f ( x)dx cịn gọi là tích phân trên đoạn  a; b 
�

của f ( x).

a

7. Tính chất của tích phân
Với các điều kiện tồn tại tích phân thì:
a

1)

f ( x )dx  0
�
a
a

2)
a

kf ( x)dx  k �

f ( x)dx ( k ��)
3) �
5)

b
b

c

c

a

b

a

4)

b

b

a

a
b

b

f ( x)dx   �
f ( x)dx
�
b

f ( x)dx ��
g ( x)dx
 f ( x) �g ( x) dx  �
�
a
b

f ( x)dx  �
f ( x )dx  �
f ( x)dx
�

6)

b

a

a

b

b

a

a

f ( x)dx �l �
g ( x)dx
 kf ( x) �lg ( x) dx  k �
�
a

7) Việc tính tích phân khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân
b

b

b

a

a

a

f ( x)dx  �
f (t )dt  �
f (u )du  ...
�

8. Các phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử hàm số x   (t ) có đạo

hàm liên tục trên đoạn   ;   (nếu    thì ta xét đoạn   ;  ) sao cho

 (a )   ,  (b)  
b



a



a � (t ) �b

và

với

mọi

t �  ;   .

Khi

đó

f ( x)dx  �
f ( (t )) �
(t )dt.
�
b) Phương pháp tính tích phân từng phần:

Nếu u  u ( x ) và v  v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b 
b

b

b

b

a

a

b

b

u ( x)v�
( x)dx  u ( x)v( x) a  �
u�
( x)v( x)dx hay �
udv  uv a  �
vdu.
thì �
a

a

Dưới đây là nội dung các câu hỏi TNKQ về nguyên hàm, tích phân hàm
hữu tỷ và hàm lượng giác, trong phần hướng dẫn đó có phân tích, định

hướng tư duy giúp học sinh giải các câu hỏi dạng này.


II. Nguyên hàm, tích phân của hàm phân thức hữu tỷ
- Để tìm ngun hàm, tích phân hàm phân thức hữu tỷ dạng

f ( x)
với
g ( x)

f ( x), g ( x) là các đa thức, ta biến đổi (đồng nhất, tách,...) và sử dụng các kết quả:
dx

1

1)

 ln ax  b  C.
�
ax  b a

2)

dx
1 �1
1 �
1
xa



d
x

ln
C
�
�
�
( x  a)( x  b) b  a �
�x  a x  b � b  a x  b

3)

�
x a

4)

�
 ax  b 

dx

2

dx



5)



2

�x





1
xa
ln
C
2a x  a




dx

2

 a2 

n

1
a    1 .  ax  b 

 1

 C (với mọi  �1 ).

đặt x  a tan t

- Về đồng nhất hệ số: Để đồng nhất và sử dụng được các kết quả trên thì bậc của
f ( x) nhỏ hơn bậc của g ( x) , khi đồng nhất cần đầy đủ các hệ số, bậc, ví dụ:
f ( x)
a
b


x ��\  x1; x2  .
 x  x1   x  x2  x  x1 x  x2
f ( x)

 x  x1   x  x2 
m

n



am
a1
a2

 ... 

2
m
x  x1  x  x1 
 x  x1 


b1
b2
bn

 ... 
x ��\  x1; x2  .
2
n
x  x2  x  x2 
x

x

2

f ( x)
a�
x  b�
A
B



x ��\  x1; x2  .

2
2
ax

bx

c
x

x
x

x
ax

b

c
x

x
x

x







1
2
1
2
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

x3
là
x  3x  2
2

A. 2ln x  2  ln x  1  C .

B. 2ln x  1  ln x  2  C .

C. 2ln x  1  ln x  2  C .

D. ln x  1  2ln x  2  C .

Hướng dẫn giải
Với bài toán xét xem trong bốn hàm số cho trước trong các phương án trả lời,
hàm số nào là nguyên hàm của hàm số f ( x) ta có thể có 3 cách giải như sau:


Cách 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)
Hàm f ( x) là hàm phân thức hữu tỉ có bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số và
x 2  3 x  2   x  2   x  1 và x  3  2  x  2    x  1 nên
f ( x) 

2  x  2    x  1

2
1


x 1 x  2
 x  2   x  1

1 �
�2
��
f ( x)dx  �

dx  2ln x  1  ln x  2  C
�
�
�x  1 x  2 �
� Chọn B.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra từng hàm số trong các
phương án
Với cách làm này, ta đạo hàm từng hàm số trong các phương án trả lời, nếu hàm
nào có đạo hàm bằng hàm số f ( x) thì đó là hàm cần tìm.
Với phương pháp này, để ra kết quả thì tối đa thực hiện đạo hàm 3 hàm số trong
các phương án trả lời.
- Kiểm tra hàm số trong phương án A, có

 2ln x  2  ln x  1  C  � x 2 2  x 1 1  x

2

x

� không thỏa mãn.
 3x  2

- Kiểm tra hàm số trong phương án B, có

 2ln x  1  ln x  2  C  � x 2 1  x 1 2  x

2

x3
� thỏa mãn
 3x  2

� Chọn B.
Cách 3. Sử dụng MTCT để kiểm tra các phương án dựa trên kết quả: Nếu F ( x)
( x )  f ( x) x �K .
là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì F �
+ Lấy giá trị x  x0 và tính f ( x0 ).
( x0 ) và so sánh với f ( x0 ), nếu chỉ có một hàm số trong các phương án
+ Tính F �
( x0 )  f ( x0 ) thì đó chính là ngun hàm của f ( x).
trả lời thỏa mãn F �
( x0 )  f ( x0 ) , khi đó tiếp tục chọn một
+ Nếu có từ hai hàm số trở lên thỏa mãn F �
giá trị x1 khác để kiểm tra và loại dần các phương án.
Chú ý:
+ Khi chọn x0 không nên chọn quá đặc biệt vì nếu chọn đặc biệt thì rất có thể có
( x0 )  f ( x0 ).
hai hàm số cùng thỏa mãn F �

+ Phải kiểm tra cả 4 hàm số trong bốn phương án trả lời, sau đó mới khẳng định
được phương án nào đúng hay tiếp tục kiểm tra nữa.
Áp dụng vào bài toán: Chọn x0  3 .
+ Dùng MTCT tính được f (3) 

3
.
10

+ Kiểm tra phương án A:

d
3
2ln x  2  ln x  1  x 3 
� không thỏa mãn.

dx
20

+ Kiểm tra phương án B:

d
3
� thỏa mãn.
2ln x  1  ln x  2  x 3 

dx
10

+ Kiểm tra phương án C:

d
7
� không thỏa mãn.
2ln x  1  ln x  2  x 3 

dx
10

+ Kiểm tra phương án D:

d
13
� không thỏa mãn.
ln x  1  2ln x  2  x 3 

dx
20

� Chọn B.
Nhận xét: Với bài toán này, cách nhanh nhất, đảm bảo độ chính xác là cách 3 với
sự trợ giúp của MTCT.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1
là
x  6x  5
2

A.

1 x 1
ln
C .
4 x 5

B.

1 x 5
ln
C .
4 x 1

C.

1
ln x 2  6 x  5  C .
4

1
D.  ln x 2  6 x  5  C .
4
Hướng dẫn giải

Cách 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)
Ta có f ( x) 
Suy ra:

1

1
1� 1
1 �

 �

�
x  6 x  5  x  1  x  5  4 �x  5 x  1 �
2

1 �1

1 �

1

f ( x)dx  �

dx  ln
�
�
�
4 �x  5 x  1 �
4

x5
C
x 1

� Chọn B.

Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra từng hàm số trong các
phương án


- Kiểm tra hàm số trong phương án A:
4
�
�1 x  1
� 1 ( x  5) 2
1
ln

C
�4 x  5
� 4 . x  1   x 2  6 x  5 � không thỏa mãn.
�
�
x5
- Kiểm tra hàm số trong phương án B:
4
�
�1 x  5
� 1 ( x  1) 2
1
ln

C
�4 x  1
� 4 . x  5  x 2  6 x  5 � thỏa mãn
�

�
x 1
� Chọn B.
Cách 3. Sử dụng MTCT để kiểm tra các phương án: Chọn x0  0 .
1
+ Dùng MTCT tính được f (0)  .
5
+ Kiểm tra phương án A:

d �1 x  1 �
1
ln
  � không thỏa mãn.
�
�
dx �4 x  5 �
5
x 0

+ Kiểm tra phương án B:

d �1 x  5 � 1
ln
�  5 � thỏa mãn.
dx �
�4 x  1 �
x 0

+ Kiểm tra phương án C:

d �1
3
�
2
� ln x  6 x  5 �   � không thỏa mãn.
dx �4
10
�
x 0

+ Kiểm tra phương án D:

d �1
3
�
 ln x 2  6 x  5 � 
� không thỏa mãn.
�
dx � 4
10
�
x 0

� Chọn B.
Nhận xét: Cách nhanh nhất với TNKQ là cách 3 với sự trợ giúp của MTCT.
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 
2
A. x  ln

C.

x 1
C .
x2

2 x3  6 x 2  4 x  1
là
x 2  3x  2
1 2
x2
C .
B. x  ln
2
x 1

1 2
x 1
x  ln
C .
2
x2

2
D. x  ln

Hướng dẫn giải
Cách 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)

x2
C .

x 1


Ta có f ( x) 
Suy ra:

2 x3  6 x 2  4 x  1
1
1
1
 2x  2
 2x 

2
x  3x  2
x  3x  2
x  2 x 1
�

1

1 �

f ( x)dx  �
2x 

dx  x
�
�
�

x  2 x 1 �
�

2

 ln

x2
C
x 1

� Chọn D.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra từng hàm số trong các
phương án
- Kiểm tra hàm số trong phương án A, có
1
�
�2
x 1
�
( x  2) 2 2 x 3  6 x 2  4 x  1 �
x

ln

C

2
x



không thỏa mãn.
�
�
2
x

1
x

2
x

3
x

2
�
�
x2
- Kiểm tra hàm số trong phương án B, có
1
�
�1 2
x2
�
( x  1) 2 x3  3x 2  2 x  1 �
không thỏa mãn.
�2 x  ln x  1  C � x  x  2  x 2  3x  2
�

�
x 1
- Kiểm tra hàm số trong phương án C, có
1
�
�1 2
x 1
�
( x  2) 2 x 3  3x 2  2 x  1 �
không thỏa mãn.
�2 x  ln x  2  C � x  x  1  x 2  3x  2
�
�
x2
� Chọn D.
Cách 3. Sử dụng MTCT để kiểm tra các phương án: Chọn x0  0 .
1
+ Dùng MTCT tính được f (0)  .
2
+ Kiểm tra phương án A:

d �2
x 1 �
1
x  ln
  � không thỏa mãn.
�
�
dx �
x2 �

2
x 0

+ Kiểm tra phương án B:

d �1 2
x2 �
1
x  ln
 � thỏa mãn.
�
�
dx �2
x 1 �
2
x 0

+ Kiểm tra phương án C:

d �1 2
x 1 �
1
x  ln
  � không thỏa mãn.
�
�
dx �2
x2 �
2
x 0

+ Kiểm tra phương án D:

d �2
x2 �
1
x  ln
 � thỏa mãn.
�
�
dx �
x 1 �
2
x 0

Như vậy, ta phải tiếp tục kiểm tra hai phương án B và D.
Bằng cách chọn x  2 ta thấy phương án B không thỏa mãn


� Chọn D.
Nhận xét: Trong cách 3, phải kiểm tra tại hai giá trị x  0, x  2 là do ban đầu ta
đã chọn giá trị đặc biệt x  0. Nếu ngay từ ban đầu chọn x  2 thì ta sẽ chọn được
ngay phương án đúng là D.
Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

3x  3
là
 x2  x  2

A. 2ln x  1  ln x  2  C .

B. 2ln x  1  ln x  2  C .

C. 2ln x  1  ln x  2  C .

D. 2ln x  1  ln x  2  C .

Hướng dẫn giải
Cách 1: Tìm ngun hàm của hàm số f ( x)
Ta có f ( x) 
Suy ra

2  x  2    x  1
3x  3
1 �
�2


 �

�
2
x  x  2
 x  1  x  2 
�x  1 x  2 �

1 �
�2
f
(

x
)d
x



dx  2ln x  1  ln x  2  C
�
�
�
�
�x  1 x  2 �

� Chọn D.
Cách 2: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để kiểm tra từng hàm số trong các
phương án.
Cách 3. Sử dụng MTCT để kiểm tra các phương án: Chọn x0  3 .
Nhận xét: Cách nhanh nhất với TNKQ là cách 3 với sự trợ giúp của MTCT.
Câu 5: Nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 
A.

2
x2
ln 3 x  2  3ln
 1.
3
3

C. 2ln 3 x  2  3ln

7 x  10
thỏa F (1)  1 là
3x 2  4 x  4
2
B. ln 3x  2  3ln x  2  1. .
3

x2
 1.
3

D. 2ln 3 x  2  3ln x  2  1.

Hướng dẫn giải
Cách 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)
Giả sử

f ( x) 

7 x  10
a
b
1


x �2, x �
3
 3x  2   x  2  3x  2 x  2

� 7 x  10  a  x  2   b  3x  2  x

a  3b  7
�
�a  2
� 7 x  10   a  3b  x   2a  2b  x � �
��
2a  2b  10
b  3
�
�


� f ( x) 
Suy ra

2
3

3x  2 x  2
� 2

3 �

2

f ( x )dx   �

dx  ln 3x  2  3ln x  2  C
�
�
�

3
�3x  2 x  2 �

Do F (1)  3ln 3  C  1 � C  1  3ln 3
2
2
x2
��
f ( x)dx  ln 3x  2  3ln x  2  1  3ln 3  ln 3x  2  3ln
1
3
3
3
� Chọn A.
Cách 2: Sử dụng MTCT để kiểm tra
Bước 1: Bằng cách kiểm tra F (1)  1 loại được các phương án B và D.
Bước 2. Bằng cách kiểm tra với x  0 :
5
+ f (0)   .
2
+ Kiểm tra phương án A:

d �2
x2
�
5
ln 3 x  2  3ln
 1�   � thỏa mãn.
�
dx �3

3
2
�
x0

+ Kiểm tra phương án C:

d�
x2 �
9
2ln 3x  2  3ln
 1 �   � không thỏa mãn.
�
dx �
3
2
�
x 0

� Chọn A.
Nhận xét: Với bài toán này, nên sử dụng cách 2 với sự trợ giúp của MTCT.
Câu 6: Nguyên hàm của hàm số f ( x) 

x2  1
là
x  x 2  1

A. ln x 

1

 C.
x

B. ln x 

1
 C.
x2

C. ln x 

1
 C.
x

2
D. ln x 

1
 C.
x

Hướng dẫn giải
Cách 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)
�
� 1�
� 1�
� 1�
1


d
x
x

dx d �x  �
2
�
�
�
2 �
Ta có: f ( x)dx  x  1 dx  � x �  � x �  � x �
1
1
1
x  x 2  1
x
x
x
x
x
x


� 1�
d �x  �
1
x�
Suy ra �
f ( x)dx  ��
 ln x   C

1
x
x
x
� Chọn A.
Cách 2: Sử dụng MTCT để kiểm tra: Cho x  2.
3
+ f (2)  .
10
+ Kiểm tra phương án A:

d �
1�
3
ln x  � 
� thỏa mãn.
�
dx �
x�
10
x2

+ Kiểm tra phương án B:

d �
1 �
ln x  2 � �0,7142 � không thỏa mãn.
�
dx �
x �

x2

+ Kiểm tra phương án C:

d �
1�
5
ln x  �  � không thỏa mãn.
�
dx �
x�
6
x2

+ Kiểm tra phương án B:

d � 2 1�
ln x  � �1, 2143 � không thỏa mãn.
dx �
x�
�
x2

� Chọn A.
Nhận xét: Với bài toán này, nên sử dụng cách 2 với sự trợ giúp của MTCT.
1

Câu 7: Biết

3x  1

a

c

dx  3ln  , trong đó a, b, d �� , c �� và
�
x  6x  9
b d
*

2

0

số tối giản. Biểu thức a  b  c  d bằng
A. 8 .
B. 18 .

a c
, là phân
b d

C. 6 .

D. 6 .

Hướng dẫn giải
3x  1
3x  1

Phân tích: Vì x 2  6 x  9 
2 nên đến đây ta có 2 hướng xử lý:
 x  3
3x  1
3x  1 3t  10 3 10

  2
* Thứ nhất, đổi biến t  x  3 để được x 2  6 x  9 
2
t2
t t
 x  3
* Thứ 2, phân tích (hoặc sử dụng phương pháp đồng nhất) phân tích
3  x  3  10
3x  1
3x  1
3
10




.
2
2
x  6 x  9  x  3
x  3  x  3 2
 x  3
2

Cách 1 (sử dụng phương pháp đổi biến số)
�x  t  3
. Đổi cận: x  0 � t  3, x  1 � t  4.
Đặt t  x  3 � �
dx  dt
�


1

4

4

4

3x  1
3t  10
10 �
�3 10 � �
�4 � 5
dx  � 2 dt  �
dt  �
3ln t  �  3ln � � .
Suy ra: �2
� 2 �
x  6x  9
t
t t � �
t �3

�3 � 6
0
3
3�
� a  4, b  3, c  5, d  6 � a  b  c  d  8.
� Chọn A.
Cách 2 (biến đổi trực tiếp)
1
1�
3  x  3  10
3x  1
3
10 �
d
x

d
x


dx
�
�
2
�
�
�
�x  3  x  3 2 �
x2  6x  9
 x  3

0
0
0�
�
1

4

10 �
�
�4 � 5
�
3ln x  3 
�  3ln � �
x  3 �3
�
�3 � 6
� a  4, b  3, c  5, d  6 � a  b  c  d  8.
� Chọn A.
3

Câu 8: Biết rằng

3x  1
dx  a ln 2  b ln 5  c ln 7 với a, b, c ��. Giá trị của
2
 x 1

�
2x

2

3a  b  c bằng
A.

4
.
3

C. 3 .

B. 4 .

D.

11
3

Hướng dẫn giải
Trước hết, ta đồng nhất để tách như sau:
Giả sử

3x  1
3x  1
a
b



2

2 x  x  1  2 x  1  x  1 2 x  1 x  1

� 3x  1  a  x  1  b  2 x  1

 2

 1

1
với mọi x �1, x � .
2

x.

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:
- Hoặc biến đổi  2  � 3 x  1   a  2b  x    a  b  x
� 1
a
�
a  2b  3
�
� 3
��
��
.
a  b  1
4
�
�
b

� 3
4
1
1
- Hoặc trong  2  : cho x  1 � b  ; cho x   � a  .
3
2
3
3

3
3x  1
4 1 � �1
4
�1 1
�3
d
x

 .
dx  � ln 2 x  1  ln x  1 �
Suy ra: � 2
�.
�
�
2x  x 1
3 2 x  1 3 x  1 � �6
3
�2
2

2�


4
1
1
 ln 2  ln 5  ln 7.
3
6
6
4
1
1
� a  , b   , c  � 3a  b  c  4.
3
6
6
� Chọn B
Nhận xét
- Tại sao trong hệ thức
x �1, x �

 2

là điều kiện x mà không phải điều kiện

1
1
như hệ thức  1 , sau đó thay lần lượt x  1, x   vào  2  tìm a, b ?
2

2
1
3x  1
a
b



x
�
1,
x
�

2 x2  x  1 2x  1 x  1
2

Thật vậy

� 3x  1  a  x  1  b  2 x  1 x �1, x �

1
2

1
1
thì tại x  1, x  
2
2
đẳng thức cũng đúng do phương trình dạng ax  b  0 (tổng quát là dạng f ( x)  0 với

f ( x) là đa thức có dạng bậc n ) đúng với vô số giá trị của x thì vế trái phải đồng nhất
Nhưng vì nếu 3x  1  a  x  1  b  2 x  1 x �1, x �

bằng 0 với mọi x ��. Bởi vậy nên
3x  1  a  x  1  b  2 x  1 x �1, x �

1
� 3x  1  a  x  1  b  2 x  1 x ��.
2

- Khi gặp điều kiện dạng:
f ( x)  a  x  x1   x  x2   b  x  x2   x  x3   c  x  x3   x  x1  x ��
thay vì đồng nhất và giải hệ phương trình tìm a, b, c ta nên sử dụng phương pháp
thay lần lượt x  x1 , x  x2 , x  x3 để tìm a, b, c.
1

Câu 9: Biết

x6

dx  a ln 5  b ln 2  c ln 3 với a, b, c ��. Mệnh đề nào sau
�
x  7 x  12
2

0

đây đúng ?
A. a  b  c  5 .
C. a  b  c  5 .

B. a  b  2c  9 .
D. a  2b  3c  10 .
Hướng dẫn giải

Ta phân tích
Giả sử

x6
a
b
thành
và
bằng cách đồng nhất hệ số:
x 2  7 x  12
x3
x4

x6
x6
a
b



x �3, x �4
x  7 x  12  x  3  x  4  x  3 x  4
2

� x  6  a  x  4   b  x  3 x  *
Trong  * cho x  3 � a  3; cho x  4 � b  2
Vậy

x6
3
2


x  7 x  12 x  3 x  4
2

1

1

1
x6
2 �
�3
dx  �

dx   3ln x  3  2ln x  4 
Suy ra: �2
�
�
0
x  7 x  12
x3 x4�
0

0�

  3ln 4  2ln 5    3ln 3  2ln 4   10ln 2  3ln 3  2ln 5.
� a  10, b  3, c  2
� Chọn C.
2

Câu 10: Biết

xdx


�
x  2x  4
2

1

a 3 c 4
a c
 ln với a, c ��; b, d ��* và ,
là các
b
d 3
b d

phân số tối giản. Khi đó a  b  3c  4d bằng
A. 6 .
B. 6 .
C. 14 .

D. 14 .

Hướng dẫn giải
Mẫu số là tam thức bậc hai vô nghiệm nên ta có: x 2  2 x  4   x  1  3
2

�
�x  3 tan t  1
x

1

3
tan
t
�
.
Đặt
�
2
d
x

3
tan
t

1
d

t


�
�
Đổi cận x  1 � t  0; x  2 � t 

Suy ra


6

2



xdx
�
�
x

2
x

4
1
0


.

6



3 tan t  1

2

3  tan 2 t  1 dt

3tan t  3
2


6

�
3�
�
dt
�tan t 
�
3
0�
�


6

�

3 �
3
1 4
�
 ln cos t 
t� 
  ln
3 � 18
2 3
�
0
� a  1, b  18, c  1, d  2 � a  b  3c  4d  6
� Chọn B.
3

Câu 11: Biết

�
0

dx

x

2

 1

3

 với a, c ��; b, d ��* và a , c là các phân số tối giản.
b d

Khi đó 6a  b  2c  d bằng
A. 5 .
B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .


Hướng dẫn giải
2
Đặt x  tan t � dx   tan t  1 dt. Đổi cận x  0 � t  0; x  3 � t 

3

�

Suy ra:

dx

x

0


3

2

 1

3


3


.
3


3


 tan t  1 dt 
dt
3
3 
�

cos
t
d
t

sin

t
.
�
�
0
3
2
2
2
tan
t

1
0
0
 tan t  1 0
2

� a  0, b  1, c  2 � a 4  b 3  c 2  5.
� Chọn A.
Nhận xét: Với cách đổi biến x  a tan t � dx 
rút gọn, nếu cịn tan 2 t  1 thì biến đổi tan 2 t  1 

a
dt  a  tan 2  1 dt . Sau khi
2
cos t

1
.

cos 2 t

1

Câu 12: Biết

dx
a
c
a c

ln
2

 3 với a, c ��; b, d ��* và , là các phân số
3
�
x 1 b
d
b d
0

tối giản. Khi đó a  b  c  d bằng
A. 13 .
B. 12 .

C. 6 .

D. 14 .

Hướng dẫn giải
3
2
* Phân tích; x  1   x  1  x  x  1

1
ax  b
c


x �1
x3  1 x 2  x  1 x  1

Giả sử

� 1   ax  b   x  1  c  x 2  x  1 x
b  c 1
�
1
1
2
1
� a   ;b  , c  .
Cho x  1 � c  ; x  0, x  1 � �
2a  2b  c  1
3
3
3
3
�

Vậy

1
1 x2
1 1
 . 2

x 1
3 x  x  1 3 3x  1
3

1

1

1
dx
1 1 � 1
1
1
1
�1 x2
�
 . 2
 .
dx  ln x  1 0  I  ln 2  I
Do đó: �3
�
�
x 1 0 � 3 x  x 1 3 x 1 � 3

3
3
3
0
1

1

x2
x2
I  �2
dx  �
dx
2
x

x

1
* Với
1
3
�
�
0
0
�x  �
� 2� 4

�
3
1
x
tan t 
�
1
3
�
2
tant � � 2
.
đặt x  
2
2
3
�
dx 
tan 2 t  1 dt

�
�
2


Đổi cận x  0 � t   ; x  1 � t  .
6
6

3

3
tan t 
6
3
2
2
2
�I  �
tan t  1 dt  �tan t  3 dt
3 2
3 2 


tan t 


6 4
6
4

6





  ln cos t  3t
1

Suy ra:

dx




6


6

1

 ln 2 
�
x 1 3
3

0





 3
3

 3
� a  1, b  3, c  1, d  9 � a  b  c  d  14.
9

� Chọn D.
0

Câu 13: Tích phân

x 2017 dx

�
 x  2

bằng

2019

1

A. 

1
.
4036

B. 

1
.
2018

C. 

1
.
4038

D.

1
.
4034

Hướng dẫn giải
Sử dụng phép đổi biến t 
0

x 2017 dx

�
 x  2

2019

1

x
ta được
x2

2017

0

�x �
�
�
�
x2�
1 �

 x  2

0

0

dx

�
t

2017

2

1

dt t 2018
1



.
2 4036 1
4036

� Chọn A.
2

( x  2) 2017
Câu 14: Kết quả của tích phân � 2019 dx bằng
x
1
32018  22018
.
2018
32017 22018

C.
.
4034 2017

32018  22018
.
4036
32020  22020
D.
.
4040

A.

B.

Hướng dẫn giải
Sử

dụng

phép

x  1 � t  3; x  2 � t  2.

đổi

biến

t

x2
2
� dt   2 dx.
x
x

Đổi

cận


2

2017

2

3

3

( x  2) 2017
t 2018
32018  22018
�x  2 � dx
2017 dt
� � 2019 dx  �

t


.
�
� 2 �
x
x
x
2
4036
4036
�
�
1

1
2
2
� Chọn B.
ax  b
ad  bc
dx ta tính được
Tổng quát: Bằng cách đổi biến số t  cx  d � dt 
2
 cx  d 

 ax  b  dx
I �
n 2
  cx  d 
n



tích phân


n

như sau

B

dt
t n1

�ax  b � dx
n
I �
 t

�
�
cx  d � cx  d  2 �
ad  bc  n  1  ad  bc 
�
A

B

A

B n1  An 1

 n  1  ad  bc 

(với A  t ( ), B  t (  ) ).
3

x  x  1
Câu 15: Tích phân I  �

2018

dx bằng

1

3.22019
A.
.
2019
1504.22019
C.
.
505.2019

3029.22019
B.
.
1010.2019
3031.22019
D.
.
1010.2019
Hướng dẫn giải

3

Ta có: I  �
 ( x  1)  1  x  1
1

2018

3

�
dx  �
( x  1) 2019  ( x  1) 2018 �
dx
�
�
1

3

� x  1 2020  x  1 2019 � 22020 22019
3029
�



22019.
�
� 2020
2019 �
2020 2019 1010.2019
�
�
1
� Chọn B.

III. Ngun hàm, tích phân hàm lượng giác
Để tìm ngun hàm, tính tích phân hàm số lượng giác thơng thường sử dụng các
phép biến đổi lượng giác, đổi biến số hoặc từng phần để đưa về các nguyên hàm, tích

phân dạng cơ bản
sin m x cos n xdx ( m, n ��* ):
Chú ý: Với nguyên hàm dạng �
+ Nếu m là số nguyên dương lẻ thì đặt t  cos x.
+ Nếu n là số nguyên dương lẻ thì đặt t  sin x.


+ Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích
thành tổng để biến đổi sin m x cos n x về dạng tổng của sin và cosin với số mũ bằng 1.
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3x là
1
1
A. cos3 x  C .
B.  cos3x  C .
3
3
C. 3cos3x  C .
D. 3cos3x  C
Hướng dẫn giải
1
sin 3 xdx   cos3 x  C
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản mở rộng thì �
3
� Chọn B.
Chú ý: Các phương án nhiễu A, C , D do nhầm lẫn nguyên hàm với đạo hàm.
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  cos 2019 x là
A.

1
sin 2019 x  C

2019

B. 

C. 2019sin 2019x  C

1
sin 2019 x  C
2019

D. 2019sin 2019 x  C.
Hướng dẫn giải

cos 2019 xdx 
Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng thì �

1
sin 2019 x  C
2019

� Chọn A.
Chú ý: Các phương án nhiễu B, C , D do nhầm lẫn nguyên hàm với đạo hàm.
Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin x cos3 x là
1
A.  cos x.sin 3 x  C .
3

B.

1

cos x.sin 3 x  C .
3

1
1
C.  cos 4 x  cos 2 x  C .
8
4

D.

1
1
cos 4 x  cos 2 x  C
8
4

Hướng dẫn giải
Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng ta có: sin x cos3 x 
Do đó:

1

1

1
 sin 4 x  sin 2 x 
2

1

f ( x)dx  �
 sin 4 x  sin 2 x  dx   cos 4 x  cos 2 x  C
�
2
8
4

� Chọn C.
Chú ý: Các phương án nhiễu A, B, C do học sinh có thể chọn do nhầm lẫn các


tính chất của nguyên hàm.

3

sin
�


Câu 19: Biết

3

xdx 

a 2 c
a c

với a, c ��, b, d ��* và , là các phân số tối

b
d
b d

4

giản. Khi đó 2a  b  c  d bằng
B. 13 .

A. 10 .

C. 25 .

D. 9 .

Hướng dẫn giải
Định hướng tư duy
* Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân có số mũ của sin x là lẻ nên có thể sử dụng
phép đổi biến t  cos x.

3

Cách 1: Đặt Biết

sin 3 xdx 
�


4

a 2 c
a c

với a, c ��, b, d ��* và , là các
b
d
b d

phân số tối giản. Khi đó t  cos x � dt   sin xdx, x 

3


3


4


4

��
sin 3 xdx  �
sin 2 x.sin xdx 

1
2


2


1
�t 
; x  �t  .
4
2
3
2
�

3

2
2

�

 1  t   dt   �t  t3 �
�
�
�
2

1
2

2
2



5 2 11
 .
12 24

� a  5, b  12, c  11, d  24 � 2a  b  c  d  9
� Chọn D.

* Vì số mũ của sin x bằng 3 nên có thể sử dụng cơng thức hạ bậc ba để đưa về
bậc 1 đối với sin.
Cách 2: Ta có sin 3 x 

3sin x  sin 3 x
4


3


3



4

4

4

3sin x  sin 3 x

cos3 x �3 5 2 11
�3
��
sin 3 xdx  �
dx  �
 cos x 

�
4
12 �
12
24
�4


� a  5, b  2, c  11, d  24 � 2a  b  c  d  25
� Chọn D.

Nhận xét: Với bài tốn này, sử dụng cách 1 hay cách 2 thì thời gian tính tốn gần
như tương đồng.

3

a c
Câu 20: Biết sin 4 xdx  a 3  c  với a, c ��, b, d ��* và , là các phân số tối
�
b d
b
d
0

giản. Khi đó 6a  b  2c  d bằng


A. 3 .

C. 5 .

B. 0 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân có số mũ của sin x là chẵn nên sử dụng công
thức hạ bậc, sau đó sử dụng nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính.
2

1  cos 2 x � 1
�
2
Ta có: sin x  �
�  1  2cos 2 x  cos 2 x 
� 2
� 4
4

1�
1  cos 4 x � 3 1
1
 �
1  2cos 2 x 

�  cos 2 x  cos 4 x
4�
2
8
� 8 2

3

Do đó

sin
�


3

1
�3 1
�
xdx  �
dx
�  cos 2 x  cos 4 x �
8 2
8
�
0�

4

0



1
1
�3 1
�3 9
 �  sin 2 x  sin 4 x � 
3 
32
8
�8 4
�0 64
� a  9, b  64, c  1, d  8 � 6a  b  2c  d  0
� Chọn B.

Nhận xét: Với bài toán này, không thể sử dụng phương pháp đổi biến số.

2

 sin
�

Câu 21: Biết

3


6

x  cos3 x  dx 

a 3 c
a c

với a, c ��, b, d ��* và , là các
b
d
b d

phân số tối giản. Khi đó 2a  b  c  d bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 5 .

D. 8 .

Hướng dẫn giải
Định hướng tư duy
* Nếu xét sin 3 x  cos3 x thì ta khơng thể đổi biến t  sin x hoặc t  cos x được.
Nhưng nếu xét riêng từng biểu thức sin 3 x, cos 3 x thì ta có thể đổi biến số. Điều này
dẫn chúng ta hướng đến việc tách tích phân ban đầu thành hai tích phân và với mỗi
tích phân, sử dụng một cách đổi biến khác nhau.

2

Cách 1:

 sin
�


6

2

3


2


2


6


6

x  cos3 x  dx  �
sin 3 xdx  �
cos3 xdx  I  J

sin 3 xdx đặt t  cos x � dt   sin xdx, x 
Với I  �

6



3

�t 
; x  � t  0.
6
2
2



2


2


6


6

�I �
sin 3 xdx  �
sin 2 x.sin xdx 

0

�

2

3
2

�
0

cos3 xdx đặt t  sin x � dt  cos xdx, x 
Với J  �

6


2

3
2

 1  t   dt   �t  t3 �
�
�
�


2


2

3



3 3
.
8


1

� t  ; x  � t  1.
6
2
2
1

1

� t3 � 5
�J �
cos xdx  �
cos x.cos xdx  �
1

t

d
t

t � .



 
�


1
� 3 �1 24
3

6


2

Vậy

2

2

6

 sin
�

3


6

2

2

x  cos 3 x  dx 

3 3 5

8
24

� a  3, b  8, c  5, d  24 � 2a  b  c  d  5
� Chọn C.

* Vì số mũ của sin x và cos x bằng 3 nên có thể sử dụng cơng thức hạ bậc ba để
đưa về số mũ bậc nhất của sin và cos.

2

Ta có

 sin
�

3


6


2

�3sin x  sin 3x 3cos x  cos3 x �
x  cos3 x  dx  �

dx
�
�
4
4
�
�
6



1
3
1
�3
�2 3 3 5
�
 cos x  cos3 x  sin x  sin 3 x � 

12
4
12
8
24

�4
�
6

� a  3, b  8, c  5, d  24 � 2a  b  c  d  5
� Chọn C.
Nhận xét: Với bài toán này, nên sử dụng cách thứ 3 sẽ tiết kiệm thời gian và việc
biến đổi, tính toán sẽ đơn giản hơn.
Câu 22: Biết


2

(cos3 x  1) cos 2 xdx 
�
0

a c
*
a c
  với a, c ��, b, d �� và b , d là các
b d

phân số tối giản. Khi đó a  b  5c  d bằng
A. 22 .

B. 32 .

C. 23 .

D. 33 .


Hướng dẫn giải
Định hướng tư duy
- Không thể đổi biến t  sin x do số mũ của cos x có cả chẵn và lẻ.
3
2
5
2
- Khi nhân khai triển ta được  cos x  1 cos x  cos x  cos x . Điều này giúp ta


2

định hướng đến việc tách thành hai tích phân, trong đó có tích phân cos 2 xdx .
�
0


2


2


2

0

0

0

Ta có I  (cos3 x  1) cos 2 xdx  cos 5 xdx  cos 2 xdx  I  I .
1
2
�
�
�

2


2

1

I1  �
cos xdx  �
cos x.cos xdx  �
1 t

với

5

0

4

0



2 2

0

1

�t 5 2t 3 � 8
dt  � 
t�
3
�5
�0 15

(đổi biến số t  sin x )

2


2



1
1
1

�2 
I2  �
sin 2 xdx  �
x

sin
2
x
 1  cos 2 x  dx  �
�
� .
2
2
2
�
�0 4
0
0
Do đó I 

a  8, b  15
�
8 1
� a  b  5c  d  22
  . Do đó: � �
c


1,
d


4
15 4
�

� Chọn A.

Câu 23: Biết


6

 sin
�
0

4

a c
*
a
c
x  cos 4 x  dx   
3 với a, c ��, b, d �� và b , d là các
b
d

phân số tối giản. Khi đó 3a  4b  2c  d bằng
A. 6 .
B. 4 .

C. 3 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Ta có: sin 4 x  cos 4 x 

6

3 1
 cos 4 x nên
4 4


6



1
3
�3 1
� �3
�6 
4
4
sin
x

cos
x

d
x


cos
4
x
d
x

x

sin
4
x

 �
�
� �
� 
�
4 4
16
� �4
�0 8 32
0
0�

� a  1, b  8, c  1, d  32 � 3a  4b  2c  d  5.
� Chọn D.

Câu 24: Biết


12

 sin
�

4

0

*
a
c
x  cos 4 x   sin 6 x  cos 6 x  dx   
3 với a, c ��, b, d ��
b
d

a c
, là các phân số tối giản. Khi đó 2a  3b  4c  d bằng
b d
A. 5 .
B. 2 .
C. 3 .
và

D. 16 .

Hướng dẫn giải
Định hướng tư duy
- Số mũ của sin x và cos x đều chẵn � sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để
đưa về tổng của sin và cosin có số mũ bằng 1.
- Các biến đổi cơ bản:
2
1
sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos2 x   2sin 2 x cos2 x  1  sin 2 2 x
2

 1

1
3 1
 1  cos 4 x    cos 4 x.
4
4 4

sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 
3

3
3
5 3
 1  sin 2 2 x  1   1  cos 4 x    cos 4 x.
4
8
8 8

�3 1
�
�5 3
�
4
4
6
6
Ta có:  sin x  cos x   sin x  cos x   �  cos 4 x �
�  cos 4 x �
�4 4
�
�8 8
�

Suy ra



3  1  cos8 x 
15 7
3
15 7
 cos 4 x  cos 2 4 x 
 cos 4 x 
32 16
32
32 16
64



33 7
3
 cos 4 x  cos8 x
64 16
64


12

 sin
�
0

4


12

3
�33 7
�
x  cos 4 x   sin 6 x  cos6 x  dx  �
dx
�  cos 4 x  cos8 x �
64
16
64
�

�
0


7
3
59
�33
�12 11
 � x  sin 4 x 
sin 8 x � 

3
64
512
256
1024
�64
�0
� a  11, b  256, c  59, d  1024 � 2a  3b  4c  d  2.
� Chọn B.



8

 sin
�

Câu 25: Biết

10

0

a
c với a, c ��, b, d ��* và a , c là các
x  cos10 x  dx   
b d
b
d

phân số tối giản. Khi đó a  b  4c 
A. 3 .

B. 128 .

1 2
d bằng
16
C. 5 .

D. 64 .

Hướng dẫn giải
Định hướng tư duy
- Số mũ của sin x và cos x đều chẵn � sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi để
đưa về tổng của sin và cosin có số mũ bằng 1.
sin x   sin x 
10

2

5

cos x   cos x 
10

2

5

5

1  cos 2 x � 1
5
�
�
�  1  cos 2 x 
� 2
� 32
5

1  cos 2 x � 1
5
�
�
�  1  cos 2 x 
� 2
� 32

- Chú ý khai triển:

 1  a   1  5a  10a 2  10a3  5a 4  a 5
5
 1  a   1  5a  10a 2  10a 3  5a 4  a5
5
5
Suy ra:  1  a    1  a   2  20a 2  10a 4 .
5

5

5

1  cos 2 x � 1
�1  cos 2 x � �
2
4
Ta có: sin x  cos x  �
� �
�  1  10cos 2 x  5cos 2 x 
� 2
� � 2
� 16
1�
5
2�
 �
1  5  1  cos 4 x    1  cos 4 x  �

16 �
4
�
10

10



1�
5
�
2
�6  5cos 4 x   1  2cos 4 x  cos 4 x  �
16 �
4
�

1 �29 15
5
�
�  cos 4 x   1  cos8 x  �
16 �4
2
8
�
63 15
5

 cos 4 x 

cos8 x
128 32
128


Do đó


8

 sin
�
0

10


8

5
�63 15
�
x  cos10 x  dx  �
cos8 x �
dx
�  cos 4 x 
128
32
128
�

�
0

8

15
5
63
15
�63
�
� x
sin 4 x 
sin 8 x � 

.
128 128
1024
128
�
�0 1024
� a  63, b  1024, c  15, d  128 � a  b  4c 

1 2
d  3.
16

� Chọn A.
Nhận xét: với bài toán này, yêu cầu kỹ năng biến đổi lượng giác là chủ yếu.