Phát triển tư duy phản biện cho học sinh trung học cơ sở thông qua dạy học về chủ đề phương trình bậc hai và định lý Viét

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU THẢO

PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHẢN BIỆN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC VỀ CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU THẢO

PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHẢN BIỆN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA DẠY HỌC VỀ CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP
DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lưu Bá Thắng

HÀ NỘI - 2019


LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy cô giáo, gia đình
và bạn bè.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Giáo dục,
Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy
tại trường đã luôn nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình hoc tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Bằng tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm
ơn TS. Lưu Bá Thắng , người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, định
hướng nghiên cứu, tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo,
các em học sinh trường trung học cơ sở Đồng Giao, tỉnh Ninh Bình đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành tôi xin được dành cho gia đình , người thân và
các học viên lớp Lý luận và phương pháp dạy học môn toán QH 2017-S Đại học Giáo dục trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên và đóng
góp ý kiến.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, bạn bè để luận
văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày...tháng...năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thu Thảo

i


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1. Cách giải và lỗi sai thường gặp khi giải phương trình trùng
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 2.2. Đàn ong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
58

Hình 2.3. Cổng Acxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 2.4. Hệ trục tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
60

Hình 2.5. Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 2.6. Ảnh minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62
63

Hình 2.7. Thảo luận nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 2.8. Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
68

Hình 3.1. Hình minh họa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Hình 3.2. Hình minh họa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 3.3. Hình minh họa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74
74

Hình 3.4. Hình minh họa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 3.5. Hình minh họa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
75

Hình 3.6. Hình minh họa 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 3.7. Đàn khỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
78

Hình 3.8. Mảnh ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình 3.9. Nhà bác học Phrăng-xoa Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
85

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Mối quan hệ giữa tư duy phản biện và tư duy sáng tạo . .

11

Bảng 1.6. Thống kê các công thức và bài tập trong sách giáo khoa và sách
bài tập Đại số 9 chương IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Bảng 3.1. Đặc điểm của học sinh trước thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.2. Bảng xét dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
82

Bảng 3.3. Thống kê điểm kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm
và lớp đối chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Bảng 3.4. Thống kê mô tả điểm bài kiểm tra 1 tiết . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bảng 3.5. Tần số, tần suất, phần trăm tích lũy bài kiểm tra

87

1 tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Bảng 3.6. Phân loại điểm bài kiểm tra 1 tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Bảng 3.7. Phân tích độ khác biệt của bài kiểm tra 1 tiết giữa lớp 9A và
9B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

89


DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ VÀ SƠ ĐỒ
Sơ đồ 1.1. Quá trình tư duy của K.P Latonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Biểu đồ 3.1. Đường tích lũy biểu diễn kết quả bài kiểm tra 1 tiết . . .
Biểu đồ 3.2. Kết quả bài kiểm tra 1 tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87
88

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

DANH MỤC CÁC HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ VÀ SƠ ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4. Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7. Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

8. Cấu trúc luận văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . . .

5

1.1. Một số vấn đề chung về tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Khái niệm tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Đặc điểm của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6

1.1.3. Các thao tác của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Quá trình tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7

1.1.5. Các loại hình tư duy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Tư duy phản biện là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Mối liên hệ giữa tư duy phê phán và tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . .

10

1.4. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện trong Toán học . . . . . . .

12

1.4.1. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện trong Toán học. . . . . .

12
13

1.5. Đặc điểm của người có tư duy phản biện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

v

1.6. Khảo sát thực trạng tư duy phản biện và việc rèn luyện, phát triển tư
duy phản biện của học sinh trong dạy học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1. Mục đích khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Đối tượng khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17

1.6.3. Nội dung khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4. Phương pháp khảo sát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17

1.6.5. Kết quả khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.7. Yêu cầu phát triển của tư duy phản biện trong dạy học . . . . . . . .

21

1.7.1. Vai trò của tư duy phản biện trong việc học. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.2. Một số biện pháp nâng cao năng lực tư duy phản biện cho học sinh
hiện nay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Quá trình dạy học với việc phát triển tư duy phản biện . . . . . . .

22

23

1.7.4. Một số vấn đề về việc dạy và học tư duy phê phán. . . . . . . . . . . .

23

1.8. Thực trạng dạy và học phương trình bậc hai và định lý Vi-ét ở
trường trung học cơ sở đối với yêu cầu phát triển tư duy phản biện cho
học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.1. Thực trạng rèn luyện tư duy phản biện cho học sinh thông qua hoạt
động dạy học phương trình bậc hai và định lý Vi-ét. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.2. Phương pháp phát triển tư duy phản biện cho học sinh thông qua
dạy học phương trình bậc hai và định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

CHƯƠNG

2. BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHẢN

BIỆN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ÉT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Định hướng rèn luyện để phát triển tư duy phản biện của
học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2. Một số biện pháp phát triển tư duy phản biện cho học sinh trường
trung học cơ sở trong dạy học phương trình bậc hai và định lý Vi-ét

29

2.2.1. Biện pháp 1: Sử dụng các nhóm phương pháp tăng cường cảm xúc,
đặt các câu hỏi mở để kích thích tư duy phản biện cho học sinh . . . . 29

vi


2.2.2. Biện pháp 2: Tạo điều kiện để học sinh tìm nhiều lời giải sau đó xem
xét, đánh giá cách giải độc đáo cần được phát huy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3. Biện pháp 3: Phát hiện và khắc phục các sai lầm trong khi giải toán
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.4. Biện pháp 4: Tăng cường các bài toán thực tế kết hợp việc rèn luyện
kĩ năng phát triển bài toán, kĩ năng phản biện các vấn đề trong đời sống
liên quan đến Toán học và thực hiện các hoạt động trải nghiệm . . . . . 57
2.2.5. Biện pháp 5: Tăng cường cho học sinh làm việc theo nhóm để học
sinh được tham gia, bày tỏ ý kiến tranh luận thúc đẩy phát triển tư duy
phản biện của mỗi cá nhân trong sự hỗ trợ của tập thể và giáo viên.

64

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.1. Mục đích thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.2. Nhiệm vụ thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.4. Tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Đối tượng thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71
71

3.4.2. Tiến hành thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.5. Giáo án thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Giáo án 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
72

3.5.2. Giáo án 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.6. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

3.6.1. Phương pháp phân tích thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86
86

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tư duy phản biện (Critical Thinking) xuất hiện khá lâu ở các nước
phương Tây. Cách đây khoảng 2000 năm, Socrates đã nhận ra sự tồn tại
và tiếp cận tư duy phản biện. Tuy vậy cho đến năm 1909, đến khi John
Dewey, nhà triết học, giáo dục, tâm lý người Mỹ, đưa ra định nghĩa sâu
sắc về vấn đề này, nó mới được biết đến rộng rãi. Vậy tư duy phản biện
là gì và nó có vai trò như thế nào trong cuộc sống? Ngay từ khi mới sinh
ra, đứa trẻ đã biết đặt những câu hỏi về các sự vật, sự việc, hiện tượng
xảy ra trong thế giới tự nhiên và xã hội (thông qua những từ để hỏi như:
Gì? Khi nào? Tại sao? Bằng cách nào?...). Qua đó, trẻ nhận biết, đánh giá
thế giới xung quanh và thỏa mãn những hoài nghi của mình. Càng trưởng
thành con người càng tiếp cận với một lượng khổng lồ các thông tin từ tự
nhiên, xã hội. Để thích ứng và phát triển được trong thế giới đó, đòi hỏi
còn người phải có sự đánh giá đúng đắn, khách quan về sự vật, hiện tượng
và phải có kỹ năng tư duy phản biện.
Đại hội Đảng lần thứ XI năm 2013 khẳng định: “Giáo dục là đào tạo
quốc sách hàng đầu”. Một trong các định hướng phát triển là: “Đổi mới căn
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới mục tiêu, nội dung, phương
pháp”. Trong điểm c điều 7 chương II Thông tư số: 13/2012/TT-BGDĐT
có quy định về tiêu chuẩn “Hướng dẫn học sinh học tập tích cực, chủ động,
sáng tạo và biết phản biện” để đánh giá trường trung học cơ sở, trung
học phổ thông và trường phổ thông có nhiều cấp học. Chính vì vậy trong
những năm gần đây, việc đổi mới căn bản toàn diện giáo dục đào tạo nhằm
nâng cao chất lượng dạy học, nâng cao nguồn nhân lực, phát triển dân trí,
bồi dưỡng nhân tài góp phần quan trọng phát triển đất nước, đáp ứng yêu
cầu của công nghiệp hóa, hiện đại hóa, hội nhập kinh tế quốc tế của đất
nước.

Từ thực tế đời sống xã hội, ngành Giáo dục và Đào tạo đặt ra yêu cầu
phải đào tạo ra được thế hệ người toàn diện, năng động, sáng tạo trong
công việc. Tư duy phản biện giúp học sinh học tập một cách chủ động và
1


tích cực. Thay vì đọc – chép kiểu thụ động thông thường, các em sẽ được
thôi thúc tìm tòi, khám phá những kiến thực bổ ích và cần thiết, vì thế
việc học trở nên thú vị và hấp dẫn hơn. Bên cạnh đó, do bản thân luôn
luôn phải đào sâu suy nghĩ, các kỹ năng sáng tạo, lập luận, phân tích. . .
cũng trở nên nhạy bén và hoàn thiện, lượng kiến thức tiếp thu tuy nhiều,
sâu nhưng lại không quá vất vả, căng thẳng. Tại các trường học Việt Nam
hiện nay chưa thực sự chú trọng đến giảng dạy tư duy phản biện, vì thế
học sinh của chúng ta luôn học thụ động, thầy dạy gì thì biết nấy, không
chủ động tìm hiểu kiến thức dẫn đến việc đi học thêm nhiều, lượng kiến
thức thu được không được bao nhiêu và không có thời gian vui chơi giải
trí. Sự thụ động này là nguyên nhân tạo cho học sinh sự trì trệ, ngại đọc
tài liệu, ngại bày tỏ quan điểm và lập trường của mình, thuyết trình kém,
lười tư duy và thiếu tính sáng tạo.
Toán học ngày nay có vai trò vô cùng quan trọng trong nghiên cứu đời
sống xã hội. Người giáo viên phải có một sự đầu tư công phu và đúng
phương pháp thì việc giảng dạy và học tập mới có thể lĩnh hội được kiến
thức Toán một cách vững vàng. Kiến thức toán cần phải nắm bắt và trình
bày một cách có hệ thống, khoa học. Hơn nữa, việc phát huy và rèn luyện
được khả năng phản biện vấn đề của học sinh, chất lượng dạy và học sẽ
được tăng lên một cách đáng kể. Thực tiễn dạy học môn Toán ở trường
trung học cơ sở cho thấy chưa có sự quan tâm đúng mức đến việc rèn
luyện và phát triển tư duy phản biện, cũng như việc sử dụng hình thức đối
thoại trong dạy học Toán một cách phổ biến và đúng đắn mặc dù đối thoại
chiếm tỷ trọng tương đối lớn trong quá trình dạy học Toán. Rèn luyện và

phát triển tư duy phản biện cho học sinh trong dạy học nói chung và bộ
môn Toán nói riêng là một trong những cách góp phần tạo dựng những
giờ học mang tính dân chủ và nền giáo dục tiến bộ, đồng thời cũng góp
phần phát triển sư nghiệp giáo dục, hội nhập kinh tế quốc tế, đáp ứng
được công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước.
Vì thế tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy phản biện cho học sinh
trung học cơ sở thông qua dạy học về chủ đề Phương trình bậc
hai và định lý Vi-ét”.
2


2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển tư duy phản biện cho học sinh trung học cơ sở thông qua
dạy học về chủ đề “Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét”.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
− Nghiên cứu lý luận về tư duy phản biện.

− Nghiên cứu nội dung và thực tế phương pháp dạy học chủ đề phương
trình bậc hai và định lý Vi-ét.
− Thiết kế một số giáo án dạy học để phát triển tư duy phản biện cho
học sinh về chủ đề phương trình bậc hai và định lý Vi-ét.
− Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả, khả thi của các đề
xuất.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phát triển tư duy phản biện trong giáo dục
Toán học.
5. Phạm vi nghiên cứu
− Nội dung: dạy học phát triển tư duy phản biện trong giáo dục Toán vào
chủ đề phương trình bậc hai và định lý Vi-ét.
− Địa điểm: Trường trung học cơ sở Đồng Giao – Tam Điệp – Ninh Bình.

6. Phương pháp nghiên cứu
− Nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu tài liệu về tư duy phản biện trong giáo dục Toán học;
+ Nghiên cứu nguồn gốc, khái niệm, phạm vi, ứng dụng, đối tượng, sự
cần thiết của phát triển tư duy phản biện trong giáo dục Toán học;
+ Sách giáo khoa, sách tham khảo;
− Thực nghiệm sư phạm: kiểm tra tính hiệu quả và khả thi.
− Phân tích thống kê: đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu khai thác và vận dụng phát triển tư duy phản biện trong giáo dục
Toán học sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy, học nội dung phương trình
bậc hai và định lý Vi-ét.

3


8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp phát triển tư duy phản biện cho học sinh thông qua
dạy học phương trình bậc hai và định lý Vi-ét.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề chung về tư duy

1.1.1. Khái niệm tư duy
Con người chúng ta luôn luôn suy nghĩ về những vấn đề khác nhau, và
chẳng thể nào có thể chặn dòng suy nghĩ của họ lại. Hơn thế, họ còn không
ngừng sáng tạo ra thế giới mới: Thế giới về nghệ thuật, công nghệ, khoa
học, âm nhạc,.... R. Decac [15] đã nói rằng: “Tôi tư duy nghĩa là tôi tồn
tại”. Để cuộc sống của chúng ta có ý, để nhận thức thế giới và suy nghĩ về
sự tồn tại của bản thân mỗi chúng ta thì con người luôn cố gắng rèn luyện
mỗi ngày. Chỉ có con người mới có khả năng tư duy, tư duy đã mang lại
cho chúng ra một vị trí đáng kính nể trong quá trình tiến hóa.
Tư duy là quá trình tâm lý cấp cao. Bản chất của tư duy là tìm ra
những tri thức mới trên cơ sở phản ánh và biến đổi thực hiện một cách
sáng tạo.
Theo [15, tr 139]: “Tư duy là quá trình nhận thức gián tiếp và khái
quát, nhằm khám phá những thuộc tính bản chất, những mỗi quan hệ
giữa các sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan và biến đổi chúng
theo mục đích của con người”.
Theo Edward de Bono (2005), người được mệnh danh là cha đẻ của “Tư
duy về tư duy”, một trong những nhà khoa học bậc thầy của tư duy, đã
nói rằng: “Tư duy là kỹ năng vận hành bộ não, nhờ đó trí thông minh mới
được nuôi dưỡng và phát triển”
Từ điển Bách khoa Toàn thư Việt Nam tập 4 định nghĩa về tư duy:
"Tư duy và sản phẩm cao nhất của vật chất, được tổ chức một cách đặc
biệt - bộ não con người dưới dạng khái niệm, sự phán đoán, lý luận...."
Nói tóm lại tư duy là quá trình từ không biết đến biết, từ tri thức cũ
đến tri thức mới. Tri thức mới có thể là những phát hiện về phương pháp
mới, quy luật mới của thế giới, thuộc tính mới, với những sản phẩm mới
của con người tạo ra. Con người tư duy để khám phá thế giới xung quanh,
khám phá chính bản thân mình, để điều khiển hành vi, hoạt động của
5

mình, và biến đổi thế giới. Tư duy giúp con người thích ứng một cách hiệu
quả với những thay đổi của điều kiện sống và cải tạo thế giới.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy có một số đặc điểm sau:
− Tính khái quát: Tư duy có khả năng khái quát những sự vật hiện
tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính chung thành một nhóm, một
loại, hoặc một phạm trù.

− Tính gián tiếp: Tư duy con người không chỉ có khả năng nhận thức
một cách gián tiếp mà có khả năng nhận thức thế giới một cách trực tiếp.
Tính gián tiếp không chỉ đào sâu mà còn mở rộng các thông tin con người
tìm hiểu. Trong quá trình tư duy, chúng ra nhận thức được những điều
mà nhận thức cảm tính không thể nhận biết được.
− Tính có vấn đề: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những tình huống,
hoàn cảnh có vấn đề mà chúng ta phải giải quyết. Muốn giải quyết con
người cần phải tư duy để tìm ra cách thức, phương pháp giải quyết mới.
− Tư duy liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Ngôn ngữ và tư duy có mối
quan hệ mật thiết, gắn liền với nhau. Để diễn ra quá trình tư duy của con
người thì phải có ngôn ngữ, khi đó các sản phẩm của tư duy mới được chủ
thể và người khác tiếp nhận.
1.1.3. Các thao tác của tư duy
Các thao tác tư duy cơ bản:
− So sánh: Xác định những đặc điểm giống và khác nhau giữa các hiện
tượng và sự vật.
− Phân tích và tổng hợp: Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân
chia đối tượng nhận thức thành các thành phần, các bộ phận khác nhau
nhằm tìm hiểu rõ hơn cấu trúc của chúng. Tổng hợp là quá trình dùng trí
óc để gắn kết, sắp xếp các thành phần, bộ phận của sự vật hiện tượng đã
được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.

Theo [15]: Phân tích và tổng hợp có quan hệ gắn bó chặt chẽ với nhau,
tạo thành thể thống nhất không thể tách rời: sự tổng hợp được thực hiện
theo kết quả của phân tích, còn sự phân tích được tiến hành theo hướng
tổng hợp.
6


− Trừu tượng hóa và khái quát hóa:
Theo [15, Tr.146]: Trừu tượng hóa là dùng trí óc gạt bớt những chi
tiết, những phần, những tính chất không cần thiết của sự vật hiện tượng
để làm rõ những dấu hiệu bản chất của nó. Khái quát hóa là dùng trí óc
để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ chung nhất định.
− Quy nạp và diễn dịch:
Theo [15, Tr.148]: Quy nạp là thao tác chuyển từ các trường hợp riêng
lẻ thành một nhận thức chung bao quát cho các trường hợp riêng. Diễn
dịch đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người.
1.1.4. Quá trình tư duy
Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của hiện tượng và sự vật
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa từng biết. K.P Latonov
[13] đã tóm tắt các giai đoạn của quá trình tư duy bằng sơ đồ sau:
Sơ đồ 1.1. Quá trình tư duy của K.P Latonov
NHẬN THỨC VẤN ĐỀ

XUẤT HIỆN CÁC LIÊN TƯỞNG

SÀNG LỌC LIÊN TƯỞNG,
HÌNH THÀNH GIẢ THUYẾT

KIỂM TRA GIẢ THUYẾT

CHÍNH XÁC

KHẲNG ĐỊNH

PHỦ ĐỊNH

HÓA

GIẢ THUYẾT

GIẢ THUYẾT

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

HÀNH ĐỘNG TƯ DUY MỚI

7


Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gòm 4 bước cơ bản
sau:
− Xác định được vấn đề và biểu đạt được nó thành nhiệm vụ tư duy.
Hay nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.

− Huy động vốn kinh nghiệm, tri thức, liên tưởng, hình thành giả thiết
về cách trả lời câu hỏi, cách giải quyết vấn đề.
− Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết không đúng ta
chuyển sang bước sau, còn nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết

mới.
− Quyết định đưa ra sử dụng và đánh giá kết quả.
1.1.5. Các loại hình tư duy
Trong quá trình dạy học Toán học, học sinh có thể được trang bị và
rèn luyện các loại tư duy sau:
− Tư duy biện chứng: Tất cả các hiện tượng đều xảy ra theo một quy
luật biện chứng, việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là
nhiệm vụ quan trọng của môn học.
− Tư duy độc lập: Trong quá trình học tập và rèn luyện, tư duy độc
lập đối với học sinh rất quan trọng và cần thiết, học sinh có thể rèn tư
duy độc lập khi thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Điều này sẽ tạo
hứng thú cho học sinh đồng thời tạo điều kiện để học sinh nắm bắt vấn đề
một cách tự nhiên theo đúng quy luật của quá trình nhận thức. Dạy học
theo dự án hoặc dạy học theo modun cũng là cách mà giáo viên rèn cho
học sinh cách tư duy độc lập.
− Tư duy logic: Tư duy logic là một trong những kĩ năng quan trọng
không thể thiếu trong việc lĩnh hội các môn khoa học tự nhiên.
− Tư duy trừu tượng: Hiện nay với sự giúp sức của công nghệ thông
tin, quá trình tạo tư duy trừu tượng cho học sinh được dễ dàng hơn. Phát
triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một việc quan trọng và cần thiết,
làm thế nào để học sinh tư duy đúng bản chất của quá trình, hiện tượng
là điều quan trọng.
− Tư duy phản biện: Tư duy phản biện được phát triển và hình thành
qua quá trình rèn luyện trí tuệ về các khả năng: phân tích, tổng quan và
8


tổ chức hệ thống các ý tưởng, so sánh điểm tương đồng và khác biệt, nhận
thức và cân nhắc thận trọng một hiện tượng, một sự kiện, lập luận và
chứng minh đầy đủ để có sức thuyết phục cao.

− Tư duy sáng tạo: Đây là một hình thức tư duy cao nhất trong quá
trình tư duy, việc sáng tạo giúp cho người học không gò bó trong không
gian tri thức của người thầy đặt ra. Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng
tạo đó là tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo, tính độc đáo. Các bước của
quá trình sáng tạo được thực hiện qua 5 giai đoạn sau: Kích thích, khám
phá, lập kế hoạch, hoạt động, tổng kết.
1.2. Tư duy phản biện là gì?
Tư duy là bản tính tự nhiên của con người. Nếu không rèn luyện phần
lớn tư duy của chúng ta sẽ bị thiên lệch, rời rạc, hoặc bị biến mất. Tư duy
tốt sẽ tạo ra chất lượng cuộc sống tốt, ngược lại tư duy kém sẽ tạo ra chất
lượng cuộc sống kém. Để có tư duy tốt thì tư duy của chúng ta phải được
rèn luyện, xây đắp một cách có hệ thống.
Tư duy phản biện có nhiều định nghĩa khác nhau. Chẳng hạn:
− Theo Chance (1986) [8]: Tư duy phản biện là năng lực phân tích sự
việc, hình thành và sắp xếp các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các
kết luận, đánh giá các lập luận, giải quyết vấn đề.
− Theo báo cáo Tương lai của các nghề nghiệp năm 2018 của Diễn đàn
Kinh tế Thế giới [18] thì tư duy phản biện được định nghĩa như sau: Sử
dụng lập luận và logic để nhận ra điểm yếu, điểm mạnh của các kết luận,
giải pháp, cách tiếp cận khác nhau đối với các vấn đề.
− Richard Paul [10] phát biểu về tư duy phản biện từ một góc nhìn
khác: Tư duy phản biện là một mô hình tư duy – về một chủ đề, một vấn
đề, một nội dung bất kỳ - trong đó chủ thể tư duy cải tiến chất lượng tư
duy của mình bằng việc điều khiểu một cách thành thạo các cấu trúc nền
tảng có sẵn của tư duy và áp đặt các tiêu chuẩn của hành động trí tuệ lên
quá trình tư duy của mình.
Tóm lại, tư duy phản biện là tư duy tự định hướng, tự giác, tự giám
sát và tự hiệu chỉnh. Nó đòi hỏi những chuẩn mực nghiêm ngặt về sự xuất
sắc và kiểm soát việc sử dụng chúng một cách tỉnh thức. Nó sẽ mang lại

9


sự truyền thông hiệu quả, năng lực giải quyết vấn đề và một sự cam kết
vượt qua bản tính “lấy cái tôi làm trung tâm” và “lấy xã hội làm trung
tâm” của chúng ta.
1.3. Mối liên hệ giữa tư duy phê phán và tư duy sáng tạo
− Tư duy phản biện là nền tảng để phát triển tư duy sáng tạo.

− Tư duy phản biện là bước đi thiết yếu dẫn đến tư duy sáng tạo.
− Tư duy sáng tạo là mục đích tạo ra trong khi tư duy phản biện là
phân tích mục đích.
− Tư duy phản biện là chọn lọc, nhưng tư duy sáng tạo không chọn
lọc.
Kết hợp giữa tư duy sáng tạo và tư duy phản biện giúp học sinh tìm
ra những giải pháp cho các vấn đề trong nhà trường nói riêng cũng như
trong cuộc sống nói chung. Có tư duy phản biện sẽ có sự sáng tạo và xã
hội không ngừng phát triển.
Trước khi có sáng tạo ra một ý gì mới, cần phải có thái độ tiếp thu
có phê phán những ý tưởng truyền thống một cách nghiêm túc. Học sinh
trong lúc tham gia thảo luận sẽ tìm mọi lý lẽ khác nhau để phản biện một
quan điểm, một lập trường nào đó. Thái độ của các giáo viên phải cởi mở,
tôn trọng ý kiến của học sinh và khuyến khích tranh luận. Học sinh tranh
luận càng sôi nổi, hào hứng, lớp học càng được đánh giá cao.
Trong tinh thần phương Tây, phê phán chính là nỗ lực nhìn lại vấn
đề/quan điểm/ý kiến từ một góc độ tiếp cận mới. Trong viễn cảnh đó,
thái độ tiếp thu có phê phán có thể được xem là bước đi chập chững đầu
tiên của sáng tạo.

10

Bảng 1.1. Mối quan hệ giữa tư duy phản biện và tư duy sáng tạo [16]
Tư duy phản biện

Tư duy sáng tạo

Khái

Là tư duy có suy xét, cân Tư duy sáng tạo là tư duy

niệm

nhắc, đánh giá và liên hệ có khuynh hướng phát hiện
mọi khía cạnh của các nguồn và giải thích bản chất của sự
thông tin với thái độ hoài vật theo lỗi mới, hoặc tạo ra
nghi tích cực, dựa trên những ý tưởng mới, cách giải quyết
tiêu chuẩn nhất định để đưa mới không theo tiền lệ đã có.
ra các thông tin phù hợp

nhất, nhằm giải quyết vấn đề.
Đặc điểm - Chấp nhận rủi ro
- Linh hoạt
của người - Ham muốn
có lối tư - Tò mò

- Độc đáo
- Chế tạo, phát sinh

duy

- Công bằng

Sản

- Chấp nhận rủi ro

- Linh hoạt

phẩm
của

- Ham muốn
- Tò mò

- Nhuần nhuyễn
- Chế tạo, phát sinh

người có
lối
tư
duy
Đặc điểm - Logic

- Không logic

lối tư duy - Có sự hợp lý
- Có tính tuyến tính

- Không hợp lý

- Không tuyến tính.

Ví dụ 1.1. Giải phương trình bậc hai sau

5x2 − 6x + 1 = 0

(1)

Giải. Học sinh liên tưởng đến một số phương án giải quen thuộc như: Sử
dụng công thức nghiệm, sử dụng công thức nghiệm thu gọn, nhận thấy
a + b + c = 0, sử dụng máy tính,.... Sau khi loại trừ các khả năng sẽ chọn
phương án giải phương trình trên theo một trong các cách quen thuộc sau:
11


Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm
Ta có: ∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4.5.1 = 16 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm phân biệt:
√
√
−b + ∆ 6 + 4
−b − ∆ 6 − 4 1
x1 =
=
= 1; x2 =
=
= .
2a
10
2a

10
5
Cách 2: Học sinh nhận thấy giá trị của b = −6 là số chẵn nên sẽ sử
dụng công thức nghiệm thu gọn
Ta có: ∆ = b 2 − ac = (−3)2 − 5.1 = 4 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm phân biệt:
√
√
3+2
−b − ∆
3−2 1
−b + ∆
=
= 1; x2 =
=
= .
x1 =
a
5
a
5
5
Cách 3: Nhận thấy có a + b + c = 5 − 6 + 1 = 0 nên phương trình đã
cho có một nghiệm là x1 = 1, học sinh đi tìm tiếp nghiệm còn lại. Để tìm
được nghiệm x2 , học sinh phân tích phương trình (1) thành nhân tử hoặc
áp dụng định lý Vi-ét.
− Phân tích phương trình (1) thành nhân tử:
Ta có:

5x2 − 6x + 1 = 0

⇔ (x − 1)(5x − 1) = 0
1
⇔ x1 = 1 hoặc x2 =
5
− Áp dụng định lý Vi-ét ta có:
x1 .x2 =

c
1
⇒ x2 =
a
5

Sau khi giải phương trình, tư duy phản biện kiểm tra lại tính chính xác
trong quá trình lập luận và khẳng định kết quả bài toán.
1.4. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện trong Toán học
1.4.1. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện
Theo [7], tư duy phản biện được thể hiện qua một số dấu hiệu sau:
− Biết cân nhắc hợp lí, suy xét cẩn thận các tiền đề và mối quan hệ
với các kết quả khi thực hiện một nhiệm vụ hoặc tìm hiểu một số vấn đề.
12


− Biết đặt ra những câu hỏi và vấn đề quan trọng khi cần thiết, diễn
tả vấn đề một cách chính xác và rõ ràng.
− Sẵn sàng xem xét các thông tin khác nhau và cân nhắc chúng một
cách thận trọng với thái độ hoài nghi tích cực. Có khả năng lựa chọn các
thông tin đã có, chế biến các thông tin mới để đánh giá tính hợp lí của
cách phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề.
− Có khả năng đánh giá các quan điểm và sẵn sàng tranh luận. Có khả

năng xác định được các tiêu chí đánh giá khác nhau và vận dụng chúng
để đánh giá các ý tưởng, các giải pháp. Chỉ thực hiện đánh giá khi mà tất
cả các thông tin đã được thu thập một cách đầy đủ và được cân nhắc kĩ
lưỡng.
− Biết thu thập và đánh giá những thông tin liên quan, tóm tắt những
ý tưởng để giải thích chúng một cách có hiệu quả. Đưa ra những kết luận
và những cách giải quyết tốt, kiểm tra xem chúng có phù hợp với những
chuẩn đã có hay không, biết cách đánh giá tính tối ưu của cách giải quyết
vấn đề.
− Có khả năng loại bỏ những thông tin sai lệch và không có liên quan.
Liên hệ một cách hiệu quả với những cách giải quyết khác cho những vấn
đề phức tạp.
− Có khả năng điều chỉnh ý kiến và hoạt động khi những sự việc mới
được tìm ra.
1.4.2. Dấu hiệu của năng lực tư duy phản biện trong Toán học.
Theo Phan Thị Luyến [7], năng lực tư duy phản biện trong toán học
được thể hiện qua một số dấu hiệu sau:
− Có khả năng đề xuất những câu hỏi để đi tới lời giải bài toán.
− Có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong những lập luận
không đúng.
− Có khả năng sửa chữa sai lầm khi lập luận để chứng minh hoặc giải
toán.
− Biết suy xét, cân nhắc, liên hệ giữa tiền đề và mối quan hệ với các
kết quả khi tìm hiểu một số vấn đề hoặc thực hiện một nhiệm vụ.
− Có khả năng tìm kiếm những căn cứ trong các lập luận khi giải quyết
13


vấn đề, đánh giá tính hợp lí của cách phát hiện vấn đề, cách giải quyết
vấn đề.

− Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau, có thái độ hoài nghi tích
cực. Có khả năng xác định được các tiêu chí đánh giá khác nhau và vận
dụng chúng để đánh giá các ý tưởng, các giải pháp. Sẵn sàng tranh luận
để tìm ra cách giải quyết tốt.

− Có khả năng đưa ra những kết luận và những cách giải quyết tốt,
phù hợp với những kiến thức đã được học và những tiêu chí đã đưa ra,
biết đánh giá tính tối ưu của cách giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau?
Một học sinh đưa ra cách giải như sau:
− Học sinh 1: Số tự nhiên chẵn có 6 chữ số có dạng:

a1 a2 a3 a4 a5 a6

.
ai ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} , ai = aj , a1 = 0, a6 .. 2 .

Chọn a6 : 4 cách.
Chọn a1 : 5 cách (do a1 = a6 , a1 = 0).
Chọn a2 : 5 cách (do a2 = a1 = a6 .
Chọn a3 : 4 cách (do a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a4 : 3 cách (do a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a5 : 2 cách (do a5 = a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Theo qui tắc nhân ta có tất cả: 4.5.5.4.3.2 = 2400 số tự nhiên lập được
thỏa mãn.
Một học sinh khác nhận xét cách giải trên sai và đưa ra cách giải sau:
.
− Học sinh 2: Do a6 .. 2 nên a6 ∈ {0; 2; 4; 6}.
Nếu a6 = 0 thì a1 có 6 cách chọn.

Nếu a6 chọn một trong các số 2; 4; 6 thì a1 có 5 cách chọn.
Do đó ta phải chia làm 2 trường hợp: Số tự nhiên chẵn có 6 chữ số có
dạng:

a1 a2 a3 a4 a5 a6

.
ai ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} , ai = aj , a1 = 0, a6 .. 2
14


+ Trường hợp 1: a6 = 0.
Chọn a1 : 6 cách (do a1 = a6 , a1 = 0).
Chọn a2 : 5 cách (do a2 = a1 = a6 ).
Chọn a3 : 4 cách (do a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a4 : 3 cách (do a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a5 : 2 cách (do a5 = a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Theo qui tắc nhân trường hợp này có: 6.5.4.3.2 = 720 số tự nhiên lập
được thỏa mãn.

+ Trường hợp 2: a6 = 0.
Chọn a6 : 3 cách.
Chọn a1 : 5 cách (do a1 = a6 , a1 = 0).
Chọn a2 : 5 cách (do a2 = a1 = a6 ).
Chọn a3 : 4 cách (do a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a4 : 3 cách (do a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Chọn a5 : 2 cách (do a5 = a4 = a3 = a2 = a1 = a6 ).
Theo qui tắc nhân ta có tất cả: 3.5.5.4.3.2 = 1800 số tự nhiên lập được
thỏa mãn yêu cầu.
Theo qui tắc cộng tất cả có: 720 + 1800 = 2520 số tự nhiên lập được thỏa

mãn yêu cầu bài toán.
− Học sinh 3: Có thể dùng chỉnh hợp để bài toán ngắn gọn.
Số tự nhiên chẵn có 6 chữ số có dạng:

a1 a2 a3 a4 a5 a6

.
ai ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} , ai = aj , a1 = 0, a6 .. 2 .

+ Trường hợp 1: a6 = 0.
Chọn a1 : 6 cách (do a1 = a6 , a1 = 0).
Chọn bộ (a2 , a3 , a4 , a5 ): A45 = 120 cách.
Theo qui tắc nhân trường hợp này có: 6.120 = 720 số tự nhiên lập được
thoải mãn bài toán.

+ Trường hợp 2: a6 = 0.
Chọn a6 : 3 cách.
Chọn a1 : 5 cách (do a1 = a6 , a1 = 0).
15


Chọn bộ (a2 , a3 , a4 , a5 ): A54 = 120 cách.
Theo qui tắc nhận trường hợp này có: 3.5.120 = 1800 số tự nhiên lập
được thỏa mãn bài toán.
Theo qui tắc cộng cả thảy có: 720 + 1800 = 2520 số tự nhiên lập được
thỏa mãn bài toán.

− Học sinh 4: Dùng bài toán đối.
Ta coi việc lập số tự nhiên thỏa mãn bài toán như việc lập bộ 6 số khác
nhau (có thứ tự) từ 7 số đã cho mà số tận cùng là số chẵn.

Số các bộ số có 6 chữ số lập được: 4.A56 .
Số các bộ số có 6 chữ số lập được mà số 0 đứng đầu là 3.A45 .
Vậy số các số lập được thỏa mãn bài toán là:
4.A56 − 3.A45 = 2520.
Như vậy, gắn với một tình huống toán học, người có tư duy phản biện
luôn có những lập luận logic, chặt chẽ, linh hoạt trong các hoạt động trí
tuệ, sẵn sàng tranh luận đề tìm ra cách giải quyết tốt nhất.
1.5. Đặc điểm của người có tư duy phản biện
Theo Richard Paul, một nhà tư duy phản biện sẽ biết:
− Nêu ra những câu hỏi và những vấn đề thiết thực, sống còn, phát
biểu chúng một cách rõ ràng và chính xác;
− Tập hợp và đánh giá những thông tin có liên qua, sử dụng những ý
niệm trừu tượng để lý giải chúng một cách hiệu quả;
− Đi đến những kết luận và giải pháp có lý lẽ, kiểm nghiệm chúng bằng
những tiêu chí và chuẩn mực thích hợp;
− Tư duy một cách cởi mở bên trong những hệ thống tư tưởng khác
nhau, nhìn nhận và đánh giá (nếu cần) những giả định, hàm ý và những
hệ luận thực hành của chúng;
− Truyền thông một cách hiệu quả cho người khác nhằm đưa ra những
giải pháp cho những vấn đề phức hợp.

16