Bài 1 hệ số góc của tiếp tuyến

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132
Câu 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = −x − 3.

4
tại điểm có hoành độ x = −1 có phương trình là ?
x −1

B. y = −x + 2.

Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. 2x − 2 y = 1.

C. y = x − 1.

1
2x

tại điểm có hoành độ x =

B. 2x − 2 y = −1.

C. 2x + 2 y = 3.

D. y = x + 2.

1
có phương trình là ?
2
D. 2x + 2 y = −3.

1
Câu 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x 3 + 9x 2 tại điểm có hoành độ x = 2 có phương trình là ?
2
A. y = 30x − 28.
B. y = 30x + 28.
C. y = 42x + 52.
D. y = 42x − 52.
f (x)
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có
g(x)
cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
1
1
1
1
A. f (0) < .
B. f (0) ≤ .
C. f (0) > .
D. f (0) ≥ .
4

4
4
4
Câu 5. Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) và y = f (x).g(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0
có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. f (0) − g(0) = 1.
B. f (0) − g(0) = −1.
C. f (0) + g(0) = −1.
D. f (0) + g(0) = 1.
Câu 6. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x 3 − mx 2 − 2mx + 2018 đều có hệ số góc không âm.
A. (−6;0).
B. [−6;0].
C. (−24;0).
D. [−24;0].
Câu 4. Cho các hàm số y = f (x), y = g(x) và y =

x3
Câu 7. Cho hàm số y = − 2x 2 + x + 1 có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) ,
3
hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
11
23
A. y = −3x + .
B. y = −5x + .
3
3
7
7
C. y = −3x − .

D. y = −5x − .
3
3
2
Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0;−1).
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

⎡
1
⎢ y = − 2 x −1
C. ⎢
.
⎢ y = 1 x −1
⎢⎣
2
Câu 9. Trong một trò chơi điện tử máy bay xuất hiện ở góc
trái màn hình rồi bay sang phải theo quỹ đạo (C) là đồ thị
⎡ y = −2x − 1
A. ⎢
.
⎣ y = 2x − 1

⎡ y = x −1

B. ⎢
.
⎣ y = −x − 1

⎡ y = 4x − 1
D. ⎢
.
⎣ y = −4x − 1

1
của hàm số y = −1− ,(x > 0). Biết rằng tên lửa được bắn ra
x
từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp
tuyến của (C) tại điểm đó. Tìm hoành độ x0 của các điểm
thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó bắn trúng mục tiêu
nằm ở trên màn hình có toạ độ (4;0).
A. x0 = −1+ 5.

B. x0 = −1+ 3.

C. x0 = 2 + 3.

D. x0 = −1+ 2.

1
sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục toạ
x −1
độ tạo thành một tam giác vuông có diện tích bằng 2.
⎛ 3 4⎞
⎛3

⎞
⎛ 1 4⎞
B. (0;−1).
A. ⎜ − ;− ⎟ .
C. ⎜ ;−4⎟ .
D. ⎜ ;− ⎟ .
⎝ 4 7⎠
⎝4
⎠
⎝ 4 3⎠
Câu 10. Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số y =

Câu 11. Một điểm M chuyển động trên parabol y = −x 2 + 17x − 66 theo hướng tăng của x. Một
người quan sát đứng ở vị trí P(2;0), hãy xác định các giá trị x0 của hoành độ điểm M để người quan
sát có thể nhìn thấy được điểm M.
A. 4 ≤ x0 ≤ 8.
B. −8 ≤ x0 ≤ 4.
C. −4 ≤ x0 ≤ 8.
D. −8 ≤ x0 ≤ −4.

1
tại điểm có hoành độ a ≠ 0 cắt trục Ox,Oy lần lượt tại các
x
điểm I , J. Tính diện tích tam giác OIJ.
1
A. SOIJ = 4.
B. SOIJ = 2.
D. SOIJ = 8.
C. SOIJ = .
2

x2 y2
Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của elip 2 + 2 = 1 tại điểm (x0 ; y0 ) là ?
a
b
xx y y
xx y y
A. 02 + 02 = 1.
B. 02 − 02 = 1.
a
b
a
b
x0 x y0 y
x0 x y0 y
C. 2 + 2 = −1.
D. 2 − 2 = −1.
a
b
a
b
Câu 12. Tiếp tuyến của hypebol y =

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3

Câu 14. Cho hai hàm số y =

1
x 2

,y =

x2
2

. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số tại giao

điểm của chúng.
A. 00.
B. 900.
C. 450.
D. 600.
Câu 15. Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 2 đi qua điểm (4;22)?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
3
2
Câu 16. Cho hàm số y = x − 3x + 1 (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và AB = 4 2. Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới
đây ?
A. M (−1;−2).
B. N (4;2).
C. P(−1;2).

D. Q(1;−2).
Câu 17. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y = mx 3 + 2mx 2 + 3x − 1 đều dương là ?
⎛ 9⎞
⎛ 9⎤
⎡ 9⎤
⎡ 9⎞
A. ⎢0; ⎥ .
B. ⎜ 0; ⎟ .
C. ⎜ 0; ⎥ .
D. ⎢0; ⎟ .
⎝ 4⎠
⎝ 4⎦
⎣ 4⎦
⎣ 4⎠
Câu 18. Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của các đồ thị hàm số
f (x) + 3
bằng nhau và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
y = f (x), y = g(x) và y =
g(x) + 3

11
11
11
11
.
B. f (1) < − .
C. f (1) > .
D. f (1) ≥ .
4

4
4
4
3
2
Câu 19. Cho hàm số y = x − 3x − 1 có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Không tồn tại hai điểm phân biệt A, B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song
với nhau.
B. Có duy nhất hai điểm phân biệt A, B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với
nhau.
C. Chỉ có ba cặp điểm phân biệt A, B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với
nhau.
D. Có vô số cặp điểm phân biệt A, B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với
nhau.
2x
(C). Biết trên (C) có hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ
Câu 20. Cho hàm số y =
x+2
điểm I(−2;2) đến tiếp tuyến của (C) tại các điểm A, B là lớn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. f (1) ≤ −

A. AB = 4.

B. AB = 8.

C. AB = 4 2.

D. AB = 2 2.
x +1
Câu 21. Hỏi khoảng cách lớn nhất từ điểm I(1;1) đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

là ?
x −1
C. 2.
A. 4 2.
B. 2 2.
D. 2.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

⎛ 9 ⎞
2x − 1
(C) và điểm P ⎜ − ;0⎟ . Biết có hai điểm phân biệt A và B thuộc đồ
x+2
⎝ 2 ⎠
thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và tam giác PAB cân tại P. Hỏi hệ
số góc của tiếp tuyến tại A, B là ?
5
25
5
5
.
.
A. .

B.
C. .
D.
4
4
2
16
Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số
mx − 2
y=
đều có hệ số góc dương.
2x − m
A. [−2;2].
B. [−4;4].
D. (−4;4).
D. (−2;2).

Câu 22. Cho hàm số y =

2x + 1
tại giao điểm với trục hoành có phương trình là ?
x−5
4
2
4
2
4
2
B. y = − x + .
C. y = x − .

D. y = x + .
11 11
11 11
11 11
1
3
số y = x 4 − 3x 2 + (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của (C) cùng đi qua
2
2

Câu 24. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
A. y = −

4
2
x− .
11 11

Câu 25. Cho hàm
⎛ 3⎞
điểm A ⎜ 0; ⎟ ?
⎝ 2⎠
A. 4.

B. 2.
C. 3.
D. 0.
(3m + 1)x − m
(Cm ). Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp
Câu 26. Cho hàm số y =

x+m
tuyến của (Cm ) tại giao điểm với trục hoành song song với đường thẳng y = −x − 5 là ?
⎧1 1⎫
⎧ 1 1⎫
⎧ 1 1⎫
⎧ 1 1⎫
A. ⎨ ; ⎬ .
B. ⎨− ;− ⎬ .
C. ⎨− ; ⎬ .
D. ⎨− ; ⎬ .
⎩2 6 ⎭
⎩ 2 6⎭
⎩ 2 6⎭
⎩ 6 2⎭
Câu 27. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(3m + 1)x + m − m2
y=
tại giao điểm với trục hoành song song với đường thẳng x − y − 11 = 0 là ?
x+m
⎧ 1⎫
⎧
⎧ 1⎫
1⎫
A. ⎨−1; ⎬ .
C. ⎨−1;− ⎬ .
D. ⎨− ⎬ .
B. {−1} .
5⎭
⎩ 6⎭
⎩

⎩ 6⎭

x2 y2
= 1. Xét điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy sao cho đường
Câu 28. Cho elip (E) : +
16 9
thẳng MN tiếp xúc với elip (E). Hỏi độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng MN là ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
2
Câu 29. Tiếp tuyến của parabol y = 4 − x tại điểm M (1;3) tạo với hai trục toạ độ một tam giác có
diện tích là ?
25
25
3
3
.
.
A.
B.
C. .
D. .
2
4
2
4
4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
Câu 30. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
đều có hệ số góc âm là ?
A. (−2;2).
B. [−2;2].

C. (−∞;−2) ∪ (2;+∞).

2x + m
mx + 2

D. (−∞;−2]∪[2;+∞).

Câu 31. Cho hàm số y = x + 3x + 3x + 2 (C). Kí hiệu A, B là hai điểm thuộc (C) mà tiếp tuyến của
(C) tại A, B song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Đường thẳng AB song song với trục hoành.
B. Đường thẳng AB đi qua điểm (−1;1).
3

2

C. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc 450.
D. Đường thẳng AB tạo với trục hoành góc arctan 2.
Câu 32. Cho hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 2 (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất có phương trình
là ?

A. y = 3x + 1.
B. y = 3x − 1.
C. y = 3x − 7.
D. y = 3x + 7.

1
Câu 33. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 2x 2 + 2x − 1 tại giao điểm với trục tung là ?
3
A. y = 2x + 1.
B. y = 2x − 1.
C. y = −2x − 1.
D. y = −2x + 1.
2x − 1
có đồ thị (C). Trong các cặp tiếp tuyến của (C) song song với nhau
x +1
thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng là ?
Câu 34. Cho hàm số y =
A. 4 3.

B. 2 3.
C. 4 6.
D. 2 6.
ax + b
Câu 35. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Biết (C) cắt trục Oy tại điểm A(0;−1), đồng thời tiếp
x −1
tuyến của (C) tại A có hệ số góc bằng 3. Tính S = a + b.
A. S = 3.
B. S = −3.
C. S = 5.

D. S = −5.
3
2
Câu 36. Cho hàm số y = x − 3x + 1 (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 4. Hỏi hệ số góc của tiếp
tuyến tại A, B của (C) là ?
A. k = 2.
B. k = 3.
C. k = 4.
D. k = 9.
3
2
Câu 37. Cho hàm số y = x − 3x + 1 (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Hỏi khoảng cách lớn nhất từ điểm C(1;5) đến đường
thẳng AB là ?
A. 6.
C. 8.
B. 3 2.
D. 4 2.
Câu 38. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm trên đường thẳng
y = −2 mà từ điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ?
A. vô số điểm.
B. 2 điểm.
C. 1 điểm.
D. 3 điểm.
x +1
Câu 39. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ lớn hơn 1
x −1
tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất là ?

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


6

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A. 6 + 4 2.

B. 2 + 2.
C. 6 − 4 2.
D. 2 − 2.
2x + 1
Câu 40. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp
x−2
2
tuyến của (C) tại điểm đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng ?
5
A. 4 điểm.
B. 1 điểm.
C. 2 điểm.
D. 3 điểm.
−x + 1
Câu 41. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại hai
2x − 1
điểm phân biệt A, B. Gọi k1 ,k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Mệnh đề nào sau

đây đúng ?
1
1
1
D. k1k2 = 1.
A. k1k2 = .
B. k1k2 = .
C. k1k2 = .
9
4
16
−x + 1
Câu 42. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại hai
2x − 1
điểm phân biệt A, B. Gọi k1 ,k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Giá trị lớn nhất
của k1 + k2 là ?
A. −6.

B. −2.
C. −1.
D. −4.
−x + 1
Câu 43. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Với mọi m đường thẳng d : y = x + m luôn cắt (C) tại
2x − 1
hai điểm phân biệt A, B. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại A, B tạo
với đường thẳng d một tam giác đều.
1
1

A. m = 1±
C. m = −1±
.
.
B. m = 1± 2.
D. m = −1± 2.
2
2
Câu 44. Cho hàm số y = x 3 + (1− 2m) x 2 + ( 2 − m) x + m + 2 (1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 một góc α với cos α =
⎛
⎞
1⎤ ⎡1
A. ⎜ −∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ .
4⎦ ⎣2
⎝
⎠
⎛
⎞
1⎤ ⎡1
B. ⎜ −∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ .
2⎦ ⎣4
⎝
⎠

1
26

.

⎡ 1 1⎤
B. ⎢ − ; ⎥ .
⎣ 4 2⎦
⎡ 1 1⎤
D. ⎢ − ; ⎥ .
⎣ 2 4⎦

1
Câu 45. Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m) x + 1 ( Cm ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
3
m sao cho tồn tại duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
x + 2 y − 3 = 0.
⎛ 3⎞
A. ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 2⎠

6

⎛ 2⎞
B. ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 3⎠

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
⎛3

⎞
⎛2
⎞
C. ( −∞;0 ) ∪ ⎜ ;+∞ ⎟ .
D. ( −∞;0 ) ∪ ⎜ ;+∞ ⎟ .
⎝2
⎠
⎝3
⎠
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm
1
số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m) x + 1 tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại các
3
điểm đó vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 3 = 0.
⎛ 2⎞
A. ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 3⎠

⎛2
⎞
B. (−∞;0) ∪ ⎜ ;+∞ ⎟ .
⎝3
⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1 2⎞
C. ⎜ 0; ⎟ ∪ ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠

⎛
⎞

1⎞ ⎛ 2
D. ⎜ −∞; ⎟ ∪ ⎜ ;+∞ ⎟ .
2⎠ ⎝ 3
⎝
⎠

x+3
có đồ thị (C). Điểm A thuộc (C), tiếp tuyến tại A cắt trục hoành tại
x +1
B và tam giác OAB vuông (với O là gốc tọa độ). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm A như vậy ?
A. 1 điểm.
B. 3 điểm.
C. 4 điểm.
D. 2 điểm.
3− x
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến cách đều 2
Câu 48. Cho hàm số y =
x+2
điểm A(−1;−2), B(1;0).
A. y = −5x − 1.
B. y = −5x + 1.
C. y = −5x + 3.
D. y = −5x − 3.
Câu 47. Cho hàm số y =

2x
(1). Gọi M là điểm thuộc (1) sao cho tam giác IOM cân (với O là gốc
x −1
toạ độ và I là hình chiếu của M lên trục hoành). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm M như vậy ?
A. 4 điểm.

B. 2 điểm.
C. 1 điểm.
D. 3 điểm.
3
2
Câu 50. Cho hàm số y = x − 6x + 9x − 1 (1). Hỏi có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của (1) cách đều hai
điểm A(2;7), B(−2;7).
A. 4 tiếp tuyến.
B. 2 tiếp tuyến.
C. 1 tiếp tuyến.
D. 3 tiếp tuyến.
Câu 49. Cho hàm số y =

CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 TẠI VTED
PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1
/>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

8

PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO

TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

1A
11C
21C
31B
41D

2C
12B
22A
32A
42B

3A
13A
23D
33B
43C

4B
14B
24A
34D
44A

5D
15C
25C

35B
45D

ĐÁP ÁN
6B
16B
26B
36D
46C

7A
17D
27C
37A
47B

8A
18A
28B
38C
48A

9A
19D
29B
39A
49B

10C
20C

30C
40C
50A

Thi và xem lời giải chi tiết tại khoá học PRO X link: />
Khoá học PRO X TOÁN 2018 tại Vted luyện thi THPT Quốc Gia 2018 do thầy trực
tiếp giảng dạy; Khoá học này dành cho các em hiện tại đang là học sinh lớp 11 và chuẩn
bị lên lớp 12, tức các em Teen K2000.
>>Nội dung chính có trong khoá học này bao gồm:
---------------------------------------------------------------<1>. Ôn tập lại kiến thức và định hướng nâng cao kiến thức TOÁN 11 có trong cấu trúc
đề thi THPT quốc gia Môn Toán 2018 do BGD công bố (phát hành tháng 12/2017 đến
8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 9

hết tháng 3/2018 -phù hợp với thời điểm BGD công bố cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia
2018).
<2>. Học toàn bộ kiến thức cơ bản Toán 12 cơ bản và bổ sung định hướng các kiến thức
nâng cao hướng đến kì thi THPT Quốc Gia 2018 (phát hành t3/2017 đến hết t11/2017).
<3>. Khoá học đi kèm khoá luyện đề với 30 chất lượng thật sát với đề thi THPT Quốc
Gia 2018, học viên được thi online tại website và xếp hạng điểm thi, thời gian làm bài
với các thí sinh khác; xem lời giải cho đề thi dạng text kèm video chữa chi tiết đề thi.
------------------------------------------------------Chi tiết về khoá học các em xem tại link: />>>Website: www.vted.vn
>>Fanpage: />>>Group: />>>Kênh youtube Vted: />>>Hotline: 0466 864 535 hoặc 0976 266 202
--------------------------------------------------------------->>Học phí gốc: 1.200.000đ - Học phí ưu đãi: 600.000đ.

#vted #hoctoanonlinechattluongcao
Đăng kí khoá PRO X Toán 2018 trên VTED tại đây:
/>
Video giới thiệu về khoá học:
/>
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 9
PROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
10 Website:www.vted.vn
LỜI GIẢI CHI TIẾT

4
4
4
= −2.
⇒ y′(−1) = −
= −1 và y(−1) =
2
2
−1− 1
(x − 1)
(−1− 1)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 là y = y′(−1)(x + 1) + y(−1) = −(x + 1) − 2 = −x − 3.
Chọn đáp án A.
d ⎛ 4 ⎞
Tính nhanh. y = ⎜
( x + 1) − 2 = −(x − 1) − 2 = −x − 3.
dx ⎝ X − 1⎟⎠ X = −1

Câu 1. Ta có y′ = −

⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
Câu 2. Ta có y ⎜ ⎟ = 1 và y′ = −
⇒ y′ ⎜ ⎟ = −1.
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2 2x 3
1
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = là
2
⎛ 1⎞ ⎛
⎛ 1⎞
⎛
1⎞
1⎞
3
y = y′ ⎜ ⎟ ⎜ x − ⎟ + y ⎜ ⎟ = − ⎜ x − ⎟ + 1 = −x + ⇔ 2x + 2 y = 3.
2⎠
2⎠
2
⎝ 2⎠ ⎝
⎝ 2⎠
⎝
Chọn đáp án C.
Câu 4. Theo giả thiết, ta có:
f ′(0).g(0) − g ′(0). f (0)
g(0) − f (0)

f ′(0) = g ′(0) =
⇒
=1
2
[g(0)]
[g(0)]2
1
⇒ [g(0)]2 − g(0) + f (0) = 0 ⇒ Δ g (0) ≥ 0 ⇔ 1− 4 f (0) ≥ 0 ⇔ f (0) ≤ .
4
Chọn đáp án B.
Câu 5. Theo giả thiết, ta có
f ′(0) = g ′(0) = f ′(0).g(0) + g ′(0). f (0) = k

⇔ k( f (0) + g(0)) = k ⇔ f (0) + g(0) = 1,(k ≠ 0).
Chọn đáp án D.
Câu 6. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x là
y′(x) = 3x 2 − 2mx − 2m ≥ 0,∀x ⇔ Δ ′ ≤ 0 ⇔ m2 + 6m ≤ 0 ⇔ −6 ≤ m ≤ 0.
x

Chọn đáp án B.
Câu 7. Ta có y′ = x 2 − 4x + 1 = (x − 2)2 − 3 ≥ −3.
⎛
7⎞
Hệ số góc của tiếp nhỏ nhất là – 3, tại điểm ⎜ 2;− ⎟ .
3⎠
⎝

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 2 ) −

7

11
= −3x + .
3
3

Chọn đáp án A.
Câu 8. Ta có phương trình tiếp tuyến là y = y′(x0 )(x − x0 ) + x02 = 2x0 (x − x0 ) + x02 .
Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;−1) nên
−1 = 2x0 (0 − x0 ) + x02 ⇔ x0 = ±1 ⇒ y = 2x − 1; y = −2x − 1.

Chọn đáp án A.
10 KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 11
Câu 9. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y = y′(x0 )(x − x0 ) + y(x0 ) =

1
1
(x − x0 ) − 1− .
2
x0
x0

Theo giả thiết, tiếp tuyến đi qua điểm (4;0) nên
1
1
(4 − x0 ) − 1− = 0 ⇔ x0 = −1+ 5 (x0 > 0).

2
x0
x0

Chọn đáp án A.
1
1
(x − x0 ) +
.
2
x0 − 1
(x0 − 1)
Toạ
độ
giao
điểm
của
tiếp
tuyến
với
các
trục
2
⎛ 2x − 1 ⎞
⎞
1 (2x0 − 1)
3 ⎛3
A(2x0 − 1;0), B ⎜ 0; 0 2 ⎟ ⇒ SOAB =
= 2 ⇔ x0 = ⇒ ⎜ ;−4⎟ .
2

2 (x0 − 1)
4 ⎝4
⎠
⎝ (x0 − 1) ⎠

Câu 10. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y = −

toạ

độ

là

Chọn đáp án C.
Câu 11. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y = (−2x0 + 17)(x − x0 ) − x02 + 17x0 − 66.

⎡ x = −4
Tiếp tuyến đi qua điểm (2;0) ⇔ 0 = (−2x0 + 17)(2 − x0 ) − x02 + 17x0 − 66 ⇔ ⎢ 0
.
⎢⎣ x0 = 8
Vậy −4 ≤ x0 ≤ 8.
Chọn đáp án C.
1
x2
Câu 14. Phương trình hoành độ giao điểm:
=
⇔ x 3 = 1 ⇔ x = 1.
x 2
2
1

1
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
tại điểm có hoành độ x = 1 là k1 = y′(1) = −
.
x 2
2
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
Vì vậy k1.k2 = −

1
2

.

2
2

x2
2

tại điểm có hoành độ x = 1 là k2 = y ′(1) =

2
2

.

= −1 ⇒ 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Chọn đáp án B.

Câu 15. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y = (3x02 − 3)(x − x0 ) + x03 − 3x0 + 2.
Theo giả thiết, tiếp tuyến đi qua điểm (4;22) nên ta có phương trình:
⎡ x0 = 2
22 = (3x02 − 3)(4 − x0 ) + x03 − 3x0 + 2 ⇔ ⎢
⇒ 3 tiếp tuyến.
⎢⎣ x0 = 2 ± 2 3
Chọn đáp án C.
Câu 16. *Gọi A(x1; x13 − 3x12 + 1), B(x2 ; x23 − 3x22 + 1) với x1 ≠ x2 .

*Vì tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y '(x1 ) = y '(x2 ) = k.
KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 11
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
12 Website:www.vted.vn
*Do đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 2 − 6x − k = 0 (1).
*Ta phải có (1) có hai nghiệm phân biệt nên Δ ' = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 .
*Khi đó
2
2
2
2
AB 2 = ( x2 − x1 ) + x23 − 3x22 − x13 + 3x12 = ( x2 − x1 ) ⎡1+ x12 + x1x2 + x22 − 3( x1 + x2 ) ⎤
⎢⎣
⎥⎦
2
2
2
⎡

⎤
= ⎡⎢( x1 + x2 ) − 4x1x2 ⎤⎥ . ⎢1+ ⎡⎢( x1 + x2 ) − x1x2 − 3( x1 + x2 ) ⎤⎥ ⎥ .
⎣
⎦⎣ ⎣
⎦ ⎦

(

)

*Theo viét ta có x1 + x2 = 2; x1x2 = −k / 3 nên AB 2 =

(

)

4(k + 3) 9 + (k − 6)2
.
.
3
9

12 + 4k 9 + (k − 6)2
.
= 32 ⇔ (k − 9)(k 2 + 9) = 0 ⇔ k = 9.
*Mặt khác AB = 4 2 ⇔
3
9
⎡ x1 = −1 ⇒ A( −1;−3)
⇒ AB : x − y − 2 = 0.

*Với k = 9 khi đó 3x 2 − 6x − 9 = 0 ⇔ ⎢
⎢⎣ x2 = 3 ⇒ B ( 3;1)
Vì vậy đường thẳng AB đi qua điểm N (4;2).
Chọn đáp án B.
Cách 2: *Gọi A(x1; x13 − 3x12 + 1), B(x2 ; x23 − 3x22 + 1) với x1 ≠ x2 .
*Vì tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y '(x1 ) = y '(x2 ) = k.
*Do đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 2 − 6x − k = 0 (1).
*Ta phải có (1) có hai nghiệm phân biệt nên Δ ' = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 .
Lấy y chia cho 3x 2 + 6x − k, ta được:
⎛ x 1⎞
⎛k
⎞
k
x 3 − 3x 2 + 1 = ⎜ − ⎟ (3x 2 − 6x − k) + ⎜ − 2⎟ x + 1− .
3
⎝ 3 3⎠
⎝3 ⎠
⎛k
⎞
⎛k
⎞
k
k
Do đó y(x1 ) = ⎜ − 2⎟ x1 + 1− , y(x2 ) = ⎜ − 2⎟ x2 + 1− .
3
3
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
Vì vậy
2

2
⎡⎛ k
⎤
⎛k
⎞
⎞
2
AB = (x2 − x1 ) + ⎜ − 2⎟ (x2 − x1 ) = ⎢⎜ − 2⎟ + 1⎥ . ⎡⎣(x1 + x2 )2 − 4x1x2 ⎤⎦
⎝3 ⎠
⎢⎣⎝ 3 ⎠
⎥⎦
2

2
⎡⎛ k
⎤⎡
⎞
4k ⎤
= ⎢⎜ − 2⎟ + 1⎥ . ⎢ 4 + ⎥ = 4 2 ⇔ k = 9.
3⎦
⎢⎣⎝ 3 ⎠
⎥⎦ ⎣
Khi đó đường thẳng AB là y = x − 2.
*Nhận xét: Theo cách giải này thì ta viết được ngay đường thẳng AB, có thể sử dụng cách giải này để
xử lý các bài toán cùng dạng rất nhanh.
Câu 17. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x là k = y′(x) = 3mx 2 + 4mx + 3.

12

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM

Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 13
⎡ ⎧3m = 0
⎢⎨
9
⎩3 > 0,∀x
2
Yêu cầu bài toán ⇔ 3mx + 4mx + 3 > 0,∀x ⇔ ⎢⎢
⇔0≤m< .
4
⎧3m > 0
⎢⎨
⎢⎣ ⎪⎩ Δ′ = 4m2 − 9m < 0
Chọn đáp án D.
Câu 18. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của các đồ thị hàm số lần lượt là
k1 = f ′(1)

k2 = g ′(1)
k3 =

f ′(1) ⎡⎣ g(1) + 3⎤⎦ − g ′(1) ⎡⎣ f (1) + 3⎤⎦
⎡⎣ g(1) + 3⎤⎦

2

Do k1 = k2 = k3 = k ≠ 0, nên ta có

f ′(1) = g ′(1) =
⇔

g(1) − f (1)
⎡⎣ g(1) + 3⎤⎦

2

f ′(1) ⎡⎣ g(1) + 3⎤⎦ − g ′(1) ⎡⎣ f (1) + 3⎤⎦
⎡⎣ g(1) + 3⎤⎦

2

=k

2

= 1 ⇔ ⎡⎣ g(1) ⎤⎦ + 5g(1) + 9 + f (1) = 0.

Ta phải có:

Δ g (1) ≥ 0 ⇔ 25 − 4(9 + f (1)) ≥ 0 ⇔ f (1) ≤ −

11
.
4

Chọn đáp án A.
Câu 19. Tiếp tuyến tại A, B song song với nhau khi chúng có cùng hệ số góc, khi đó hoành độ của
A, B là nghiệm của phương trình y′(x) = k ⇔ 3x 2 − 6x = k.

Với mỗi Δ′ = 32 − (3− k) > 0 ⇔ k > −6, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Do đó sẽ có vô số cặp điểm phân biệt A, B cùng thuộc (C) mà tiếp tuyến của (C) tại A, B song song
với nhau.
Chọn đáp án D.
⎛
2a ⎞
Câu 20. Giả sử điểm A ⎜ a;
là điểm cần tìm, khi đó tiếp tuyến với (C) tại A là
⎝ a + 2 ⎟⎠

d:y=

4
2a
(x − a) +
⇔ d : 4x − (a + 2)2 y + 2a 2 = 0.
2
a+2
(a + 2)

Ta có d(I,d) =

8 a+2
16 + (a + 2)4

≤

8 a+2
2 16(a + 2)4

= 2 2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (a + 2)4 = 16 ⇔ a = 0;a = −4.
Vậy có hai điểm thỏa mãn A(0;0), B(−4;4) ⇒ AB = 4 2.
KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 13
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
14 Website:www.vted.vn
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ m là
2
m +1
y=−
(x − m) +
⇔ 2x + (m − 1)2 y − m2 − 2m + 1 = 0.
2
m −1
(m − 1)
Do đó
2.1+ (m − 1)2 .1− m2 − 2m + 1
4 m −1
4 m −1
d(I,d) =
=
≤
= 2.
4
22 + (m − 1)4
4 + (m − 1)4

2 4(m − 1)
Dấu bằng xảy ra ⇔ (m − 1)4 = 4 ⇔ m = 1± 2.
Chọn đáp án C.
⎛ 2x − 1⎞ ⎛ 2x − 1⎞
Câu 22. Gọi A ⎜ x1; 1 ⎟ , B ⎜ x2 ; 2 ⎟ với x1 ≠ x2 ≠ −2.
x1 + 2 ⎠ ⎝
x2 + 2 ⎠
⎝
*Vì tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên y '(x1 ) = y '(x2 ) = k.
*Vì vậy x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: y '(x) = k ⇔

5
= k (1).
(x + 2)2

*Phương trình này có hai nghiệm phân biệt ⇔ k > 0.
⎛
⎞ ⎛
⎞
5
5
*Khi đó A ⎜ −2 −
; 5k + 2⎟ , B ⎜ −2 +
;− 5k + 2⎟ .
k
k
⎝
⎠ ⎝
⎠

uuur ⎛ 5
uur ⎛ 5 ⎞
⎞
*Ta có AB = ⎜ 2 ;−2 5k ⎟ , I(−2;2) ⇒ PI = ⎜ ;2⎟ trong đó I là trung điểm của AB.
⎝2 ⎠
⎝ k
⎠
uuur uur
5
5
− 4 5k = 0 ⇔ k = (thoả mãn).
*Vì tam giác PAB cân tại P ⇔ AB.PI = 0 ⇔ 5
k
4
Chọn đáp án A.
⎛
9⎞ ⎛
1⎞
*Từ đó suy ra hai điểm cần tìm là A ⎜ −4; ⎟ , B ⎜ 0;− ⎟ .
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
⎧m⎫
⎧m⎫
−m2 + 4
Câu 23. Yêu cầu bài toán ⇔ y′ > 0,∀x ≠ ⎨ ⎬ ⇔
> 0,∀x ≠ ⎨ ⎬ ⇔ 4 − m2 > 0 ⇔ −2 < m < 2.
2
(2x − m)
⎩2⎭

⎩2⎭
Chọn đáp án D.
2x + 1
1
=0⇔ x=− .
Câu 24. Toạ độ giao điểm với trục hoành là y = 0 ⇔
x−5
2
1
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = − là
2
⎛ 1⎞ ⎛
⎛ 1⎞
1⎞
4⎛
1⎞
4
2
y = y′ ⎜ − ⎟ ⎜ x + ⎟ + y ⎜ − ⎟ = − ⎜ x + ⎟ = − x − .
2⎠
11 ⎝
2⎠
11
11
⎝ 2⎠ ⎝
⎝ 2⎠
Chọn đáp án A.

14

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 15
⎛ 1
3⎞
Câu 25. Giả sử tiếp điểm M ⎜ x0 ; x04 − 3x02 + ⎟ ; y ' = 2x 3 − 6x .
2⎠
⎝ 2

(

)

1
3
Phương trình tiếp tuyến tại M là Δ : y = 2x03 − 6x0 ( x − x0 ) + x04 − 3x02 + .
2
2
⎡ x0 = 0
⎢
⎛ 3⎞
3
1
3
Vì A ⎜ 0; ⎟ ∈Δ ⇒ = 2x03 − 6x0 ( 0 − x0 ) + x04 − 3x02 + ⇔ x0 x02 − 2 = 0 ⇔ ⎢ x0 = − 2 .
2
2

2
⎝ 2⎠
⎢
⎢⎣ x0 = 2
3
+ Với x0 = 0 ⇒ Δ : y = .
2
5
+ Với x0 = − 2 ⇒ Δ : y = 2 2 x + 2 − .
2
5
+ Với x0 = 2 ⇒ Δ : y = −2 2 ( x − 2 ) − .
2
⎛ 3⎞
Vậy có 3 tiếp tuyến cùng đi qua điểm A ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 2⎠
Chọn đáp án C.
⎛ m
⎞
(3m + 1)m + m
Câu 26. Ta có toạ độ giao điểm với trục hoành là A ⎜
.
;0⎟ và y′ =
⎝ 3m + 1 ⎠
(x + m)2

(

)

(

(

)

)

Tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm A có hệ số góc là

⎛ m ⎞
3m2 + 2m
(3m + 1)2
k = y′ ⎜
=
=
.
2
⎝ 3m + 1⎟⎠ ⎛ m
3m2 + 2m
⎞
⎜⎝ 3m + 1 + m⎟⎠
Theo giả thiết, ta có k = −1 ⇔
Chọn đáp án B.

(3m + 1)2
1
1
= −1 ⇔ m = − ;m = − .
2

6
2
3m + 2m

⎛ m2 − m ⎞
Câu 27. Toạ độ giao điểm với trục hoành là A ⎜
;0 .
⎝ 3m + 1 ⎟⎠
⎛ m2 − m ⎞ m(3m + 1) − (m − m2 ) (3m + 1)2
=
=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là k = y′ ⎜
2
4m2
⎝ 3m + 1 ⎟⎠
⎛ m2 − m
⎞
⎜⎝ 3m + 1 + m⎟⎠
Theo giả thiết bài toán, ta có k = 1 ⇔

(3m + 1)2
1
= 1 ⇔ m = −1;m = − .
2
5
4m

Chọn đáp án C.

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 15
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
16 Website:www.vted.vn
Câu 28. Xét trên góc phần tư thứ nhất, elip (E) có phương trình y = 3 1−

x2
.
16

Do đó tiếp tuyến của elip (E) tại điểm có hoành độ x0 > 0 là

y=−

3x0
16 1−

x02
16

(x − x0 ) + 3 1−

x02
.
16

⎛
⎞

⎜
⎛ 16 ⎞
3 ⎟
256
144
⎟ ⇒ MN =
Suy ra M ⎜ ;0⎟ , N ⎜ 0;
+
≥ 7.
2
x0 16 − x02
⎝ x0 ⎠ ⎜
x02 ⎟
1− ⎟
⎜
⎝
16 ⎠

Dấu bằng xảy ra ⇔ x0 =

8
7

.

Cách 2: Xét điểm M (m;0), N (0;n) phương trình của đường thẳng MN là
2

x y
+ = 1.

m n

2

⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
Đường thẳng này tiếp xúc với elip khi và chỉ khi 16 ⎜ ⎟ + 9 ⎜ ⎟ = 1.
⎝ m⎠
⎝ n⎠
Khi đó
2

⎛ 16 9 ⎞ ⎛
16
9⎞
MN = m + n = m + n ⎜ 2 + 2 ⎟ ≥ ⎜ m2 . 2 + n2 . 2 ⎟ = 49.
⎝m n ⎠ ⎝
m
n ⎠
2

2

2

(

2

2

)

⎧ m2 n 2
⎪⎪ 16 = 9
⇔ m = 2 7;n = 21.
Dấu bằng xảy ra ⇔ ⎨ 2
2
m
n
⎪
⎪⎩ m2 + n2 = 49
Câu 29. Phương trình tiếp tuyến tại M (1;3) là y = −2(x − 1) + 3 = −2x + 5.
⎛5 ⎞
Khi đó giao điểm của tiếp tuyến với các trục toạ độ là A ⎜ ;0⎟ , B ( 0;5) .
⎝2 ⎠

1
1 5
25
Suy ra SOAB = OA.OB = . .5 = .
2
2 2
4
Chọn đáp án B.
Câu 30. Theo giả thiết bài toán, ta có y′ < 0 ⇔

4 − m2
< 0 ⇔ 4 − m2 < 0 ⇔ (m > 2) ∪ (m < −2).
(mx + 2)2

Chọn đáp án C.
Câu 31. Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình y′ = k ⇔ 3x 2 + 6x + 3 = k.

16

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 17
⎛ x 1⎞
1
1
Khi đó y = ⎜ + ⎟ y′ + (kx + k + 3) ⇒ AB : y = (kx + k + 3).
3
3
⎝ 3 3⎠
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định (−1;1).
Chọn đáp án B.
1
*Chú ý. Cách tìm điểm cố định thuộc đường thẳng y = ( kx + k + 3) .
3
Giả sử điểm (x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua, ta có

y0 =

⎧⎪ x + 1 = 0
⎧⎪ x = −1

1
kx0 + k + 3) ,∀k ⇔ k(x0 + 1) + 3− 3y0 = 0,∀k ⇔ ⎨ 0
⇔⎨ 0
.
(
3
⎩⎪3− 3y0 = 0 ⎩⎪ y0 = 1

Câu 32. Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y′ = −3x 2 + 6x = −3(x − 1)2 + 3 ≤ 3.
Dấu bằng xảy ra ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1, suy ra phương trình tiếp tuyến là y = 3(x − 1) + 4 = 3x + 1.
Chọn đáp án A.
Câu 33. Toạ độ giao điểm với trục tung là (0;−1).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = y′(0)(x − 0) + y(0) = 2x − 1.
Chọn đáp án B.
⎛ 2x − 1⎞ ⎛ 2x − 1⎞
Câu 34. Giả sử A ⎜ x1; 1 ⎟ , B ⎜ x2 ; 2 ⎟ ∈(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với
x1 + 1 ⎠ ⎝
x2 + 1 ⎠
⎝
nhau.
3
3
Ta có x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình k = y′ ⇔ k =
⇔ k > 0; x = −1±
.
2
k
(x + 1)

⎛

⎞ ⎛
⎞
3
3
Khi đó A ⎜ −1−
;2 + 3k ⎟ , B ⎜ −1+
;2 − 3k ⎟ và phương trình tiếp tuyến tại A là
k
k
⎝
⎠ ⎝
⎠

3
) + 2 + 3k .
k
Khi đó khoảng cách giữa hai tiếp tuyến bằng
⎛
3
3⎞
k ⎜ −1+
+ 1+
⎟ + 2 + 3k − (2 − 3k )
k
k⎠
⎝
3k
3k
d = d(B,d1 ) =
=4 2

≤4
= 2 6.
k +1
k2 +1
2 k 2 .1
d1 : y = k(x + 1+

Dấu bằng xảy ra ⇔ k 2 = 1 ⇔ k = 1(k > 0).
Chọn đáp án D.

⎧ a.0 + b
= −1
⎧ y(0) = −1 ⎪⎪ 0 − 1
⎧ a = −4
⇔⎨
⇔⎨
⇒ S = a + b = −3.
Câu 35. Theo giả thiết bài toán, ta có ⎨
⎩b = 1
⎩ y′(0) = 3
⎪ −a − b = 3
⎪⎩ (0 − 1)2
Chọn đáp án B.
KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 17
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
18 Website:www.vted.vn
Câu 36. Gọi A(x1; x13 − 3x12 + 1), B(x2 ; x23 − 3x22 + 1) với x1 ≠ x2 .

Vì tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y '(x1 ) = y '(x2 ) = k.
Do đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 2 − 6x − k = 0 (1).
Ta phải có (1) có hai nghiệm phân biệt nên Δ ' = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 .
Lấy y chia cho 3x 2 + 6x − k, ta được:
⎛ x 1⎞
⎛k
⎞
k
x 3 − 3x 2 + 1 = ⎜ − ⎟ (3x 2 − 6x − k) + ⎜ − 2⎟ x + 1− .
3
⎝ 3 3⎠
⎝3 ⎠
⎛k
⎞
⎛k
⎞
k
k
Do đó y(x1 ) = ⎜ − 2⎟ x1 + 1− , y(x2 ) = ⎜ − 2⎟ x2 + 1− .
3
3
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
1 uuur uuur
1 ⎛ k⎞
1
k
4k
Vì vậy SOAB = ⎡OA,OB ⎤ = ⎜ 1− ⎟ (x2 − x1 ) = 1−
4+

= 4 ⇔ k = 9.
⎣
⎦
2
2 ⎝ 3⎠
2
3
3
Chọn đáp án D.
Câu 37. Gọi A(x1; x13 − 3x12 + 1), B(x2 ; x23 − 3x22 + 1) với x1 ≠ x2 .

Vì tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên y '(x1 ) = y '(x2 ) = k.
Do đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x 2 − 6x − k = 0 (1).
Ta phải có (1) có hai nghiệm phân biệt nên Δ ' = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 .
Lấy y chia cho 3x 2 + 6x − k, ta được:
⎛ x 1⎞
⎛k
⎞
k
x 3 − 3x 2 + 1 = ⎜ − ⎟ (3x 2 − 6x − k) + ⎜ − 2⎟ x + 1− .
3
⎝ 3 3⎠
⎝3 ⎠
⎛k
⎞
⎛k
⎞
k
k
Do đó y(x1 ) = ⎜ − 2⎟ x1 + 1− , y(x2 ) = ⎜ − 2⎟ x2 + 1− .

3
3
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
⎛k
⎞
k
Suy ra đường thẳng qua điểm A, B là y = ⎜ − 2⎟ x + 1− .
3
⎝3 ⎠

Ta có d(C, AB) =

⎛k
⎞
k
⎜⎝ 3 − 2⎟⎠ .1+ 1− 3 − 5

Dấu bằng xảy ra ⇔

2

⎛k
⎞
2
⎜⎝ 3 − 2⎟⎠ + 1

=

6

2

⎛k
⎞
⎜⎝ 3 − 2⎟⎠ + 1

≤ 6.

k
− 2 = 0 ⇔ k = 6.
3

Chọn đáp án A.
Câu 38. Xét điểm M (m;−2) ∈Δ : y = −2.
Đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình là y = k(x − m) − 2.
Ta có hệ điều kiện tiếp xúc:
18

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 19

⎧ x 3 − 3x 2 + 2 = k(x − m) − 2
3
2
⎪
⎪⎧ x − 3x − k(x − m) + 4 = 0

⇔
⎨ 3
⎨ 2
′
2
′
⎪⎩3x − 6x = k
⎪⎩ x − 3x + 2 = ( k(x − m) − 2 )
⎧⎪(x − 2)2 (x + 1) − 3x(x − 2)(x − m) = 0 ⎧⎪(x − 2) ⎡⎣ 2x 2 − (3m − 1)x + 2 ⎤⎦ = 0
⇔⎨
⇔⎨
.
2
2
⎩⎪ k = 3x − 6x
⎪⎩ k = 3x − 6x
−1 = y′(x1 ). y′(x2 ) = 3x12 − 6x1 3x22 − 6x2 = 9x1x2 ⎡⎣ x1x2 − 2(x1 + x2 ) + 4 ⎤⎦

(

)

(

)(

)

⎛ 55
⎞

⎡
3m − 1 ⎤
55
= 9.1. ⎢1− 2.
+ 4 ⎥ = 27(2 − m) ⇔ m =
⇒ M ⎜ ;−2⎟ .
2
27
⎝ 27
⎠
⎣
⎦
Chọn đáp án C.
Câu 39. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = m là y =

−2
m +1
(x − m) +
.
2
m −1
(m − 1)

⎛ 2m + m2 − 1⎞ ⎛ 2m + m2 − 1 ⎞
Toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục toạ độ là A ⎜ 0;
,B
;0⎟ .
2
(m − 1)2 ⎟⎠ ⎜⎝
⎝

⎠
Khi đó
1
(2m + m2 − 1)2
SOAB = OA.OB =
≥ 6 + 4 2.
2
4(m − 1)2
*Chú ý. Ta đánh giá bằng cách sau đây:
m2 + 2m − 1
> 1 và
Với mọi m > 1, ta có
2(m − 1)
y=

m2 + 2m − 1
⇔ m2 + 2m(1− y) + 2 y − 1 = 0
2(m − 1)

⇒ Δ m′ ≥ 0 ⇔ (1− y)2 − (2 y − 1) ≥ 0 ⇔ y 2 − 4 y + 2 ≥ 0
⎡y ≥ 2+ 2
⇔⎢
⇒ y ≥ 2 + 2 ⇒ SOAB = y 2 ≥ (2 + 2)2 = 6 + 4 2.
⎢⎣ y ≤ 2 − 2

Chọn đáp án A.
Câu 40. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 là
y=−

2x + 1

5
(x − x0 ) + 0 .
2
x0 − 2
(x0 − 2)

⎛ 2x 2 + 2x0 − 2 ⎞ ⎛ 2x02 + 2x0 − 2 ⎞
Toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục toạ độ là A ⎜ 0
;0⎟ , B ⎜ 0;
.
5
(x0 − 2)2 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
⎡ x = −3
(2x02 + 2x0 − 2)2 2
1
Do đó SOAB = OA.OB =
= ⇔⎢ 0
⇒ có hai điểm thoả mãn.
2
2
5
10(x0 − 2)
⎢⎣ x0 = 1
KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 19
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM

20 Website:www.vted.vn
Chọn đáp án C.
Câu 41. Phương trình hoành độ giao điểm:

−x + 1
= x + m ⇔ 2x 2 + 2mx − m − 1 = 0.
2x − 1

⎧ x1 + x2 = −m
⎪
Theo vi – ét ta có ⎨
m + 1.
x
x
=
−
⎪ 1 2
2
⎩
1
1
Khi đó k1 = y′(x1 ) = −
;k2 = y ′(x2 ) = −
.
2
(2x1 − 1)
(2x2 − 1)2
Và k1k2 =

1

1
1
=
=
= 1.
2
2
2
(2x1 − 1) (2x2 − 1)
( 4x1x2 − 2(x1 + x2 ) + 1) ( −2(m + 1) + 2m + 1)
2

Chọn đáp án D.
Câu 42. Phương trình hoành độ giao điểm:

−x + 1
= x + m ⇔ 2x 2 + 2mx − m − 1 = 0.
2x − 1

⎧ x1 + x2 = −m
⎪
Theo vi – ét ta có ⎨
m + 1.
x
x
=
−
⎪ 1 2
2
⎩

1
1
Khi đó k1 = y′(x1 ) = −
;k2 = y ′(x2 ) = −
.
2
(2x1 − 1)
(2x2 − 1)2
Và
−4(x1 + x2 )2 + 4(x1 + x2 ) + 8x1x2 − 2
1
1
k1 + k2 = −
−
=
(2x1 − 1)2 (2x2 − 1)2
(4x1x2 − 2(x1 + x2 ) + 1)2
−4m2 − 4m − 4(m + 1) − 2
=
= −4m2 − 8m − 6 = −4(m + 1)2 − 2 ≤ −2.
2
(−2(m + 1) + 2m + 1)
Dấu bằng đạt tại m = −1.
Chọn đáp án B.
−x + 1
= x + m ⇔ 2x 2 + 2mx − m − 1 = 0.
Câu 43. Phương trình hoành độ giao điểm:
2x − 1
⎧ x1 + x2 = −m
⎪

Theo vi – ét ta có ⎨
m + 1.
⎪ x1x2 = −
2
⎩
Khi đó gọi d1 ,d2 lần lượt là các tiếp tuyến của (C) tại A, B ta có hệ số góc của chúng lần lượt là:
k1 = y ′(x1 ) = −

Và k1k2 =
20

1
1
;k2 = y ′(x2 ) = −
.
2
(2x1 − 1)
(2x2 − 1)2

1
1
1
=
=
= 1.
2
2
2
(2x1 − 1) (2x2 − 1)
4x

x
−
2(x
+
x
)
+
1
−2(m
+
1)
+
2m
+
1
( 12 1 2 ) (
)
2

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 21

1
−1
k1 − 1 k2
k −1

1
=
= 2
= tan(d2 ,d) ⇒ ΔABC cân tại C.
Với k1 = , ta có tan(d1 ,d) =
1
1+ k1
1+ k2
k2
1+
k2
Do đó ta chỉ cần điều kiện:
k −k
1
1
1
tan(d1 ,d2 ) = 1 2 = 3 ⇔
−
= 3
2
1+ k1k2
2 (2x1 − 1) (2x2 − 1)2

⇔ 2 (x2 − x1 )(x2 + x1 − 1) = 3 ⇔ 2 m + 1 m2 + 2(m + 1) = 3 ⇔ m = −1±

1
2

.

Chọn đáp án C.
*Chú ý. Góc α giữa hai đường thẳng có hệ số góc k1 ,k2 là tan α =

k1 − k2
.
1+ k1k2

ur
Câu 44. + Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k suy ra tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến n1 = ( k;−1) , véc tơ
ur
u
pháp tuyến của d là n2 = (1;1) .
ur r
n1 n2
k −1
1
3
2
Từ đó suy ra : cos α = ur r ⇔
=
⇔ 12k 2 − 26k + 12 = 0 ⇔ k = ∨ k = .
2
3
26
n1 n2
2 k2 +1

(

)

Khi đó yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai phương trình sau có
⎡
⎡ 2
3
3
⎢ y' = 2
⎢3x + 2 (1− 2m) x + 2 − m = 2
nghiệm ⎢
⇔⎢
có nghiệm
⎢ y' = 2
⎢3x 2 + 2 1− 2m x + 2 − m = 2
(
)
⎢⎣
⎢⎣
3
3
2
⎡Δ ' ≥ 0
⎡8m − 2m − 1 ≥ 0
1
1
⇔⎢ 1
⇔⎢ 2
⇔m≥ ∨m≤− .
2
4
⎢⎣ Δ '2 ≥ 0 ⎣ 4m − m − 3 ≥ 0

⎛
⎞
1⎤ ⎡1
Vậy m ∈⎜ −∞;− ⎥ ∪ ⎢ ;+∞ ⎟ là những giá trị cần tìm.
4⎦ ⎣2
⎝
⎠
Chọn đáp án A.
1
Câu 45. + Đường thẳng x + 2 y − 3 = 0 có hệ số góc bằng − nên tiếp tuyến vuông góc với nó có hệ số
2
góc bằng 2 , khi đó ta có
mx 2 + 2 ( m − 1) x + ( 4 − 3m) = 2 ⇔ mx 2 + 2 ( m − 1) x + ( 2 − 3m) = 0(*)
Khi đó yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có duy nhất một nghiệm âm.
+ Nếu m = 0 ⇒ (*) ⇔ −2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 (loại).

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 21
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
22 Website:www.vted.vn

⎡x = 1
+ Nếu m ≠ 0 ⇒ (*) ⇔ ⎢
.
⎢ x = 2 − 3m
⎣⎢
m
Vậy (*) có duy nhất một nghiệm âm khi và chỉ khi

⎡m < 0
2 − 3m
là những giá trị cần tìm.
<0⇔⎢
⎢m > 2
m
⎢⎣
3

Chọn đáp án D.
Câu 46. Ta có y ' = mx 2 + 2 ( m − 1) x + 4 − 3m .
⎛ 1⎞
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y ′.⎜ − ⎟ = −1 có đúng hai nghiệm dương phân biệt
⎝ 2⎠

⇔ mx 2 + 2 ( m − 1) x + 4 − 3m = 2 có đúng hai nghiệm dương phân biệt.
⇔ mx 2 + 2 ( m − 1) x + 2 − 3m = 0 có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

⎧m ≠ 0
⎪
2
⎪ Δ ' = 4m − 4m + 1 > 0 ⎡0 < m < 1
⎢
⎪
2 .
⇔ ⎨ S = 2 (1− m) > 0
⇔⎢
⎢1 < m < 2
⎪

m
⎢⎣ 2
⎪
3
2 − 3m
⎪P =
>0
m
⎩
⎛ 1⎞ ⎛ 1 2⎞
Vậy m ∈⎜ 0; ⎟ U ⎜ ; ⎟ là những giá trị cần tìm.
⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠
Chọn đáp án C.
⎛
a + 2⎞
Câu 47. Xét điểm A ⎜ a − 1;
∈( C ) ,a ≠ 0 .
a ⎟⎠
⎝
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm A có phương trình: d : y = −

2
a+2
x − a + 1) +
.
2(
a
a

2

.
a2
Tam giác OAB vuông nên chỉ có thể vuông tại O hoặc A .
+) Tam giác OAB vuông tại O ⇒ A thuộc trục tung hay tiếp điểm A( 0;3) .
Hệ số góc của d là k1 = −

Suy ra tiếp tuyến d1 : y = −2x + 3 .
+) Tam giác OAB vuông tại A

a+2
−0
a+2
Hệ số góc của đường thẳng OA : k2 = a
.
=
a − 1− 0 a ( a − 1)
22

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 23
Vậy k1k2 = −1 ⇔

⎡ a = −1
−2 a + 2
.
= −1 ⇔ ( a + 1) ( a − 2 ) a 2 + 2 = 0 ⇔ ⎢

.
2
a a ( a − 1)
⎣a = 2

(

)

Với a = −1 ⇒ d2 : y = −2x − 5 .

1
5
Với a = 2 ⇒ d3 : y = − x + .
2
2
Vậy có tất cả ba điểm thoả mãn.
Chọn đáp án B.
Câu 48. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = m là y = −

5
3− m
(x − m) +
.
2
m+ 2
(m + 2)

Để tiếp tuyến cách đều hai điểm A, B có hai khả năng:
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng AB, vì vậy k = k AB ⇔ −

nghiệm).
• Tiếp
tuyến
đi
qua
trung
điểm
−2 + 0
5
−1+ 1
3− m
=−
(
− m) +
⇔ m = −1.
2
2
2
m+ 2
(m + 2)
Do đó ta có tiếp tuyến duy nhất y = −5x − 1.
Chọn đáp án A.
⎛
2m ⎞
Câu 49. Gọi M ⎜ m;
∈(1),m ≠ 1 ta có I(m;0) .
⎝ m − 1⎟⎠
Vì tam giác IOM vuông tại I nên IOM
⎡
2m

⎡m = 0
2
m=
⎢
⎛
⎞
2m
⎢
m
−
1
2
IM = IO ⇔ m = ⎜
⇔⎢
⇔ ⎢ m = −1 .
⎟
⎝ m − 1⎠
⎢ m = − 2m
⎢m = 3
⎢⎣
m −1 ⎣
Chú ý M khác O nên M (−1;−1), M (3;3) .

đoạn

cân

5
0 − (−2)
=

= 1 (vô
2
1− (−1)
(m + 2)

thẳng

khi

cân

AB,

tại

vì

I,

khi

vậy

đó

1
3
+ Với M (−1;−1) ta có tiếp tuyến d : y = − x − .
2
2

1
9
+ Với M (3;3) ta có tiếp tuyến d : y = − x + .
2
2
Vậy có tất cả hai điểm thoả mãn.
Chọn đáp án B.
Câu 50. Trung điểm I của AB là điểm I(0;7).
Đường thẳng AB có hệ số góc k = 0 .
Tiếp tuyến d của (1) cách đều AB có 2 khả năng.
⎡ x = 1 ⎡ M (1;3)
+ Nếu d song song với AB khi đó y ' = 3x 2 − 12x + 9 = 0 ⇔ ⎢
.
⇒⎢
⎣ x = 3 ⎣ M (3;−1)

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 23
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
24 Website:www.vted.vn
Tiếp tuyến cần tìm là y = 3; y = −1 .
+ Nếu d đi qua trung điểm I của AB, khi đó tiếp tuyến có dạng y = kx + 7 .
Ta có hệ phương trình
⎧⎪ x 3 − 6x 2 + 9x − 1 = x(3x 2 − 12x + 9) + 7
⎧⎪ x 3 − 6x 2 + 9x − 1 = kx + 7
⇔⎨
⎨ 2
2

⎪⎩3x − 12x + 9 = k
⎪⎩ k = 3x − 12x + 9
.
⎡ x = 2,k = −3
⎡ d : y = −3x + 7
⇔⎢
⇒⎢
⎣ x = −1,k = 24 ⎣ d : y = 24x + 7
Vậy có 4 tiếp tuyến cần tìm là y = 3; y = −1; y = −3x + 7; y = 24x + 7.
Chọn đáp án A.

Khoá học PRO X TOÁN 2018 tại Vted luyện thi THPT Quốc Gia 2018 do thầy trực
tiếp giảng dạy; Khoá học này dành cho các em hiện tại đang là học sinh lớp 11 và chuẩn
bị lên lớp 12, tức các em Teen K2000.
>>Nội dung chính có trong khoá học này bao gồm:
---------------------------------------------------------------<1>. Ôn tập lại kiến thức và định hướng nâng cao kiến thức TOÁN 11 có trong cấu trúc
đề thi THPT quốc gia Môn Toán 2018 do BGD công bố (phát hành tháng 12/2017 đến
hết tháng 3/2018 -phù hợp với thời điểm BGD công bố cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia
2018).
<2>. Học toàn bộ kiến thức cơ bản Toán 12 cơ bản và bổ sung định hướng các kiến thức
nâng cao hướng đến kì thi THPT Quốc Gia 2018 (phát hành t3/2017 đến hết t11/2017).
<3>. Khoá học đi kèm khoá luyện đề với 30 chất lượng thật sát với đề thi THPT Quốc
Gia 2018, học viên được thi online tại website và xếp hạng điểm thi, thời gian làm bài
với các thí sinh khác; xem lời giải cho đề thi dạng text kèm video chữa chi tiết đề thi.
------------------------------------------------------Chi tiết về khoá học các em xem tại link: />>>Website: www.vted.vn
>>Fanpage: />>>Group: />>>Kênh youtube Vted: />>>Hotline: 0466 864 535 hoặc 0976 266 202
--------------------------------------------------------------->>Học phí gốc: 1.200.000đ - Học phí ưu đãi: 600.000đ.
#vted #hoctoanonlinechattluongcao
Đăng kí khoá PRO X Toán 2018 trên VTED tại đây:
/>

24

KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn


KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
Website:www.vted.vn 25

Video giới thiệu về khoá học:
/>
KHOÁPROX–BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 25
Website:www.vted.vn