CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ CỰ TRỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN
Chủ đề: Cực trị của hàm sô
4 dạng bài Tìm cực trị của hàm sô trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm sô
Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm sô
Dạng 2: Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm
Trắc nghiệm Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm
Dạng 3: Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô
Trắc nghiệm Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô
Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm sô
Trắc nghiệm về cực trị hàm sô
100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 1)
100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 2)
100 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ nhận biết - Phần 3)
120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 1)
120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 2)
120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 3)
120 Bài tập Cực trị hàm sô hay nhất có giải chi tiết (mức độ vận dụng - Phần 4)


Chủ đề: Cực trị của hàm sô
4 dạng bài Tìm cực trị của hàm sô trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm sô.
I. Phương pháp giải
Quy tắc tìm cực trị của hàm sô
* Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm sô.
Bước 2. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm sô.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu x i (i = 1; 2; 3... là các
nghiệm).
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm sô y = x3 – 3x2 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm sô đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.
B. Hàm sô đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0 .
C. Hàm sô đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .
D. Hàm sô đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.


Hiển thị đáp án
Ta có: y' = 3x2 - 6x = 0
Và y'' = 6x - 6
Suy ra: y''(0) = -6 < 0; y''(2) = 6 > 0
Do đó: hàm sô đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
Suy ra chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm sô y = x4 – 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm sô có ba điểm cực trị.
B. Hàm sô chỉ có đúng 2 điểm cực trị.
C. Hàm sô không có cực trị.
D. Hàm sô chỉ có đúng một điểm cực trị.
Hiển thị đáp án
Ta có đạo hàm:

y' = 4x3 - 4x = 0
Và y''= 12x2 – 4
⇒ y''(0) = -4 > 0; y''(1) = 8 > 0; y''(-1) = 8 > 0

Suy ra:
• Hàm sô đạt cực đại tại điểm x = 0
• Hàm sô đạt cực tiểu tại điểm x = 1 và x = -1.
Vậy hàm sô đã cho có 3 điểm cực trị.


Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm sô sau. Khi
đó giá trị của biểu thức M2 – 2n bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Hiển thị đáp án
* Ta có đạo hàm:

Suy ra:

* Ta có:
⇒ y''(-3) = -2 < 0; y''(-1) = 2 > 0
Suy ra: Hàm sô đạt cực đại tại x = -3 và yCĐ = -3
Hàm sô đạt cực tiểu tại x = - 1 và yCT = 1
⇒ M2 – 2n = 7
Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm sô:
Điểm nào trong các điểm sau là điểm cực trị của đồ thị?
A. M(1; 2)

B. N(2; 1)

C. P(-3; 3)

D. Q(-2; 2)

Hiển thị đáp án
Tập xác định D = R (vì x2 + 6x + 12 > 0 mọi x).
Đạo hàm:

Giải phương trình y' = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3
Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương
⇔ x = -3 là điểm cực tiểu của hàm sô.
Mà y(-3) = 3 nên điểm cực trị của đồ thi hàm sô là M(-3; 3)
Suy ra chọn đáp án C.
Dạng 2: Tìm tham sô m để hàm sô đạt cực trị tại một điểm.
I. Phương pháp giải


Cho hàm sô y = f(x; m). Tìm m để hàm sô đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)
* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm sô.
* Bước 2: Do hàm sô đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn.
* Chú ý: Nếu hàm sô đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) < 0

Nếu hàm sô đạt cực tiểu tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) > 0
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham sô m để hàm sô y = x3 – mx2 + (2m – 3)x 3 đạt cực đại tại x = 1.
A. m = 3

B. m > 3

C. m ≤ 3

D. m < 3

Hiển thị đáp án
* Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 2mx + 2m - 3
Để hàm sô đạt cực đại x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Hàm sô y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x =
π. Khi đó, giá trị của biểu thức P = 3b - 3ab là:
A. 3

B. -1

C. 1

D. -3

Hiển thị đáp án
Tập xác định D = R

+ Ta có: y' = 2a.cos2x – 3b.sin3x - 2.
Hàm sô đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta có hệ phương trình:

Do đó, giá trị của biểu thức P = a + 3b - 3ab = 1.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm sô y = ax3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm sô có 2 điểm cực trị
là gôc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm sô có phương trình là:
A. y = 2x3 – 3x2.
B. y = -2x3 – 3x2.
C. y = x3 + 3x2 + 3x.
D. y = x3 – 3x - 1.
Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c
+ Đồ thị hàm sô có điểm cực trị là gôc tọa độ ta có:

⇒ Hàm sô có dạng: y = ax3 + bx2
+ Đồ thị hàm sô có điểm cực trị là A(-1; -1) ta có:

Vậy hàm sô là: y = -2x3 – 3x2.
Suy ra chọn đáp án B.


Ví dụ 4: Cho hàm sô y = x3 – 3mx2 + (m2 - 1).x + 2 với m là tham sô. Tìm m để
hàm sô đạt cực tiểu tại x = 2
A. m = 2
C. m = 11

B. m = 1
D. m < 2

Hiển thị đáp án
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y' = 3x2 – 6mx + m2 - 1 và y'' = 6x – 6m
Hàm sô đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Vậy để hàm sô đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 thì m = 1.
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Tìm m để hàm sô y = x4 – 2(m + 1).x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1.
A. m = -1
C. m = 1

B. m = 0
D. không có giá trị

Hiển thị đáp án
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y' = 4x3 - 4(m + 1)x
* Để hàm sô đã cho đạt cực đại tạo x = 1 thì y'(1) = 0
⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m + 1 = 1
⇔m=0


* Với m = 0 thì y' = 4x3 – 4x
⇒ y'(1) = 0 và y'' = 12x2 – 4; y''(1) = 8 > 0
Do đó; hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1.
⇒ m = 1 không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Với những giá trị nào của m thì hàm sô sau đạt cực tiểu tại x = 1.

A. m = -2 hoặc m = 0

B. m = 0

C. m = -2 hoặc m = 1

D. m = -2

Hiển thị đáp án
Điều kiện: x ≠ m
* Ta có:

Nên đạo hàm

* Vì hàm sô có đạo hàm tại các điểm x ≠ m nên để hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1
thì

* Với m = 0 thì y''(1) = 2 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm sô
Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


* m = -2 ⇒ y''(1) = -2 < 0 nên x = 1 là điểm cực đại của hàm sô
Suy ra m = -2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị của m thỏa mãn là m = 0.
Suy ra chọn đáp án D.
Dạng 3: Biện luận theo m sô cực trị của hàm sô.
I. Phương pháp giải
* Cực trị của hàm sô bậc ba
Cho hàm sô y = ax3 + bx2 + cx + d
Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c; Δ'= b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm sô đã cho không có cực
trị.
Vậy hàm sô bậc ba không có cực trị khi b2 – 3ac ≤ 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm sô đã cho có 2 điểm cực trị
Vậy hàm sô bậc 3 có 2 cực trị khi b2 – 3ac > 0
* Cực trị của hàm trùng phương
Cho hàm sô y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)
Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx. Xét phương trình y' = 0
Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

Để đồ thị hàm sô đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có
nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm


Để đồ thị hàm sô đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt khác 0 hay
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm sô y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm sô có
cực đại, cực tiểu xác định m?
A. m = 1

B. m ≠ 1

C. m > 1

D. m tùy ý.

Hiển thị đáp án
* Cách 1:

Ta có đạo hàm y' = 3(m - 1)x2 - 6x - m - 1
Để hàm sô đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai
nghiệm phân biệt :

* Cách 2:
Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu
Hàm sô có cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Điều kiện để hàm sô y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là:


A. ab < 0
C. b = 0

B. ab > 0
D. c = 0

Hiển thị đáp án
Ta có đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
Xét y' = 0 hay 2x(2ax2 + b) = 0

Để hàm sô đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm sô y = x 3 – 2x2 + (m + 3)x - 1
không có cực trị?
A. m ≥ -8/3

B. m > -5/3

C. m ≥ -5/3

D. m ≤ -8/3

Hiển thị đáp án
Ta có đạo hàm: y' = 3x2 – 4x + m + 3
Hàm sô không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có
nghiệm kép.
⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 4 - 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ -5/3
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham sô m để hàm sô y = mx 4 + (m - 1)x2 + m chỉ có
đúng một cực trị.


Hiển thị đáp án
* Trường hợp 1: m = 0
Ta có hàm sô y = -x2, hàm sô này có 1 cực trị.
Vậy m = 0 thỏa mãn.
* Trường hợp 2: m ≠ 0
Đạo hàm y' = 4mx3 + 2(m - 1)x
Xét phương trình: y' = 0 hay 4mx3 + 2(m - 1)x = 0

Hàm sô có đúng 1 cực trị khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0 .

Kết hợp TH1 và TH2 ta có:

thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Tìm m để hàm sô sau có cực trị:

A. -10 < m < 20
C. m < 0

B. m > 0

D. Mọi m

Hiển thị đáp án
* Với m = 0 thì hàm sô trở thành y = -x2 + x - 1
⇒ y' = -2x + 1 = 0 khi x = 1/2 và y''(1/2) < 0


Do đó hàm sô đạt cực đại tại x = 1/2
Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán
* Với m ≠ 0 ta có:
Ta có y' = 0 khi và chỉ khi: mx2 – 2x + 1 – 2m = 0 (*)
Hàm sô đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
khác 1/m
⇔ 2m2 – m + 1 > 0 (luôn đúng với mọi m) .
Vậy hàm sô đã cho luôn có cực trị với mọi m.
Suy ra chọn đáp án D.
Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm sô.
I. Phương pháp giải
1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm sô bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d.
Ta có đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c
• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm sô:
Đồ thị hàm sô có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1, x2
Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'.
Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm sô là: y =
r(x).
(chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(x2) = 0).
Bài toán: Tìm điều kiện của tham sô m để đồ thị hàm sô có hai điểm cực trị thỏa
mãn hệ thức T.
+ Tìm điều kiện để hàm sô có cực trị.


+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.
2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm sô: y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C).
Ta có y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Đồ thị hàm sô (C) có ba điểm cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0
Hàm sô có 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài các đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện
STT

Dữ kiện

1

Tam giác ABC vuông cân tại A

2

Tam giác ABC đều

3

Tam giác ABC có góc ∠BAC = α

4

Tam giác ABC có diện tích SΔABC = S0


5

Tam giác ABC có diện tích max (S0)

6

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0

7

Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0

8

Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0

9

Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox

10

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

11

Tam giá ABC có trọng tâm O

12

Tam giác ABC có trực tâm O

13

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0

14

Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi

15

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp

16

Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

17

Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC


18

Trục hoành chia ΔABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

19

Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

20
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham sô m để hàm sô y = m/3.x 3 + 2x2 +
mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ < xCT.
A. m < 2

B. -2 < m < 0

C. -2 < m < 2

D. 0 < m < 2

Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = mx2 + 4x + m
Để hàm sô có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ < xCT

Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm tất các giá trị thực của tham sô m để hàm sô:
y = 1/3.x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 <
x1 < x2

Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = x + 2(m + 3)x + 4(m + 3)
2


Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1,
x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2

Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham sô để hàm sô: y = 1/3.mx 2 - (m - 1)x2 + 3(m 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1

Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = mx - 2(m - 1)x + 3(m - 2)
2

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1,
x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1


Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của tham sô m để đồ thị hàm sô: y = x 4 – 2m2x2 + 1 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
A. m = - 1

B. m ≠ 0


C. m = 1

D. m = 1 hoặc m = -1

Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x
Ta có: y' = 0 khi 4x(x2 – m2) = 0
* Hàm sô có 3 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm sô là: A(0; 1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4)
* Do tính chất đôi xứng, ta có tam giác ABC cân tại đỉnh A .
Vậy tam giác ABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh
A ⇔ AB−.AC− = 0
⇔ -m2 + m8 = 0
Kết hợp điều kiện ta có: m = 1 hoặc m = -1 (thỏa mãn).
Lưu ý: có thể sử dụng công thức
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của tham sô m để đồ thị hàm sô: y = x 4 – 2mx2 + 2m +
m4 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Hiển thị đáp án
Đạo hàm y' = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m)
Xét phương trình y' = 0 hay 4x(x2 – m) = 0 (*)
* Hàm sô có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt hay m
>0.


* Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm sô là:

A(0; m4 + 2m), B(-√m; m4 - m2 + 2m), C(√m; m4 - m2 + 2m)
Do tính chất đôi xứng, ta có tam giac ABC cân tại đỉnh A.
* Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiện ta có: m = 3√3 ( thỏa mãn).
* Lưu ý: có thể sử dụng công thức:

Suy ra chọn đáp án C.
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm sô
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1.Định nghĩa: Cho hàm sô y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a
là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).
Nếu tồn tại sô h > 0 sao cho f(x)< f(x 0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta
nói hàm sô f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại sô h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta
nói hàm sô f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2.Điều kiện đủ để hàm sô có cực trị: Giả sử hàm sô y=f(x) liên tục trên
K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.
Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm
cực đại của hàm sô f(x).


Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm sô f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.
Nếu hàm sôy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì x0 được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của hàm sô; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) của hàm sô, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm sô.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá
trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm
sô.
3.Quy tắc tìm cực trị của hàm sô
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm sô.
Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:


Bước 1. Tìm tập xác định của hàm sô.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux i (i=1,2,3,...)là các nghiệm
của nó.
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm sô y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên

Vậy hàm sô đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm sô y = x4 - 2x2 + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔

.

Bảng biến thiên

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm sô đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm sô y =
Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính
Bảng biến thiên


Vậy hàm sô đã cho không có cực trị.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm cực trị của hàm sô y = -x3 + 3x2 - 4
Hiển thị đáp án
Tập xác định D = R.
Tính y'= -3x2 + 6x.

Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔
Bảng biến thiên

Vậy hàm sô đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm sô đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm sô y = -x3 + 3x3 - 3x + 2
Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R.
Tính y' = -3x2 + 6x-3.
Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên