đề cương ôn tập đại số 8 chương 1

BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A – Kiến thức căn bản:
A(B + C) = AB + AC
Bài 1:
1. Tính :
a) (– 4xy)(2xy2 – 3x2y)
b) (– 5x)(3x3 + 7x2 – x)
2. Rút gọn:
A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 – x – 2)
3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau:
Q = ( x 3 − 3x 2 + 2 x + 1) ( − x 2 ) − x ( 2 x 2 − 3 x + 1)

Bài 2:
 1 3 2 3 4  4 3 
1) Tính :  a b − ab ÷ a b ÷
4
2
 3


2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
Q = 3x ( x − 4 y ) −

12
y ( y − 5 x ) , cho x = 4, y = −5
5

3) Tìm x, biết : a) 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0

b) 2x( x – 5) – x( 3 + 2x ) = 0

4)
5)

( 3x − 1) + 3.( 3x − 1) ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1) tại x = 5
2
2
( 2 x + 3) + ( 2 x + 5) − 2.( 2 x + 3) ( 2 x + 5 ) tại x = 2010
2

2

6) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(– 3y) – 3(x2 – y2) – 1.
7) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 – 1
Bài 3:
a. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(– 5bc).
b. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = –2,b = –3.
c. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5.
d. Tìm x, biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5
1


e. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = – 2x2 + x + 5.
Bài 4:
1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y
2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức:
Q = 5 x 2 − a( x + a )  − 3(a 2 − x 2 ) + 2ax  +  2ax − 4(a + 2ax 2 ) 

3. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = – x4 – x3 – x2 + m.
4. Chứng minh : khi a = 10, b = –5 giá trị biểu thức :
A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.
5. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25.
Bài 5:
1. Tính : ( –a4x5)(– a6x + 2a3x2 – 11ax5).
2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = –1,y =
1
3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
4. Tìm hệ số của x2 trong đa thức : Q = 5x( 3x2 – x + 2) –
2x2( x – 2) + 15(x – 1).

2


BÀI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A – Kiến thức căn bản:

( A + B ) ( C + D ) = AC + AD + BC + BD

Bài 1:
1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
Q = ( x − 4 ) ( x − 2) − ( x − 1)( x − 3), cho x = 1

3
4

3. xy( x + y ) – x2 ( x + y ) – y2( x – y ) với x = 3, y = 2
4.Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4

5. Tìm hệ số của x4 trong đa thức:
P = ( x3 – 2x2 +x – 1)( 5x3 – x).
Bài 2:
1. Chứng minh: với a = – 3,5 giá trị biểu thức
A = ( a + 3) ( 9a − 8 ) − ( 2 + a ) (9a − 1) bằng – 29.
2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
Q = ( 3x − 5 ) ( 2 x + 11) − ( 2 x + 3) ( 3 x + 7 )

3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 .Tìm a,b.
Bài 3:
1. Tính :
a) (2 + x)(2 – x)(4 + x2)
b) ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y)
2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 – 8) = 0
3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x +
15).
Bài 4:
1. Rút gọn :
A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4)
B=
2
2
(3a – 2b)( 9a + 6ab + 4b ).
2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2) luôn chia
hết cho 7,với mọi số nguyên n.
3


3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2).
Bài 5:

1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 + 1).
2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5.

4


BÀI 3 – 4 – 5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A – Kiến thức căn bản
• ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2

• ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2

• A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

• ( A + B ) = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3

2

• ( A − B ) = A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3
3

• A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )
Bài 1:
1.
2.
3.
4.

2

3

• A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2)
Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49
Tìm giá trị biểu thức:
Q = ( x + 3) + ( x + 3) ( x − 3) − 2( x + 2)( x − 4), cho x =
2

Bài 2:
1.
2.
3.
4.
Bài 3:
1.

1
2

Rút gọn biểu thức : A = (4 x 2 + y 2 )(2 x + y )(2 x − y )
Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)
Tìm x,biết : 16x2 – (4x – 5)2 = 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3

Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:

A = (2m − 5) 2 − (2m + 5) 2 + 40
2. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên liên tiếp
là một số lẻ
3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4).
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5.
Bài 4:
1. Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = – 4xy
2. Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia hết cho 9,với mọi
n là giá trị nguyên
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = – x2 + 6x +1.
4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 thì ay – bx = 0
Bài 5:
1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a).
2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c.
5


3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 6:
1.
Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3
2.
Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2
3.
Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab.
Bài 7:
1.
Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 – b3
2.
Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.

3.
Cho a – b = 1.Chứng minh : a3 – b3 = 1 + 3ab.
Bài 8 :
3
3
1
 1

1. Rút gọn :  a + b ÷ +  a − b ÷ .
2
 2

3
2. Tìm x,biết : x – 3x2 + 3x – 1 = 0.
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
3
( 4 x − 1) − ( 4 x − 3) ( 16 x 2 + 3)
Bài 9 :
1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125.
2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 – x3 + 12 = 0
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
3
( x − 1) − x3 + 3x 2 − 3x − 1
Bài 10:
1. Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0
2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc.
3. Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 0,với mọi a.
Bài 11 :
1.
Rút gọn biểu thức :

A = (m – n)(m2 + mn + n2) – (m + n)(m2 – mn + n2)
2.
Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = a6 – 9a3 + 8
3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x –3)(x + 3) = 26.
4. Tính nhanh: a) x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97
b) ( x2 – 2xy + y2) – 4z2 tại x = 6, y = –4, z = 45
Bài 12 :
1) Tính giá trị biểu thức:
A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với x =

1
4
6


2) Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) = 17.
6)
7) Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1).
8)

(x

2

+ 1) ( x − 3) − ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) tại x = –3

6) 2( x + y ) ( x – y ) + ( x + y )2 + ( x – y )2 với x = – 3, y = 2010
7) ( x + 3) ( x − 3) − ( x − 3) tại x = 4
2

8) Tính nhanh a) 872 + 732 – 272 – 132
b ) 52.143 – 52.39 – 8.26
Bài 13:
1. Tính giá trị biểu thức :
1
2
2. Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12.
3. Cho x + y = 1 và xy = –1.Tính x3 + y3.
4. Tính Nhanh: a) 672 + 332 + 66.67
b) 362 + 862 – 72.86
Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x =

Bài 14 :
1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
A = ( x + 1) ( x 2 − x + 1) − ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0.
3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2).
Bài 15 :
1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23.
3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3.
Bài 16: Rút gọn
a) 2m( 5m + 2 ) + ( 2m − 3)( 3m − 1)
b) ( 2 x + 4)( 8 x − 3) − ( 4 x + 1) 2
c) ( 7 y − 2 ) 2 − ( 7 y + 1)( 7 y − 1)
d) ( a + 2) 3 − a.( a − 3) 2
Bài 17: C/m các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
a) ( 2 x − 5)( 2 x + 5) − ( 2 x − 3) 2 − 12 x
b) ( 2 y − 1) 3 − 2 y.( 2 y − 3) 2 − 6 y ( 2 y − 2 )
c) ( x + 3) x 2 − 3 x + 9 − 20 + x 3

(

) (

)

7


(

)

d) 3 y.( − 3 y − 2 ) 2 − ( 3 y − 1) 9 y 2 + 3 y + 1 − ( − 6 y − 1) 2
Bài 18: Tìm x:
a) ( 2 x + 5)( 2 x − 7 ) − ( − 4 x − 3) 2 = 16 c) 49 x 2 + 14 x + 1 = 0

(

)(

) (

)

b) 8 x 2 + 3 8 x 2 − 3 − 8 x 2 − 1 = 22 d) ( x − 1) 3 − x.( x − 2 ) 2 − ( x − 2 ) = 0
Bài 19: C/m các biểu thức sau luôn dương:
a) A= 16 x 2 + 8 x + 3
b) B = y 2 − 5 y + 8

c) C = 2 x 2 − 2 x + 2
d) D = 9 x 2 − 6 x + 25 y 2 + 10 y + 4
Bài 20:Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
a) M = x 2 + 6 x − 1
b) N = 10 y − 5 y 2 − 3
Bài 21: Thu gọn
a) ( 2 + 1) 2 2 + 1 2 4 + 1 . . . . . 2 32 + 1 − 2 64

(

)(

)

(

2

)

( 5 + 3) (5 2 + 3 2 )( 5 4 + 3 4 ) . . . . . (5 64 + 364 ) + 5

128

b)

− 3128
2

8

BÀI 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

A – Kiến thức căn bản
Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức.
Nếu tất cả các số hạng của đa thức có một nhân tử chung ( hoặc số chữ) thì
có thể đưa ra ngoài dấu ngoặc.
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử chung:
a) 4a2b3 – 6a3b2
b) 5(a + b) + x(a +b) c) (a – b)2 – ( b – a)
2. Tìm x,biết :
a) x(x – 1) = 0
b) 3x2 – 6x = 0 c) x(x – 6) + 10(x – 6) = 0.
Bài 2:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử chung:
a) 4a2b3 + 36 a2b3 b) 3n(m – 3) + 5n(m – 3) c) (12x2 + 6x )( y + z)
+ (12x2 + 6x)( y – z)
2. Tìm x,biết :
a) 3x2 + 6x = 0
b) 3x3 – x = 0
Bài 3:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử chung:
a) a2(x – y) + b2(x – y)b) c(a – b) + b(b – a).
c) a(a – b)2 – (b – a)3.
2

3
2. Tìm x,biết : a) (x – 1) = x + 2
b) x + 6x = 0
Bài 4:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử chung:
a) (y – z)(12x2 – 6x) + ( y – z)(12x2 + 6x) b) a(b – c) + d(b – c)
– e(c – b).
c) (a – b) + ( b – a)2.
2. Tìm x,biết :
a) 3x(x – 10) = x – 10
b) x(x + 7) = 4x + 28
Bài 5:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử chung:
a) a(b – 3) + (3 – b) – b(3 – b).
b) 15a2b(x2 – y) – 20ab2(x2 – y) + 25ab(y – x2).
c) 5(a – b)2 – ( b – a)(a + b).
2) Tìm x,biết :
a) x(x – 4) = 2x – 8
b) (2x + 3)(x – 1) + ( 2x – 3)(1 – x) = 0
9


BÀI 7: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

A – Kiến thức căn bản
• ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2

• ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2

• A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

• ( A + B ) = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3

2

2

3

• A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

• ( A − B ) = A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3
3

• A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Phân tích thành nhân tử:
a. / ( a 3 − b3 ) + ( a − b )

2

b. / ( x 2 + 1) − 4 x 2

2. Tìm x,biết:
2
2
a. / ( 3x − 5 ) − ( x + 1) = 0

c. / ( y 3 + 8 ) + ( y 2 − 4 )

2

b. / ( 5 x − 4 ) − 49 x 2 = 0
2

Bài 2:
1) Phân tích thành nhân tử:
2
2
a. / x 4 + 2 x 2 y + y 2
b. / ( 2a + b ) − ( 2b + a )
c. / ( 8a 3 − 27b3 ) − 2a ( 4a 2 − 9b 2 )

x 2 − 36 = 0
2) Tìm x,biết:
3) Chứng minh ( 5n – 2)2 – (2n – 5)2 luôn chia hết cho 21,( n ∈ z )
Bài 3:
1) Phân tích thành nhân tử:
a. / ( 64a 3 + 125b3 ) + 5b ( 16a 2 − 25b 2 )
b. /1 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) c. / x 6 − 1
2) Tìm x,biết: 4 x 3 − 36 x = 0
3) Chứng minh ( 7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn chia hết cho 7,( n ∈ z )

10


BÀI 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ

A – Kiến thức căn bản: Vận dụng các tính chất giao hoán,kết hợp và
phân phối của phép cộng,phép nhân đa thức để nhóm một số hạng tử có
nhân tử chung,sau đó đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 1:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 10x2 + 10xy + 5x + 5y
b) 5ay – 3bx + ax – 15by
3
2
c) x + x – x – 1
2. Tìm x,biết : a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) x3 + x2 + x + 1 = 0
Bài 2:
1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)2bx – 3ay – 6by + ax
b) x + 2a(x – y) – y c) xy2 – by2 –
ax + ab + y2 – a
2) Tìm x,biết : 2(x + 3) – x2 – 3x = 0
Bài 3:
1) Phân tích thành nhân tử:
a. / a 5 − a 3 + a 2 − 1
b. / 48 xz 2 + 32 xy 2 − 15 xz 2 − 10 y 3
c. / ax 2 − ay − bx 2 + cy + by − cx 2
2) Tìm x,biết:2x(3x – 5) = 10 – 6x
Bài 4:
1) Phân tích thành nhân tử:
a. / 5a 2 − 5ax − 7 a + 7 x
b. / a 3 + ba 2 − ca 2 − abc
c. / x 2 − (a + b) x + ab
d . / a 3 + b 3 + a 2c + b 2c − abc
2) Tìm x,biết: x2 – 9 = 0

Bài 5:
1) Phân tích thành nhân tử:
a. / mx 2 + my 2 − nx 2 − ny 2
b. / 40bc + 9cx − 24bx − 15c 2 ;
c. / a (b 2 + c 2 − a 2 ) + b(c 2 + a 2 − b 2 ).
2) Tìm x,biết:x3 – 25x = 0.
Bài 6: Phân tích thành nhân tử:
A = x 2 + (2 x + y ) y − z 2
B = x( y 2 − z 2 ) + y ( z 2 − x 2 ) + z ( x 2 − y 2 )
C = xy ( x − y ) + yz ( y − z ) + xz ( z − x ).
E = 3x2 – 3y2 – ( 12x2 – 12y )

D = (a + b)3 + (c − a )3 − (b + c )3

F= x2 – y2 + 13x – 13y
11


G = x2 – y2 + 7x – 7y
Bài 7: Tìm x biết:
a) 4 x 3 − 36 x = 0

b) 5( x – 9 ) + x2 – 9x = 0

c) 2( x + 5) – x2 – 5x = 0

12


BÀI 9: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
A – Kiến thức căn bản: Thực hiện các bước:
• Đặt nhân tử chung (nếu có)
• Dùng hằng đẳng thức
• Nhóm các hạng tử
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1) Phân tích thành nhân tử:
a) 2a 3 − 2ab 2 b) a 5 + a 3 − a 2 − 1
c) 5 x 2 + 3( x + y ) 2 − 5 y 2
2) Tìm x,biết: x2 + 5x + 6 = 0
Bài 2:
1) Phân tích thành nhân tử:
a) 27 a 2b 2 − 18ab + 3
b) 4 − x 2 − 2 xy − y 2
c) x 2 + 2 xy + y 2 − xz − yz
d ) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2
2) Tìm x,biết: x3 – x2 = 4x2 – 8x +4
Bài 3:
1) Phân tích thành nhân tử:
b) a 4 + a 3 − a 2 − a
a. / a 3 + a 2b − a 2 c − abc
c. / b 4 − 4b 3 − b + 4 d/ ( 7x2 – 14xy + 7y2 ) – 28z2
2) Tìm x,biết: 2(x + 3) –x2 – 3x = 0
Bài 4:
1) Phân tích thành nhân tử:
a. / x 3 + 2 x 2 y + y 2 x − 4 x
b) 8a 3 + 4a 2b − 2ab2 − b3
d/ 5x3 – 5x2y + 10x2 – 10xy
c. / a 3 − b3 + 2b − 2a

2) Tìm x,biết: x2 + 4x +3 = 0.
Bài 5:
1) Phân tích thành nhân tử:
2
a. / ( a + b ) − m 2 + a + b − m b) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
c) x 2 − 7 xy + 10 y 2
d . / x 4 + 2 x3 − 4 x − 4
2) Tìm x,biết: 2x2 – 3x – 5 = 0
 Bài 6:
1) Phân tích thành nhân tử:
13


A = x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − 4 x

B = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − x − y

C = ( x + y ) + 3( x + y ) + 2

D = 5 x 2 + 6 xy + y 2

2) Tìm x,biết:
a) x2 + 3x + 2 = 0

b) x2 – x – 6 = 0

2

c) x3 –3x2 – x + 3 = 0

14


ÔN TẬP :PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I/ PP Đặt nhân tử chung
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
1/6x2 + 9x
2/4x2 – 8x
3/5x2 + 10x
2
2
2
4/2x – 8x 5/5x – 15y
6) x(x – 1) + 3(x – 1)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5 x − 10 xy
b) 7 a 3 m 2 − 5a 2 m 3 + 4am
3
3
c) 18 x 5 y 4 z 3 + 24 x 4 y 6 z 2 − 12 x 7 y 3 d) m( a − 2) − n( a − 2)
4
4
e) 14 x( x − y ) − 21 y ( y − x ) + 28 z ( x − y ) f) 8a 3 ( a − 3) + 16a 2 ( 3 − a )
g) 45 x 4 y 4 + 18 x 4 y 5 − 36 x 5 y 3
h) 3a 2 b( m − x ) − 6ab 2 ( x − m )
i) a 2 ( x − y ) + y − x
k) 12y ( 2x–5 ) + 6xy ( 5– 2x)
Bài 3: Phân tích ra thừa số
a) –3xy + x 2 y 2 – 5x 2 y
d)12xy 2 – 12xy + 3x

b) 2x(y – z) + 5y(z – y)
e)15x – 30 y + 20z
5
c) 10x 2 (x + y) – 5(2x + 2y)y 2
f) x(y – 2009) – 3y(2009 – y)
7
2/ PP Dùng hằng đẳng thức:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) x2 – 100
b) 9x2 – 18x + 9
c)x3 – 8
3
4
2
2
4
d) x + 8x – 1
e) x + 6xy + 9y
4
4
f) a – b
g) (x – 3) 2 – (2 – 3x) 2 h) x 3 – 3x 2 + 3x – 1
Bài 2: Phân tích thành nhân tử:
a) 12 x − 36 x 2 − 1
c) 4 xy − 4 x 2 − y 2
4 4
2
d) 49m 2 − 25a 2
d) a − 81b
e) ( a + 1) 2 − 9 x 2

9
2
6 4
g) 25a b − ( a + x ) h) ( x + 4) 2 − ( y − 3) 2
h) − x 3 + 3 x 2 − 3 x + 1 k) 27 x 3 − 27 x 2 y + 9 xy 2 − y 3
1
8
3
3
l) 125 x −
m) y +
125
27
2
2
2
2
n) ( x + y ) − ( x − y ) c) 9m + 24mx + 16 x 2
d) 81x 2 − ( 2a − b ) 2
g) 64m 3 + 8 y 3

e) 49( x + 2) 2 − 25( x − 1) 2 f)

(a

2

+ b2

)

2

− 4a 2 b 2

h) − 8m 3 + 12m 2 y − 6my 2 + y 3
15


i) a 4 − b 4
j) x 6 − y 6
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
1/ (x – 15) 2 – 16
2/ 25 – (3 – x) 2
3/ (7x – 4) 2 – ( 2x + 1) 2
2
2
4/ 9(x + 1) – 1
5) 9(x + 5) – (x – 7) 2
6/ 49(y– 4) 2 – 9(y + 2) 2 7) 8x 3 + 27y 3
8/(x + 1) 3 + (x – 2) 3
9/1 – y 3 + 6xy 2 – 12x 2 y + 8x 3
10/ 2004 2 – 16
11) a3 + b3 + c3 – 3abc
12) (a+b+c)3 – a3 – b3 – c3
3/ PP Nhóm các hạng tử
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
1/3x3 – 6x2 + 3x2y – 6xy
2/x2 – 2x + xy – 2y
3/2x + x2 – 2y – 2xy + y2

4/a4 + 5a3 + 15a – 9 5/ 5 x 2 + 5 xy − x − y
6/ax – 2x – a2 + 2a
7/x3 – 2x2y + xy2 – 9x
Bài 2 : Phân tích thành nhân tử:
1/x2 + 2xz + 2xy + 4yz
2/xz + xt + yz + yt
2
3/x – 2xy + tx – 2ty
4/x2 – 3x + xy – 3y
5/2xy + 3z + 6y + xz
6/x2 – xy + x – y
7/xz + yz – 2x – 2y
8/ a 2 − ab + a − b
9/ x 3 − 2 xy − x 2 y + 2 y 2
10/ a 2 − x 2 + 2a + 1
Bài 3 : Phân tích thành nhân tử :
1/ x2 – 2xy + y2 – 9
2/x2 + y2 – 2xy – 4
2
2
3/x + 2x + 1 – 16y
4/x2 + 6x – y2 + 9
2
2
5/x + 4x – 2xy – 4y + y
6/4x2 + 4x – 9y2 + 1
7/x2–6xy+9y2–25z2
8/16x2 + 24x ─ 8xy ─ 6y + y2
9/x2 + 4x – y2 + 4
10/ x 2 - 2x - 4y 2 - 4y

11/a2 – b2 – 2a + 1
12/2xy – x2 –y2 + 16.
Bài 4: Phân tích thành nhân tử
1/ m 2 − a 2 + 2ab − b 2
2/ 25b 4 − x 2 − 4 x − 4 3/
a 2 − 2ax − b 2 − 2by + x 2 − y 2
4/x 2 + y 2 – z 2 – 9t 2 – 2xy + 6zt5/x 4
+ 3x 2 – 9x – 27
6/x 4 + 3x 3 – 9x – 9
3
2
3
7/x – 3x + 3x – 1 – 8y
*Bài 5 :Phân tích thành nhân tử.
1/x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz
2/x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz
3/x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
4/xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
16


5/x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
6/yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
4/ Phối hợp các phương pháp:
Bài 1:Phân tích đa thức ra thừa số.
a) a 3 − 2a 2 b + ab 2
b) 5ax 4 + 10ax 3 y + 5ax 2 y 2
c) 2 x 2 + 4 x + 2 − 2 y 2
d) 2 xy − x 2 − y 2 + 9
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − 16 x

e)
f) a 3 − a 2 − a + 1
g) m 2 + am + ay − y 2
h) 3 xy + y 2 − 3 x − 1 k)
x 3 − xy 2 + x 2 y − y 3
l) a 3 − ma − mb + b 3
Bài 2: Phân tích thành nhân tử
a)
5x 3 – 45x
b)3x 3 y – 6x2y – 3xy 3 – 6axy2–3a2xy + 3xy
c) 3x3 – 27x
d)x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
a ) x2 – 3x + 2

b ) x2 + 4x + 3

c) 2x2 + 3x – 5

17


BÀI 10: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC

A – Kiến thức căn bản
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B( A chia hết cho B) ta làm như sau:
• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến trong B
• Nhân các kết quả vừa tìm được lại với nhau
Bài 1:

1) Thực hiện phép chia.
3
2
4
2 2 2
2 2
A = 9a b c : ( −3ab c ) B = ( 4a 3b 2 ) : ( 2a 2b ) C = ( − x 2 y 3 z ) : ( xyz )
2) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc : ( − xyz 2 ) : ( − x 2 yz 3 ) tại
5

1
x = −1; y = ; z = −2
2
Bài 2:
1) Tính
A = −64 xy : (−4 x) B = −6a 3b 2 c : ( −2a 2bc )

2

C = ( −9a 2b ) : ( 3ab )

2

2) Tìm số tự nhiên n để phép chia sau là phép chia hết.
a) 5x4 :6xn
b) 3xn : 4x2
Bài 3:
1) Thực hiện phép chia
2
2

1
2

B = − m3 n 2 p 2 :  m 2 n 2 p ÷ C = ( −4a 3b 2 ) : ( −8a 2b )
3
3

3 5 3 2  3 2 2 
1
2) Tính giá trị biểu thức: − a b c :  − a b c ÷ tại a = −2; b = 3; c =
4
2
 2

n n+1
4 6
3) Tìm số tự nhiên n để phép chia sau là phép chia hết: 4x y : 3x y .

A = ( − x2 y5 ) : ( 2x2 y )
3

2

BÀI 11: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

A – Kiến thức căn bản
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (hạng tử của A chia hết cho đơn thức
B) ta làm như sau:
• Chia mỗi hạng tử của A cho B
• Cộng các kết quả vừa tìm được lại với nhau

Bài 1:
1) Thực hiện phép chia
18


A = ( 3a 2b − 4ab3 ) : 5ab B = ( 3 x 3 y 2 − 5 x 2 y 3 + 4 x 3 y 3 ) : ( x 2 y 2 )

3
2
2
2
2)Rút gọn: ( 6a − 3a ) : a + ( 12a + 9a ) : 3a
3) Tìm n để phép chia sau là phép chia hết: (x3 – 5x2 +3x): 4xn.
Bài 2:
1)Thực hiện phép chia:
A = ( 2a 5b 4 + 3a 4b 3 ) : ( −3a 4b 3 ) B = ( x 4 y 4 + 2 x 4 y 3 − 3x 3 y 2 ) : ( − x 3 y 2 )

2) Tính giá trị biểu thức:
( 2 xy 2 − 5 y3 ) : y 2 + ( 12 xy + 6 x2 ) : 3x tại x = –3;y = –12
1 
2
2
3
2
2
3) Rút gọn biểu thức: ( a b − 3ab ) :  ab ÷+ ( 6b − 5ab ) : b
2 
Bài 3:
1) Thực hiện phép chia”
1

1
1

A = ( − a 5b 3 + 3a 6b 2 ) : ( 4a 4b 2 ) B =  a 3b + a 2b 2 − ab 3 ÷: 5ab
3
4
3

3
 4 1 2
3
2
2)Rút gọn: M =  3 x + x ÷: x − x : 3 x + ( 3 x )
3 

3) Tính giá trị biểu thức:
( 3x3 + 4 x 2 y ) : x 2 − ( 10 xy + 15 y 2 ) : 5 y tại x = 2;y = –5.
Bài 4:
1) Thực hiện phép chia:
3
4
 2

A =  − x 5 y 2 + x 4 y 3 − x 3 y 4 ÷: ( 6 x 2 y 2 )
4
5
 3

6
9

3
 3

B =  a 6b3 + a 3b 4 − ab5 ÷:  ab 3 ÷
5
10
4
 5

1

3
2) Rút gọn: M = ( 12 x − 8 x ) : 4 x − 4 x  3x + ÷
4

4
3
2
3
3) Tính giá trị biểu thức: ( 18a − 27 a ) : ( 9a ) − 10a : 5a tại a = –8.
Bài 5:
1) Thực hiện phép chia:

19


4
2

 2


A =  −4a 5b 2 − a 4b5 + a 3b6 ÷:  a 3b 2 ÷
9
3

 3


B = ( 9a 3b 2 − 3a 2b 3 + a 2b 2 ) : 3a 2b 2

1 
M = ( 3 x 3 − 2 x 2 y ) : x 2 − ( 2 xy 2 + x 2 y ) :  xy ÷
3 
2)Rút gọn:
2
3
4
2
N = 5x : x − ( 2 x ) + x : ( 2 x )

3
2
2
2
3) Tính giá trị biểu thức: ( 8 x − 4 x ) : 2 x − ( 4 x − 3x ) : x + 2 x tại x = –1.

20


BÀI 12: CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A – Kiến thức căn bản

Với hai đa thức A và B của cùng một biến ( B ≠ 0 ) ,tồn tại duy nhất cặp đa
thức Q và R sao cho A = BQ + R,trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn
bậc của B(R gọi là dư trong phép chia A cho B).Khi R = 0 phép chia A cho
B là phép chia hết.
Bài 1:
1)Thực hiện phép chia:
A = ( 3x 5 − 5 x 4 − 3x + 1) : ( x 2 − x − 1) B = ( x 4 − 1) : ( x − 1)
2) Cho đa thức: P(x) = x3 +5x2 +3x + m và Q(x) = x2 + 4x –1.Tìm m để
P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 2:
1)Thực hiện phép chia:
A = ( x 5 − 4 x3 − 5 x 2 + 10 x ) : ( x 2 − 2 x ) B = ( 2 x 4 + x − 3 ) : ( x 2 + 3)
2) Cho đa thức: P(x) = x3 3x2 +5x + m +1 và Q(x) = x –2.Tìm m để P(x)
chia hết cho Q(x).
Bài 3:
2
4
2
1)Thực hiện phép chia: A = ( 10 x − 3 x + x − 6 ) : ( x − 2 x + 3)
2) Cho đa thức: P(x) = 3x2 +mx + 27 và Q(x) = x + 5.Tìm m để P(x) chia
hết cho Q(x) có dư bằng 2.
Bài 4:
1) Tìm a,b để đa thức A(x) = 2x3 – x2 + ax + b chia hết cho B(x) = x2 – 1.
2) Tìm x để phép chia (5x3 – 3x2 + 7) : ( x2 + 1) có dư bằng 5.
Bài 5:
1) Tìm a,b để đa thức A(x) = 2x3 + 7 x2 + ax + b chia hết cho B(x) = x2 + x
– 1.

2) Tìm m để phép chia (2x2 – x + m) : ( 2x – 5) có dư bằng –10.
Bài 6: Làm tính chia a) ( x3 – 3x2 + x – 3 ) : ( x – 3)
b) ( x4 – 2x3 + 4 x2 – 8x ) : ( x2 + 4)
c) ( x4 – 2x3 + 4 x2 –
8x ) : ( x2 + 4)

21


ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA THAM KHẢO TỔNG HỢP
Đề 1 /
Câu 1( 2 đ) :Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

a) ( 3 x − 1) + 3.( 3 x − 1) ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1) tại x = 5
2

(

)

2

(

)

b) x + 1 ( x − 3) − ( x − 3) x + 3 x + 9 tại x = –3
2

2

Câu 2( 2 đ) : Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) 872 + 732 – 272 – 132
b ) 52.143 – 52.39 – 8.26
Câu 3( 3 đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – y2 + 13x – 13y
b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2
c ) x2 + 4x + 3
Câu 4( 2 đ): a) Làm tính chia ( x4 – 2x3 + 4 x2 – 8x ) : ( x2 + 4)
b)Tìm x biết 2( x + 5) – x2 – 5x = 0
Câu 5( 1 đ): Tìm x, y, z thoả mãn điều kiện
x2 + 4y2 + z2 – 2x + 8y – 6z + 14 ≤ 0
ĐềÀ 2/
1) Rút gọn biểu thức:
2
A = ( 3 x − 1) + ( x + 3) ( 2 x − 1) B = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) − x ( x 2 − 2 )
2) Phân tích thành nhân tử:
a. / x 3 − 27 + 3 x ( x − 3) b. / 5 x 3 − 7 x 2 + 10 x − 14
3) Tìm m để đa thức A(x) = x3 – 3x2 + 5x + m chia hết cho đa thức
B(x) = x – 2
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q(x) = x2 – 4x + 5
2
2
5) Tìm x,biết : ( x − 4 ) ( x + 4 x + 16 ) − x ( x − 6 ) = 2
ĐềÀ 3/
Câu 1( 2 đ) : Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a) xy( x + y ) – x2 ( x + y ) – y2( x – y ) với x = 3, y = 2
b) 2( x + y ) ( x – y ) + ( x + y )2 + ( x – y )2 với x = – 3, y = 2010
Câu 2 ( 2 đ): tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) 672 + 332 + 66.67

b) 362 + 862 – 72.86
Câu 3( 3 đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – y2 + 7x – 7y
b) 5x3 – 5x2y + 10x2 – 10xy
22


c) 2x2 + 3x – 5
Câu 4(2 đ): a) Làm tính chia ( x3 – 3x2 + x – 3 ) : ( x – 3)
b) Tìm x biết 2x( x – 5) – x( 3 + 2x ) = 0
Câu 5( 1 đ): Cho biết x + y + z = 1 và x, y, z > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xyz( x + y )( y + z )( z +
x)
Đề 4/
1) Rút gọn biểu thức:
A = ( 2 x + 3) ( 4 x 2 − 6 x + 9 ) − 2 ( 4 x 3 − 1)

B = ( x − 1) − 4 x ( x + 1) ( x − 1) + 3 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
3

2) Phân tích thành nhân tử:
a. / x 2 − y 2 − 3 x + 3 y
b. / ( b − a ) + ( a − b ) ( 3a − 2b ) − a 2 + b 2
2

3) Tìm m để đa thức A(x) = x4 – x3 + 6x2 – x + m chia cho đa thức
B(x) = x2 – x + 5 có dư bằng 2.
4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q(x) = –x2 + 2x + 5.
5) Tìm x,biết : (2x – 1)2 – (3x + 4)2 = 0.
Đề 5/

1) Rút gọn biểu thức:
A = ( x 2 + 3) ( x 4 − 3x 2 + 9 ) − ( x 2 + 3)

3

B = ( x − 1) − ( x + 1) + 6 ( x − 1) ( x + 1)
3

3

2) Phân tích thành nhân tử:
a. / 81a − 6bc − 9b 2 − c 2 b. / a 3 − 6a 2 + 12a − 8
3) Tìm a để đa thức A(x) = x3 – 2x2 + x – a + 2 chia hết cho đa thức
B(x) = x + 3 có dư bằng 5.
4) Cho a + b = 1.Tính a3 + b3 + 3ab.
5) Tìm x,biết : (x – 2)3 – (x + 2)(x2 – 2x + 4) + ( 2x – 3)(3x – 2) =
0.
Đề 6/
1) Rút gọn:
A = ( x − 3) ( x + 2 ) − ( 2 x3 − 2 x 2 − 10 x ) : 2 x
2

B = ( −4 x3 y 3 + x 3 y 4 ) : 2 xy 2 − xy ( 2 x − xy )

23


2) Phân tích thành nhân tử:
a. / 2 x 2 − 12 x + 18 + 2 xy − 6 y b. / x 2 + 4 x − 4 y 2 + 8 y
3) a) Tìm x, biết : 5x3 – 3x2 + 10x – 6 = 0

b) Tìm x;y
2
2
biết : x + y – 2x + 4y + 5 = 0.
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + y2 – 2x + 6y + 12
Đề 7/
1) Rút gọn:

A = ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) − x ( x 2 − 2 ) − 2 ( x − 1)

B = ( x − 2 y ) + ( x + 2 y ) + ( 4 y + 1) ( 1 − 4 y )
2) Phân tích thành nhân tử:
2
a. / ( 2 x + 3) − ( x 2 − 6 x + 9 ) b. / x 2 − 4 y 2 + 4 x + 8 y
2

2

3) Tìm a để đa thức A(x) = 2x3 – 7x2 + 5x + a chia hết cho đa thức
B(x) = 2x – 3.
4) Tìm x, biết: x2 – 3x + 5(x – 3) = 0.
5) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = –x2 – y2 + 4x – 4y + 2.
Đề 8/
Câu 1( 2 đ): Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

a) ( 2 x + 3) + ( 2 x + 5 ) − 2.( 2 x + 3 ) ( 2 x + 5 ) tại x = 2010
2

2

b) ( x + 3) ( x − 3) − ( x − 3) tại x = 4
2

Câu 2( 2 đ): Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
a) x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97
b ) ( x2 – 2xy + y2) – 4z2 tại x = 6, y = –4, z = 45
Câu 3( 3 đ): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3x2 – 3y2 – ( 12x2 – 12y )
b) ( 7x2 – 14xy + 7y2 ) – 28z2
c ) x2 – 3x + 2
Câu 4 ( 2 đ): a) Làm tính chia: ( x4 – 2x3 + 4 x2 – 8x ) : ( x2 + 4)
c) Tìm x biết: 5( x – 9 ) + x2 – 9x = 0
Câu 5( 1 đ): Tìm a để đa thức x3 – 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức
x–2

24


CÁC BÀI TƯƠNG TỰ VÀ NÂNG CAO
Bài 1: Phân tích thành nhân từ:
A = x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − 16 x B = ( x 2 − 2 x + 3) ( x 2 − 2 x + 5 ) − 8
C = ( a − x ) y 3 − ( a − y ) x3 + ( x − y ) a 3
E =

(x

2

+ x + 3 ) ( x 2 + x – 2 ) + 6                               

F = ( x – 1) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 8 ) - 21
Bài 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + 4 x − 2 B = 2 x2 − 4 x + 3 C = x2 + y 2 − 4x + 2 y + 5
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = − x 2 + 6 x + 5 B = −4 x 2 − 9 y 2 − 4 x + 6 y + 3
Bài 4:Chứng minh rằng biểu thức sau đây luôn dương,với mọi x:
A = x2 − 2x + 2 B = x2 + y 2 + 2 x − 4 y + 6
C = x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y − 4 z − 10.
Bài 5: Tìm x,y biết:
a) x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0
b) 5x2 + 9y2 – 12xy – 6x + 9 = 0
Bài 6: a) Tìm a,b để đa thức A(x) = 2x3 + 7x2 + ax + b chia hết cho đa thức
B(x) = x2 + x – 1
b) Tìm a,b để đa thức A(x) = ax3 + bx – 24 chia hết cho đa thức
B(x) = x2 + 4x + 3
c) Tìm a,b để đa thức A(x) = 6x4 – x3 + ax2 + bx + 4 chia hết cho đa
thức B(x) = x2 – 4
Bài 7: Cho x = y + 1.Chứng minh:
a) x3 – y3 – 3xy = 1
b) (x + y)(x2 + y2)(x4 +
4
8
8
16
16
y )(x + y ) = x – y .
Bài 8 : Cho biết x + y + z = 1 và x, y, z > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xyz( x + y )( y + z )( z + x )
Bài 9: Tìm x, y, z thoả mãn điều kiện
x2 + 4y2 + z2 – 2x + 8y – 6z + 14 ≤ 0

Bài 10: Tìm a để đa thức x3 – 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức x – 2

25