CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGORIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGORIT ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN
5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bảns
Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit cơ bản
Dạng 2: Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Dạng 3: Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Dạng 4: Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu
Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu
Bất phương trình logarit có chứa tham số m


Chủ đề: Bất phương trình logarit
5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit
1. Phương pháp giải
Biểu thức loga f(x) xác định khi:
+ a > 0; a ≠ 1
+ f(x) > 0 và f(x) có nghĩa.
2. Ví dụ minh họa
Ví

dụ

1. Điều

kiện

trình

xác

định

của

bất

phương

là

Hiể
n thị đáp án
Đáp án: C
Bất phương trình xác định khi:


Ví

dụ

2. Điều

kiện

xác

định

của

trình
A. 2 < x < 5

bất

phương

là
B. 1 < x < 2.

C. 2 < x < 3

D. −4 < x < 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Bất phương trình xác định khi:

Ví dụ 3. Điều kiện xác định của bất phương trình
A. x ∈ [−1; 1] .

B. x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) .

C. x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞).

D. x ∈ (−1; 1).

Hiển thị đáp án

Đáp án: D
Bất phương trình xác định khi:

là


Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp giải
Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1)
+ Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am.
+ Nếu a > 1 thì (1) x < am
Chú ý: Kết hợp với điều kiện xác định khi giải bất phương trình.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Điều kiện:


Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành:
log5 (x − 2) + log5x > log53
⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3
⇔ x2 − 2x − 3 > 0

Kết hợp với điều kiện ta được, x > 3
Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log 2(log4x) ≥ log4(log2x)
là:
A. 6.

B. 10.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
BPT

C. 8.

D. 16.


Ví

dụ

trình

3. Nghiệm

nguyên

nhỏ

nhất

của

là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A
BPT

bất

phương


Do đó, x = 0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất.
Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
+ Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1
⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73
+ Với điều kiện trên ta có :
logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*)
Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành :
t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9
Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9.
Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] .


Ví dụ 5. Giải bất phương trình

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3

Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0

Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:


Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Điều kiện: x > 0
Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:
t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3.

Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3

( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x.
Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1
⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*)
Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, phương trình (*) trở thành:
t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4
suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34


Ví

dụ

3. Nếu

đặt

t

=log2x

trình
trình nào?

thì

bất

phương

trở thành bất phương

A. t4 +13t2 + 36 < 0 .

B. t4 + 12t2 + 12 < 0

C. t4 < 24t2 + 23 > 0

D. t4 − 13t2 + 36 < 0

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Điều kiện: x > 0.

⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x
⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0
⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0
⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0
Đặt t= log2x khi đó phương trình trên trở thành :
t4 − 13t2 + 36 < 0

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình

là

Hiển thị đáp án


Đáp án: A
Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*)
Ta có:

Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; √5) .

Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình

là

Hiển thị đáp án
Đáp án: A


Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u
Bất phương trình đã cho trở thành

- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2
- Với u < −1 => log2x < −

Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc

Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu
của hàm số.
1. Phương pháp giải
a. Phương pháp đánh giá:
Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có thể chứng minh với mọi x < x0 ta có
A(x) ≥ B(x)


và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x).
Khi đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ x0
b. Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên
khoảng D.
+ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0.
+ Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x) > f(x0) ⌠ ⇔ < x0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:

A. [0; +∞).

B. (−∞; 0).

C. (−∞; 0].

D. (0; +∞) .

Hiển thị đáp án
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Điều kiện:


Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên

có đạo hàm:

Suy ra, hàm số đồng biến trên
Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1
Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình đã cho

là
Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Tập xác định D = R.

Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R.
Đạo hàm

Suy ra, hàm số đồng biến trên R.


Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; +∞)
Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Tập xác định D = R.
Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R.
Đạo hàm

Do đó, hàm số y= f(x) nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở
thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)
Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương
trình

vô nghiệm?


Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x 2 − mx +
4 ≤ 0 vô nghiệm
⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2(5x −
1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 ?
A. m ≥ 6.

B. m > 6

C. m ≤ 6.

D. m < 6

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
BPT

Đặt
BPT

do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞)


Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng biến trên t ∈
[2; +∞)
Nên min f(t) = f(2) = 6.
Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 thì :
m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2 ; 3) thuộc tập
nghiệm của bất phương trình log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1

Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)


Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2(7x2 +
7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Bất phương trình tương đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

Nếu m = 7 thì (2) không thỏa ∀x ∈ R
Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R
Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 +
log5(x2 + 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A


Bất phương trình tương đương : 5(x2 + 1) ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

Nếu m = 0 hoặc m= 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ R
m ≠ 0 và m ≠ 5: (*)

Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bảns
A. Phương pháp giải & Ví dụ
logax ≤ b

Nghiệm

0
x ≥ ab

a>1

0 < x ≤ ab

logax ≥ b

Nghiệm

0
0 < x ≤ ab

a>1

x ≥ ab


Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải bất phương trình sau log2(x2+3x) > 2.

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải bất phương trình sau

Hướng dẫn:
Điều kiện : x > -3.

Kết hợp điều kiên ta được x ≥ 13.
Bài 3: Giải bất phương trình sau


Hướng dẫn:

B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải bất phương trình sau
Hiển thị đáp án

Ta có:


Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=(1;3/2).
Bài 2: Giải bất phương trình sau
Hiển thị đáp án

Bài 3: Giải bất phương trình sau
Hiển thị đáp án

Bài 4: Giải bất phương trình sau
Hiển thị đáp án

Bài 5: Tìm điều kiện xác định của phương trình log2[3log2(3x-1)-1]=x là:
Hiển thị đáp án
Biểu thức log2[3log2(3x-1)-1]=x xác định khi và chỉ khi:

Bài 6: Tìm a để bất phương trình sau có tập nghiệm R

Hiển thị đáp án


Điều kiện :

⇔ x2+2ax+a+3 > 1, ∀ x ∈ R
⇔ x2+2ax+a+2 > 0, ∀ x ∈ R
⇔ Δ ≥ 0 ⇔ -1 < a < 2 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra giá trị a cần tìm là -1 < a < 2
Bài 7: Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình log_m(x 2 - 2x + m + 5) > 1
có vô số nghiệm
Hiển thị đáp án
Điều kiện:

TH1: 0 < m < 1
BPT ⇔ x2-2x+m+5 < m ∀ x ∈ R ⇔ x2-2x+5 < 0 ∀ x ∈ R (VL)
TH2: 1 < m
BPT ⇔ x2-2x+m+5 > m ∀ x ∈ R ⇔ x2-2x+5 > 0 ∀ x ∈ R (LĐ)
Vậy 1 < m thỏa ycbt.
Bài 8: Giải bất phương trình sau


Hiển thị đáp án

Trắc nghiệm giải bất phương trình logarit cơ bản
Bài 1: Giải bất phương trình log3(2x-3) > 2
A. x > 3/2.

B. x > 6.

C. 3 < x < 6.

D. 3/2 < x < 6.

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :

Bài 2: Nghiệm của bất phương trình log√3(x-1) > 2 là
A. x < √3+1.
Hiển thị đáp án
Đáp án : C

B. x > (√3)2.

C. x > 4.

D. x ≤ 4.