1 GA MOT SO PP GIAI PT HE PT

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH –
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương pháp giải tích
Bài toán 1. Giải phương trình

sin x + cos x - sin x.cos x = 1+ lg

3+ sin x + cos x
4+ sin x.cos x

(1)

Lời giải
Nhận xét
� p�
3+ sin x + cos x = 3+ 2.sin �
x+ �
�3�
�
�
�
� 4�

2 > 1, " x ��

1
1

4+ sin x.cos x = 4+ .sin 2x �4- > 1, " x ��
2
2

Phương trình đã cho tương đương với
lg(4+ sin x.cos x ) - (4+ sin x.cos x) = lg(3+ sin x + cos x) - (3+ sin x + cos x)

Xét hàm số f (t ) = lg t - t , t >1. Ta có

f '(t ) =

(2)

1
- 1< 0, t > 1
t.ln 10
, suy ra hàm số f (t )

nghịch biến trên (1; +�) .
Phương trình (2) có dạng f (4+ sin x.cos x) = f (3+ sin x + cos x)
� 4+ sin x.cos x = 3+ sin x + cos x
� (1- cos x)(1- sin x) = 0
� cos x = 1�sin x = 1
p
� x = k 2p �x = + k 2p, k ��
2

Kết luận phương trình (1) có hai họ nghiệm là

Bài toán 2. Giải hệ phương trình

x = k 2p, x =

p
+ k 2p, k ��
2
.

�
(2x2 - 3x + 4)(2y 2 - 3y + 4) = 18
�
�2
2
�
�x + y + xy - 7x - 6y +14 = 0

.

( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐHSP Hà Nội).
Lời giải
2
2
Xét phương trình x + y + xy - 7x - 6y +14 = 0

(3)

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 1

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Xem (3) là phương trình bậc hai ẩn x , thì (3) có
Xem (3) là phương trình bậc hai ẩn y , thì (3) có

D=-+-�ۣ
3y 2� 10y
y

7 0

1

D=-+3
�
x2� 16y 20 0
x

2

7
3

y
x

10

3.

2
Xét hàm số f (t) = 2t - 3t + 4, t �1. Ta có f '(t ) = 4t - 3> 0 với mọi t �1. Hay hàm số

f (t ) đồng biến trên (1; +�) .

Do đó,

�
y �1 �
f ( y ) � f (1) = 3
�
�
=ۣ�
�
�
�
�x �2 �
�f ( x ) � f (2) = 6

f ( x). f ( y )

6.3 18

.

Suy ra hệ có nghiệm khi đẳng thức xảy ra, tức là

�

x =2
�
�
�
�y = 1

.

Mà (2;1) lại không nghiệm đúng phương trình (3) nên hệ đã cho vô nghiệm.
�x2 + 3x + ln(2x +1) = y
�
�2
�
Bài toán 3. Giải hệ phương trình �y + 3y + ln(2y +1) = x

(HSGQG 1994)
Lời giải

Điều kiện

�
�
x >�
�
�
�
�
y >�
�
�

1
2
1
2.

Cộng vế theo về hai phương trình của hệ ta được
x2 + 4x + ln(2x +1) = y 2 + 4y + ln(2y +1) .

Xét hàm số

f (t ) = t 2 + 3t + ln(2t +1), t >-

(4)
2
1
1
f '(t ) = 2t + 3+
> 0, t >- .
.
2t +1
2 Hay
2 Ta có

�1
�
�
- ; +��
�
�

�
�
�.
hàm số f (t ) đồng biến trên � 2

Phương trình (4) có dạng f ( x) = f ( y ) � y = x , thay vào hệ đã cho
x2 + 3x + ln(2x +1) = x � x2 + 2x + ln(2x +1) = 0

(5)

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 2


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

�1
�
2
1
�
- ; +��
g '( x) = 2x + 2+
> 0, x >- .
�
�
�

�
�thì
2x +1
2
Đặt g ( x) = x + 2x + ln(2x +1) trên � 2
2

�1
�
�
- ; +��
�
�
�
�
�
Hay hàm số g ( x) đồng biến trên � 2
.

Mặt khác, phương trình (5) có nghiệm là x = 0 nên x = 0 là nghiệm duy nhất của
phương trình (5). Suy ra (0; 0) là nghiệm duy nhất của hệ.
2

1
2x +1 �
1�
log2( x + 2) + x + 3 = log 2
+�
1+ �
�

�
�+ 2 x + 2
�
� x�
x
Bài toán 4. Giải phương trình 2

(6)

( Đề chọn ĐT trường chuyên ĐH Vinh).
Lời giải
�x + 2> 0
�
1
�
�
- 2< x <�
��
2
�
2x +1
�
>0 �
�
x >0
�
�
Điều kiện � x
.

Phương trình (6) tương đương với
2

log2

� 1�
� 1�
� 1�
x + 2- 2 x + 2 + x + 2 = log2 �
2+ �
- 2�
2+ �
+�
2+ �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� x�
� x� � x� �

(7)

2
Xét hàm số f (t ) = log2 t - 2t + t , t > 0. Hay f (t ) đồng biến trên (0; +�)

Phương trình (7) có dạng
� x =- 1�x =

3-

13
2

f

� 1�
1
x +2 = f �
2+ �
� x + 2 = 2+ � ( x +1)( x 2 - 3x - 1) = 0
�
�
�
�
� x�
x

(

�x =

)

3+ 13
2
.

So với điều kiện ta nhận nghiệm của phương trình là
3

Bài toán 5. Giải phương trình

x 9 + 9x2 - 1
= 2x +1
3

x =- 1, x =

3+ 13
2

(8)

( Đề chọn ĐT tỉnh Phú Yên).
Lời giải

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 3


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

x 3)
(
Phương trình đã cho tương đương với

3

3

+ 3x 3 = ( 3x +1) + 3( 3x +1)

(9)

3
2
Xét hàm số f (t ) = t + 3t � f '(t ) = 2t + 3> 0, " t �� hay hàm số f (t ) đồng biến trên �.
3
3
3
Phương trình (9) có dạng f (t ) = f (3t +1) � x = 3x +1� x - 3x - 1= 0 .

(10)

3
Gọi g ( x) = x - 3x +1là hàm đa thức liên tục trên tập số thực và g ( x ) chứng minh được

- 2; 2]
phương trình g ( x) = 0 có ba nghiệm phân biệt trên [

nên ta chỉ xét - 2�x �2 .

Đặt

x = 2cos t , t �( 0; p)

thì phương trình (10) trở thành
8cos3 t = 6cos t +1
� 2( 4cos3 t - 3cos t ) = 1
� cos 3t =

1
2

p
p
� t = � + k 2 , k ��
9
3
�p 7p 5p�
t �� , , �
t �( 0; p)
�
� suy ra nghiệm của phương trình (10) là
�9 9 9 �
Vì
nên ta chọn được
7p
5p�
� p

x ��
cos ,cos ,cos �
�
9
9�
�
� 9

đây cũng chính là ba nghiệm phân biệt của phương trình đã

cho.
�y2- x2 x2 +1
�
e
= 2
�
y +1
�
�
�
3log ( x + 2y + 6) = 2log2( x + y + 2) +1
�
Bài toán 6. Giải hệ phương trình � 2
.

( Đề chọn ĐT trường THPT Cao Lãnh – Đồng Tháp)
Lời giải
x + 2y + 6> 0
�
�

�
�
Điều kiện �x + y + 2> 0

e y ( y 2 +1) = e x ( x 2 +1)
2

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Xét hàm số

f (t ) = et (t +1) � f '(t ) = et (t + 2) > 0, " t �[ 0; +�)

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

2

.

(14)

.

Trang 4


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

0;+�)

Suy ra hàm số f '(t ) đồng biến trên [
.
�
y=x
f ( y 2) = f ( x 2 ) � y 2 = x 2 � �
�
y =- x .
�
Mặt khác phương trình (14) có dạng

Xét trường hợp y = x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
3log ( 3x + 6) = 2log ( 2x + 2) +1
3

2

� ( 3x + 6) = 2( 2x + 2) , x >- 1

Phương trình này vô nghiệm. Vậy trong trường hợp này thì hệ vô nghiệm.
Xét trường hợp y =- x , thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
3log2 ( - x + 6) = 2log 2 2+1= 3
� ( - x + 6) = 2, x < 6
� x =4

Suy ra y =- 4 , và x = 4, y =- 4 thỏa hệ nên chúng là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.
Kết quả: x = 4, y =- 4 .
3
2
3
Bài toán 7. Giải phương trình 2 2x - 1 = 27x - 27x +13x - 2

( Đề thi HSG Hải Phòng)
Kết quả: x = 0 .
�
2(2x +1)3 + 2x +1= (2y - 3) y - 2
�
�
� 4x + 2 + 2y + 4 = 6
�
Bài toán 8. Giải hệ phương trình �

( Đề chọn ĐT trường chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai)
1
x = , y =6
2
Kết quả:

Bài toán 9. Giải phương trình

( sin x - 2) ( sin 2 x - sin x +1) = 33 3sin x - 1+1

Hướng dẫn
3

sin x - 1) + 3( sin x - 1) = ( 3sin x - 1) + 33 3sin x - 1
Biến đổi phương trình về (

Kết quả: x = k p, k ��.
Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 5


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

�
2y 3 + 2x 1- x = 3 1- x - y
�
�
2
�
Bài toán 10. Giải hệ phương trình �y = 2x - 1+2xy 1+ x

( Đề thi chọn HSG trường Chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk)
Hướng dẫn
Biến đổi phương trình thứ nhất về dạng
2y 3 + y = 2(1- x - 1) 1- x + 3 1- x
� 2y 3 + y = 2(1- x) 1- x + 1- x

(

)

3

� 2y 3 + y = 2 1- x + 1- x
3
0;+�)

Xét hàm số f (t ) = 2t + t , t �0 , chứng minh được hàm số đồng biến trên [
và suy

ra y = x - 1 , thay kết quả này vào phương trình thứ hai của hệ thì được
1- x = 2x 2 - 1+ 2x 1- x 2 .

Đặt

t = cos x, x �0
[ ; p]

Kết quả:

x = cos

đưa về giải phương trình lượng giác.

3p
3p
, y = 2sin
10
20

�x 3 - y 3 - 2 = 3x - 3y 2
�
�2
�x + 1- x2 - 3 2y - y 2 +2 = 0
�
Bài toán 11. Giải hệ phương trình �

Kết quả: x = 0, y = 1
�x + x2 - 2x + 2 = 3y- 1 +1
�
�
�
�
�y + y2 - 2y +2 = 3x- 1 +1
Bài toán 12. Giải hệ hương trình �

Lời giải
�x - 1+ ( x - 1)2 +1 = 3y- 1 +1
�
�
�
�
�y - 1+ ( y - 1)2 +1 = 3x- 1 +1
Hệ phương trình đã cho tương đương �
.

Cộng vế theo vế của hai phương trình ta được
x - 1+ ( x - 1)2 +1+ 3x- 1 = y - 1+ ( y - 1)2 +1+ 3y- 1

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

(11)
Trang 6


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Xét hàm số
f (t ) = t + t 2 +1+ 3t � f '(t ) = 1+

vì

t
2

t +1

+ 3t ln 3 =

t + t 2 +1
2

t +1

+ 3t ln 3> 0, " t ��

,

t 2 +1 > t 2 = t �- t � t 2 +1+ t > 0, " t ��

Hay hàm số f (t ) đồng biến trên �.
Phương trình (11) có dạng f ( x - 1) = f ( y - 1) � x = y .

(12)

2
x- 1
Thay (12) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x - 1+ ( x - 1) +1 = 3

(13)

2
a
Lại đặt a = x - 1 thì (13) trở thành a + a +1 = 3

(

)

(

)

� ln a + a2 +1 = a ln 3

2
vì a + a +1 > 0, " a ��.

� ln a + a2 +1 - a ln 3= 0

Xét hàm số

(

)

f (a ) = ln a + a2 +1 - a ln 3

f '(a) =

Rõ ràng
thực.

1
2

a +1

trên tập số thực.

- ln 3< 1- ln 3< 0, " a ��.

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập số

Mặt khác g (0) = 0 nên ta được a = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Suy ra x = 1, y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ.
2. Phương pháp đánh giá
� 2
1
1
20y
�
sin x + 2 + cos2 y + 2 =
�
�

sin x
cos y
x+y
�
�
�
�
1
1
20x
�
�
sin 2 y + 2 + cos2 x + 2 =
�
�
sin y
cos x
x+y
Bài toán 1. Giải hệ phương trình �

( VMO 2013)
Lời giải

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 7


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được
� 2
�
� 2
�
1
1 �
1
1 �
xy
2
2
�
�
�
�
sin
x
+
+
cos
y
+
sin
y
+
+
cos

x
+
= 20
�
�
2
2
2 �
2
2 �
�
�
�
�
sin x
cos y �
sin y
cos x �
�
�
�
�
( x + y)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các biểu thức không âm, ta được
20

xy

( x + y)

2

sin 2 x +

�4.

1
1
. cos2 x + 2 .
2
sin x
cos x

sin 2 y +

1
1
. cos2 y + 2
2
sin y
cos y

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwart thì
sin 2 x +

� 2
�
� 2
� sin 2x

1
1
1 �
1 �
2
2
�
�
.
cos
x
+
=
sin
x
+
cos
x
+
�
+
�
�
�
�
2
2
2 �
2 �
�

�
�
�
sin x
cos x
sin x �
cos x �
2
sin 2x

sin 2x
1
3
3 5
�
+
+
�1+ =
2
2 sin 2x 2 sin 2x
2 2
14444444244444443
AM =GM

sin 2 x +

Suy ra

1
1

5
. cos2 x + 2 �
2
sin x
cos x
2

sin 2 y +

Tương tự cho
20

Do đó

1
1
5
. cos2 y +
�
2
2
sin y
cos y
2

5
�۳++�-�
4.
4xy x 2
2

( x + y)
xy

2

2xy

y2

( x y)

2

0

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi các đánh giá đều xảy ra đẳng thức, tức là
�sin 2x = 1
�
�
p
p
�
� x = y = + k , k ��
�x = y
�
4
2
�
2
2

�
sin
x
=
cos
x
�
là tất cả các nghiệm của hệ đã cho.
� 1
1
2
�
+
=
�
2
2
�
1+2xy
1+2x
1+2y
�
�
�
2
�
�
x(1- 2x) + y (1- 2y ) =
�
9

Bài toán 2. Giải hệ phương trình �

( VMO 2009)
Lời giải
Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 8


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

1
0�x, y �
2 .
Điều kiện
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức (a + b) �2(a + b ) , ta có
2

� 1
� � 1
1
�
1 �
�
�

�
�
+
�2�
+
�
�
�
�
2
2�
�
2
2
�
�
�
1
+
2
x
1
+
2
y
�
�
�
� 1+ 2x
1+ 2y �

�

1
1
2
1
+
�
0�x, y �
2
2
2.
Lại có 1+2x 1+2y 1+2xy (*) là một bất đẳng thức đúng với mọi
2

Do đó

2
� 1
�
� 2
�
1
�
4
�
�
�
�
�

�
+
=�
��
�
� 1+2xy �
�
�
�
� 1+ 2x2
1+ 2y 2 �
�
�
�
� 1+2xy �

1

Hay

1+2x

2

+

1
1+ 2y

2

�

2
1+2xy

.

Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi đẳng thức ở các đánh giá trên phải xảy ra, hay x = y .
Thay kết quả này vào phương trình còn lại, ta được
đây kết luận được nghiệm của hệ phương trình.

1
9� 73
x (1- 2x ) = � x =
9
36 . Từ

Bài toán 3. Giải hệ phương trình
(Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016)
Lời giải
Điều kiện :
Ta có : ( dấu = xảy ra khi xy =)
Do đó từ (1)

(3)

Từ (2) và (3) ta suy ra :

(4)

Ta lại có
Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 9


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Do đó (4) hoặc hoặc
Thử lại ta thấy chỉ có là nghiệm của hệ.
�
3 y3  2 x  y   x2  5 y 2  4 x2   4 y 2
�
�
� 2  x  y  1  2   x  y 2                  x, y ��
Bài toán 4. Giải hệ phương trình: �
(
).
Hướng dẫn giải
y 3  2 x – y  �0 5 y 2 – 4 x 2 �0
y
�

1
x
�
2
Điều kiện:

,
;
;
.
+) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có:

y  2x  y 

y  2 xy  y
2

3

=

2



y 2  2 xy  y 2
�
2

x2  5 y 2  4 x2
5 y 2  3x 2
x2  5 y 2  4 x2  �
2
2
=

y  2x  y 

Suy ra: 3

x  5 y  4x
2

3

+

2

2



5 y 2  3x 2
� 3 xy +
2

5 y 2  3x 2
2
2
� 3  x – y  �0 � x  y
2
Vì vậy, ta phải có: 4 y �3xy 
.
Vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
Thay x  y vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

2 x +
Do

x  1 2  x  x 2 (*).

2 x +

x  1  0 nên ta phải có: x 2  x – 2  0 x  1 ( do x �1 ).

Khi đó phương trình (*) tương đương với:





x 2 – x  1  x – 1  –   2  x  x  x  1  0
1
1
�
�
�  x 2 – x – 1 �
1

� 0
� x 1 2  x x  x  1 � .
1
1
�
�
do1  


  0 �
�
x 1  2  x x  x  1
�
� x 2 – x –1  0 �

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 10


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

� 1 5
  t / m 
�x 
2
�
� 1 5
1 5
x
              x  y 
�
2
2 .
ۣ�
�

1 5 �
�
�
2 �
x; y   �

�
�.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
�
4 x 2  4 xy  x  6 xy  y  y 2  15(1)
�
� 6( x3  y 3 )
 2( x 2  y 2 )  3(2)
�x  2
2
Bài toán 5. Giải hệ phương trình � x  xy  y

Lời giải

�xy �0
�2
x  y 2  xy �0
Điều kiện �
Nếu x  0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm
�x �0
�
Nếu �y �0 (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả
mãn. Do đó x > 0, y > 0.
Vì

2 xy �x  y nên từ phương trình (1) suy ra

15  4 x 2  4 xy  x  6 xy  y  y 2 �(2 x  y ) 2  x  3( x  y )  y  (2 x  y) 2  4 x  2 y
� (2 x  y ) 2  2(2 x  y ) �15 � 2 x  y �3

x2  y 2
xy  ��� x 2
2
Mặt khác, ta có

xy

(3)

y2

3( x 2  y 2 )
2

3( x 3  y 3 )
x 2  xy  y 2

2( x3  y 3 )
x 2  y 2 . (4)

2( x 3  y 3 )
� 2( x 2  y 2 )(5)
2
2

Ta chứng minh rằng: x  y
.
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương
2( x 3  y 3 ) 2 �( x 2  y 2 ) 3
� x 6  y 6  4 x 3 y 3 �3x 4 y 2  3x 2 y 4 (6)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 11


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

x 6  x3 y 3  x3 y 3 �3 3 x12 y 6  3 x 4 y 2
y 6  x 3 y 3  x 3 y 3 �3 3 x 6 y12  3 x 2 y 4

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5)

3( x 3  y 3 )
� 2( x 2  y 2 )
2
2
x

xy

y

Từ (4) và (5) suy ra:
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng

3 x

2( x 2  y 2 ) �x  y

, ta được:

6( x3  y3 )
 2( x 2  y 2 ) �x  2( x 2  y 2 ) �x  ( x  y )  2 x  y
x 2  xy  y 2
(7)

Từ (3) và (7) suy ra 2x  y  3 và x  y ta được x  y  1 (thoả mãn các điều kiện của
bài toán).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)

3. Phương pháp biến đổi
� �
1 �
�
�
�
3x �
1+
�
=2
�
�

�
�
�
x
+
y
�
�
�
�
�
�
�
1 �
�
�
�
7y �
1�
=4 2
�
�
�
�
�
x
+
y
�
�

�
Bài toán 1. Giải hệ phương trình �

( VMO 1996)
Lời giải

Điều kiện

�x �0, y �0
�
�x  y �0

.

Nhận xét x  0 hoặc y  0 không thỏa hệ phương trình, nên x  0, y  0 . Chia hai vế của
phương trình thứ nhất cho
�
�
1 �
1
�
�
�
x

y
�
�
�
�

�
1 �
�
1
�
�
�
x y�
�
�
hệ

3x và chia hai vế của phương trình thứ hai cho

7y ta được

�
�1
2
4 2
2 2
2


1
�
�
3
x
7

y
3
x
7
y
�
�
��
��
4 2
�2  2 4 2
�1  2 2  1
�
�
7y
3x
7y
7y x  y
�x  y
� 3x
2
3x

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 12


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Nhân vế theo vế hai phương trình trong hệ, được

�1
�1
2 2�
2 2� 1



�
�
�
�
� 3x
�
� 3x
� x y
7
y
7
y
�
�
�
�
1 8
1
�



3x 7y x  y
� 7y 2  38xy  24x 2  0
4
� y  6x �y   x
7
� 11 4 7
�x 
�
21
�
�y  22  8 7
�
7
- Trường hợp: y  6x vào phương trình thứ nhất trong hệ và giải được �
.
4
y x
7 không có nghiệm dương.
- Trường hợp:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.
�
�
�
12 �
�
�
1+

� x =2
�
�
�
�
�
� 3x + y �
�
�
�
�
�
�
�
12 �
�
�
�
1
�
y =6
�
�
�
�
�
� 3x + y �
�
�
Bài toán 2. Giải hệ phương trình

( VMO 2007)
Giải tương tự bài toán 1.
Bài toán 3. Giải hệ phương trình sau:
2
2
�
� x  x  y  1  x  y  x  y  1  y  18
� 2
2
�
� x  x  y 1  x  y  x  y 1  y  2
(Đề hsg Dương Xá,2008-2009)
Lời giải
�x 2  x  y  1 �0
�2
y  x  y  1 �0
Điều kiện �

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 13


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được
�

� x 2  x  y  1  y 2  x  y  1  10
�
�x  y  8
Thế y  8  x vào phương trình trên ta được

x 2  9  x 2  16 x  73  10
�

( x 2  9)( x 2  16 x  73)   x 2  8 x  9

�

( x 2  32 ) �
( x  8)2  32 ) �
�
� 9  x(8  x)
�

(1)

�

Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8  x;3)
�

Khi đó
�

( x 2  32 ) �
( x  8) 2  32 ) �

�
�

�

| a |.| b |=

�

a . b = 9  x(8  x)
�

�

�

�

Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a . b (2)
�

�

�

�

Ta có | a |.| b | �a . b

�

�

�

�

�

�

Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc a  0 hoặc b  0 (không xảy ra) hoặc a cùng hướng b suy
8 x
1 0
� x=4.
ra x
Nghiệm của hệ là (4;4)
2
2
�
� x  y 6  2 x  y 3 x y
�
3 x  2  2 3 y  x 2  5 y  15  0
�
Bài toán 4. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: �

Hướng dẫn giải
2
2
�

� x  y  6  2 x  y  3 x  y (1)
�
3 x  2  2 3 y  x 2  5 y  15  0 (2)
�
Đặt �
.

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 14


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

Điều kiện:

(1) �



GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

�x  y �0
�
�x  y �0.
�x �2
�
x y 2





x y 3  0 � y  4 x

2
3
Thay vào (2) ta được: 3 x  2  2 4  x  x  5 x  5  0

�
3 x
� x3 � �
�
� ( x  3)( x  2)  0
� 3�

2
�
2
3
3
�
� x  2 1� �
(4

x
)

4


x

1
�
�
x3
�
� 3
2
��

 x  2  0 (*)
2
3
�
(4  x)  3 4  x  1
� x  2 1

Phương trình (*) vô nghiệm do: x �2 � x  2 �0 � VT  0 .
Vậy x  3 và y  1 là nghiệm của hệ phương trình.
4. Phương trình, hệ phương trình chứa tham số
3
3
2
�
�x  y  3 y  3x  2  0 (4)
�2
x  3 1  x 2  2 2 y  y 2  m  0 (5)
Bài toán 1. Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: �

Hướng dẫn giải
�1 �x �1
�
Điều kiện: �0 �y �2 .

� x3  3x   y 1  3  y 1
3

Phương trình (4)

.

3
t � 1;1
Xét hàm số f (t )  t  3t , với 
.

f '(t )  3t 2  3 �0, t � 1;1

.

� f(t) là hàm số nghịch biến trên  1;1 (vì nó liên tục trên đoạn này).

Suy ra: x  y  1 .
2
2
Thay vào phương trình (5) ta được: x  1  x  m  0 .
2
2
u � 0;1

Đặt u  1  x ,
. Ta có phương trình: g(u) = u  u  1  m

Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 15


Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi|

GV: Cao Nguyễn Minh Hiền

5
min g (u )   ; max g (u )  1
 0;1
4  0;1
.

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm

�

5
�m �1
4
.

Ngày…..tháng…..năm …….
Người duyệt
Phương trình-hệ phương trình-bất phương trình

Trang 16