BTL Tối ưu hóa CDIO

Trường Đại Học Công Nghiệp Hà Nội
Khoa Công Nghệ Thông Tin
--------------------

BÁO CÁO BÀI TẬP NHÓM MÔN
TỐI ƯU HÓA
Đề tài:

BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT GỖ
Giáo viên hướng dẫn : Cô Chu Thị Quyên
Nhóm thực hiện

: Nhóm 9

Lớp

: KTPM1 - K12

Thành viên trong nhóm:
Đỗ Ngọc Sơn
Hoàng Văn Sơn
Đặng Thái Tân
Phùng Đắc Tài
Nguyễn Sỹ Thăng
Vũ Mạnh Thắng
Mai Văn Thanh
Hà Nội, 2019

1

Lời mở đầu
Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm
1939, khi nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L.V. Kantorovich đề xuất những thuật toán đầu tiên
để giải nó trong một loạt công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất công bố năm 1938.
QHTT là môt trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu tron vẹn cả ề lý thuyết lẫn
thực hành, mô hình đơn giản trong công việc áp dụng, co nhiều ứng dụng trong kinh tế và kỹ
thuật.
Năm 1947 nhà toán học Mỹ George Dantzig đã đề xuất phương pháp đơn hình để giải
QHTT.
Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán
tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là
hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính.
Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế. Mặt khác, về mặt lý thuyết, có thể
xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến
tính. Bởi thế, ngay từ khi ra đời, qui hoạch tuyến tính đã chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong
Toán học ứng dụng nói chung, trong ngành tối ưu hóa nói riêng.
Bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thông
qua các ví dụ ,các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là
như sau :
a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu.
b- Lập mô hình toán học.
c- Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đó mô hình hoặc bằng ngạn ngữ thuận lợi cho
việc lập trình cho máy tính.
d- Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần.
e- Áp dụng giải các bài toán thực tế.

2


MỤC LỤC

I.

Đề Tài...........................................................................................................................4

II. Mục đích, ý nghĩa .......................................................................................................4
III.

Khảo sát, tư liệu, mục tiêu........................................................................................4

1. Khảo sát..................................................................................................................... 4
2. Tư liệu:....................................................................................................................... 6
3. Thời gian hoàn tất sản phẩm:..................................................................................6
4. Yêu cầu ràng buộc :..................................................................................................7
5. Mục tiêu.....................................................................................................................7
IV.

Xây dựng bài toán.....................................................................................................7

V. Thuật toán,ứng dụng giải..............................................................................................7
1.Các bài toán QHTT......................................................................................................7
3.Ứng dụng giải.............................................................................................................16
VI- Giải bài toán...............................................................................................................17
1. Phương pháp giải:.....................................................................................................18
VII- Giải bài toán..............................................................................................................20

3


I.

Đề Tài
Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho xưởng gỗ SOLAKEM.

II.

Mục đích, ý nghĩa

1.Mục đích
Khi chúng ta làm bất cứ một việc nào đó, ta thường làm theo bản năng và không có
một kế hoạch nào nhất định. Chính việc này dẫn đến tình trạng bị trì trệ, không mang
đến kết quả tốt. Đó là do bạn không biết cách lên kế hoạch chi tiết, cho công việc của
mình và cũng chưa hiểu được tầm quan trọng của việc lập kế hoạch là như thế nào? Vì
thế, ta hãy cùng xem mức độ ảnh hưởng của nó đến cuộc sống như thế nào nhé.
Lập kế hoạch là một quá trình bắt đầu từ việc thiết lập các mục tiêu , quyết định các
chiến lược , các chính sách , kế hoạch chi tiết để đạt được mục tiêu đã định .Lập kế
hoạch cho phép thiết lập các quyết định khả thi và bao gồm cả chu kỳ mới của việc thiết
lập mục tiêu và quyết định chiến lược nhằm hoàn thiện hơn nữa.Lập kế hoạch là chức
năng rất quan trọng đối với mỗi nhà quản lý bởi nó gắn liền với việc lựa chọn mục tiêu
và chương trình hành động trong tương lai, giúp nhà quản lý xác định được các chức
năng khác còn lại nhằm đảm bảo đạt được các mục tiêu đề ra.Vậy kế hoạch kinh doanh
là gì?
Kế hoạch kinh doanh là bản tài liệu văn bản mô tả các hoạt động, quá trình kinh
doanh của công ty, doanh nghiệp ứng với một khoảng thời gian nhất định trong tương

4


lai. Bản kế hoạch kinh doanh có thể bao gồm chiến lược bán hàng, chiến lược tiếp thị,
chiến lược marketing, chiến lược tài chính…

Vì vậy, hôm nay chúng tôi xin làm một báo cáo về việc lập kế hoạch sản xuất kinh
doanh tại xưởng gỗ SOLAKEM.

2. Ý nghĩa
Lập kế hoạch cho biết phương hướng hoạt động, làm giảm sự tác động của những
thay đổi, tránh được sự lãng phí và dư thừa, và thiết lập nên những tiêu chuẩn thuận tiện
cho công tác kiểm tra. Vai trò của lập kế hoạch kinh doanh được thể hiện:
- Kế hoạch kinh doanh là công cụ đắc lực trong việc phối hợp nỗ lực của các thành
viên trong doanh nghiệp.
- Lập kế hoạch có tác dụng làm giảm tính bất ổn định của doanh nghiệp.
- Lập kế hoạch giảm được sự chồng chéo và những hoạt động lãng phí.
- Thiết lập nên những tiêu chuẩn tạo điều kiện cho công tác kiểm tra.

III.

Khảo sát, tư liệu, mục tiêu

1. Khảo sát
1.1. Thị trường
Cùng với sự phát triển của đất nước thì đối với mỗi gia đình, vấn đề xây dựng một
căn nhà không chỉ đơn giản là nơi cư trú của các thành viên trong gia đình, mà còn là
nơi để thư giãn, nghỉ ngơi, và thể hiện được cái hồn của chủ nhân căn nhà đó..
Ngành gỗ nội thất là một thị trường rất tiềm năng và có rất nhiều phân khúc cho từng
nhóm khách hàng có địa vị và thu nhập khác nhau trong xã hội. Nhưng dường như các

5


nhà hoạt động trong lĩnh vực nội thất ở Việt Nam chưa có sự nghiên cứu kỹ lưỡng và
đầu tư đúng mức cho thị trường đầy tiềm năng này. Gỗ là một dạng vật liệu mang

nhiều tính năng tốt và thể hiện được nhiều giá trị tinh thần hơn so với các loại vật liệu
khác. Sử dụng gỗ trong trang trí nội thất đã có từ rất lâu đời và hiện nay là một xu
hướng chung của tất cả các nước trên thế giới.Vật liệu có nguồn gốc từ gỗ cũng đa
dạng hơn, độ bền và tính thẩm mỹ cũng được nâng cao hơn do kỹ thuật xử lý gỗ và kỹ
thuật sản xuất các tấm vật liệu có nguồn gốc từ gỗ cũng ngày càng hiện đại hơn. Sử
dụng gỗ và vật liệu có nguồn gốc từ gỗ để trang trí nội thất là một xu hướng khá phổ
biến hiện nay. Tuy nhiên sử dụng loại nào, mẫu mã ra sao là một vấn đề thay đổi tùy
theo nhận thức của từng cá nhân và theo khuynh hướng trào lưu chung của một xã hội,
trong một giai đoạn nhất định nào đó. Nghiên cứu xu hướng sử dụng đồ gỗ trong trang
trí nội thất sẽ giúp cho các nhà thiết kế đồ gỗ đưa ra được sản phẩm nội thất đúng với
thị hiếu của người sử dụng trong một giai đoạn nhất định. Đồng thời, nhà sản xuất đồ
gỗ cũng tìm ra được cách tiếp cận khách hàng phù hợp hơn nhằm đáp ứng được nhu
cầu sử dụng đồ gỗ ngày phong phú và đa dạng hơn của người tiêu dùng.
Đồ nội thất là một phần không thể thiếu đối với mỗi không gian sống. Thị trường đồ
nội thất Việt nói riêng và Thế giới nói chung đang có những chuyển biến tích cực...
Thống kê của Phòng Thương mại Công nghiệp Việt Nam (VCCI) cho biết, trung bình
hàng năm, mức tiêu thụ hàng nội thất cao cấp trong nước đạt hơn 2,5 tỷ USD. Trong
đó, 80% là sản phẩm nội thất nhập khẩu từ các nước châu Âu, 20% là sản phẩm của
Việt Nam. Cùng với tốc độ tăng trưởng kinh tế trung bình hơn 6%/năm, mức tiêu thụ
trong lĩnh vực thiết kế nội thất của người Việt Nam trong thời gian tới được đánh giá là
sẽ còn tăng cao. Do vậy, các doanh nghiệp châu Âu đến Việt Nam lần này cũng xuất
phát từ đánh giá thị trường thiết kế nội thất tại Việt Nam rất tiềm năng.
Ngành nội thất gỗ Việt Nam hiện vận hành theo 2 mô hình chính. Một là các doanh
nghiệp xuất khẩu sản phẩm có giá trị gia tăng. Hai là những công ty gia công nội thất
đơn thuần. Trong đó, phần lớn vẫn đang hoạt động với quy mô nhỏ, chủ yếu làm gia
6


công lợi nhuận thấp. Tại Việt Nam, hiện chỉ có khoảng 5% doanh nghiệp dùng gỗ công
nghiệp trong sản xuất nội thất. Nhưng xu hướng dùng gỗ nhân tạo lại đang được các

nước lân cận như Thái Lan hay Malaysia ứng dụng để đưa hàng vào Mỹ và châu Âu,
tạo ra tỉ suất sinh lời cao.

1.2. Khảo sát xưởng gỗ SOLAKEM
- Ngày khảo sát: 12/11/2019
- Phương pháp khảo sát: Phỏng vấn trực tiếp
- Người được khảo sát: Quản lý xưởng và một vài nhân viên.
- Tham gia khảo sát: Các thành viên trong nhóm học tập.
* Kết quả đạt được:
- Xưởng có quy mô khá lớn với khoảng 50 công nhân viên.
- Doanh thu trung bình 1 năm khoảng 20 tỷ.
- Sản phẩm: Xưởng sản xuất các đồ gỗ nội thất: gia đình, văn phòng…
- Hàng tháng xưởng nhận được rất nhiều đơn đặt hàng từ những nhà phân
phối lớn
2. Tư liệu:
2.1 Nguyên liệu sản xuất:
Gỗ: gỗ mít, gỗ xoan, gỗ đinh, gỗ lim, gỗ sưa,…..
Các loại keo: Keo PSA, keo sữa, keo nóng chảy eva…

7


2.2 Sản phẩm và giá thành bán ra thị trường của từng loại sản phẩm phòng
khách:
Kệ: 10.500.000 đồng
Sâp: 15.000.000 đồng
Bàn ghế: 18.000.000 đồng
2.3 Chi phí sản xuất:
Kệ : 7.500.000 đồng
Sâp: 9.000.000 đồng

Bàn ghế phòng khách: 13.500.000 đồng
3. Thời gian hoàn tất sản phẩm:
Kệ: 30 giờ
Sập: 60 giờ
Bàn ghế: 90 giờ

4.

Yêu cầu ràng buộc khi sản xuất các loại sản phẩm để đáp ứng nhu cầu thị

trường và hoạt động của phân xưởng:
+ Nếu sản xuất cả 3 loại sản phẩm thì quỹ thời gian sản xuất không quá 540 giờ.
+ Hiện tại số vốn của xưởng ít nhất là khoảng 90.000.000 đồng.
+ Theo các hợp đồng với nhà phân phối, yêu cầu sản phẩm Kệ phải có lượng sản
xuất ít nhất 30 cái.

5.

Mục tiêu
8


- Công ty muốn xây dựng mô hình sản xuất để tổng lợi nhuận thu được khi bán đồ
gỗ nội thất là nhiều nhất.

IV. Xây dựng bài toán
Xưởng gỗ SOLAKEM dự định sản xuất loại sản phẩm nội thất dành cho phòng
khách: kệ, sập, bàn ghế. Giá thành của các sản phẩm lần lượt là: 10.500.000 đồng,
15.000.000 đồng và 18.000.000 đồng. Chi phí sản xuất lần lượt là: 7.500.000 đồng,
9.000.000 đồng và 13.500.000 đồng . Nếu sản xuất cả 3 loại sản phẩm thì quỹ thời gian sản

xuất không quá 540 giờ. Hiện tại số vốn của xưởng là 90.000.000 đồng. Theo các hợp
đồng với nhà phân phối, yêu cầu sản phẩm kệ phải có lượng sản xuất ít nhất 30 cái. Tìm
kế hoạch sản xuất cho tổng lợi nhuận lớn nhất.

V. Thuật toán,ứng dụng giải
1.Các bài toán QHTT
Qua nghiên cứu các bài toán qui hoạch tuyến tính(QHTT), chúng ta có thể khái quát
các bài toán qui hoạch tuyến tính gồm các dạng cơ bản: dạng tổng quát, dạng chính tắc và
dạng chuẩn. Mỗi dạng có những đặc trưng riêng và có cách giải riêng. Trong đó dạng
chuẩn sẽ là cơ sở cho phương pháp đơn hình. Nắm vững từng loại để có thể chuyển đổi
giữa các loại.
1.1.Dạng tổng quát
Đây là dạng gặp rất nhiều trong thực tế, cụ thể bài toán dạng này có các thành phần như
sau:
Hàm mục tiêu:

9


Ràng buộc:

1.2.Dạng chính tắc
Bài toán dạng chính tắc là bài toán có những đặc trưng cơ bản sau:
- Các ràng buộc đều là phương trình
- Các biến số đều không âm
- Vế phải có thể nhận giá trị bất kỳ. Bài toán dạng chính tắc còn được mô tả theo ký
hiệu ma trận như sau:
Min (Max) cxT
Ràng buộc : AxT =b ,x≥0
Với

10


1.3.Dạng chuẩn tắc
Hàm mục tiêu:

Ràng buộc :

Ràng buộc dấu:

Bài toán dạng chuẩn còn được mô tả theo ký hiệu ma trận như sau:
Min (Max) cxT
Ràng buộc : AxT =b ,x≥0
Với

11


*Nhận xét: Bài toán dạng chuẩn là dạng bài toán dạng chính tắc có thêm các điều kiện, đó
là:
- Các số hạng tự do không âm (các số hạng ở vế phải không âm)
- Ma trận các hệ số các ràng buộc A có chứa một ma trận đơn vị cấp m.
Nói cách khác, hệ các ràng buộc là hệ phương trình chuẩn.
Ví dụ: Bài toán sau có dạng chuẩn
Min (3x1- x2+ x3-3x4+x5)
Ràng buộc :
2x1+ x2- x3+x4

= 10

2x1-2x2+x3 +
x1- x2+2x3+

x6 = 20
x5

= 18

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
Các biến ứng với các véc tơ cột đơn vị trong ma trận A được gọi là các biến cơ bản.
Biến cơ bản ứng với véc tơ đơn vị thứ i gọi là biến cơ bản thứ i. Các biến còn lại là các
biến không cơ bản.
Một tập các giá trị của các biến thoả mãn những ràng buộc của bài toán gọi là
phương án của bài toán. Một phương án mà các biến không cơ bản bằng 0 gọi là phương
án cơ bản.. Một phương án cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là không suy biến. Nếu
có ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến.
1.4.Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch
12


Như đã nêu, bài toán qui hoạch tuyến tính tồn tại dưới nhiều dạng khác nhau. Tuy
nhiên, trong một số phương pháp giải bài toán đòi hỏi bài toán có dạng nhất định. Vì vậy,
chúng ta phải thực hiện biến đổi bài toán từ dạng này sang dạng khác.
a. Đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc
Để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc, chúng ta có thể thực hiện những
biến đổi sau:
1. Nếu ràng buộc dạng chúng ta cộng thêm vào vế trái một biến phụ không âm
xn+1≥0 để chuyển ràng buộc về dạng phương trình .
2. Nếu gặp ràng buộc dạng chúng ta trừ ra ở vế trái một biến phụ không âm x n+1≥0

để chuyển ràng buộc thành phương trình .
Chú ý: các biến phụ là những biến giúp chúng ta biến đổi các ràng buộc dạng bất
phương trình thành phương trình, chứ không đóng vai trò gì về mặt kinh tế, nên nó không
ảnh hưởng đến hàm mục tiêu. Vì vậy, hệ số của biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0.
3. Nếu gặp biến xj ≤0, chúng ta thay xj=-tj với tj ≥0 4.
4. Nếu gặp biến xj tuỳ ý, chúng ta thay xj=x’j-x’’j với x’j≥0 và x’’j≥0.
Ví dụ: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:
Min (3x1- x2+2x3+ x4+5x5)
Ràng buộc
2x1-2x2+ x3+2x4+x5 ≤ 17
4x1-2x2+ x3
x1- x2+2x3
x1+ x2+2x3+ x4

= 20
+x5 ≥ -18
≤ 100

x1, x2, x3 ≥0 ; x4≤0 ; x5 tuỳ ý.
13


Nhận xét: Ràng buộc 1, 3, 4 là những bất phương trình - x4≤0, x5 tuỳ ý.
Chúng ta thêm biến phụ x6, x7, x8 vào ràng buộc 1,3 và 4;
Thay x4= -t4 và x5=x’5-x″5.
Như vậy, chúng ta được bài toán dạng chính tắc như sau:
Min (3x1-x2+2x3-t4+5x’5-5x″5)
Ràng buộc
2x1-2x2+x3-2x4+x’5- x″5+x6

= 17

4x1-2x2+ x3

= 20

x1-x2+2x3

+x5- x″5

-x7

x1+x2+2x3-x4

= -18
+x8 = 100

x1, x2, x3, t4, x’5, x″5, x6, x7, x8 ≥0
b. Đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn
Trước tiên, nếu trong bài toán dạng chính tắc, có một số hạng ở vế phải nào âm, chúng
ta chỉ cần đổi dấu hai vế để được b i>0. Vậy, từ đây chúng ta có thể giả thiết bài toán dạng
chính tắc đang xét có bi≥0 (i = 1,m), tức vế phải của bài toán không âm.
Xem xét bài toán dạng chính tắc như sau:
Hàm mục tiêu:

14


Chúng ta thêm vào mỗi phương trình một biến giả (Artifical variable) không âm
xn+1≥0 với hệ số 1. Trong hàm mục tiêu f(x)→ min, các biến giả có hệ số M (lớn tuỳ ý),

trong hàm mục tiêu f(x)→max, các biến giả có hệ số –M. Chúng ta có bài toán mới gọi là
bài toán mở rộng của bài toán xuất phát.
- Hàm mục tiêu:

Ràng buộc

*Chú ý:
- Phân biệt biến phụ và biến giả với 3 điểm sau:
Biến phụ được sử dụng để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chính tắc còn biến
giả được sử dụng để đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn.
Trong hàm mục tiêu, hệ số của các biến giả bằng M khi f(x)→min hay bằng –M khi
f(x)→max còn biến phụ luôn có hệ số bằng 0.
Biến phụ là con số thực giúp chúng ta biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình về
dạng phương trình còn biến giả thì 2 vế đã bằng nhau mà vẫn cộng thêm là làm việc “giả
tạo” để tạo ra véc tơ đơn vị mà thôi.
- Nếu bài toán dạng chính tắc có bi ≥0 và đã có sẵn một số véc tơ cột đơn vị trong A,
thì chỉ cần thêm biến giả vào những phương trình cần thiết đủ để tạo bài toán mở rộng
dạng chuẩn.

15


- Quan hệ giữa bài toán xuất phát và bài toán mở rộng: Chúng ta thấy rằng các biến
giả đều bằng 0 thì bài toán mới lại chính là bài toán cũ, vì vậy chúng ta là phải làm sao cho
các biến giả bằng 0. Để đạt được kết quả như thế, chúng ta thực hiện như sau: Giả sử bài
toán có f(x) →min, thì điều đó chỉ đạt được nếu các biến giả bằng 0. Vì nếu biến giả dương
thì f(x) vẫn còn chứa M với hệ số dương mà M lại lớn tuỳ ý thì f(x) không đạt cực tiểu; còn
nếu f(x) →max thì M lại được thay bằng –M cũng với ý đó.
*Nhận xét: Bất cứ bài toán dạng tổng quát nào cũng đưa được về dạng chính tắc và bài
toán mở rộng dạng chuẩn. Như vậy, mấu chốt của vấn đề là giải bài toán dạng chuẩn.

2.Thuật toán đơn hình
Đối với những bài toán có nhiều biến, chúng ta không thể sử dụng phương pháp đồ
thị được mà phải sử dụng phương pháp đơn hình. Phương pháp này được G.Dantzig đưa ra
năm 1947. Trong khoảng 40 năm, phương pháp này thực sự hiệu quả duy nhất để giải các
bài toán qui hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế. Hiện nay, phương pháp điểm mới có thể
cạnh tranh đối với phương pháp đơn hình.
Phương pháp này được sử dụng rộng rãi và hiện nay có nhiều phần mềm máy tính đã
ứng dụng phương pháp này.
2.1. Thuật toán đơn hình giải bài toán dạng chuẩn
Thuật toán được áp dụng cho từng bài toán cực tiểu hay cực đại. Chúng ta lần lượt nghiên
cứu thuật toán cho từng loại.
2.1.1. Trường hợp Bài toán Min
Thuật toán gồm 5 bước như sau:
Bước 1: Lập bảng ban đầu:
căn cứ vào bài toán dạng chuẩn để lập bảng và dạng cơ bản như trên Bảng 1.

16


Bảng 1.bảng đơn hình đầu tiên

Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu
- Nếu Δj ≤0 ∀j thì phương án đang xét là tối ưu và giá trị hàm mục tiêu là f(x)=f0.
- Nếu ∃Δj >0 mà aij ≤0 ∀i thì bài toán không có phương án tối ưu. Nếu cả hai trường
hợp trên không xảy ra thì chuyển sang bước 3.
Bước 3: Tìm biến đưa vào: Xét các Δj >0, Nếu Δv=max Δj thì xv được chọn đưa vào. Khi
đó cột v gọi là cột chủ yếu.
Bước 4: Tìm biến đưa ra:
Tính λi = bi/aiv ứng với các aiv > 0
Nếu λr=min λi thì xr là biến đưa ra. Khi đó, hàng r gọi là hàng chủ yếu, phần tử a rv là

phần tử trục xoay.
Bước 5: Biến đổi bảng như sau:
- Thay xr bằng xv và cr bằng cv. Các biến cơ bản khác và hệ số tương ứng để nguyên.
- Chia hàng chủ yếu (hàng r) cho phần tử trục xoay a rv, chúng ta được hàng r mới và
được gọi là hàng chuẩn.
17


- Muốn có hàng i mới (i≠r), chúng ta lấy –a iv nhân với hàng chuẩn rồi cộng vào hàng
i cũ.
- Muốn có hàng cuối mới, chúng ta lấy -Δv nhân với hàng chuẩn rồi cộng vào hàng
cuối cũ.
*Chú ý:
Hàng cuối (gồm f và Δj) cũng có thể tính trực tiếp như ở bước 1 với bảng mới vừa
được tạo.
2.1.2. Trường hợp Bài toán Max
Về cơ bản, thuật toán giải bài toán Max giống thuật toán giải bài toán Min, chúng
chỉ khác nhau ở bước 2 và bước 3. Cụ thể, thuật toán có các thay đổi ở các bước như sau:
- Ở bước 2 (kiểm tra tính tối ưu)
+Phương án tối ưu khi Δj≥0 ∀j
+ Nếu ∃Δj <0 mà aij <0 ∀i thì bài toán không có phương án tối ưu.

- Ở bước 3: biến chọn đưa vào là biến có Δj âm và nhỏ nhất.
3.Ứng dụng giải
Hiện nay, có nhiều phần mềm máy tính có thể thực hiện giải bài toán qui hoạch
tuyến tính. Chúng ta có thể sử dụng phần mềm “Giải bài toán quy hoạch tuyến tính “, nó có
thể giúp chúng ta giải một cách chính xác và hiệu quả, hơn nữa nó có thể đưa ra cho ta
từng bước giải đúng như khi ta làm thủ công.
VI- Giải bài toán
Để tiện cho việc tính toán, nhóm tôi để đơn vị tính = 1.000.000 (đồng).

Tóm tắt bài toán:
18


Kệ

Sập

Bàn Ghế

Giá bán(triệu đồng)

10.5

15

18

Chi phí(triệu đồng)

7.5

9

13.5

Thời gian(giờ)

3

6

9

Đặt ẩn

X1

X2

X3

Yêu cầu bài toán:
 Nếu sản xuất cả 3 loại sản phẩm thì thời gian không quá 540 giờ.
3X1 + 6X2 + 9X3 ≦ 540
 Hiện tại số vốn của xưởng ít nhất 90 (triệu đồng)
7.5X1 + 9X2 + 13.5X3 ≥90
 Yêu cầu sản phẩm kệ phải có lượng sản xuất ít nhất 30 cái :
X1 ≥ 30
Yêu cầu kết quả: Tìm số lượng mỗi loại sản phẩm sao cho lợi nhuận của xưởng sản xuất
gỗ là lớn nhất.
1. Phương pháp giải:
Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính. Với bài toán này, nhóm chúng tôi sử dụng
phương pháp đơn hình để giải.
Các bước giải:

19


+) Xây dựng hàm mục tiêu.

+) Xây dựng các ràng buộc.
+) Sử dụng phương pháp đơn hình giải bài toán.
a) Hàm mục tiêu
Gọi Xj là số lượng từng sản phẩm mà xưởng gỗ sẽ sản xuất, nên ta có:
Xj ≧ 0 và j =(1,2,3).
Theo như bài toán, lợi nhuận lớn nhất mà xưởng gỗ đạt được sẽ bằng tổng số lượng
từng sản phẩm bán trừ đi tổng chi phí sản xuất từng sản phẩm thì ra lợi nhuận của từng sản
phẩm. Do đó, ta có hàm mục tiêu như sau:
F(x) = (10.5X1 + 15X2 + 18X3) – (7.5X1 + 9X2 + 13.5X3)
= 3X1 + 6X2 + 4.5X3 → max

b) Từ yêu cầu bài toán ta có các ràng buộc:

3X1 + 6X2 + 9X3 ≤ 540
7.5X1 + 9X2 + 13.5X3 ≥ 1200
X1 ≥ 30

c) Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình
Bài toán :
F(x) = 3X1 + 6X2 + 4.5X3 → max
20


3X1 + 6X2 + 9X3 ≤ 540
7.5X1 + 9X2 + 13.5X3 ≥ 90
X1 ≥ 30
Giải:
Đưa bài toán về dạng chuẩn.
F(x) = 3X1 + 6X2 + 4.5X3 + 0X4 – MX7 – MX8 => MAX
Các ràng buộc:

3X1 + 6X2 + 9 X3 + X4

= 540

7.5X1 + 9X2 + 13.5X3 - X5 +X7 = 90
X1

- X6 + X 8

= 30

- Bổ sung thêm ẩn phụ X4, X5, X6.
- Bổ sung thêm ẩn giả tạo X7, X8.
- Cơ sở Aj = { A4, A7, A8 }.
- Phương án cực biên xuất phát là x =(0,0,0,540,0,0,90,30).

-Lập bảng đơn hình.
3

6

4.5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-M

-M

21


A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

Cj

Cm

Aj

Xj

0

0

A4

540

3

6

9

1

0

0

0

0

0

-M

A7

90

15/2

9

27/2

0

-1

0

1

0

0

-M

A8

30

1

0

0

0

0

-1

0

1

-3

-6

-9/2

0

0

0

0

0

-17/2

-9

-

0

1

1

-1

-1

F(Cj) = 0
F(Cm) = -120

27/2
0

0

A4

480

-2

9/2

0

A3

20/3 5/9

0

0

1

2/3

0

0

2/3

1

0

-

0

0

2/27
0

-M

A8

30

1

0

0

0

0

-1

1

F(Cj) = 30

-1/2

-3

0

0

-1/3

0

0

F(Cm) = -30

-1

0

0

0

0

1

-1

0

0

A4

504

0

12/5

18/5

1

2/5

0

0

3

0

A1

12

1

6/5

9/5

0

-

0

0

2/15
0

-M

A8

18

F(Cj) = 36

0

-6/5

-9/5

0

2/15

-1

1

0

-

9/10

0

-2/5

0

0

9/5

0

-

1

-1

12/5
F(Cm) = -18

0

6/5

2/15
0

0

A4

450

0

6

9

1

0

3

3

0

A1

30

1

0

0

0

0

-1

0

0

A5

135

0

-9

-

0

1

-

27/2
F(Cj) = 90

0

-6

-9/2
22

15/2
0

-2/3

-3


F(Cm) = 0

0

0

0

0

0

0

50

1

3/2

1/6

0

1/2

51

0

0

0

0

-1

10

0

0

3/2

1

-3

F(Cj) = 540

0

0

9/2

1

0

0

F(Cm) = 0

0

0

0

0

0

0

0

6

0
0

A2

6
3

0
0

75
A

A1

3
0

A

0
0

30
A

A5

810

- Phương án tối ưu của bài toán là: (30,75,0,0,810,0,0,0)
- Giá trị hàm mục tiêu đạt được là: F(x) = 540
- Vậy từ phương án tối ưu ta thấy được xưởng gỗ cần sản xuất: 30 kệ và 75 Sập thì sẽ đạt
được lợi nhuận lớn nhất là:
540*1.000.000 = 540.000.000 (đồng).
VII- Giải bài toán
Sử dụng phần mềm giải bài toán QHTT ta có :
Đề bài:

23


24


25