PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO …………
TRƯỜNG THPT ………………

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Người viết……………..
Giáo ……………….
Đối tượng: Chuyên đề được sử dụng để bồi dưỡng học sinh lớp 12 ôn thi
THPTQG
Dự kiến thời gian bỗi dưỡng: 3 tiết

……………


Mục lục
Phần I: Đặt vấn đề………………………………………………….....................1
Phần II: Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề ………….........................2
A - Lý thuyết cơ bản………………………………..........................................2
B - Dạng đồ thị của một số phương trình…………………..............................4
Phần III: Phân dạng bài tập về đồ thị trong dao động điều hòa…………….........7
Phần IV: Phương pháp giải và ví dụ minh họa ……………………….................7
Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian
(ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐIỀU HÒA)…………… ……………………………. .8
Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian
(ĐỒ THỊ CỦA HÀM TUẦN HOÀN)…… ……………………....................17
Dạng 3: Đồ thị dạng khác: (đường thẳng, elip, parabol...)…..........................20
Phần V: Một số câu đồ thị trong các đề THPTQG các năm gần đây………......21
Phần VI: Bài tập tự luyện……………………………………………................24
Phần VII: Kết luận…………………………………...........................................33

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình ôn thi THPTQG, tôi nhận thấy dạng bài tập về đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của các đại lượng đặc trưng của dao động cơ (x, v, a, W đ, Wt,
Fđh, Fkv…theo t hoặc phụ thuộc vào nhau), sóng cơ ( u, v … theo t), dòng điện
xoay chiều (UR, UL, UC, P…) theo R, L, C, f… hay dao động và sóng điện từ ( q,
i, u, Wđt, Wtt, …theo t hoặc phụ thuộc vào nhau) là dạng bài tập thường gặp
nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ làm
được các bài tập quen thuộc (thậm chí có nhiều học sinh nhìn thấy bài tập có đồ
thị còn ngại, lúng túng do chưa có kỹ năng phân tích trên đồ thị hoặc bỏ qua
không làm được). Bởi mỗi đồ thị lại có một hình dạng khác nhau ( đường hình
sin, thẳng, elip, parabol, đường cong có tính tuần hoàn…). Vì vậy, việc tìm ra
một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ đó
giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết. Ở đây
trong phạm vi một chuyên đề hẹp tôi chỉ giới thiệu về dạng bài tập đồ thị trong
dao động điều hòa mà chủ yếu là các đồ thị có tính tuần hoàn.

1


PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG
CHUYÊN ĐỀ
A – Lý thuyết cơ bản (Phương trình và công thức của một số đại lượng)
I. Phương trình của các hàm điều hòa ( thể hiện mối liên hệ giữa x(t),
v(t), a(t), Fkv(t), Fđh(t) (CLLX nằm ngang).

x  A cos  t   
1. Phương trình li độ:
(1)
mm

,
cm
,
m
...
x
+ Li độ: Kí hiệu , đơn vị
là độ dời của vật khỏi vị trí cân
bằng (vtcb).
+ Biên độ: Kí hiệu A , đơn vị mm, cm, m... là giá trị cực đại của li độ.

 A  0 .

A  | x |max

+ Tần số góc: Kí hiệu  , đơn vị rad /s
  2 f 

2
T

+ Chu kì dao động: Kí hiệu T, đơn vị s (giây). Khoảng thời gian ngắn
nhất vật thực hiện một dao động toàn phần (thời gian ngắn nhất vật lặp
lại dao động như cũ)
T

1 2
t

T

f
 ;
N (Trong đó: N là số dao động trong khoảng thời

gian t )
+ Tần số dao động: Kí hiệu f , đơn vị Hz . Số dao động toàn phần thực
hiện được trong một giây
f 

1 

T 2

+ Pha dao động: Kí hiệu t   , đơn vị rad
Pha ban đầu:  pha dao động ứng với thời điểm ban đầu, gốc thời gian,
thời
điểm t  0
v  x '   A sin  t   
2. Phương trình (biểu thức) vận tốc:
(2)
a  v '   A 2 cos  t      2 x
3. Phương trình (biểu thức) gia tốc:
(3)
4. Lực kéo về hay lực phục hồi: Fkv = - kx = - m = - kAcos( .t   ) (4)
( = Fđh (CLLX nằm ngang))

II. Phương trình của các hàm tuần hoàn (thể hiện mối liên hệ giữa W đ(t),
Wt(t), Fđh (t)(CLLX thẳng đứng)
5. Động năng: Kí hiệu: Wd , đơn vị J
2

Wđ 

1 2 1
mv  m 2 A2sin 2 (t   )
2
2
Wt
J

6. Thế năng: Kí hiệu:

(5)

, đơn vị

1
1
Wt  m 2 x 2  m 2 A2cos 2 (t   )
2
2

(6)

7. Lực đàn hồi : Với con lắc lò xo thẳng đứng:
+ F = k lcb  x
(7) (chiều dương hướng xuống dưới)
đh

+ Fđh = k lcb  x

(chiều dương hướng lên trên)

III. Công thức của các hàm khác ( đường thẳng, elip, parabol…)
* Đồ thị là đường thẳng (  (t), a(x), Fkv(x), Fđh(x)
1. Pha của dao động ở thời điểm t: t   , đơn vị rad
(8)
2. Lực kéo về hay lực phục hồi, lực đàn hồi:
Fkv = - kx = - m;
(9)
F = k lcb  x
(10)
đh

Fđh = k lcb  x
2
3. Công thức độc lập giữa a(x): a = -  .x
(11)
* Đồ thị là đường elip (thể hiện mối liên hệ giữa v(x), a(v))
4. Công thức độc lập giữa v(x)
x2 + = A2
(12)
5. Công thức độc lập giữa a(v)
+ = A2
(13)
* Đồ thị là đường parabol
6. Công thức của động năng, thế năng theo x hoặc v
- Động năng: Wđ =
(14)

- Thế năng : Wt =
(15)

B – Dạng đồ thị của một số phương trình
1. Đồ thị của li độ x theo thời gian t:
Xét phương trình dao động x  A cos(t  ) , (giả sử chọn chọn gốc thời gian tại
vị trí biên dương để φ = 0). Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồ
thị biểu diễn x theo t như sau:
t
ωt
x
0
0
A
T
4
T
2
3T
4
T


2

3
2
2

0

A

0
A

Đồ thị biểu diễn li độ x  A cos(t  ) với φ =0
3


2. Đồ thị và sự so sánh pha của các dao động điều hòa: x, v, a theo t
Vẽ đồ thị của dao động x  A cos(t  ) trong trường hợp φ = 0.
t
0
T
4
T
2
3T
4
T

xAx
A
O
0

-A
vA

v

0

 AT


 A2

4

Aω 0
O

a
0

T 3T
2
4

T

t

A2
t

-A0

A

0

a
A2A

0

 A2

O

t

-A2

Nhận xét:
+ Nếu dịch chuyển
đồ thị v về phía
chiều dương của
trục Ot một đoạn
T
4 thì đồ thị của v

và x
nhau.

cùng

pha


T
Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc 2 hay về thời gian là 4 .
T
+ Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía chiều dương của trục Ot một đoạn 4 thì

đồ thị của a và v cùng pha nhau.

T
Nghĩa là, a nhanh pha hơn v một góc 2 hay về thời gian là 4 .

+ Nhận thấy a và x luôn ngược pha nhau (trái dấu nhau).
3. Đồ thị x, v và a theo t dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ
Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0.
t
0
T
4
T
2
3T
4
T

x
A
0

v
0

a

 A

A

0

A

0

A

0

A

0

 A2

 A2

0
2

4. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
a. Sự bảo toàn cơ năng

Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực
thế (trọng lực và lực đàn hồi, …) và không có ma sát
nên cơ năng của nó được bảo toàn. Vậy cơ năng của
vật dao động được bảo toàn.

b. Biểu thức thế năng
Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x  A cos(t  ) và thế năng
của con lắc lò xo có dạng:

4


1
1
Wt  kx 2  kA 2 cos 2  t   
2
2
1
 m2 A 2 cos 2 (t  )
2
Ta có đồ thị Et trong trường hợp φ = 0.

c. Biểu thức động năng
Ở thời điểm t bất kì vật có vận tốc
v  A sin(t  )
1
W� = mv2 
2
và có động năng
1

mω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ)
2

Ta có đồ thị W� trong trường hợp φ = 0.

Ta có đồ thị Wđ và Wt vẽ trên cùng
một hệ trục.
d. Biểu thức cơ năng
Cơ năng tại thời điểm t:
1
W = Wñ + Wt  m2 A 2
2

5


PHẦN III: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ TRONG DAO
ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:
Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp
dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ
năng.
Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (ω, A, φ,viết PT
dao động…)
Dạng 3: ĐỒ THỊ DẠNG KHÁC: đường thẳng, elip, parabol…
Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao
động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực đàn hồi
theo vận tốc, theo li độ, pha theo thời gian…: Xác định các đại lượng đặc

trưng (ω, A, φ,viết PT dao động…)

PHẦN IV: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
ĐVĐ: Để giải bài toán về đồ thị nói chung phải dựa vào phương trình về sự
phụ thuộc của các đại lượng vào nhau. Ví dụ:
+ x(t); v(t); a(t); Fkv(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo ngang) …là đường hình sin, có
tính tuần hoàn, đối xứng qua trục ot
+ Wđ(t); Wt(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo thẳng đứng) … là đường hình sin, có tính
tuần hoàn, nhưng không đối xứng qua trục ot.
6


+ v(x); a(v): là đường elip.
+ a(x); Fkv(x); Fđh(x); φ(t) là đường thẳng.
+ Wđ(v); Wt(x); Wđ(x); Wt(v): là đường parabol.
Dựa vào các đặc điểm của từng đồ thị để khai thác các giá trị trên đồ thị, ở đây
chủ yếu xét các đồ thị có tính tuần hoàn (đồ thị hình sin)

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp
dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ
năng.
a. Xác định biên độ
Nếu tại VTCB, x = 0, thì:
+ x  x max  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A).
+ v  v max  A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max ).
+ a  a max   A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max ).
KL: Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục
2

tung (tìm biên độ A, ωA hoặc  A ).
b. Xác định pha ban đầu φ
Vì các phương trình được biểu diễn theo hàm chuẩn là hàm cos nên từ đồ thị ta
suy ra
2

cos  

x 0 cos   v0 cos   a 0
v
a
v max ,
a max .
A ,

thấy φ nhận hai giá trị, ta dựa vào chiều chuyển động của vật để loại nghiệm.
KL: Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ
c. Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω):
Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì T là khoảng thời gian giữa
hai điểm cùng pha gần nhất. Rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω).
Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel để
xác định góc quét tương ứng với thời gian sau đó áp dụng công thức tìm ω:



t .

7

KL: + Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa
vào khoảng thời gian gần nhất cùng pha để vật nhận giá trị nào đó.
Lưu ý:
- Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên
điều hòa theo hàm số sin và cos với chu kì T.

Ví dụ về pha ( nhận biết nhanh)
xx

A
A

T
T
2

00

T
T
4

3T
4T
3T

2

4

4

A

t t
T

A

= 0;= x0=
t = 0;t x0
0; v0A;>=0
0; = -π/2
x

A

x

T
4

0

A

T
2

A

T
0 4
T

3T
4

t

T
2

3T T
4

t

A

0; x0= -A; = π
t = 0; x0= 0; v0 < 0; =t =π/2
x

x

A
A 3
2
0

T
12

A
A2
7T
2
12 0

A

x0 

A

5T
8
T
8

13T
12

t t
9T
8

A 2
A
x0  3

2 2
8


x

A

A

A
2

2T
3

0

T
6

A

x0

0

5T
76T

t

t

4T
6
A T T/3
 12
3
2
A
A



t = 0; x0=2
-A/2; v0 > 0; = - 2π/3

Ví dụ 1( Vận dụng):
x(cm)
Cho đồ thị của một dao động điều hòa
a) Tìm: Biên độ, tần số góc, chu kỳ, tần số,
10
pha ban đầu của dao động? Từ đó viết PT dao động?
7
1
5
b) Phương trình vận tốc.
24
24

c) Phương trình gia tốc.
d) Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau
và bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng.
Giải
a) Tính A; ω; T; f.
- B1: Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới hạn cắt điểm có li độ là 10 trên trục tung
=> A = 10cm
1
T
s � T  0,5s
24
12
- B2: Thời gian đi từ x = 5 đến x = 0 là t =
=

- B3: Tại thời điểm t = 0; x = 5cm; x đang giảm:
x 1

cos   
 �
A 2 =>
3
x = A cosφ =>

•

3
5

Vận dụng mối quan hệ giữa dao động điều hòa và

chuyển động tròn đều:
Ta nhận xét vì x đang giảm => vật đang chuyển động theo chiều âm




3
2
nên ta chọn
A
Vậy:



2
 4 ; f  2 Hz
T

2

T
4
9

10

A
2

t(s)

x


=> Phương trình dao động: x = 10cos( 4 t




3 ) (cm)

'
b) Phương trình vận tốc: v = x = - 40  sin( 2 t





3 ) (cm/s)


t 3 ) (m/s2)

c) Phương trình gia tốc: a = - ω2.x = -16cos( 4
( thay a vào x)
d) Động năng bằng thế năng tại các vị trí:
1 2
1
A
kA  2 kx 2 � x  �

2
2
W = Wđ + Wt = 2Wt => 2
x1 

T 1
A
A
x2  
t   s  0,125s
2 đến
2 là
4 8

Thời gian để vật đi từ
Ví dụ 2 (Vận dụng): Hình vẽ bên là đồ thị
biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời
gian t của một vật dao động điều hòa. Tốc
độ cực đại của vật bằng:
A. 5,24 cm/s.
B. 1,05 cm/s.
C. 10,47 cm/s.
D. 6,28 cm/s.

Giải
- B1: Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới hạn
cắt điểm có li độ là 2cm trên trục tung =>
A = 10cm
- B2: Từ đồ thị, ta thấy tại t = 0, vật đi
qua vị trí x = 1 cm theo chiều dương.

Tại thời điểm t = 0,5 s, vật đi qua vị trí cân
bằng theo chiều âm.
+ Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều
hòa với vòng tròn lượng giác ta xác định
5T
5
 0,5 � T  1, 2 �  
3 rad/s.
được 12

Tốc độ cực đại của vật
v max  A  10, 47 cm/s. => Chọn C

Ví dụ 3 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD – ĐT năm 2017 – MĐ 202)
( Vận dụng): Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t . Tần số góc của dao động là
10


A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C. 5π rad/s.

D. 5 rad/s.
Giải

- Từ đồ thị ta thấy tại t = 0 vật đi qua VTCB
theo chiều âm, đến thời điểm t = 0,2s vật đi qua

VTCB theo chiều dương. Vậy vật đã đi được nửa chu kỳ
=> => Chọn C.

Ví dụ 4 (Thông hiểu): Một vật dao động điều
hòa có đồ thị vận tốc như hình vẽ. Nhận định
nào sau đây đúng?
A. Li độ tại Α và Β giống nhau.
B. Vận tốc tại C cùng hướng với lực hồi phục.
C. Tại D vật có li độ cực đại âm.
D. Tại D vật có li độ bằng 0.
Giải
- Tại A và B, li độ trái dấu vì vmax tại VTCB mà A và B ở hai bên VTCB.
- Tại C vận tốc âm và đang giảm nên vật đang chuyển động theo chiều âm về
biên âm (ở góc phần tư thứ 2) nên li độ âm => Lực hồi phục có giá trị dương.
- Vận tốc luôn dao động vuông pha với li độ, tại điểm D vận tốc bằng 0, vật
đang chuyển động theo chiều âm nên tại D vật có li độ cực đại âm. => chọn C
Ví dụ 5 (Thông hiểu): Hai vật dao động điều hòa
(có cùng khối lượng) trên cùng một trục tọa độ
Ox. Vị trí cân bằng của hai vật trùng với gốc tọa
độ O. Đường biểu diễn vận tốc theo thời gian của
mỗi vật v(t) trên hình vẽ bên. Chọn gốc thế năng
tại vị trí cân bằng của mỗi vật. Hãy chọn phát biểu
sai:
A. Ở thời điểm ban đầu (t = 0), vật 1 ở điểm biên.
B. Hai vật có cùng chu kì là 3 s.
C. Năng lượng dao động của vật 1 bằng 4 lần
năng lượng dao động của vật 2.
D. Hai vật dao động vuông pha.
Giải
11

+ Tại thời điểm t = 0, vật 1 có vận tốc bằng 0 → 1 đang ở vị trí biên → A đúng.
+ Dựa vào độ chia của trục Ot, ta thấy chu kỳ của mỗi vật đều bằng 12 ô
a

4
 0, 25 � T  12a  3
16
s → B đúng.

mà ta xác định được độ dài mỗi ô là
+ Ta có A1 = 0,5A2, (do vận tốc cực đại của vật 1 bằng một nửa vật 2) do đó E1 =
0,25E2 → C sai.
+ Hai dao động này vuông pha nhau → D đúng
=> Chọn C

Ví dụ 6 (Vận dụng): Vận tốc của một vật
dao động điều hòa biến thiên theo đồ thị
như
hình vẽ. Lấy π2 = 10, phương trình dao
động
của vật là

A. x = 2cos(2πt + 3 ) cm.


B. x = 2 10 cos(πt + 3 ) cm.

C. x = 2 10 cos(2πt - 3 ) cm.


D. x = 2 10 cos(πt - 3 ) cm.

v (cm/s)
40

35

12

t (s)

Giải
3

v  x '   A sin  t    � sin   2
- B1: Lúc t = 0: v = 20 3 thay vào PT:
và do vận tốc đang giảm nên vật ở li độ dương và đang đi về biên dương.
�  


� � A
� x  A cos�
 �
3
� 3� 2 .

12

-

A
B2: Thời gian tương ứng từ x = 2 đến vị trí biên dương rồi về vị trí cân bằng

theo chiều âm lần thứ nhất (góc quét π/3+π/2):
rad/s => - - B3: Biên độ
Vậy : x =
C

A

t

T T
5
 
� T  1�   2
6 4 12

v max 40 20


 2 10 cm

2


2 10cos(2 t 


)
3 cm.

=> Chọn

Ví dụ 7 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD - ĐT năm 2018) (Vận dụng).
Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số. hình bên là đồ thị biểu diễn sự
phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t.
Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau:
A. π/3
B. π/6
C. 5π/6
D. 2π/3
Giải
Cách 1:
Từ đồ thị ta thấy v2 đạt cực đại trước khi x1 đạt cực đại là 2 ô.
Mỗi chu kì 12 ô nên: v2 nhanh pha hơn x1 thời gian là T/6 ứng với góc
Hay v2 sớm pha hơn x1về thời gian làT/6 ứng với góc


3


3

.

.

  

Vì v2 vuông pha nhanh hơn x2 nên x1 sớm pha hơn x2 là : 2 3 = 6 . Chọn B.
Cách 2: Lập PT dao động của hai vật:
� �
x1  A1 cos�
t  �
 cm .
3
�
�
Phương trình dao động của M1 là :

Lúc t = 0 ta có :

v2 

v2max
A 3

� x2  2
� 2   .
2
2
6

� �
x2  A2 cos�
t  �
 cm

6
�
�
Nên phương trình dao động của M2 là :

13


Hai dao động của M

1

và M2 lệch pha nhau:

 |1   2 |


6

Chọn B.

Ví dụ 8 (Vận dụng): Cho hai dao động điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ.
Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là:
A. 140π cm/s.
B. 100π cm/s.
C. 200π cm/s.
D. 280π cm/s.

Giải
Cách giải 1: Chu kỳ dao động T = 0,1s.

Tần số góc= 20π rad/s.
�
�
�
20t  �
cm
�x1  8cos �
2�
�
�
�x  6 cos  20t    cm
�2

Phương trình dao động của hai vật:
Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau:
�
�
�
cm/s
�v1  160 cos �20t  �
2�
�
�
�v  120 cos  2t    cm/s
�2

Khi đó:v = v1 + v2 = 200πcos(20πt +  ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s. =>
Chọn C

Cách giải 2: Ta có:

T  1.101  0,1s �  

2
 20π rad/s
T
.

�
�
x1  8cos �20t  �cm
2�
�
Dao động 1 đang ở vị trí cân bằng và có li độ đang tăng:

Dao động 2 đang ở vị trí biên âm và đang tăng nên:
Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:

x 2  6cos  20t    cm

A12  A12  A 22  10cm � v12 max  A12  200π cm/s.
Ví dụ 9 (Đề THPTQG chính thức năm 2015)
14


(Vận dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của
chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường
2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2
là 4π cm/s. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm
hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5.

A. 4s.
B. 3,25s.
C. 3,75.
D. 3,5s.
Giải
Cách giải 1: Tốc độ cực đại của chất điểm 2:

v 2 max  2 A 2  2 .6  4 � 2 
Từ hình vẽ ta có:

2
rad/s
3
.

T2  2T1 � 1  22 

4
rad/s
3

�
�
�4
x1  6 cos � t  �
cm
�
2�
�
�3

�
�
�2
�
x 2  6 cos � t  �
cm
�
3
2
�
�
�
Phương trình dao động của hai chất điểm:

Hai chất điểm có cùng li độ khi:
�4  �
�2  � 4  2 
x1  x 2 � cos � t  � cos � t  ��
t 
t   k2
2�
2� 3
2 3
2
�3
�3
Có hai họ nghiệm

t1  3k1

(s) với k1 = 1, 2, 3….

Và t 2  k 2  0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x1  x 2 :

Lần

1

2

3

4
3s

t1  3k1

t 2  k 2  0,5

0,5s 1,5s 2,5s

5

6

7

3.5s

4,5s

5,5s

…

Vậy, hai chất điểm gặp nhau lần thứ 5 ở thời điểm t = 3,5s.
Chọn D
Cách giải 2: Từ hình vẽ ta có:
T2  2T1 � 1  22

15


� 2
 1,5s
v 2 max 4 2
4
�T1 
2 


rad/s � 1 
rad/s � � 1
A
6
3
3
�T  3s
�2
Mặt khác:

Từ hình vẽ, lần thứ 5 (không kể thời điểm t = 0):
2,25T1 < t < 1,25T2  3,375s < t < 3,75s

Chọn D

Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (A, ω, φ, viết
PT dao động…)
Cách giải chung
Cách 1: Khai thác trực tiếp các dữ kiện trên đồ thị
+ Cách tính biên độ của đại lượng biến thiên
Biên độ của đại lượng biến thiên = (Giá trị lớn nhất (độ lớn) + giá trị ( độ
lớn) nhỏ nhất): 2
+ Tìm φ: Từ đồ thị viết PT của đại lượng biến thiên, với t = 0 giải PT kết hợp
vòng tròn lượng giác suy ra pha ban đầu φ.
+ Tìm ω: Từ tính tuần hoàn của đồ thị suy ra chu kỳ trên trục thời gian ( Chú ý
với đồ thị động năng và thế năng theo thờii gian thì chu kỳ T ’ = T/2, lực đàn hồi
T’ = T)
16


Cách 2: Biến đổi hàm tuần hoàn về hàm điều hòa và vẽ lại đồ thị bằng sự
dịch chuyển của trục ot sao cho đường hình sin đối xứng để xác định chu
kỳ, biên độ và pha ( sử dụng được vòng tròn lượng giác)
* Từ PT của đại lượng biến thiên đặt thành hàm mới là hàm điều hòa với sự
dịch chuyển trên trục ot = phần hằng số trong phương trình ban đầu.
Ví dụ 10 ( Vận dụng): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k = 25
N/m dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Biết trục Ox thẳng đứng
hướng xuống, gốc O trùng với vị trí cân bằng. Biết giá trị đại số của lực đàn hồi
tác dụng lên vật biến thiên theo đồ thị. Viết phương trình dao động của vật?

�
�
x  10 cos �
5 t  �
cm
3
�
�
B.
2 �
�
x  10 cos �
5 t 
cm
�
3
�
�
D.

�
�
x  8cos �
4 t  �
cm
3
�
�
A.

�
�
x  8cos �
4 t  �
cm
3
�
�
C.

Giải
Công thức tính lực đàn hồi trong trường hợp này là

F  k  l0  x   kl0  kx
+ Tìm biên độ của đại lượng biến thiên:
Fmax 

1, 5  3,5
 2, 5N
2
;

+ Tìm pha ban đầu:

F  2,5cos   t     1(N)

;

F0  2,5cos   1  2, 25 �   

+ Tìm chu kỳ:

17

2
3


� 1 2
F  2,5cos �
 
�3 3

�
� 1  3,5
�
;

F  k  l0  x   kl0  kx

;

g
1


 5 rad / s
l0 
 0, 04m


l
0
k
=>
2,5
2 �
�
�
�
x
cos �
5 t 
5 t  �
cm
� 10 cos �
k
3 �
3�
�
�

Ví dụ 11 (Nhận biết): Cho một vật dao động điều hòa
với biên độ A dọc theo trục Ox và quanh gốc tọa độ O.
Một đại lượng Y nào đó của vật phụ thuộc vào li độ x
của vật theo đồ thị có dạng một phần của đường pa-rabôl như hình vẽ bên. Y là đại lượng nào trong số các đại
lượng sau?
A. Vận tốc của vật.
B. Động năng của vật.
C. Thế năng của vật.

D. Gia tốc của vật.
Giải
Vì đồ thị động năng theo li độ là một hàm bậc hai với hệ số a < 0. => Chọn B

18


Ví dụ 12 (Vận dụng): Con lắc lò xo treo
thẳng đứng dao động điều hòa ở nơi có gia
tốc trọng trường g = π2 m/s2. Độ lớn lực
đàn hồi của lò xo biến thiên theo đồ thị
như hình vẽ. Lấy π2 ≈ 10. Khối lượng của
vật nhỏ bằng
A. 100 g.
B. 300 g.
C. 200 g.
D. 400 g.
Giải
Trong quá trình dao động của vật, có thời
điểm lực đàn hồi có độ lớn bằng 0 → A >
Δl0.
+ Từ đồ thị, ta có
Fx  A A  l0

 5 � A  1,5l0
Fx  A A  l0
+ Ta để ý rằng, tại thời điểm t = 0 lực đàn
hồi có độ lớn đang giảm
Ft 0 x  l0


 0, 4 � x  0
Fx  A A  l0

→ tại t = 0 vật chuyển động qua vị trí cân
bằng theo chiều âm.
→ Từ đồ thị ta thấy hai vị trí lực đàn hồi
có giá trị bằng 2N ở thời điểm t = 0,2s và t
= 0,4s.
Biểu diễn các vị trí tương ứng trên đường
tròn, ta dễ dàng thu được 0,5T = 0,4 – 0,2
→ T = 0,4 s → ω = 5 rad/s → Δl 0 = 40 cm và A = 60 cm.→ Khối lượng của vật
nhỏ

Fx  A  m2  A  l 0  � m 

Fx  A
 200
  A  l0 
2

19

(g) => Chọn C


Dạng 3: DẠNG ĐỒ THỊ KHÁC: Đường thẳng, elip, parabol…
(Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao
động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực kéo về theo
li độ hoặc vận tốc trong dao động điều hòa điều hòa).
* Sử dụng tính chất của các đồ thị trong toán học ví dụ như công thức tính

tọa độ ở đỉnh parabol, tiêu điểm của các elip hay giá trị của đường thẳng có
đi qua gốc tọa độ…
Ví dụ 13 (Vận dụng). Một vật nặng có khối lượng m = 0,01 kg dao động điều
hòa quanh vị trí cân bằng. Đồ thị hình bên mô tả lực kéo về F tác dụng lên vật
theo li độ x. Chu kì dao động của vật là

A. 0,152 s

B. 0,314 s

C. 0,256 s

D. 1,265 s

Giải
+ Từ đồ thị ta có: Fmax = 0,8N, A = 0,2m

Fmax  m 2 A �  

Fmax
0,8
2 2

 20rad / s � T 

 0,314s
m.A
0, 01.0, 2
 20

20


PHẦN V: MỘT SỐ CÂU ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU
HÒA TRONG ĐỀ THI THPTQG CÁC NĂM GẦN ĐÂY
Câu 1 (Đề THPTQG năm 2015)(Vận
dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian của
chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2
(đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của
chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm
t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ
lần thứ 5.
A. 4s.
B. 3,25s.
C. 3,75.
D. 3,5s.
Câu 2 (Đề THPTQG 2016)( thông hiểu): Cho hai
vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng
song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật
nằm trên đường thẳng vuôn góc với trục Ox tại O.
Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị
biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1,
đường (2) la đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận
tốc và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về
cực đại tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa
khối lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là
A.1/27
B. 3
C. 27
D. 1/3

Câu 3 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 202) (Vận
dụng): Một vật dao động điều hòa trên trục Ox.
Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li
độ x vào thời gian t . Tần số góc của dao động
là
A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C. 5π rad/s.

D. 5 rad/s.

Câu 4 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 203)( Vận
dụng): Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một
vật dao động điều hòa. Phương trình dao
động của vật là
.
A
B.
C. D..
21


Câu 5 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 203) (Vận dụng): Một con lắc lò xo đang
dao động điều hòa. Hình bên là đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của động năng của con
lắc theo thời gian t. Hiệu có giá trị gần nhất
với giá trị nào sau đây?

A. 0,27 s.

B. 0,24 s.

C. 0,22 s.

D. 0,20 s.

Câu 6 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)
(Thông hiểu): Hai vật M1 và M2 dao động
điều hòa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận
tốc v2 của M2 theo thời gian t. Hai dao động
của M1 và M2 lệch pha nhau
A.π/3.
B. 2π/3.
C. 5π/6.
D. π/6.
Câu 7 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203)
(Thông hiểu): Hai vật M1 và M2 dao động
điều hòa cùng tần số. Hình bên là đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận
tốc v2 của M2 theo thời gian t. Hai dao động
của M1 và M2 lệch pha nhau
A. π/3.
B. 2π/3.
C. 5π/6.
D. π/6.
Câu 8 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203) (Thông hiểu):
Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số.

Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ
x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian.
Hai dao động của M2 và M1 lệch pha nhau
A. 2π/3
B. 5π/6
C. π/3
D. π/6
Câu 9 (Đề THPTQG 2018 – MĐ 203) (Thông hiểu):
Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng tần số.

22


hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ
x1 của M1 và vận tốc v2 của M2 theo thời gian t.
Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau:
A. π/3
B. π/6
C. 5π/6
D. 2π/3
Câu 10 (Đề THPTQG 2019 – MĐ 203)
(Vận dụng): Một con lắc lò xo được treo
vào một điểm cố định đang dao động điều
hòa theo phương thẳng đứng. Hình bên là đồ
thị biểu diễn sự phụ thuộc của lực đàn hồi F
mà lò xo tác dụng lên vật nhỏ của con lắc
theo thời gian t. Tại t=0,3 s, lực kéo về tác
dụng
lên vật có độ lớn là
A.3,5N

B.4,5N
C.1,5N
D.2,5
Câu 11 (Đề THPTQG 2019 – MĐ 203) (Vận
dụng): Một con lắc lò xo được treo vào một điểm 5
cố định đang dao động điều hòa theo phương
thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng lên vật O
nhỏ của con lắc theo thời gian t. Tại t=0,45 s, lực
kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là
A.1,59N
B.1,29N
C.2,29N
D.1,89N
Câu 12 (Đề thi chính thức THPTQG 2019 –
MĐ 203): Một con lắc lò xo được treo vào một
5
điểm cố định đang dao động điều hòa theo
phương thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc của lực đàn hồi F mà lò xo tác dụng O
lên vật nhỏ của con lắc theo thời gian t. Tại t =
0,15s lực kéo về tác dụng lên vật có độ lớn là
A. 4,43N
B. 4,83N
C. 5,83N
D. 3,43N

PHẦN VI: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

23

0, 4

0, 4