GA tu chon 9-CBH ( nang cao)

Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9
MÔN: TOÁN
TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI
LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO
THỜI LƯNG: 8 TIẾT
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ. ( 3 tiết)
1. Căn bậc hai.
 Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x
2
= a. Khi đó ta kí hiệu: x =
a

Ví dụ 1: -
9
= 3, vì 3
2
= 9;
25
4
5
2
.
5
2
5
2
25
4
==
vì

; …
 Số a > 0 có hai căn bậc hai là
0 a- à
<>
va 0
. Ta nói
a
là căn bậc hai số
học của số không âm a.
Ví dụ 2: Trong các số sau thì số nào là căn bậc hai số học của 9:
2222
3;)3(;3;)3(
−−−−
.
Giải
Căn bậc hai số học của 9 là:
22
3;)3(
−
 Số a < 0 không có căn bậc hai.
Số a = 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
Nếu
babthìa
≤≤≤
0
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Đảo lại, nếu
bathìba
≤≤≤
0

.
Ví dụ 3: So sánh 7 và
47
Giải
Ta có
47 7 vậy
>>=
do,47497
2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
AA
=
2
.
Dưới một dấu căn có thể chứa số, hoặc có thể chứa cả những dấu căn khác, cùng với
các phép toán số học, ta nói đó là một căn thức. Ví dụ
2
2
x
ba
+
. Khi đó ta nói
2
2
x
ba
+
là biểu
thức dưới dấu căn
Ta luôn có
AA

=
2
, điều này đúng với mọi số thực A, cũng đúng với mọi biểu thức
A, miễn là biểu thức đó có nghóa. Như vậy :
0 A nếuA và0 A nếu
2
<−=≥=
AAA
2
.
Ví dụ 4:
13)31(31)31(
2
−=−−=−=−
Ví dụ 5: Tìm x để căn thức sau có nghóa:
a)
;43
+−
x
b)
x
+−
2
1
; c)
22
xa
+
Giải
a) Ta phải có: -3x + 4

≥
0 hay x
≤

3
4
b) Căn thức
x
+−
2
1
có nghóa khi
2020
2
1
>⇔>+−⇔>
+−
xx
x
.
c) Căn thức
22
xa
+
luôn có nghóa vì biểu thức dưới dấu căn luôn không âm.
Ví dụ 6: Giải phương trình
3)12(
2
=+−
x

Môït HS tiến hành giải như sau: Ta có:
312)12(
2
=+−=+−
xx
suy ra x = -1.
Lời giải trên đã sót đi một nghiệm, lời giải đúng như sau:
- 1 -
Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
Ta có:





>−
≤+−
=+−=+−
2
1
x khix
khixx
xx
12
2
1
12
12)12(
2
Với x

2
1
≤
, ta có -2x + 1 = 3, suy ra x = -1
Với x >
2
1
, ta có 2x – 1 = 3, suy ra x = 2.
3. Các tính chất.
 Tính chất1: Nếu a
≥
0 và b
≥
0 thì
baba ..
=
.
Chứng minh:
Đặt M =
baNba .;.
=
, ta có:
M
2
=
abbbaababa
==
....).)(.(
N
2

=
bababa ....
=
Nên suy ra M
2
= N
2
. Mà M và N là các số không âm nên ta có M = N, suy ra điều phải
chứng minh.
Ví dụ 7: Tính:
2
81;25,0.100.36;27.3;50.20 aaa

Giải
.101010.10050.2050.20
===
.98127.327.3
2
aaaaaa
===
.9.8181
.305,0.10.625,0.100.3625,0.100.36
22
aaa
==
===
 Tính chất 2:
b
a
b

a
=
; a
≥
0, b > 0.
Chứng minh: Tương tự như trên.
Ví du 8ï:
9
4
81
16
81
16
;
25
11
225
121
225
121
;
3
5
9
25
9
25
22
a
aa

======
.
Chú ý:
a) Nói chung ta không có:
.; babababa
−=−+=+
Ví dụ:
5329,1394
=+=+=+
4 ưngnh

1349.7916
=−=−=−
16 ưngnh
.
b) Trong tính chất hai nói trên, có thể giả sử a
≤
0 và b < 0. Lúc đó ta viết:
b
a
b
a
−
−
=
.
 Tính chất 3: ( Đưa thừa số ra ngoài dấu căn )
BABA ..
2
=

( B
≥
0)
Ví dụ 9:
28)(2828
22224
abbaba
==
.
 Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào trong dấu căn).
A
BAB
2
=
(A
≥
0, B
≥
0 )
A
BAB
2
−=
( A < 0, B
≥
0)
Ví dụ 10: - 0,05
2672288.5.05,028800.)05,0(28800
2
−=−=−=−=

 Tính chất 5: ( Trục căn thức ở mẫu)
B
AB
B
AB
=
2
(A
≥
0, B > 0)
- 2 -
Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
BA
BA
BA
B
BA
B
A
−
=
±
=
1
( B > 0)
Chú ý:
)( BABA
+−
được gọi là lương liên hiệp của
)( BABA

−+
, vì ta
có
BABABA
−=±
))(( 

Tổng quát: X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn thức, nếu XY
không còn dấu căn.
Thông thường, việc nhân chia tử và mẫu của một phân thức cho lượng liên hiệp khiến
cho biểu thức gọn gàng hơn. Chính vì vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, khi gặp bài toán đòi hỏi
phải đơn giản hoặc tính một biểu thức chứa căn thức ở mẫu, việc đầu tiên, ta nghó đến các
lượng liên hiệp.
Ví dụ 11: Trục căn thức ở mẫu của A =
.
632
1
−+
Giải
23
)162)(632(
162
632
)6()32(
632
)632)(632(
632
.
632
1

22
+++
=
−
++
=
−+
++
=
−+−+
++
=
−+
=
A
Chú ý: Trong thực hành tính toán, đôi khi ta cần rút gọn một biểu thức chứa căn thức
phức tạp, hoặc cần phải chứng minh một đẳng thức bằng những biến đổi. Khi đó ta cần biết
khôn kheó vận dụng tổnghợp 5 tính chất trên để biến đổi. Điều này có được bằng kinh nghiệm
và kỷ năng tính toán, khi ta quen dần các bài tóan từ đơn giản đến phức tạp hơn.
Ví dụ 12: Tính M = 10a
2
- 4
a10
+ 4 với a =
2
5
5
2
+
Giải

M = (
a10
-2)
2
. Thay giá trò của a vào biểu thứcnày.
M =
25)2254(2
2
50
5
20
2
2
5
5
2
10
2
2
2
=−+=








−+=









−








+

Ví dụ 13: Cho bểu thức
10
55
55
55
55
−
+
−
+
−

+
=
B
. Rút gọn rồi chứng minh B < 0.
Giải
Ta có:
103
20
)103(20
20
102060
525
10).525(510525510525
)55)(55(
10).55)(55()55()55(
10
55
55
55
55
22
−=
−
=
−
=
−
−−−++++
=
+−

+−−−++
=−
+
−
+
−
+
=
B
Vì 3 <
10
nên 3 -
10
< 0. Vậy B < 0
Ví dụ 14: Tính
53
1
.
33
15
23
3
13
2
+









−
+
−
+
−
=
A
.
Giải
Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta có:
- 3 -
Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
2
1
35
1
).53(
2
1
35
1
.
2
35
2
15
63313

35
1
.
6
)33(15
1
)23(3
2
)13(2
53
1
.
)33)(33(
)33(15
)23)(23(
)23(3
)13)(13(
)13(2
=
+
+=
+









++−−+=
+








+
+
−
+
+
+
=
+








+−
+
+
−+

+
+
+−
+
=
A
4. Căn bậc ba.
Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x
3
= a, ký hiệu x =
.
3
a
Ta thừa nhận kết
quả: Mọi số thực đều có một căn bậc ba tương ứng.
Ví dụ:
327;327
33
−=−=
Ta công nhận các tính chất sau:
4.1 Nếu a < b thì
33
ba
<
.
4.2 Với mọi a, b ta có:
333
.. baba
=
.

4.3 Với mọi a, b và b
≠
0, ta có:
3
3
3
b
a
b
a
=
.
Ví dụ 15: Chứng minh:
).)((
).)((
33
3
2
33
33
3
2
33
bbaababa
bbaababa
+−+=+
++−=−
Hướng dẫn: Sử dụng các hằng đẳng thức A
3
– B

3
= (A –B)( A
2
+ AB +B
2
)
A
3
+ B
3
= (A + B)( A
2
– AB + B
2
)
Và tính chất 2, ở đây A =
3
a
và B =
3
b
.
Ví dụ 16: Theo chú ý ở trên, X được gọi là lượng liên hiệp của biểu thức Y có chứa căn
thức, nếu XY không còn dấu căn. Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp của
33
ax
−
là (
)
3 2

3
3 2
aaxx
++
.
Ví dụ 17: Trục căn thức ở mẫu cho biểu thức
1
2
3
2
+
+
x
x
với x
≠
-1
Giải
Ta có:
1
2
3
2
+
+
x
x
=
1
)1)(2(

3
3
22
+
+−+
x
xxx
.
5. Kiến thức mở rộng.
5.1 Căn bậc n.
A được gọi là căn bậc n của B nếu A
n
= B.
Một số A
0
≥
có hai căn bậc 2n, kí hiệu
n
A
2
và -
n
A
2
.
Một số A bất kỳ có một căn bậc hai bậc 2n + 1, ký hiệu
12
+
n
A

.
Như vậy, đối với số thực, căn bậc hai lẻ luôn tồn tại, trường hợp căn bậc ba đã học
chính là đặt biệt của một căn bậc lẻ. Còn đối với căn bậc chẵn ( còn căn bậc hai là trường hợp
đặt biệt) chỉ tồn tại cho số không âm. Đối với số A
0
≥
, ta cũng gọi
n
A
2
là căn bậc 2n số học
của A.
5.2 Tính chất căn thức: Trong các công thức sau đây, ta qui ước rằng biểu thức dưới
dấu căn làm cho căn thức có nghóa.
AA
B
A
B
A
BABA
n
n
n
n
n
n
nn
===
)(;;..
( các tính chất này đúng cho mọi số nguyên n

2
≥
miễn A, B thích hợp để căn thức có nghóa),
- 4 -
Mai Đình Công THCS Nhơn Phúc
AA
m
m
=
( m chẵn).
Qui tắc khai căn một căn thức:
nk
k
n
AA
=
.
Qui tắc nâng một căn thức lên một lũy thừa: (
n
kk
n
AA
=
)
(Hai công thức trên đúng cho
mọi n
2
≥
và k
1

≥
).
Ví dụ 18:
20
5
4
xx
=
;
3 44
3
)( aa
=
Ví dụ 19: Tính giá trò của biểu thức:
824
22
824
22
22
++
+
−
+−
−
=
xx
x
xx
x
C

Khi x =3
Giải
Ta có:
22
)22(
22
)22(
22
+
+
−
−
−
=
x
x
x
x
C
Với x =3 > 2
2
, các căn thức bậc hai đều có nghóa và các mẫu thức đều khác 0. Do
đó:
22
1
22
1
+
−
−

=
xx
C
Thay x = 3 ta được:
2
)12)(12(
)12()12(
12
1
12
1
)12(
1
)12(
1
223
1
223
1
22
=
−+
−−+
=
+
−
−
=
+
−

−
=
+
−
−
=
C
Ví dụ 20: Với a < b < 0, rút gọn biểu thức:
.)(.
1
24
baa
ba
A
−
−
=
Giải
Với a < b < 0, ta có:
[ ]
2
22
2424
)(.)(..
1
)(.
1
aba
ba
a

ba
ba
a
baa
ba
baa
ba
A
−=−−
−
=−
−
=−
−
=−
−
=
Ví dụ 21: Chứng minh rằng:
5724057240
+−−
là số nguyên.
Giải
Ta có:
57240
<
( vì 3200 < 3249) nên:
A=
5724057240
+−−
=

5724024057
+−−
100)24057)(24057(22405724057
2
=+−−++−=
A
Vậy A = 10 hay A = -10. Nhưng kết quả là A = -10. Vì 57 - 40
240572
+<
.
II. BÀI TẬP ( 5 tiết)
Bài 1: Tính:
36,0.25.4
;
2
49a
;
16
9
;
5
80
;
)0(
3
75
>
a
a
a

;
121
4
2
a
Bài 2: Tìm hai số a, b sao cho:
babababa
−=−+=+
;
Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 là bình phương của một số tự nhiên ( Những số
như thế được gọi là số chính phương ). Em hãy tính thật nhanh các số
15876;3249;4225
mà không dùng máy tính.
Bài 4: Tính:
2
)12(
1
.1
25
1
25
1
+









+
+
−
−
=
A
.
Bài 5: Tính:
10271027
−−+
Bài 6: Tính: A =
)321)(321(
−+++
;
ba
b
b
ba
B
+
−
=
:
Bài 7: Chứng minh với a > 0, a
≠
1, ta có:

1
1

1
1
1
2
=








−
−








+
−
−
a
a
a
a

aa

- 5 -