ĐỀ THI ĐÁP ÁN CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG

TRNG THPT VIT C- K LK THI CHN I TUYN D THI HC SINH
T TON TIN GII CP TNH NM HC 2008 - 2009
Mụn thi: Toỏn, khi 11 ngy 18/04/2009
Thi gian: 120 phỳt, khụng k thi gian giao
CHNH THC
Bi 1(4.0 im)
Cho P(x) = (1 + x + x
2
+ x
3
)
5
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ + a
15
x
15
1) Tớnh a
0
+ a

1
+ a
2
+ a
3
+ + a
15
2) Tỡm h s a
10.
Bi 2(4.0 im)
Tìm m để phơng trình:
4 4 6 6 2
4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4x x x x x m+ + =
có nghiệm ( ; )
8 4
x

.
Bi 3(4.0 im)
Cho dóy s (u
n
) xỏc nh bi h thc:

( )
12
8
tan;
.211
12
3

*
1
1
=








+
+
=
=
+

Nn
u
u
u
u
n
n
n
. Tớnh u
2
, u
3

, u
2009
.
Bi 4(4.0 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, S l mt im khụng thuc mt phng (ABCD) sao cho tam giỏc SAB
u, SC = SD =
a 3
. Gi H, K ln lt l trung im ca SA, SB v M l mt im trờn cnh AD, mt
phng (HKM) ct BC ti N. Chng minh t giỏc HKNM l hỡnh thang cõn, t AM=x
( )
0 x a
. Tớnh
din tớch hỡnh thang HKNM theo a v x.
Bi 5(4.0 im)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biểu thức: A =
2 11 2 4 5y x y + +
với x, y là các số thực tha mãn : x
2
+ y
2
2x 6y + 6 = 0 .

---------Hết------------
Họ và tên thí sinh.............................................SBD:.................................
GV: INH VN QUYT
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
1
(4.0
điểm)

1) Ta có P(1) = a
0
+ a
1
+ a
2
+ a
3
+ …+ a
15
0.5
= (1 + 1 + 1 + 1)
5
= 4
5
0.5
2) Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x
2
)]
5
1.0
=
( )
5 5
2
5 5
0 0
.
i
i i i

i i
C x C x
= =
∑ ∑
1.0
Hệ số a
10
=
0 5 2 4 4 3
5 5 5 5 5 5
. . . 101C C C C C C+ + =
1.0
(4.0
điểm)
+) §a PT vÒ d¹ng:
2
2cos 4 cos4 2 1x x m− = +
(1)
+) §Æt t = cos4x víi
( ; )
8 4
x
π π
∈
⇒
t
∈
(-1; 0)
+) XÐt f(t) = 2t
2

+ t trªn (-1; 0) ta có được Parabol (P)
Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 c¾t (P) trªn (-1; 0)
+) §S:
1
( ;1)
2
m∈ −
1.0
1.0
1.0
1.0
Ta có:
2
2 tan
8
tan tan 2 1
4 8
1 tan
8
π
π π
π
= ⇒ = −
−
Từ giả thiết:
2
3 tan
8
tan
3 8

1 3.tan
8
u
π
π π
π
+
 
= = +
 ÷
 
−
1.0
3
tan tan
3 8 8
tan 2
3 8
1 tan .tan
3 8 8
u
π π π
π π
π π π
 
+ +
 ÷
 
 
= = +

 ÷
 
 
− +
 ÷
 
1.0
Dự đoán
( )
tan 1
3 8
n
u n
π π
 
= + −
 
 
1.0
Chứng minh công thức bằng quy nạp
3
(4.0
điểm)
Do đó
2009
tan 2008 tan 251 tan 3
3 8 3 3
u
π π π π
π

   
= + = + = =
 ÷  ÷
   
1.0
GV: ĐINH VĂN QUYẾT
4
(4.0
im)
Ta cú HK // MN suy ra HKNM l hỡnh thang
Hai tam giỏc SAD v SBC bng nhau
Nờn MH = KN suy ra HKNM l hỡnh thang cõn
Gi S l din tớch hỡnh thang KHNM
P l hỡnh chiu ca H lờn MN
Ta cú
( )
1
S = HK + MN HP
2
HK =
a
2
MN = a
HP =
2 2
HM - MP
2 2
2 2
2
3a 16x 8ax

a ax a
+ x + -
4 2 16 4
+ +

= =
ữ

(gúc A bng 120
0
)
Vy S =
2 2
3a
3a 16x 8ax
16
= + +
1.0
HV 1.0
1.0
1.0
5
(4.0
im)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biểu thức A =
2 11 2 4 5y x y + +
, với x, y là các số
thực thoả mãn x
2
+ y

2
2x 6y + 6 = 0.
Giải: Ta thấy x
2
+ y
2
2x 6y + 6 = 0 là phơng trình của đờng tròn (C) tâm I(1;3),
bán kính R = 2.
Vì x, y thoả mãn x
2
+ y
2
2x 6y + 6 = 0 nên ta có
A = 2 11 2 4 5y x y + + = 2( 11 2 y + 4 4 20 +x y )
A=2(
2 2
( 2 6 6) (11 2 )+ + + x y x y y
+
2 2
( 2 6 6) (4 4 20)+ + + +x y x y x y
)
A= 2(
2 2
( 1) ( 4) + x y
+
2 2
( 1) ( 5)+ + x y
) = 2(NM + PM),
trong đó N(1;4) nằm bên trong (C), P(-1;5) nằm bên ngoài (C),
M(x;y) (C).

1.0
Gọi
o
M
là giao điểm của đoạn thẳng PN với (C)
( )
và cùng hướng
o
NM NP
o
M C







toạ
độ của điểm
o
M
là nghiệm của hệ
2 2
x + y - 2x - 6y + 6 = 0
1 4
0
2 1
x y

=



1
5
23
5
x
y

=


=



1 23
( ; )
5 5
o
M
.
1.0
Với mọi M(x;y) (C) ta thấy NM + PM PN =
5

,
dấu = xảy ra khi M(x;y)
1 23
( ; )
5 5
o
M
=
[ ]
( )PN C
.
1.0
Vậy min (A) = 2(NM
o
+PM
ơ
) = 2.PN = 2.
5
, đạt đợc khi
1
5
23
5
x
y

=


=

.
1.0
GV: INH VN QUYT
x
N
K
H
C
A
B
D
S
M
P
GV: ĐINH VĂN QUYẾT