Bài thu hoạch môn toán

GV : Phan Công Cả THCS Lê Quý Đôn.
BÀI THU HOẠCH CHUYÊN MÔN HÈ 2009.
Giáo viên : Phan Công Cả.
Tổ chuyên môn : Toán.
Trường THCS : Lê Quý Đôn.
Huyện : Thăng Bình.
Câu hỏi :
Câu 1/ Anh (Chị ) hãy trình bày một bài toán ở SGK mà Anh (Chị ) đã
phát triển mở rộng trong quá trình giảng dạy.
Câu 2/ Anh (Chị ) hãy hướng dẫn học sinh giải bài tập sau : Cho (O;R),
hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau, trên đường kính AB lấy 2 điểm
M,N sao cho MN = R, tia CM cắt đường tròn tại Q.
Chứng minh :
CNQ < 90
o
.
Bài làm :
Câu 1/ Qua quá trình dạy bộ môn toán, bản thân tôi thấy rằng phần lớn
các bài toán ở sách giáo khoa ta có thể phát triển mở rộng thành các bài toán
khác để được nhiều bài có nội dung hay hơn , khó hơn , đòi hỏi học sinh
phải tư duy trong quá trình giải.
• Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Bài 48 SGK toán 8 tập 1
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x
2

– 2xy + y
2
– z
2

+ 2zt – t
2
= ( x
2

– 2xy + y
2
) – (z
2
– 2zt + t
2
)
= (x-y)
2
– (z-t)
2
= [(x-y)-(z-t)] [(x-y) +(z-t)]=(x-y-z+t)(x-y+z-t).
Ta có thể mở rộng Vdụ trên thành các dạng sau:
* 1/a (thay y,t bởi các số ) Phân tích đa thức sau
A= x
2
– 6x + 9 – y
2
– 4y – 4 phân tích
A= ( x – 3)
2
– (y+2)
2
= ( x – 3 – y – 2).( x – 3 + y + 2 )
= ( x – y – 5).( x + y – 1)

*1/b ta gộp 9 – 4 = 5 vậy được bài toán mới là phân tích đa thức
A = x
2
+ y
2
– 6x – 4y + 5 thành nhân tử.
*1/c Nếu thay 5 bằng 15 và đổi – y
2
thành y
2
thì ta được bài toán như
sau : Chứng tỏ đa thức : B= x
2
+ y
2
– 6x – 4y + 15 > 0
∀
x,y.
Giải bài này :
Ta có : x
2

+ y
2
– 6x – 4y + 15
= x
2
– 6x + 9 + y
2
– 4y + 2 + 2

= ( x – 3 )
2
+ ( y – 2 )
2
+ 2
Mà ( x – 3 )
2

≥
0 ; ( y – 2 )
2

≥
0
∀
x, y
Bài thu hoạch chuyên môn : Môn toán hè 2009.
1
GV : Phan Công Cả THCS Lê Quý Đôn.
Do đó B > 0
∀
x, y.
*1d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức :
B = x
2
+ y
2
– 6x – 4y + 15
Ta có giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi x = 3 ; y = 2 .
*1g/ Tính giá trị nhỏ nhất của đa thức sau khi phân tích thành nhân tử:

x
2
– 2xy + y
2
– z
2
+ 2zt – t
2

tại x = 7 ; y = 2 ; z = 6 ; t = 1 .
Ví dụ 2 : Bài 40 Hình 9 trang 83 Sgk tập 2.
Đề : Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O) . Vẽ tiếp tuyến SA và
các tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác góc BAC cắt dây BC tại
D. Chứng minh SA=SD.
E
D
k
I
F
t
C
B
O
S
A
Chứng minh :
Xét
∆
SAD ta có :
SAD = SAB + BAD

SDA = DCA + DAC ( góc ngoài tam giác ADC)
Mà SAB = DCA ( Cùng chắn cung nhỏ AB )
và BAD = DAC ( AD là tia phân giác )
Nên => SAB + BAD = DCA + DAC

Hay SAD = SDA
Vậy
∆
SAD cân tại S.
Do đó SA = SD
Mở rộng bài toán trên với các câu hỏi như sau :
2a/ Tia AD cắt (O) tại E . Chứng minh :
Bài thu hoạch chuyên môn : Môn toán hè 2009.
2
GV : Phan Công Cả THCS Lê Quý Đôn.

ASD = 2 AEO
2b/ Gọi I là trung điểm của SO ; K là giao điểm của EO và SC .
Chứng minh
∆
IAK cân.
Giải : 2a/ Gọi St là tia phân giác góc ASD, St cắt AD tại M.
Vì
∆
ASD cân nên St
⊥
AD
Mặt khác số đo cung BE bằng số đo cung EC ( AE là tia phân
giác)
 BE = EC ; OB = OC ( bằng bán kính )

Nên EO là trung trực BC => EK
⊥
BC
Xét
∆
SMD và
∆
EDK là 2 tam giác vuông, mà SMD = EDK ( đối
đỉnh) =>MSD = DEK , mà MSD =
2
1
ASD
 ASD = 2AEO
2b/ Ta có
∆
SKO vuông tại K mà I là trung điểm
 IK = IO
Lại có
∆
SAO vuông tại A
 IA = IO
Do đó IK = IA
Nên
∆
AIK cân tại I
• Nếu sau khi học xong bài 6 Cung chứa góc và bài 7 Tứ giác nội tiếp ta
có thể mở rộng bài toán 40 thành:
2c/ Chứng minh tứ giác SMKE nội tiếp.
2d/ Tìm quỹ tích trung điểm AK khi các tuyến SBC thay đổi.
Hướng dẫn giải:

2c/ Xét tứ giác SMKE có:
SME = 90
o
( St
⊥
AD )

SKE = 90
o
( EK
⊥
BC )
Nên 2 điểm A, K cùng nhìn SE dưới một góc vuông
Vậy tứ giác SMKE nội tiếp.
2d/ Gọi N là trung điểm AK , nối IN ta có
Cũng là đường cao của tam giác cân
∆
AIK
Nên
∆
AIN vuông tại N, mà SO cố định,Acốđịnh
 I cố định.
Vậy quỹ tích N chuyển động trên cung tròn có tâm là trung
điểm AB, đường kính AB.
Giới hạn: Kẻ tiếp tuyến SF ( F là tiếp điểm ) nên quỹ tích N là
cung tròn nhận A và trung điểm AF làm dây cung.

Bài thu hoạch chuyên môn : Môn toán hè 2009.
3
GV : Phan Công Cả THCS Lê Quý Đôn.

Câu 2/ Hướng dẫn học sinh giải

M
O
A
B
C
D
Q
N
I
F
C
Q
N
I

Trước khi giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo hướng đi lên
- Bài toán cho nếu M
≡
A,thì N
≡
O khi đó Q
≡
A mà COA= 90
o
nên
CNQ = 90
o
; nếu M

≡
O thì N
≡
B khi đó Q
≡
D nên CNQ = 90
o

- Vậy điều kiện giải bài toán sau là M,N không trùng các điểm A,O,B.

- Cho học sinh giải bài toán con sau : Cho
∆
CQN có I là trung điểm
CQ chứng minh nếu IN >
2
1
CQ thì CNQ < 90
o
( hình vẽ trên)
Hướng dẫn cho học sinh biết kiến thức sử dụng quan hệ góc và cạnh
đối diện trong tam giác , tổng ba góc trong tam giác.
- Để có được giả thiết bài toán con IN>
2
1
CQ hay IN> ICvà IN>IQ
Ta phải cần có đoạn thẳng thứ ba ; ví dụ cho đoạn thẳng thứ ba có
độ dài là x thì IC
≤
x < IN hoặc IC < x
≤

IN , và đoạn thẳng đó là
cạnh của một tam giác. Cho học sinh tìm các cách vẽ
Do đó đòi hỏi cần vẽ thêm NF
⊥
CQ
- Cho học tìm quan hệ của
∆
CIO và
∆
MFN
Trên cơ sở phân tích cho học sinh trình bày lời giải sau :
Bài thu hoạch chuyên môn : Môn toán hè 2009.
4
GV : Phan Công Cả THCS Lê Quý Đôn.

Lời giải : Điều kiện M,N không trùng các điểm A,B và O
hạ OI
⊥
CQ ( I
∈
CQ ) và hạ NF
⊥
CQ ( F
∈
CQ )
Xét
∆
ICO và
∆
MFN có:

ICO = FNM ( cùng phụ CMN )

CO = MN ( cùng bằng bán kính (O) )

CIO =MFN = 90
o
=>
∆
ICO =
∆
FNM (CH-GN)
Do đó CI = FN , mà CI =
2
1
CQ ( Tính chất đường kính
⊥
dây )
Nên NF =
2
1
CQ
∆
NFI có NI > NF => NI >
2
1
CQ
 NI > IQ ; NI > IC

∆

QIN có : NI > IQ => IQN > INQ (1)

∆
NIC có : NI > IC => ICN > INC (2)

Từ (1), (2) => IQN + ICN > INQ + INC

Hay IQN + ICN > CNQ (3)

Trong
∆
CQN có : IQN + ICN + CNQ = 180
o
(4)

Từ (3), (4) => CNQ < 90
o

Kính thưa các thầy cô giám khảo vì bài thu hoạch viết theo cảm tính cá
nhân , và trong quá trình in ấn chắc không khỏi thiếu sót mong quý thầy cô
chân thành góp ý . Tôi xin chân thành cảm ơn,

Giáoviên Phan Công Cả.

Bài thu hoạch chuyên môn : Môn toán hè 2009.
5