DE THI CHON DOI TUYEN TOAN 9 (cap truong)

Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP
TRƯỜNG
Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 2009
Thời gian làm bài: 180 phút.
……………………………………  ………………………………………
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng không có số nào là
số nguyên tố .
b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng
2
A = n n + 6+
có giá trò là số chính
phương .
Bài 2: (5 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + <
.
b)
2 2 2
a b c a + b + c
b + c c+ a a + b 2
+ + ≥
.
Bài 3: (5 điểm)

Giải các phương trình sau:
a)

3
24 + x 12 - x 6+ =
.
b)
( ) ( ) ( ) ( )
x + 5 x + 6 x + 8 x + 9 40=
.
Bài 4: (3 điểm)

Cho △ABC không là tam giác vuông có BI và CK là hai đường cao ( I ∈ AC ; K ∈ AB).
Vẽ đường tròn tâm B bán kính BK và đường tròn tâm C bán kính CI . Đường thẳng IK lần
lượt cắt đường tròn ( B ; BK ) và đường tròn ( C ; CI ) tại các điểm khác là D và E . Chứng
tỏ rằng KD = IE .
Bài 5: (3 điểm)

Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ; qua M kẽ các tiếp tuyến MB và MD với
đường tròn (O) (B và D là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) tại C
và A ( C nằm giữa M và A ). Gọi I là trung điểm của dây BD. Chứng minh rằng:
a) AB . CD = AD . BC ;
b)
·
·
IAB MAD=
.

Huỳnh Thanh Tâm
1
………………………… Hết ………………………
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:

a) * Đặt a = 2.3.4.5…2009.2010 (tích của 2009 số tự nhiên); khi đó dễ thấy:
a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 2009 số tự nhiên liên tiếp .
* Dễ thấy: a + 2 > 2 (1)

( )
a 2
a + 2 2(theo tính chất chia hết của một tổng) (2)
2 2

⇒


M
M
M
* Từ (1) & (2) chứng tỏ a + 2 có ước thực sự là 2 nên a + 2 là hợp số (tức không là số nguyên
tố).
* Tương tự ta cũng có a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 đều là hợp số.
* Vậy tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp (chẳng hạn như dãy trên) mà trong chúng không có
số nào là số nguyên tố .
b) * Giả sử A là số chính phương suy ra tồn tại m ∈
¥
sao cho:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
n + n + 6 = m

4 n + n + 6 = 4m
2m - 2n + 1 = 23
2m - 2n - 1 2m + 2n + 1 = 23 (*)
⇔
⇔
⇔
* Do m, n
∈
¥
nên dễ thấy 2m - 2n -1 và 2m + 2n + 1 là các số nguyên , ngoài ra 23 > 0 và
2m + 2n + 1
1≥
; 2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 suy ra 1
≤
2m - 2n - 1 < 2m + 2n + 1 .
* Căn cứ các lập luận trên và chú ý 23 là số nguyên tố nên từ (*) suy ra hệ sau:
2m - 2n - 1 = 1
2m + 2n + 1 = 23
4n + 2 = 22
n = 5



⇒
⇔
* Với n = 5 thì A = 36 = 6
2
thõa là số chính phương.
* Vậy n = 5 là giá trò tự nhiên duy nhất cần tìm .
Bài 2:

a) * p dụng BĐT Bunhiacopsky cho bốn số với chú ý a, b, c > 0 ; ta có:
*
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2
a + b 1 1 a b (Dấu "=" a = b)
a + b 2 a b (1)
Tương tự ta cũng có:
b + c 2 b c (2)
c + a 2 c a (3)
≤ + + ⇔
⇔ ≤ +
≤ +
≤ +
* Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta được:

( )
2 2 2 2 2 2
2 a + b + c a b b c c a≤ + + + + +
* p dụng BĐT trong tam giác, ta có:
Huỳnh Thanh Tâm
2

( )
2
2
2 2 2 2 2 2
a-b c a-b c
a b c 2ab a b c 2ab (4)
< ⇔ <
⇔ + < + ⇔ + < +
* Tương tự ta cũng có:

2 2 2
2 2 2
b c a 2bc (5)
c a b 2ca (6)
+ < +
+ < +
* Cộng (4), (5) & (6) vế theo vế suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a c 2ab a 2bc b 2ca (7)+ + + + + < + + + + +
* p dụng BĐT Bunhiacôpsky lần nữa cho sáu số, ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
x + y + z 1 1 1 x y z x + y + z 3 x y z≤ + + + + ⇒ ≤ + +
( )
( )
2 2 2 2 2 2
c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 c + 2ab + a + 2bc + b + 2ca 3 a + b + c (8)⇒ ≤ =
* Từ (7) & (8) suy ra:

( )
2 2 2 2 2 2
a b b c c a 3 a + b + c+ + + + + <
b) * p dụng BĐT Cau-chy cho hai số dương ta có:
( )
2 2
a b + c a b + c
+ 2 . = a Dấu "=" 2a = b + c
b + c 4 b + c 4
≥ ⇔ (9)
* Tương tự ta cũng có:
2
2
b a + c
+ b (10)
a + c 4
c a + b
+ c (11)
a + b 4
≥
≥
Cộng (9), (10) & (11) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta suy ra BĐT cần chứng minh
( Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều )
Bài 3:
a) ĐKXĐ :
x 12≤
* Đặt
3
a = 24 + x va øb = 12 - x ( với b 0)ta co ùhệ sau:≥

3 2
a + b = 6 (1)
a + b = 36 (2)



*Từ (1) suy ra b = 6 - a , thay vào (2) và biến đổi ta được: a(a - 3)(a + 4) = 0 => a = 0 ; 3; -4.
+ Nếu a = 0 => x = -24 (thõa ĐKXĐ)
+ Nếu a = 3 => x = 3 (thõa ĐKXĐ)
+ Nếu a = -4 => x = -88 (thõa ĐKXĐ)
* Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x
1
= -24 , x
2
= 3 và x
3
= -88.
b) * Dùng phương pháp nhóm nhân tử và khai triển ta được phương trình tương đương:
(x
2
+ 14x + 45)(x
2
+ 14x + 48) = 40 (*)
* Đặt x
2
+ 14x + 45 = y (**) ; khi đó phương trình (*) trở thành: y(y + 3) - 40 = 0
⇔
y
2
+ 3y - 40 = 0 ; giải phương trình ẩn y này thu được nghiệm y

1
= 5 và y
2
= -8 .
Lần lượt thay y vào (**) ta được x
1
= -4 và x
2
= -10 đây cũng chính là hai nghiệm của
phương trình đã cho.
Huỳnh Thanh Tâm
3
T
S
M
O
E
D
K
I
C
B
A
I
O
D
C
B
A
M

Bài 4:
* Từ BI và CK là hai đường cao của △ABC (gt) ;suy ra I và K cùng nhìn đoạn BC dưới một
góc vuông nên bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O) đường kính BC (theo quỹ tích
cung chứa góc).
* Kẽ BS ⊥ DK tại S; OM ⊥ IK tại M ; CT ⊥ IE tại T. Theo tính chất đường kính vuông góc
với dây cung thì đi qua trung điểm của dây;suy ra S, M, T lần lượt là trung điểm của KD, KI
và IE .
* Dễ thấy tứ giác BCTS là hình thang vuông (vì BS // CT do cùng vuông góc DE) và có O là
trung điểm của cạnh bên BC (vì BC là đường kính của (O)) và OM // BS // CT suy ra M là
trung điểm của ST; kết hợp M là trung điểm của KI (cmt) ; suy ra SK = TI => 2. SK = 2. TI
=> KD = IE .
Bài 5:

a) * Dùng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bỡi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một
cung thì bằng nhau, dễ dàng chứng minh được: △MDC ∽ △MAD (g-g) ;
△MBC ∽ △MAB (g-g) ;

DC MD BC MB
= (1) ; = (2)
AD MA AB MA
⇒
* Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau ta có: MD = MB (3)
* Từ (1), (2) và (3) suy ra:

DC BC
= AB.CD = AD.BC
AD AB
⇒
.
b) * p dụng đònh lý Pô-tô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ABCD ta có:

Huỳnh Thanh Tâm
4
AB.CD + AD.BC = AC.BD (4)
* Mà AB.CD = AD.BC (5) (câu a)
* Từ (4) & (5), suy ra: 2. AB . CD = AC . BD = AC . (2 . BI) => AB.CD = AC.BI
·
·
»
CD CA
= ;kết hợp ACD ABI (hai góc nội tiếp của đường tròn (O)
BI BA
cùng chắn cung AD)
⇒ =
=> △CDA ∽ △BIA (c-g-c) =>
·
·
IAB MAD=


Huỳnh Thanh Tâm
5