CHUYÊN ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009


I) MỞ ĐẦU :
Trong đại số 8 hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần thiết.
Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu
không thể thiếu khi học đại số 8. Tuy nhiên khi vận dụng học sinh thường gặp phải những
thuận lợi và khó khăn cần phải khắc phục sau:
1.Thuận lợi :
- Vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán, Học Sinh sẽ tiết kiệm được
thời gian, bài giải gọn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi.
- Hằng đẳng thức đáng nhớ là một công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của
Học Sinh, để vận dụng giải bài toán từ lúc bắt đầu học cho đến các lớp trên.
- Khi vận dụng hằng đẳng thức tốt, Học Sinh sẽ có kết quả bất ngờ, đầy hứng thú,
kích thích tinh thần say mê học toán.
2.Khó khăn:
- Học Sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng
dạng hằng đẳng thức nào.
- Phạm vi vận dụng hằng đẳng thức để giải toán rộng, nên không biết khi nào thì áp
dụng.
- Khi vận dụng hằng đẳng thức thì Học Sinh còn nhầm lẫn về luỹ thừa, biểu thức,
dấu, … dẫn đến bế tắc.
 Do đó để vận dụng tốt hằng đẳng thức vào giải toán Đại Số lớp 8 .
Học Sinh cần:
o Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ
o Biết phối hợp với một số kiến thức khác
o Sử dụng chính xác hằng đẳng thức mà nội dung từng bài toán yêu cầu.
o Kết hợp với biến đổi, tính toán.
GV soạn: Lê Văn Thái - 1 - Chuyên
đề Đại số 8
Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009

II) KẾT QUẢ :
Để học sinh có kết quả khả quan khi học Đại Số từ lớp 8 trở đi thì học sinh cần nắm
chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán dạng hằng đẳng thức sau:
1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ :
A.B ảy hằng đẳng thức :(SGK)
Với A, B là các biểu thức
- (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
- (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
- A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
- (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2

B +3AB
2
+B
3
- (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
- A
3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
- A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B

2
)
B. Các hằng đẳng thức liên quan :
- (A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
- (A – B)
2
= (A +B)
2
– 4AB
- A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
- A
3
+ B
3
= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
- (A + B – C)
2
= A

2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB - 2AC – 2BC
- A
2
+ B
2
+ C
2
= (A +B + C)
2
– 2(AB +BC +AC)
- (A +B + C)
3
= A
3
+ B
3
+ C
3
+ 3(A +B)(A + C)(B+C)
- (A +B + C)
3
– (A
3
+ B
3

+ C
3
) = 3(A +B)(A + C)(B+ C)
- A
3
+ B
3
+ C
3
– 3ABC = ( A + B + C)(A
2
+ B
2
+C
2
– AB – AC - BC)
C. Các hằng đẳng thức dạng tổng quát :
- (A + B)
n
= A
n
+ n A
n-1
B + . . .+ n AB
n-1
+ B
n
- A
n
– B

n
= (A – B) (A
n-1
+ A
n-2
B + . . . +AB
n-2
+ B
n-1
)
- (A
1
+ A
2
+ . . . +A
n
)
2
= A
1
2
+ A
2
2
+ . . . + A
n
2
+ 2(A
1
A

2
+ A
1
A
3
+. . . +A
n-1
A
n
)
2. p dụng : Chúng tôi tạm chia theo nội dung sau, nhưng tất cả đều sử dụng hằng đẳng
thức để giải.Â
A.Thực hiện các phép tính :
* Phương pháp:
- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn).
* Bài tập:
a. (a – b – c)
2
– (a –b + c)
2

b. (a – x – y )
3
– (a + x – y )
3
c. (a + 1)(a + 2)(a
2
+ 4)(a – 1)(a

2
+ 1)(a – 2)
d. (1 – x - 2x
3
+ 3x
2
)(1 – x + 2x
3
– 3x
2
)
e. (a
2
– 1)(a
2
– a +1)(a
2
+ a +1)
GV soạn: Lê Văn Thái - 2 - Chuyên
đề Đại số 8
Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009

* Giải:
e. (a
2
– 1)(a
2
– a +1)(a
2
+ a +1)

= (a + 1) (a – 1) (a
2
– a + 1) (a
2
+ a +1)
= [(a + 1) (a
2
– a +1)] [(a – 1) (a
2
+ a + 1)]
= (a
3
+1) (a
3
– 1) = (a
3
)
2
– 1 = a
6
– 1
B. Rút gọn biểu thức:
* Phương pháp:
- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết qủa thường thì kết quả rất gọn).
* Bài tập:
a.(2x + y) (4x
2
– 2xy + y

2
) – (2x – y) (4x
2
+ 2xy + y
2
)
b. 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)
2
+ (3x – 1)
2
c. (x – y + z)
2
+ (z – y)
2
+ 2(x –y +z) . (y – z)
d. (x – 3) (x + 3) – (x - 3)
2
e. (x
2
– 1) (x +2) – (x – 2) (x
2
+ 2x +4)
* Giải:
c. (x – y + z)
2
+ (z – y)
2
+ 2(x –y +z) (y – z)
= (x – y + z)
2

- 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)
2
= [(x – y + z) – (z – y)]
2

= (x – y + z –z + y)
2

= x
2
C. Tính nhanh:
* Phương pháp:
- Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
- Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
* Bài tập:
a. 3
4
. 5
4
– (15
2
+ 1) (15
2
– 1)
b. 45
2
+ 40
2
– 15

2
+ 80 . 45
c. 50
2
– 49
2
+ 48
2
– 47
2
+ . . . +2
2
- 1
2
d. 3(2
2
+ 1) (2
4
+ 1) (2
8
+ 1) (2
16
+ 1)
e. (3 +1) (3
2
+1) (3
4
+ 1) (3
8
+ 1) (3

16
+ 1)
* Giải:
e. (3 +1) (3
2
+1) (3
4
+ 1) (3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
=
1
2
.(3
2
– 1) (3
2
+ 1) (3
4
+ 1) (3
8
+ 1) (3
16
+ 1)
=
1
2
.(3

4
- 1) (3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
GV soạn: Lê Văn Thái - 3 - Chuyên
đề Đại số 8
Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009

=
1
2
. ( 3
8
- 1) (3
8
+ 1) (3
16
+ 1)
=
1
2
. (3
16
- 1) (3
16
+ 1)

=
1
2
. (3
32
– 1)
D.Tính giá trò biểu thức :
* Phương pháp:
- Dựa vào hằng đẳng thức thu gọn biểu thức.
- Thay giá trò của biến vào biểu thức thu gọn.
- Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.
* Bài tập:
a. x
2
– 2xy - 4z
2
+ y
2
tại x = 6, y = - 4, z = 45
b. x
3
+ 9x
2
+ 27x + 27 tại x = 97
c. 27 x
3
– 27x
2
y + 9xy
2

– y
3
tại x = 8, y = 25
d. x
2
- y
2
tại: x = 87, y = 13
e. 5x
2
z – 10xyz + 5y
2
z tại x = 124, y = 24, z = 2
* Giải:
a. x
2
– 2xy - 4z
2
+ y
2

= ( x
2
– 2xy + y
2
– 4z
2
= (x – y)
2
– (2z)

2
= (x – y + 2z) (x – y – 2z)
= (6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90)
= 100 . (-80)
= - 8000
E. Phân tích đa thức thành nhân tử :
* Phương pháp:
- Bản thân các hằng đẳng thức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử.
- Dựa vào hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách hạng tử,
hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
- Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức.
* Bài tập:
a. (a + b) (a
3
– b
3
) – (a – b) (a
3
+ b
3
)
b. x
6
– y
6
c. x(y + z)
2
+ y(x + z)
2
+ z(x + y)

2
– 4xyz
d. x
8
+ x
4
+ 1
e. x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – y
3
* Giải:
c. x(y + z)
2
+ y(x + z)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
= x(y
2
+ 2yz + z
2
) + y(x
2
+ 2xz + z
2
) + z(x + y)

2
– 4xyz
= xy
2
+ 2xyz + xz
2
+ x
2
y + 2xyz + yz
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
=(xy
2
+ x
2
y) + (xz
2
+ yz
2
) + z(x + y)
2
GV soạn: Lê Văn Thái - 4 - Chuyên
đề Đại số 8
Trường THCS Ngô Văn Sở Năm học 2008 - 2009

=xy(y + x) + z
2
(x + y) + z(x + y)

2
=(x + y) [xy + z
2
+ z(x + y)]
=(x + y) (xy + z
2
+ zx + zy)
=(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)]
=(x + y) (y + z) (x + z)
G.Chứng minh : có nhiều dạng
* Phương pháp:
+ Chia hết:
- Dựa vào hằng đẳng thức
- Phân tích đa thức đã cho vềù dạng tích. Trong đó có ít nhất một thừa số chia hết cho số
đó.
- Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia hết cho số đó.
+ Biểu thức không phụ thuộc vào biến:
- Dựa vào hằng đẳng thức.
- Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến.
* Biểu thức dương hoặc âm:
- Dựa vào hằng đẳng thức
- Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với
∀
x hoặc f(x,y) > 0 với
∀
x, y
f(x) < 0 với
∀
x hoặc f(x,y) < 0 vơiù
∀

x, y
+ Chứng minh đẳng thức:
- Chú ý điều kiện đã cho phù hợp với hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi biểu thức để sử dụng được điều kiện.
* Bài tập:
a. x
6
+ 3x
2
y
2
+ y
6
= 1 với x
2
+

y
2
= 1
b. (x – 1)
3
- (x + 1)
3
+ 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x.
c. Số có dạng 1 +
2007
3
2
không phải là số nguyên tố.

d. Cho A = (2x + y + 3)
2
– (2x – y -1)
2
. Chứng minh rằng:
d.1) A
M
4 ( với x,y thuộc z)
d.2) A > 0 (với x > 0, y > 0)
e.Nếu x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác thì
A = 4x
2
y
2
– (x
2
+

y
2
- z
2
)
2
luôn dương.
* Giải:
c.Ta biết: 3
2007
M 3
Đặt 3

2007
= 3n
Ta có: 1 +
2007
3
2
= 1 + 2
3n
= 1
3
+ (2
n
)
3
= (1 + 2
n
) ( 1 – 2
n
+ 2
2n
) (tích 2 thừa số khác 1 và 1 +
2
3n
)
Vậy 1 +

2007
3
2

không phải là số nguyên tố.
H. Tìm giá trò nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu th ức:
* Phương pháp:
- Nhỏ nhất: Min f(x) = m
GV soạn: Lê Văn Thái - 5 - Chuyên
đề Đại số 8