cong thuc herong voi thcs

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********************************
Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê
rông,định lý hàm số côsin và công thức đờng
trung tuyến trong tam giác
****************************************
Trờng thcs thạch kim
Họ và tên: phan đình ánh
Năm học: 2007 - 2008
1
Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********************************

Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê
rông,định lý hàm số côsin và công thức đờng
trung tuyến trong tam giác
******************************
Hà tĩnh, ngày 20 tháng tháng năm 2008
2
I.Đặt vấn đề:
Chúng ta biết rằng công thức hê rông,định lý về hàm số côsin và công thức đ-
ờng trung tuyến trong tam giác đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10
nhng việc chứng minh lại nhờ vào công cụ véc tơ. Nhng thực tế ta có thể
chứng minh các công thức đó nhờ vào kiến thức THCS. Sau đây tôi xin trình
bày cách chứng minh nhờ vào kiến thức THCS .
II.GIảI QUYếT VấN Đề:
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đờng cao và các
đờng trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lợt là h
a
, h
b

, h
c
, m
a
, m
b
, m
c
.S và p lần lợt là diện tích và nữa chu vi của tam giác ABC
Chứng minh:
a, S =
))()(( cpbpapp

(1)
b, b
2
= a
2
+ c
2
- 2acCosB (2)
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bcCosA (3)
c
2

= a
2
+ b
2
- 2abCosC (4) A
Bài giải:

h
a

x a - x
B H C

a, Giả sử: AH = h
a
(hình 1) khi đó ta có:
BC = BH + CH (*)
Đặt BH = x (0

x
a).Từ (*) ta có: HC = a - x. áp dụng định lý Pitago cho
các tam giác vuông ABH và ACH ta có hệ sau:






=+
=+

22
2
22
2
)( bxah
cxh
a
a
(I)
Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ (I) ta có:
2ax - a
2
= c
2
- b
2


x =
a
cba
2
222
+
(5)
Thay (5) vào phơng trình đầu của hệ (I) ta đợc:
h
2
a
+ (

a
cba
2
222
+
)
2
= c
2

h
2
a
= (c +
a
cba
2
222
+
)(c -
a
cba
2
222
+
)
=
a
cbaac
2

2
222
++
.
a
cbaac
2
2
222
+
3
=
a
bca
2
)(
22
+
.
a
cab
2
)(
22

=
2
4
))()()((
a

acbcbabcacba
+++++
Vì p là nữa chu vi của tam giác ABC nên a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c),
a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) . Do đó:
h
2
a
=
2
))()((4
a
cpbpapp


h
a
=
a
2
.
))()(( cpbpapp



ah
a
.
2
1
=

))()(( cpbpapp



S =
))()(( cpbpapp

Vậy công thức (1) đã đợc chứng minh.
Bằng cách thay đổi vai trò của a,b,c ta đợc:
h
b
=
b
2
.
))()(( cpbpapp

h
c
=
c
2
))()(( cpbpapp

.
Chú ý:Trờng hợp điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC cũng chứng minh tơng tự
Nh vậy ta có thể tính đợc độ dài đờng cao và diện tích của một tam giác thông
qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác.
b, Giả sử trung tuyến AM = m
a

A
h
a
m
a

B C (hình2)
H M
*Trờng hợp1:Tam giác ABC có hai góc
B và C đều nhọn
áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có:
AH
2
+ CH
2
= AC
2
và AH
2
+ BH
2
= AB
2

Trừ theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có:
CH
2
- BH
2
= AC

2
- AB
2


(BC - BH)
2
- BH
2
= AC
2
- AB
2


BC
2
- 2BC.BH = AC
2
- AB
2

Hay a
2
- 2a.BH = b
2
- c
2

BH =
a
bca
2
222
+
(6)
Trong tam giác vuông ABH có cosB =
AB
BH
kết hợp với (6) suy ra
cosB =
ac
bca
2
222
+
hay
b
2
= a
2
+ c
2
- 2ac cosB (i)
Tráo đổi vị trí của điểm B với điểm C ta cũng đợc:
4

c
2

= a
2
+ b
2
- 2ab cosC (ii)
*Giả sử AB < AC thì BH < BM nên
HM = BM - BH =
2
a
-
a
bca
2
222
+
=
a
bc
2
22




HM =
a
bc
2
22

Từ đó m
2
a
= AM
2
= AH
2
+ HM
2
= AB
2
- BH
2
+ HM
2
= c
2
- (
a
bca
2
222
+
)
2
+ (
a
bc

2
22

)
2
= c
2
-
2
2224
4
)(2
a
bcaa
+



m
2
a
=
42
222
abc

+
(iii)
Nếu AB > AC tráo đổi ký hiệu giữa điểm B với điểm C (hình 2) thì công thức
(iii) chỉ đổi vị trí b với c nên ta vẩn có công thức (iii)

Nếu AB = AC thì H trùng với M và lúc đó :


m
2
a
= b
2
-
4
2
a

nghĩa là công thức (iii) vẩn đúng
*Bây giờ ta xét các trờng hợp tam giác ABC có góc A nhọn hoặc tù hoặc
vuông .
1, Tam giác ABC có 3 góc nhọn
Tam giác ABC có góc B , C đều nhọn nên đã có các công thức (i),(ii),(iii)
Nếu góc A nhọn thì áp dụng kết quả chứng minh trên đối với tam giác có các
góc A,C ta có công thức m
b
và a, với tam giác có các góc A,B nhọn ta có
công thức m
c
.Nh vậy với tam giác ABC có ba góc nhọn ta có các công thức
sau:
a
2
= b
2

+ c
2
- 2bc cosA
b
2
= a
2
+ c
2
- 2ac cosB
c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab cosC
5