CÁC BƯỚC GIẢI KSHS

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ
Qua các đề thi THPT môn toán 12 và đề thi tuyển sinh vào các
trường Đại Học - Cao Đẳng , năm nào Bộ Giáo Dục cũng cho ít nhất
trong mỗi đề thi một bài khảo sát hàm số. Mặc dù giáo viên cũng đã
chuẩn bò rất kỹ càng cho các em về phương pháp cũng như kó năng khảo
sát các hàm số, tuy vậy khá nhiều các em vẫn bọc lộ rõ nét sự yếu kém
trong bài này. Sự yếu này càng thấy rõ ràng hơn đối vơi học sinh hệ bán
công.
Đối với trường THPT có 4 dạng bài toán khảo sát hàm số:
1/ y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
0)
2/ y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0) (hàm trùng phương)
3/ y=
dcx
bax
+
+
4/y=
dex
cbxax

+
++
2
Tuy thực tế 4 loại bài toán khảo sát hàm số này đối với những học
sinh khá giỏi thì các em sẽ dễ dàng vượt qua, nhưng đối với một bộ phận
học sinh yếu kém thì học sinh hay lúng túng, nhầm lẫn giữa phương pháp
khảo sát hàm số của hàm số này và hàm số khác thậm chí có học sinh
khi khảo sát hàm số các em đã làm đúng các bước khảo sát và tính toán
nhưng đến khi vẽ đồ thò thì các em lại vẽ sai.
Tình trạng thực tế cần được cấp bách giải quyết. Nếu giải quyết
được hạn chế này của học sinh thì tỉ lệ tốt nghiệp bộ môn sẽ được nâng
lên và giải quyết được thêm một số bài toán khác.
II/ NỘI DUNG BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT
Trong quá trình giảng dạy mặc dù giáo viên bộ môn đã phân tích,
giảng giải rất kỹ nhưng cũng có khá nhiều học sinh bò vướng mắc một số
bước trong khâu khảo sát các hàm số. Để giải quyết những khó khăn đó,
tôi có những biện pháp sau.
A/BIỆN PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN:
Thông thường để giải một bài khảo sát hàm số học sinh phải thực
hiện theo sơ đồ cơ bản sau:
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Sự biến thiên
a/ Chiều biến thiên
b/ Cực trò
c/ Giới hạn
d/ Bảng biến thiên
e/ Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thò (đối với hàm phân
thức thì không xét vấn đề này)
Bước 3: Vẽ đồ thò
1/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ BẬC 3: y=ax

3
+ bx
2
+ cx + d (a
≠
o)
Đối với hàm số này đa số các em thường hoàn tất các bước1,
bước 2, nhưng đến bước 3 vẽ đồ thò thì các em không vẽ được và các em
cũng thường phàn nàn với giáo viên là không đònh hướng được vẽ đồ thò,
thậm chí có em lại vướng một, hai phần trong quy trình khảo sát hàm số.
Để giải quyết vấn đề này, giáo viên nên chứng minh cho học sinh đồ thò
của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx+ d (a
≠
o) đối xứng qua điểm uốn của đồ thò
hàm số và giáo viên phải bắt buộc học sinh học thuộc các dạng đồ thò
trong bảng biến thiên sau:
a > 0 a < 0
y’ = 0
Có 2 nghiệm
phân biệt
y
O x
y
O x
y’ = 0
Có nghiệm

kép
y
O x
y
O x
y’ = 0
Vô nghiệm
y
O x
y
O x
Như vậy nếu đã nắm được 6 dạng đồ thò trên thì học sinh chỉ cần
tìm đạo hàm, giải phương trình y’ = 0 sẽ giải được bài toán khảo sát hàm
số bậc 3 một cách dễ dàng.
* Ví dụ: Khảo sát hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2
• TXĐ: D = R
• y’ = 3x
2
– 6x
• y’ = 0  3x
2
– 6x = 0 



=

=
2
0
x
x
Như vậy đối với hàm số bậc 3 trên, phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt, hệ số a = 1 > 0. Vậy học sinh sẽ biết được dạng đồ thò là
x = 0 +:
-: x = 2
Như vậy từ dạng đồ thò trên học sinh dễ dàng suy ra:
• Chiều biến thiên:
+ Hàm số tăng trong khoảng (-:; 0) χ (2; + :)
+ Hàm số giảm trong khoảng (0 ; 2)
• Cực trò: x
CĐ
= 0; x
CT
= 2
• Giới hạn: lim y = 7:
x7:
• Bảng biến thiên: x -: 0 2 +:
y’ + 0 - 0 +

y 2 -:
+: -2
(Đôi khi học sinh lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm vẫn có thể bò
sai sót nhưng nếu dựa vào dạng đồ thò thì học sinh sẽ cảm thấy tin tưởng
hơn, chắc chắn hơn).
Để xác đònh điểm uốn giáo viên cần phải sử dụng đạo hàm cấp 2. Tuy
nhiên chúng ta đã biết điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thò nên chúng ta

có thể kiểm tra tọa độ điểm uốn chính là trung bình cộng của tọa độ điểm
cực đại và điểm cực tiểu.
• Cách vẽ đồ thò: để vẽ đồ thò học sinh dựa vào dạng đồ thò đã biết.
Sau đó vẽ chính xác hóa đồ thò bằng cách cho thêm 1 số điểm.
• Cách cho thêm điểm: Vì điểm uốn là tâm đối xứng nên ta lần lượt
cho thêm các điểm có hoành độ cách đều hoành độ điểm uốn.
Thí dụ trong ví dụ trên hoành độ điểm uốn là x = 1, x
CĐ
= 0, x
CT
= 2. Ta
cho đồ thò qua các điểm có hoành độ x = -1, x = 3 (-1 0 ① 2 3)
2/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ BẬC 4: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0).
Tương tự giáo viên cho học sinh học thuộc và nhận dạng đồ thò
trong bảng tóm tắt như sau:
a > 0 a < 0
y’ = 0
Có 3 nghiệm
phân biệt
y
O x
y
O x
y’ = 0

Có 1 nghiệm
y
O x

y
O x
* Ví dụ: KSHS: y = x
4
– 2x
2
+ 3
• TXĐ: D = R
• y’ = 4x
3
– 4x = 4x (x
2
– 1)
• y’ = 0 



±=
=
1
0
x
x

Vậy phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hệ số a = 1 > 0
⇒ Đồ thò hàm số có dạng giống như chữ W

+: 0 +:
-1 1
Nhìn vào dạng đồ thò học sinh dễ dàng suy ra:
• Chiều biến thiên:
+ Hàm số giảm trên khoảng (-:; -1) χ (0; 1)
+ Hàm số tăng trên khoảng (-1; 0) χ (1; +:)
• Cực trò: x
CT
= 6 1; x
CĐ
= 0
• Giới hạn: lim y = +:
x7:
• Bảng biến thiên: x -: -1 0 1 +:
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +: CĐ +:
CT CT
Để vẽ đồ thò hàm số bậc 4. Giáo viên chứng minh đồ thò hàm số
nhận Oy làm trục đối xứng. Khi vẽ nên cho các điểm có hoành độ đối
xứng điểm x = 0. (chẳng hạn: -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3)
Như vậy dựa vào nhận dạng đồ thò. Học sinh sẽ vẽ được đồ thò
chính xác hóa.
3/ ĐỐI VỚI HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y =
dcx
bax
+
+
( ad – bc
≠
0; c

≠
0)
Giáo viên cho học sinh nhận dạng đồ thò trong bảng tóm tắt sau:
D= ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
y
O x
y
O x
* Ví dụ: KSHS: y =
1
1
−
+
x
x
(ad – bc = 1(-1) – 1.1 = -2 < 0)
• TXĐ:D =R –{1}
• y’=
2
1
2
)(
−
−
x
< 0  x,D
Ta thấy D = ad – bc = -2 < 0 ⇒ đồ thò có dạng
(x = 1)
I
(y = 1)

Nhìn vào dạng đồ thò học sinh dễ dàng suy ra
• Chiều biến thiên :
+ Hàm số giảm trên khoảng: (-:; 1)
∪
(1; +:)
• Cực trò: Hàm số không có cực trò
• Giới hạn: lim y = -:
x→1
-
limy = +:
x→1
+