Đề kiểm tra đội tuyển tháng 3/2009

PHÒNG GD-ĐT MAI SƠN
TRƯỜNG THCS CHẤT LƯỢNG CAO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THÁNG 3/2009
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm dư trong phép chia:
A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
cho 91.
Câu 2: (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:

2 2
3 3
2y x xy 2y 2x 7
x y x y 8





− − + − =
+ + − =
Câu 3: (1,5 điểm) Cho x không âm. Tìm GTLN của f(x) biết:
f(x) =
2

x
1 x 2x
2
+ − −
Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x:
x
2
- 2(m - 1)x + 2m
2
- 3m + 1 = 0 (*)
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b/ Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
1 2 1 2
9
x x x x
8
+ + ≤
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho (O, R) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi (CD
≠
AB) vẽ tiếp
tuyến (d) của đường tròn (O) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt (d) tại P và Q.
a/ Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp.
b/ chứng minh: trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD.
c/ Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDP. Chứng minh E di động
trên đường tròn cố định khi đường kính CD thay đổi.

Đáp án và biểu điểm: Toán 9
Câu Nội dung Điểm
1
Ta có 3
6
- 1 = 729 - 1 = 728 M 91, do đó
A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
= (3
8
- 3
2
) + (3
6
- 1) + (3
2004
- 1) + 3
2
+ 1 + 1
= 3
2
(3
6
- 1) + (3
6
- 1) + [(3

6
)
334
- 1] + 11
Vậy A = 3
8
+ 3
6
+ 3
2004
chia cho 91 dư 11.
1,5
2

2 2
3 3
2y x xy 2y 2x 7
x y x y 8





− − + − =
+ + − =
⇔

( )
( )
( )

3 3
x 2y 2 x y 7 (1)
x y x y 8 2





+ + − = −
+ = − =
Từ (1) do x, y nguyên ta có;
a/ x - y = -1
⇒
x + 2y + 2 = 7
⇒
x = 1, y = 2 (thoả mãn 2)
b/ x - y = 1
⇒
x + 2y + 2 = -7
⇒
x + 2y = - 9 (x
∉
Z)
c/ x - y = 7
⇒
x + 2y + 2 = - 1
⇒
x + 2y = -3 (x
∉
Z)

Vậy (x;y) = (1; 2)
1,5
3
f(x) =
2
x
1 x 2x
2
+ − −
f(x) có nghĩa
⇔
1 - x - 2x
2

≥
0
⇔
9x + 1) (1 - 2x)
≥
0
⇔
-1
1
x
2
≤ ≤
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 1 và 1 - x - 2x
2
ta có;
( )

( )
2
2
1 1 x 2x
1. 1 x 2x
2
+ − −
− − ≤
Do đó f(x)
≤
2
2
x 2 x 2x
1 x 1
2 2
− −
+ = − ≤
Đẳng thức xảy ra
⇔
2
1 x 2x 1
x 0



− − =
=

x 0⇔ =
Vậy Max f(x) = - 1

⇔
x = 0
1,5
4 a/ Phương trình (*) có nghiệm
⇔
∆
' = 9m - 1)
2
- (2m
2
- 3m + 1)
≥
0
⇔
m
2
- m
≤
0
⇔
m(m - 1)
≤
0
⇔
m 0
m 1 0
m 0
m 1 0
 ≥




− ≤



≤



− ≥




0 m 1⇔ ≤ ≤
b/ Khi
0 m 1≤ ≤
theo định lí Vi-et:
1 2
2
1 2
x x 2(m 1)
x .x 2m 3m 1





+ = −

= − +
Suy ra Q =
1 2 1 2
x x x x+ +
( )
2
2 m 1 2m 3m 1= − + − +
=
2
2m m 1− −
= 2
2
m 1
m
2 2
− −
= 2
2
1 9
m
4 16
 
 ÷
 
− −
2
Vì
0 m 1
≤ ≤
⇔

1 3
m
4 4
− ≤

1 9
m
4 16
 
 ÷
 
⇒ − ≤
⇒
Q = 2
2
9 1 9
1
16 4 8
 
 
 
 ÷
 
 
 
− − ≤
5
d
A

d'
O
B
Q
E
I
C
D
I
c/ Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD cũng là đường tròn ngoại
tiếp tứ giác CPQD. Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với CD. Từ I vẽ đường
thẳng PQ, đường thẳng này là đường trung trực của PQ. Hai đường thẳng này
cắt nhau tại E, E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD.
Ta có IE // OA (cùng vuông góc với PQ),
OE // AI (cùng vuông góc với CD)
Suy ra tứ gíac AOEI là hình bình hành, nên IE = OA = R (không đổi)
Ta có khoảng cách từ E đến (d) bằng R nên E di động trên đường thẳng (d') //
(d) cách d một khoảng R (không đổi)

3,5
GT (O,R), đường kính AB, đường kính CD
thay đổi,tiếp tuyến (d) tại B, AC
∩
(d)
= {P},
AD
∩
(d) = {Q}
E là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆

CDP
KL a/ Tứ giác CPQD nội tiếp
b/ AE
⊥
CD
c/ E di động trên đường tròn cố định khi
CD
thay đổi.
Giải:
a/
·
·
( )
0
CPQ PAB 90 AB PQ+ = ⊥
·
·
( )
0
PAB OAD 90 AC AD+ = ⊥
·
·
CPQ OAD⇒ =
Mặt khác:
·
·
OAD ODA=
(do OA = OD)
·
·

CPQ ODA⇒ =
do đó tứ giác CPQD nội tiếp.
b/ Ta có:
· · ·
( )
0 0
AQP APQ 90 PAQ 90+ = =
Hay
·
·
·
·
( )
0
AQP ODA 90 APQ ODA+ = =
·
·
·
·
( )
0
IAQ ODA 90 IAQ AQI⇒ + = =

AI CD⇒ ⊥