chuyeenddeetoans6 dãy số cách đều

Chuyờn toỏn 6 : dãy số cách đều
Ngi vit : T Phm Hi
Giỏo viờn trng THCS th trn Hng h Thỏi bỡnh
A.Lý thuyt cn nh
Xột bi tp : Hóy lit kờ 10 phn t liờn tip u tiờn ca tp hp :
1. A = { x N / x = 2n + 1 , n N }
2. B = { x N / x = 3n + 1 , n N }
Gii :
Ta cú A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; ... }
B = { 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; 28 ; ... }
Cỏch vit tp A , B lit kờ nh trờn ta c mt dóy s. Khi ú x = 2n + 1 l
cụng thc vit tp A ; x = 3n + 1 l cụng thc vit tp B , chỳng c gi l s
hng tng quỏt ca dóy A , B . Vỡ hiu gia hai s hng liờn tip bt kỡ ca mi dóy (s
ln tr s nh ) luụn l mt s khụng i , nờn cỏc dóy trờn c gi l cỏc dóy s cỏch
u . Hiu hai s hng liờn tip ca dóy gi l khong cỏch ca dóy , kớ hiu l d.
1 ) Vớ d : Cỏc dóy s sau õy gi l cỏc dóy s cỏch u hữu hạn
Dãy số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , , n có số hạng tổng quát là n với n N , d = 1
Dãy số 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , , 3n + 1có số hạng tổng quát là 3n + 1 với n N , d = 3
Dãy số có số hạng tổng quát là với n N , d = 1/2
v . v .
2 ) Mt s cụng thc ca dóy cỏch u :
Xột dóy cỏch u hữu hạn tng quỏt : a
1
; a
2
; a
3
; a
4
; ... ; a
n

khoảng cách là d = a
2
a
1
= a
3
a
2
= a
4
a
3
= ...
n là số số hạng của dãy
a
n
l số hạng cuối cùng của dãy
Ta cú mt s cụng thc sau õy ( ó hc tiu hc )
S hng th n ca dóy c tớnh bng cụng thc : a
n
= a
1
+ ( n 1)d
S s hng ca dóy c tớnh bng cụng thc :
1
1
n
a a
n

d

= +
Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng:
1 2 3 4 5
, , , , ,...,
n
a a a a a a
. Ta viết:
1 2 1
1 2 1
n n
n n
S a a a a
S a a a a
−
−
= + + + +
= + + + +
L
L
1 2 1 1 2 1 1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n
S a a a a a a a a a a n
− −
= + + + + + + + + = +
L
Do đó ta có công thức tính tổng của dãy cách đều là :
1

( )
2
n
a a n
S
+
=

Ch ó ý : Nếu c¸c sè h¹ng cña d·y lµ c¸c sè tù nhiªn th× d·y cßn ®îc gäi lµ d·y ®ång d
B. BÀI TẬP
Bài 1 : trong các dãy số sau đây dãy số nào là dãy số cách đều
• 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; ...
• 1; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; ...
• 1 ; 4 ; 9 ; 25 ; 36 ; 49 ; ...
Bài 2 : Viết các dãy số biết số hạng tổng quát của nó là :
• a
n
= 3n + 2 , n ϵ N
• a
n
= 5n + 1 , n ϵ N
Bài 3 : a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ có hai chữ số
b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn có hai chữ số
c) Tính tổng 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2008
Bài 4 : Cho tổng S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2009
1. Tổng trên có bao nhiêu số hạng ?
2. Tính giá trị của tổng S
3. Để viết tất cả các số hạng của tổng trên thì dùng hết bao nhiêu chữ số ?
Bài 5 : Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; ...
1. Tìm số hạng tổng quát và viết thêm ba số hạng tiếp theo của dãy

2. Tính tổng của 100 số hạng liên tiêp đầu tiên của dãy
3. Tính tổng 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 9999
4. Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy thì dùng bao nhiêu chữ số ?
5. Chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp các số hạng của dẫy trên là chữ số nào ?
Bài 6 : Cho dãy số 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ...
1. Tìm số hạng tổng quát và viết tiếp ba số hạng tiếp theo của dãy
2. Số hạng thứ 2008 của dãy bằng bao nhiêu ?
3. Tính tổng 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy
4. Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy phải dùng hết bao nhiêu chữ số ?
Bi 7 : Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
Lời giải
Ngoài cách giải bình thờng theo công thức , ta có thể giải nh sau :
Ta đa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi
đó ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... +
9899) + 9910
(1011 9899).98
9910
2
+
= +
= 485495 + 9910 = 495405 .
Vậy : E = 4954,05
Bi 8 : Cho dóy s 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ... vi n Z
+

a. S hng th 200 ca dóy l s no ?
b. vit 100 s hng liờn tip u tiờn ca dóy thỡ cn bao nhiờu ch s ?
c. Tớnh tng 300 s hng liờn tiờp u tiờn ca dóy
d. Chữ số thứ 1000 của dãy là chữ số nào ?
Bi 9 : Tỡm s t nhiờn x bit rng

a. (x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + + ( x + 100 ) = 5750
b. 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
c. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + + ( 2x + 1 ) = 225
Bi 10 : a ) Hóy vit s 108 thnh tng ca 9 s t nhiờn liờn tip
b ) Hóy vit s 100 thnh tng ca 10 s hng liờn tip ca dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ...
c ) Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải c õu c :
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) =
( 4006)
.2004 ( 2003).2004
2
a a
a
+ +

= +


.
Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028

a + 2003 = 4007 a = 2004
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
Bi 11: Tỡm ch s th 1000 khi viột liờn tip lin nhau cỏc s hng ca dóy : 1; 3; 5; 7;...
Gii :
Dóy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 cú 5 ch s
Dóy 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; ... ; 97 ; 99 cú : ( + 1 ).2 = 45.2 = 90 ch s
Dóy 101 ; 103 ; 105 ; 107 ; ... ; 997 ; 999 cú : ( + 1 ).3 = 450.3 = 1350
c/s

Nh vy vit t 1 n 99 dựng ht 5 + 90 = 95 ch s nờn cũn li 999 95 = 904
ch s na l n ch s th 1000 cn tỡm . Ta thy vit t 101 n 999 dựng ht 1350
ch s nờn ch s th 1000 cn tỡm phi nm trong cỏc s hng cú 3 ch s ca dy ó
cho.
Vỡ 904 chia cho 3 bng 301d 1 nờn ch s th 1000 ca dy ó cho l ch s th
2 ca s hng th 302 ca dy 101 ; 103 ; 105 ; ... ; 997 ; 999.
ú l s : 101 + ( 302 1).2 = 703 ( theo cụng thc )
Võy ch s th 1000 ca dy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;... l 0
Bi 12 : Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng 2 hay khụng?
1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; ...
H ớng dẫn : Vì công thức tổng quát để tính tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n là :
( 1)
2
n n
+
Số hạng thứ n của dãy đã cho bằng:
( 1)
2
n n
+
Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều
này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6.
Bi 13: a) Vit liờn tip cỏc s hng ca dóy s t nhiờn t 1 n 100 to thnh mt s A.
Tớnh tng cỏc ch s ca A
b) Cng hi nh trờn nu vit t 1 n 1000000
Hng dn: a) ta b sung thờm ch s 0 vo v trớ u tiờn ca dóy s (khụng lm thay
i kt qu). Tm cha xột s 100. T 0 n 99 cú 100 s, ghộp thnh 50 cp: 0 v 99; 1
v 98; 2 v 97; mi cp cú tng cỏc ch s bng 18. Tng cỏc ch s ca 50 cp bng:
18.50 = 900. Thờm s 100 cú tng cỏc ch s bng 1. S: 901
b) Tng t: S: 27000001

Bài 14 : ( Vit dy s bit tng ca nú )
a. Hãy viết số 108 thành tổng của một dãy các số tự nhiên liên tiếp
b. Hãy viết số 100 thành tổng của một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp
c. Hóy vit s 5050 di dng tng cỏc s t nhiờn liờn tip
Giải
a. Giả sử 108 viết đợc thành tổng của k số tự nhiên liên tiếp là :
( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) + + ( n + k ) = 108 ,với n N .
áp dụng công thức tính tổng vế trái ta có
[( n + 1) + ( n + k )].k : 2 = 108 hay ( 2n + k + 1)k = 216. Vậy 2n + k + 1 và k đều
là các ớc của 216 với k < 2n + k + 1.
Ta có : 216 = 1.216 = 2.108 = 3.72 = 4.54 = 6.36 = 8.27 = 9.24 = 12.18 = 24.9
=
Ta lại thấy nếu k chẵn thì 2n + k + 1 lẻ và nếu k lẻ thì 2n + k + 1 chẵn nên chỉ cần
xét những phân tích 216 thành tích hai thừa số chẵn lẻ khác nhau .
Nếu k = 1 thì không thỏa mãn vì lời giải không có ý nghĩa
Nếu k = 3 thì 2n + k + 1 = 72 2n + 4 = 72 2n = 68 n = 34 và ta có
phân tích là : 108 = 35 + 36 + 37 đúng
Nếu k = 8 thì 2n + k + 1 = 27 2n + 9 = 27 2n = 18 n= 9 và ta có
phân tích là : 108 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 đúng
Nếu k = 9 thì 2n + k + 1 = 24 2n + 10 = 24 2n = 14 n =7 và ta có
phân tích là : 108 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 đúng
Vậy bài toán có 3 đáp số nh trên
b. Giả sử 100 viết đợc thành một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp là :
(n +2) + (n + 4) + (n + 6) + + (n + 2k) = 100 , với n là số nguyên lẻ và n > - 2 , k N
kn + 2.( 1 + 2 + 3 + 4 + + k ) = 100 kn + 2.k.(k + 1 ) : 2 = 100
nk + k.(k + 1 ) = 100 k.( n + k + 1 ) = 100 . Vậy k và n + k + 1 là các ớc của 100 với
n + k + 1 > k > 1.
Ta có 100 = 2.50 = 4.25 = 5.20 = 10.10
Nếu k = 2 thì n + k + 1 = 50 n = 47 và ta có phân tích là 100 = 49 + 51
Nếu k = 4 thì n + k + 1 = 25 n = 20 . Loại vì n chẵn

Nếu k = 5 thì n + k + 1 = 20 n = 14 .Loại vì n chẵn
Nếu k = 10 thì n + k + 1 = 10 n = - 1. Và ta có phân tích là :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 đúng
Và ta có hai đáp số nh trên .
Bi 15 : Cho

1
2
3
4
1 2,
3 4 5,
6 7 8 9,
10 11 12 13 14,
...
S
S
S
S
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Tớnh
100
S
?
Hng dn: S s hng ca S
1
,..., S

99
theo th t bng 2; 3; 4; 5; 100
S: S
100
= 515100
Bi 16 : Vit dóy s 1 , 2 , 3 , 4 , , ht m ch s . Bit m . Tỡm
Bi 17 : Tỡm n v a bit 1 + 2 + 3 + 4 + + n =
Bi 18 :
Cho 2009 im phõn bit sao cho khụng cú 3 im no thng hng . C ni hai im
bt kỡ ta c mt ng thng . Hi ni c bao nhiờu ng thng vi 2009 im ó
cho ?