De, dap an Thi HSG Khoi 11 2009

ĐỀ THI HSG KHỐI 11
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (3 đ)
1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 2
2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + =
.
2. Giải hệ phương trình :







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x

y
y
Câu 2: (3 đ)
Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60BAD =
.
Gọi M là trung điểm cạnh AA
’
và N là trung điểm cạnh CC’.
1. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng.
2. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Câu 3: (2đ)
1. Giải bất phương trình :
( )
2
1
ln ln 1 0
2
x
x x
+
− − + >
2. Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn :
( )
yyxx
y
3732log
2

8
2
2
2
+−≤++
+
Câu 4 : (2 đ).
1. Giải phương trình :
cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.
2. Gọi α, β, γ là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC nhìn xuống 3
cạnh BC, CA, AB.
Giả sử: sinα.sinβ.sinγ =
8
33
. Chứng minh ∆ABC là tam giác đều.
(Hết)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. NĂM HỌC 2006 – 2007.
(Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn.
Câu 1 : (3 đ).
1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 2
2 8 2 2 0x x x x m+ − + − + =
.
Đặt
2
8 2 3x x t o t+ − = ⇒ ≤ ≤
. Khi đó Pt
( )
2

2 8 1
0 3
t t m
t

− − =

⇔

≤ ≤


Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t
2
– 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ
Oty. Dựa vào đồ thi ta có:
• m > - 5 ∨ m < - 9 thì không
có nghiệm t nên không có nghiệm x.
• m = - 5 có 1 nghiệm x.
• - 8 < m < - 5 ∨ m = - 9 có 1
nghiệm t nên có 2 nghiệm x.
• - 9 < m ≤ - 8 có 2 nghiệm t nên
có 4 nghiệm x.
2. Giải hệ phương trình:









+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
Cách 1 :
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2

2 2
2 2
2 2
2 2
2
3 2
3
3 2 3 2
3 2
2
3 2 3 3
3
0
3 2
3 2
0
3 2
0
. 3 0
3 2
3 0
y
x y y
y
x y y x y y
x
xy x
x
xy x x y xy y x
x

xy
y
x y y
x y y
x y
x y y
x y
x y xy x y
x y y
xy x y

+

= +
=

 
= + = +

  
⇔ = + ⇔ ⇔
   
+
= + − = −
 
  
=
≠






= +

 
= +
− =
= +
  

⇔ ⇔ ⇔
− =



− + + =

= +





+ + =


v
1x y



⇔ = =


>

« ngiÖm do xy 0

Cách 2 : Từ hệ ta có x; y > 0. ⇒
2
2
2
2
+
+
=
x
y
y
x
Giả sử 0 < x ≤ y ⇒
11
2
2
2
2
==⇒=
+
+
=

yx
y
y
y
x
t
y
y ≥ -5
y = -5
-8 ≤ y ≤ -5
y = -8
y = -9
y ≤ -9
O
-8
-9
Câu 2 : (3 đ).
1. Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng.
Ta có A
’
M //= NC ⇒ A
’
MCN là hình bình hành ⇒ A
’
C & MN cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Mặt khác A
’
B
’

CD là hình bình hành ⇒ A
’
C & B
’
D cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường ⇒ B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành
2. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Ta có AC ⊥ BD ⇒ MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông ⇔
MN ⊥ B
’
D & MN = B
’
D =
3a
.
Khi đó MN ⊥ (BDD
’
B
’
) ⇒ AC
’
⊥ (BDD
’
B
’
) = (α) . Vậy cứ mỗi ∆BDB
’
được xác
định trên mf (α) cố định thì ta có một độ dài BB
’

= AA
’

⇒
aaAAaaBDDBAABDDB
+≤≤−⇔+≤≤−
33
''''
.
Câu 3: (2đ)
1. Giải bất phương trình :
( )
2
1
ln ln 1 0
2
x
x x
+
− − + >
D = R
*
( ) ( )
1.211ln
2
1
ln
22
+−>+⇔+−>
+

⇔
xxxxx
x
 Nếu x + 1 > 0 ⇔ x > -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x
2
– 3x + 1 < 0 ⇔ 1/ 2 < x < 1. Thoả mãn
 Nếu x + 1 < 0 ⇔ x < -1 ⇒ Bpt ⇔ 2 x
2
– x + 3 < 0 ⇔ Bpt vô nghiệm.
Vậy Bpt có tập nghiệm là : (1/ 2; 1).
2. Ta có : x
2
+ 2x + 3 = (x + 1)
2
+ 2 ≥ 2, ∀x và y
2
+ 8 > 0, ∀y. ⇒
( ) ( )
82log).8(32log).8(32log
2
2
22
2
2
8
2
2
2
+=+≥+++=++
+

yyxxyxx
y
⇒ y
2
+ 8 ≤ 7 – y
2
– y ⇒ 2y
2
– 3y + 1 ≤ 0 ⇒ 1/2 ≤ y ≤ 1. Vì y ∈ Z ⇒ y = 1.
Với y = 1 ⇒ BPt ⇔
( )
1232932log
2
9
2
2
−=⇔≤++⇔≤++
xxxxx
Kiểm tra lại đúng ⇒ Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1.
Câu 4 : (2 đ).
1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2.



D
’
A
’
B’
C’

C
D
A
B
M
N
I
 Nếu x = k2π ⇒ pt ⇔ 5 = - 1/2 Vậy x = k2π không là nghiệm của pt.
 Nếu x ≠ k2π nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt ⇔
11
2
0
2
11
sin
2
sin
2
9
sin
2
11
sin
2
7
sin
2
9
sin
2

5
sin
2
7
sin
2
3
sin
2
5
sin
2
sin
2
3
sin
π
k
x
xxxx
xxxxxxxx
=⇔=⇔−=−+
+−+−+−+−
 Vì x ≠ k2π ⇒ nghiệm của pt là: x =
;
11
2
π
k
Với k

/
M
11.
2. Ta có:
sinα.sinβ.sinγ =
8
33

( )
0
3 3
sin .sin .sin 180
8
A B C do A B C
α β γ
⇔ = + = + = + =
( )
3
3
1 1 3 3 3 3
sin .sin .sin sin sin sin .
27 27 2 8
VT A B C A B C
 
= ≤ + + ≤ =
 ÷
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∆ABC là tam giác đều.